2025年九年级中考数学一轮复习考点通关课件：相似三角形

　相似三角形 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段①_______ 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)， 所得的对应线段② ．如图①，在△ABC中，若 DE∥BC，则_______ 成比例 平行线 分线段成比例 成比例 合比性质：(bd≠0) 等比性质：…(b＋d＋…＋n≠0)⇒ 比例与比例线段 夯基础 知识梳理 比例性质 基本性质：⇒ad＝bc(bd≠0) 比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段 ① 　② 黄金分割：如图②，点C把线段AB分成两条线段AC和BC， 如果，那么就说线段AB被点C黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，即 ⑤ ，简记为　 0.618 1．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形⑩______ 2. ⑪ 成比例的两个三角形相似 3．两边成比例且⑫ 相等的两个三角形相似 4. ⑬ 分别相等的两个三角形相似 两角 夹角 三边 判 定 相似 性质 1．相似三角形的对应角⑥______ 2．相似三角形对应线段(边、高、中线、角平分线)的比等于⑦_______ 3．相似三角形的周长比等于⑧ ，面积比等于⑨____________ 相似比的平方 相似比 相似比 相等 证明三角形相 似的判定思路 有平行截线——用平行线的性质，找等角 有一对等角，找 有两边成比例，找 另一对等角 角的两邻边成比例 夹角相等 第三边也成比例 相似三 角形 【易错提示】“相似”与“∽”的区别：当两个三角形用“∽”连接时，它们的对应顶点、对应边、对应角都是唯一确定的；当用“相似”表达时，两个三角形的顶点、边、角的对应 关系不确定，此时需要进行分类讨论，避免漏解． 1．相似多边形的对应角⑭ ，对应边⑮______________ 2．相似多边形的周长比等于⑯ ，面积比等于 ⑰_______________________ 相似比的平方 相似比 成比例 相似多边形的性质 相等 相似三角形 实际应用中 的解题步骤 1．将实际问题转化为相似三角形问题 2．找出一对相似三角形 3．根据相似三角形的性质，表示出相应的量，并求解．例如：同一时刻，太阳光线下， 物高与影长成正比，即 相似三 角形 (1)若DE∥BC，，BC＝6，则_____，DE________； (2)若∠AED＝∠ABC，AE＝2，BC＝6，AB＝3DE，则DE＝ ； (3)若D，E分别为AB，AC的中点，CD＝3，则OD＝ ； 1 如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，BE和CD相交于点O，连接DE． 2 相似三角形的判定和性质 重点1 固考点 重难突破 例1 (4)若BE，CD都是△ABC的高，AD＝3，AE＝2，CD＝4，则S△ABE__________； (5)若DE∥BC，，则______； (6)若AD＝3，DB＝4，AE＝2，当△ADE与△ABC相似时，CE 方 法 指 导 A，8字模型 模型描述 在△ABC和△ADE中，∠1＝∠2 模型呈现 模型结论 △ABC∽△ADE 模型分析 在相似三角形的判定中，常通过作平行线得出A型或8型相似，解题时，需要时常关注题目中由平行线产生的相似三角形 (2024·成都锦江区师一学校一诊)如图，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量水平地面上树AB的高度，已知两直角边EF∶DE＝2∶3，他调整自己的姿势和三角形纸板的位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，DM垂直于地面，测得AM＝21 m，边DF离地面的距离为1.6 m，则树AB高为 m． 相似三角形的实际应用 15.6 重点2 例2 针对训练 1．(2024·南充诊断卷一)我国古代教育家墨子发现了小孔成像：用一个带有小孔的板遮挡在墙体与物之间，墙体上就会形成物的倒影，这种现象叫小孔成像．如图，根据小孔成像原理，已知蜡烛的火焰高AB＝2 cm，当物距OE＝5 cm，像距OF＝8 cm时，火焰的像CD的长为_____cm． 2．(2024·达州模拟)如图，阳光通过窗口AE射到室内，在地面上留下3米宽的亮区BC，已知亮区BC的C处到窗口下的墙脚的距离CD＝5米，窗口高AE＝1.5米，求窗口底部离地面的高度DE． 解：由题意，可知AB∥CE， ∴△ABD∽△ECD， ∵BC＝3米，CD＝5米，AE＝1.5米， ∴BD＝BC＋CD＝8米，DA＝(DE＋1.5)米，， 解得DE＝2.5． 答：窗口底部离地面的高度DE为2.5米． 1． (2022·巴中6题4分)如图，在平面直角坐标系中，C为△AOB的边OA上一点，AC∶OC＝1∶2，过点C作CD∥OB交AB于点D，C，D两点的纵坐标分别为1，3，则点B的纵坐标为( ) 平行线分线段成比例及黄金分割 C 明方向 中考再现 命题点1 A．4 B．5 C．6 D．7 A B C D 2．(2024·泸州10题3分)宽与长的比值是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B'处，AB'交CD于点E，则sin∠DAE的值为( ) A 【解析】由题意知，令AB＝CD＝2a，则AD＝BC＝(－1)a.由翻折的性质可知∠EAC＝∠BAC.∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AE＝EC.令DE＝x，则AE＝EC＝2a－x.在Rt△ADE中，［(－1)a］2＋x2＝(2a－x)2，解得x＝a，∴DE＝a，AE＝2a－a＝a.在Rt△DAE中，sin∠DAE＝.故选A. 3．(2024·内江7题3分)已知△ABC与△DEF相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△DEF的周长之比是( ) A．1∶1 B．1∶3 C．1∶6 D．1∶9 相似三角形的判定与性质 B 命题点2 A．1 B C．2 D．3 4．(2023·内江10题3分)如图，在△ABC中，D，E为边AB的三等分点，点F，G在边BC上，AC∥DG∥EF，H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为( ) C 【解析】∵D，E为边AB的三等分点，∴AD＝DE＝EB，∴AB＝3BE，AE＝2AD.∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴EF∶AC＝BE∶BA.∵AC＝12，AB＝3BE，∴EF∶12＝BE∶3BE，∴EF＝4.∵DG∥EF，∴△ADH∽△AEF，∴DH∶EF＝AD∶AE.∵EF＝4，AE＝2AD，∴DH∶4＝AD∶2AD，∴DH＝2.故选C. 5．(2023·巴中10题4分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，D，E分别为AC，BC的中点，连接AE，BD相交于点F，点 G在CD上，且DG∶GC＝1∶2，则四边形DFEG的面积为( ) A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2 B 【解析】连接DE，如答图.∵D，E分别为AC，BC的中点，BC＝8 cm，∴DE是△ABC的中位线，BE＝CE＝BC＝4 cm，∴DE＝AB＝3 cm，DE∥AB，∴∠DEC＝∠ABC＝90°，△DEF∽△BAF，∴，∴，∴S△BAF＝S△ABE＝AB·BE＝×6×4＝8(cm2)，∴S△DEF＝S△BAF＝2 cm2.∵S△DEC＝DE·CE＝×3×4＝6(cm2)，DG∶GC＝1∶2，∴S△DEG＝S△DEC＝2 cm2，∴S四边形DFEG＝S△DEF＋S△DEG＝4(cm2). 故选B. 答图 6．(2024·乐山15题3分)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O．若，则 7．(2024·德阳22题12分)如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，F为BC的中点，连接AF与BD相交于点E，连接CE并延长交AB于点G． 求证：(1)△BEF∽△BCO．(2)△BEG≌△AEG． 证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AC⊥BD，∴∠BOC＝90°． 又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC． 又∵F为BC的中点，∴AF⊥BC，∴∠BOC＝∠BFE＝90°． 又∵∠EBF＝∠CBO，∴△BEF∽△BCO． (2)由(1)知BO⊥AC，AF⊥BC，∴CG⊥AB，∴∠BGE＝∠AGE． 由(1)易知AC＝BC，∴BG＝AG． 在△BEG和△AEG中， ∴△BEG≌△AEG(SAS)． 8．(2023·南充6题4分)如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退(保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上)，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m，镜子与旗杆的水平距离为10 m，则旗杆高度为( ) 相似三角形的实际应用 B 命题点3 A．6.4 m B．8 m C．9.6 m D．12.5 m $$