第15章 概率 单元测试 -2024-2025学年高一下学期数学苏教版（2019）必修第二册

密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 封 线 内 不 要 答 题 第15章　概率 全卷满分150分　考试用时120分钟 一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.如果事件A,B互斥,记分别为事件A,B的对立事件,那么(　　) A.A+B是必然事件　　　B.是必然事件 C.与一定互斥　　　D.与不可能互斥 2.某型号新能源汽车参加碰撞测试和续航测试,该型号新能源汽车参加这两项测试的结果互不影响.若该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为,在续航测试中结果为优秀的概率为,则该型号新能源汽车在这两项测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为(　　) A. 3.已知甲袋中有4个白球、x个红球,乙袋中有2个白球、4个红球,各个球的大小与质地相同.现从甲、乙两袋中依次不放回地各取2个球,若从甲袋中取出的2个球的颜色不相同与从乙袋中取出的2个球的颜色不相同的概率相等,则x=(　　) A.2　　　B.4 C.6或2　　　D.8或4 4.一个电路如图所示,A,B,C,D,E,F为6个开关,其闭合的概率均为,且是相互独立的,则灯亮的概率是(　　) A. 5.张益唐是当代著名华人数学家,他在数论研究方面取得了巨大成就,曾经在《数学年刊》中发表《质数间的有界间隔》,证明了存在无穷多对质数间隙都小于7 000万.2013年张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式,孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一,可以这样描述,存在无穷多个素数p,使得p+2是素数,素数对(p,p+2)称为孪生素数.在不超过12的素数中,随机选取两个不同的数,能够组成孪生素数的概率是(　　) A. 6.质地均匀的正四面体模型的四个表面分别标有2,5,7,70四个数字,将这个模型抛掷一次,并记录其与地面接触面上的数字,记事件“数字是2的倍数”为事件A,“数字是5的倍数”为事件B,“数字是7的倍数”为事件C,则下列选项正确的是(　　) A.事件A,B,C两两互斥　　　B.事件A∪B与事件B∩C对立 C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)　　　D.事件A,B,C两两相互独立 7.连接正方体每个面的中心构成一个正八面体,在正八面体的六个顶点中任取三个构成三角形,则这三个点能构成等腰直角三角形的概率是(　　) A. 8.我们所说的ABO血型系统是由A,B,O三个等位基因决定的,每个人的基因型由这三个等位基因中的任意两个组合在一起构成,且两个等位基因分别来自父亲和母亲,其中AA,AO为A型血,BB,BO为B型血,AB为AB型血,OO为O型血.比如:父亲和母亲的基因型分别为AO,AB,则孩子的基因型等可能地出现AA,AB,AO,BO四种结果.已知小明的爷爷、奶奶和母亲的血型均为AB型,不考虑基因突变,则小明是A型血的概率为(　　) A. 二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.某学校为了丰富同学们的课外活动,为同学们举办了四种科普活动:科技展览、科普讲座、科技游艺、科技绘画.记事件A:只参加科技游艺活动;事件B:至少参加两种科普活动;事件C:只参加一种科普活动;事件D:一种科普活动都不参加;事件E:至多参加一种科普活动,则下列说法正确的是(　　) A.A与D是互斥事件　　　B.B与E是对立事件 C.E=C∪D　　　D.A=C∩E 10.甲袋中有20个红球,10个白球,乙袋中红球、白球各有10个,两袋中的球除了颜色外,没有其他差别,现在从两袋中各取出1个球,取球过程互不影响,下列结论正确的是(　　) A.2个球都是红球的概率为 B.2个球中恰有1个红球的概率为 C.2个球不都是红球的概率为 D.2个球都不是红球的概率为 11.四支足球队进行单循环比赛(任两支足球队恰进行一场比赛),任两支足球队之间获胜的概率都是.单循环比赛结束后,以获胜的场次数作为该队的成绩,按成绩从大到小排名次,成绩相同则名次相同.下列结论中正确的是(　　) A.四支足球队并列第一名为不可能事件 B.有可能出现恰有三支足球队并列第一名的情况 C.恰有两支足球队并列第一名的概率为 D.只有一支足球队是第一名的概率为 三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分) 12.某同学用木板制作了一个七巧板,如图所示,它包括5个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形.若随机从5个等腰直角三角形中抽出2个,则这2个面积相等的概率为　　　　.  13.某次联欢会上设有一个抽奖游戏,已知抽奖箱中共有四种除颜色外形状、大小完全相同的小球16个,分别代表一等奖、二等奖、三等奖和未中奖.其中红球代表一等奖且只有1个,黄球代表三等奖,从中任取1个小球,中二等奖或三等奖的概率为.若小华同学获得一次摸奖机会,则他未中奖的概率是　　　　.  14.甲、乙两人进行射击游戏,目标靶上有三个区域,分别涂有红、黄、蓝三色,已知甲击中红、黄、蓝三个区域的概率依次是,乙击中红、黄、蓝三个区域的概率依次是,甲、乙两人射击情况互不影响,若甲、乙各射击一次,则两人击中同色区域的概率为　　　　,两人击中不同色区域的概率为　　　　.  四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分13分)一个袋子中装有大小和质地均相同的四个球,其中有两个红球(标号分别为1和2),一个黑球(标号为3),一个白球(标号为4),从袋中不放回地依次随机摸出两个球,用数组(x1,x2)表示可能的结果,其中x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号.设事件A=“第一次摸到红球”,B=“第二次摸到黑球”,C=“摸到的两个球恰为一个红球和一个白球”. (1)试用集合的形式写出试验的样本空间Ω; (2)分别求事件A,B,C发生的概率; (3)求事件A,B,C中至少有一个发生的概率. 16.(本小题满分15分)为进一步巩固提升全国文明城市,加速推行垃圾分类制度,某市推出了两套方案,并分别在A,B两个大型居民小区内试行. 方案一:进行广泛宣传活动,向小区居民和社会各界宣传垃圾分类的意义,讲解分类垃圾桶的使用方式、垃圾投放时间等,定期召开垃圾分类会议和知识宣传教育活动; 方案二:在小区内设立智能化分类垃圾桶,该垃圾桶操作简单,居民可以通过手机进行自动登录、称重、积分等一系列操作.该市建立激励机制,比如,垃圾分类换积分兑换礼品等,以激发居民参与垃圾分类的热情. 经过一段时间试行之后,在这两个小区内各随机抽取了100名居民进行问卷调查,记录他们对试行方案的满意度评分(满分100分),将数据分成6组:[40,50),[50,60),…,[90,100],并整理得到如下频率分布直方图: (1)分别估计两种方案满意度评分的平均值,并判断哪种方案的垃圾分类推行措施更受居民欢迎(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表); (2)以频率估计概率,若满意度评分不低于70分,则认为居民赞成推行此方案,若低于70分,则认为居民不赞成推行此方案,规定小区居民赞成率不低于70%才可在该小区继续推行该方案,判断哪个小区可继续推行方案; (3)根据(2)中的结果,从可继续推行方案的小区中抽取100人,再按居民态度是否赞成从这100人中分层抽取一个8人代表团,从代表团中选取2人进行汇总发言,求至少有一个不赞成的居民被选到发言的概率. 17.(本小题满分15分)为普及消防安全知识,某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮,每位参赛选手均需参加两轮比赛,若其在两轮比赛中均胜出,则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中,选手甲、乙胜出的概率分别为;在第二轮比赛中,甲、乙胜出的概率分别为,甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)求甲在比赛中恰好赢一轮的概率; (2)从甲、乙两人中选1人参加比赛,派谁参赛赢得比赛的概率更大? (3)若甲、乙两人均参加比赛,求两人中至少有一人赢得比赛的概率. 18.(本小题满分17分)甲、乙两人进行围棋比赛,采取积分制,规则如下:每胜1局得1分,负1局或平局都不得分,积分先达到2分者获胜;若第四局结束,没有人积分达到2分,则积分多的一方获胜;若第四局结束,没有人积分达到2分,且积分相等,则比赛最终打平.假设在每局比赛中,甲获胜的概率为,负的概率为,且每局比赛之间的胜负相互独立. (1)求第三局结束乙获胜的概率; (2)求甲获胜的概率. 19.(本小题满分17分)袋中装有质地均匀、大小相同的红球和白球共10个.现进行摸球游戏. (1)若采取有放回的方式从袋中每次摸出1个球,共摸球两次,至少有一次摸出白球的概率是,求袋中红球的个数; (2)已知袋中有红球5个,从袋中每次摸出1个球,若是红球则放回袋中,若是白球则不放回袋中,求摸球三次共取出两个白球的概率; (3)采取不放回的方式从袋中每次摸出1个球,若连续两次摸到红球则停止摸球,否则继续摸球直至第六次摸球后结束.若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率,求袋中红球个数的所有可能取值. 答案与解析 第15章　概率 1.B　如图所示,集合E表示事件A,集合F表示事件B,全集为I. 对于A,因为E+F不是全集,所以A错误; 对于B,由图知(∁IE)∪(∁IF)=I,即是必然事件,所以B正确; 对于C,由图知(∁IE)∩(∁IF)不一定是空集,即与可以同时发生,所以C错误; 对于D,由图知,若(∁IE)∩(∁IF)=⌀,则与互斥,所以D错误. 故选B. 2.C　根据题意可得,该型号新能源汽车在这两项测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为. 故选C. 3.C　设事件A为“从甲袋中取出的2个球的颜色不相同”,事件B为“从乙袋中取出的2个球的颜色不相同”, 则P(A)=, 所以,解得x=2或x=6. 故选C. 4.B　设A与B中至少有一个不闭合为事件T,E与F中至少有一个不闭合为事件R,C,D闭合的事件分别为G,H,则P(T)=P(R)=1-,所以灯亮的概率P=1-P(T)P(R)P(,故选B. 5.B　不超过12的素数有2,3,5,7,11,共5个,任取两个数的样本点有(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(3,5),(3,7),(3,11),(5,7),(5,11),(7,11),共10个,其中是孪生素数的样本点有(3,5),(5,7),共2个,故所求概率为.故选B. 6.D　事件A包含基本事件“数字为2”“数字为70”, 事件B包含基本事件“数字为5”“数字为70”, 事件C包含基本事件“数字为7”“数字为70”, 事件A,B可能同时发生,所以事件A,B不是互斥事件,A错误; 事件A∪B包含基本事件“数字为2”“数字为5”“数字为70”,事件B∩C包含基本事件“数字为70”, 所以事件A∪B与事件B∩C不是互斥事件,故也不是对立事件,B错误; P(A)=, 事件ABC包含基本事件“数字为70”,则P(ABC)=, 所以P(ABC)≠P(A)P(B)P(C),C错误; 事件A∩B包含基本事件“数字为70”,事件B∩C包含基本事件“数字为70”,事件A∩C包含基本事件“数字为70”, 所以P(AB)=P(AC)=P(BC)=, 又P(A)P(B)=P(A)P(C)=P(B)P(C)=, 故由相互独立事件的定义可得事件A,B,C两两相互独立,D正确. 故选D. 7.C　正八面体如图, 设原正方体的棱长为1,则正八面体的棱长为,且AB=1,CE=1,DF=1. 当A为等腰直角三角形的顶点时,满足条件的情况有(A,B,C),(A,B,D),(A,B,E),(A,B,F),(A,E,C),(A,D,F),共6种; 当A不为等腰直角三角形的顶点,B为等腰直角三角形的顶点时,满足条件的情况有(B,C,E),(B,D,F),共2种; 当A,B不为等腰直角三角形的顶点,C为等腰直角三角形的顶点时,满足条件的情况有(C,D,F),(C,D,E),(C,E,F),共3种; 当A,B,C不为等腰直角三角形的顶点,D为等腰直角三角形的顶点时,满足条件的情况有(D,E,F),共1种. 从6个点中任选3个,有20种选法,故所求概率为.故选C. 8.C　因为小明的爷爷、奶奶的血型均为AB型,所以小明父亲的基因型可能是AA,AB,BB,它们对应的概率分别为. 当小明父亲的基因型是AA时,因为小明母亲的血型为AB型,所以小明的基因型可能是AA,AB,它们对应的概率均为,则小明是A型血的概率为; 当小明父亲的基因型是AB时,因为小明母亲的血型为AB型,所以小明的基因型可能是AA,AB,BB,它们对应的概率分别为,则小明是A型血的概率为; 当小明父亲的基因型是BB时,因为小明母亲的血型为AB型,所以小明的血型不可能是A型. 所以小明是A型血的概率为. 故选C. 9.ABC　对于A,互斥事件表示两事件的交集为空集,事件A与事件D不可能同时发生,交集为空集,故A正确; 对于B,对立事件表示两事件互斥且必定有一个发生,事件B和事件E满足这两个特点,故B正确; 对于C,C∪D表示至多参加一种科普活动,即为事件E,故C正确; 对于D,C∩E表示只参加一种科普活动,但参加的不一定是科技游艺活动,故D错误. 故选ABC. 10.BC　记事件A1:从甲袋中任取1个球为红球,事件A2:从乙袋中任取1个球为红球, 则P(A1)=. 对于A,P(A1A2)=P(A1)P(A2)=,所以A错误; 对于B,P(A1,所以B正确; 对于C,由于“都是红球”与“不都是红球”互为对立事件, 故所求概率为1-P(A1A2)=1-,所以C正确; 对于D,P(,所以D错误. 故选BC. 11.ABD　设四支足球队分别为a,b,c,d.四支足球队进行单循环比赛的情况有(a,b),(b,c),(c,d),(a,d),(a,c),(b,d),共6种,比赛的结果共有26=64种. 对于A,这6场比赛中,若四支足球队在前4场比赛中各赢1场,则剩下的2场比赛中必然有两支或一支足球队获胜,那么所得成绩不可能都一样,故四支足球队并列第一名是不可能事件,故A正确. 对于B,在6场比赛中,依次获胜的可以是a,b,c,a,c,b,此时三支足球队所获成绩相同,并列第一名,故B正确. 对于C,在6场比赛中,恰有两支足球队并列第一名有6种可能,若为a,b,则第一类:a赢b,有2种情况,分别是a,b,c,d,a,b和a,b,d,a,c,b,同理,第二类:b赢a,也有2种情况,故恰有两支足球队并列第一名的概率为,故C错误. 对于D,四支足球队中一支足球队为第一名有4种可能,此时这支足球队比赛的3场都胜,另外3场比赛有23=8种结果,故只有一支足球队是第一名的概率为,故D正确.故选ABD. 12.答案　 解析　如图,把5个等腰直角三角形编号,从中任取2个的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共10个样本点,记抽出的2个等腰直角三角形的面积相等为事件A,则A={(1,2),(4,5)},共2个样本点,因此所求概率为P(A)=. 13.答案　 解析　从16个小球中任取1个小球,中二等奖或三等奖的概率为, 故代表二等奖和三等奖的小球共有7个, 因为代表一等奖的小球有1个, 所以代表未中奖的小球有8个,故小华同学未中奖的概率为. 14.答案　 解析　设甲击中红、黄、蓝三个区域的事件分别为A1,A2,A3,乙击中红、黄、蓝三个区域的事件分别为B1,B2,B3, 则P(A1)=. ∵甲、乙两人射击情况互不影响, ∴甲、乙两人击中同色区域的概率为P(A1B1+A2B2+A3B3)=P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B3)=, 甲、乙两人击中不同色区域的概率为P(A1B2+A1B3+A2B1+A2B3+A3B1+A3B2) =P(A1)P(B2)+P(A1)P(B3)+P(A2)P(B1)+P(A2)P(B3)+P(A3)P(B1)+P(A3)P(B2) = =. 15.解析　(1)样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},共有12个样本点.(4分) (2)事件A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)},共有6个样本点, 所以P(A)=,(6分) 事件B={(1,3),(2,3),(4,3)},共有3个样本点,所以P(B)=,(8分) 事件C={(1,4),(2,4),(4,1),(4,2)},共有4个样本点,所以P(C)=.(10分) (3)事件A,B,C中至少有一个发生的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(4,1),(4,2),(4,3),共有9种, 所以P(A∪B∪C)=.(13分) 16.解析　(1)设A小区方案一满意度评分的平均分为, 则=(45×0.006+55×0.014+65×0.018+75×0.031+85×0.021+95×0.010)×10=72.7(分).(2分) 设B小区方案二满意度评分的平均分为, 则=(45×0.005+55×0.010+65×0.010+75×0.020+85×0.032+95×0.023)×10=78.3(分).(4分) ∵72.7<78.3, ∴方案二的垃圾分类推行措施更受居民欢迎.(5分) (2)A小区方案一的满意度评分不低于70分的频率为(0.031+0.021+0.010)×10=0.62,由频率估计概率知赞成率为62%; B小区方案二的满意度评分不低于70分的频率为(0.020+0.032+0.023)×10=0.75,由频率估计概率知赞成率为75%,(9分) ∴B小区可继续推行方案二.(10分) (3)由(2)知,B小区不赞成的有25%,故8人代表团中不赞成的有8×25%=2(人),分别记为a,b,赞成的有8×75%=6(人),分别记为1,2,3,4,5,6.(12分) 从中任选2人有以下情况:ab,a1,a2,a3,a4,a5,a6,b1,b2,b3,b4,b5,b6,12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56,共28种,(13分) 其中至少有一个不赞成有以下情况:ab,a1,a2,a3,a4,a5,a6,b1,b2,b3,b4,b5,b6,共13种,(14分) 故所求概率P=.(15分) 17.解析　设A1=“甲在第一轮比赛中胜出”,A2=“甲在第二轮比赛中胜出”, B1=“乙在第一轮比赛中胜出”,B2=“乙在第二轮比赛中胜出”, 则A1,A2,B1,B2相互独立,且P(A1)=.(3分) (1)设C=“甲在比赛中恰好赢一轮”, 则P(C)=P(A1.(5分) (2)因为在两轮比赛中均胜出才能赢得比赛, 所以A1A2=“甲赢得比赛”,B1B2=“乙赢得比赛”, 所以P(A1A2)=P(A1)P(A2)=, P(B1B2)=P(B1)P(B2)=,(7分) 因为,所以派甲参赛赢得比赛的概率更大.(8分) (3)设D=“甲赢得比赛”,E=“乙赢得比赛”, M=“两人中至少有一人赢得比赛”, 则P(D)=, 所以P(, P(,(12分) M的对立事件=“甲、乙两人都没有赢得比赛”, 所以P(M)=1-P(. 故两人中至少有一人赢得比赛的概率为.(15分) 18.解析　(1)设事件A为“第三局结束乙获胜”, 由题意知,乙每局获胜的概率为,不获胜的概率为.(2分) 若第三局结束乙获胜,则乙第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜). 故P(A)=.(5分) (2)设事件B为“甲获胜”. 若第二局结束甲获胜,则甲两局连胜,此时的概率P1=.(7分) 若第三局结束甲获胜,则甲第三局必定获胜,总共有2种情况:(胜,不胜,胜),(不胜,胜,胜), 此时的概率P2=.(9分) 若第四局结束甲以积分(2分)获胜,则甲第四局必定获胜,前三局为1胜2平或1胜1平1负,总共有以下9种情况:(胜,平,平,胜),(平,胜,平,胜),(平,平,胜,胜),(胜,平,负,胜),(胜,负,平,胜),(平,胜,负,胜),(平,负,胜,胜),(负,胜,平,胜),(负,平,胜,胜), 易得每局比赛中甲平局的概率为1-, 则此时的概率P3=.(13分) 若第四局结束甲以积分(1分)获胜,则乙的积分为0分,则对于甲总共有4种情况:(胜,平,平,平),(平,胜,平,平),(平,平,胜,平),(平,平,平,胜). 此时的概率P4=.(15分) 故P(B)=P1+P2+P3+P4=.(17分) 19.解析　设袋中有红球m个.(1分) (1)设事件A=“摸球一次,从袋中摸出1个红球”,则P(A)=. 设事件B=“摸球两次,至少有一次摸出白球”,则=“摸球两次,两次均摸出红球”. 则P(B)=1-P(,解得m=4(舍负),即袋中红球有4个.(4分) (2)设事件C=“摸球三次共取出两个白球”, 则摸球三次的可能情况为“白白红”“白红白”“红白白”, 则P(C)=. 所以摸球三次共取出两个白球的概率为.(8分) (3)设事件E=“第三次摸球后停止摸球”,F=“第五次摸球后停止摸球”. 由题意知1≤m≤9,m∈N*. 若m=1,则不可能连续两次摸到红球,不合题意.(10分) 若m=2,则事件E发生的情况为“白红红”, 且P(E)=, 事件F发生的情况为“白白白红红”, 且P(F)=, P(E)=P(F),不合题意.(12分) 若m=9,则最多第三次摸球后就停止摸球,不符合题意. 若m=8,则事件E发生的情况为“白红红”, 且P(E)=, 事件F发生的情况为“白红白红红”或“红白白红红”, 且P(F)=,P(E)>P(F),符合题意.(14分) 若3≤m≤7,m∈N*,则事件E发生的情况为“白红红”, 且P(E)=, 事件F发生的情况为“白白白红红”或“白红白红红”或“红白白红红”, 且P(F)=, 由P(E)>P(F)得,1>,　 即m2-5m+6>0,解得m<2或m>3,即m=4,5,6,7.(16分) 综上所述,红球个数的所有可能取值为4,5,6,7,8.(17分) 学科网（北京）股份有限公司 $$