等式与不等式性质 讲义-2025届高三数学一轮复习

1-3 等式与不等式性质 讲义 一、两个实数比较大小的常用方法：作差法(a，b∈R)． 二、等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么 三、不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 四、不等式的两类常用性质 1.倒数性质：(1)a>b，ab>0⇒； (2)a<b<0⇒； (3)a>b>0,0<c<d⇒； (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒. 2.有关分数的性质：若a>b>0，m>0，则 (1)真分数的性质：(b－m>0)； (2)假分数的性质：(b－m>0)． 考点一 数与式的大小比较 【例1-1】(多选)下列不等式中正确的是(　　) A．x2－2x>－3(x∈R) B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C．a2＋b2>2(a－b－1) D．若a>b>0，则a2－b2> 【例1-2】已知c>1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是(　　) A．x>y B．x＝y C．x<y D．x，y的关系随c而定 思维升华　比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． 1.设t＝a－4b，s＝a＋b2＋4，则t与s的大小关系是(　　) A．s≥t B．s>t C．s≤t D．s<t 2.已知M＝，则M，N的大小关系为________． 考点二 不等式的基本性质 【例2-1】若实数a，b满足a<b<0，则(　　) A．a＋b>0 B．a－b<0 C．|a|<|b| D. 【例2-2】设，，则 A． B． C． D． 【例2-3】(多选)已知a，b，c为实数，则下列说法正确的是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，则a＋c>b＋c C．若a>b>c>0，则> D．若a>b>c>0，则 思维升华　判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证． (2)利用特殊值法排除错误选项． (3)作差法． (4)构造函数，利用函数的单调性 1.设a，b，c，d为实数，且c<d，则“a<b”是“a－c<b－d”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2019·全国·高考真题）若a>b，则 A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 3．已知a，b＞0，且a≠1，b≠1.若，则( ) A． B． C． D． 4．已知，且，则 A． B． C． D． 5．若，，则 A． B． C． D． 6．设，是实数，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7.(多选)若a>b>0，则下列不等式中正确的是(　　) A.< B．－a2<－ab C．ln|a－1|>ln|b－1| D．2a－b>1 考点三 不等式性质的综合应用 【例3-1】已知0<x<5，－1<y<1，则x－2y的取值范围是(　　) A．2<x－2y<3 B．－2<x－2y<3 C．2<x－2y<7 D．－2<x－2y<7 【例3-2】已知：－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1，求x－2y的范围． 【例3-3】某班主任组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为(　　) A．20 B．22 C．26 D．28 思维升华　利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质． (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 1.(多选)已知1≤a≤2,3≤b≤5，则(　　) A．a＋b的取值范围为[4,7] B．b－a的取值范围为[2,3] C．ab的取值范围为[3,10] D.的取值范围为 2.已知－2<x－y<0,1<2x＋y<3，则8x＋y的取值范围为__________． 3.（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 一、单项选择题 1．（四川·高考真题）若则一定有 A． B． C． D． 2．（广东·高考真题）设，若，则下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（上海·高考真题）已知为非零实数，且，则下列命题成立的是 A． B． C． D． 4．（北京·高考真题）已知，，，均为实数，有下列命题： （1）若，，则；（2）若，，则； （3）若，，则，其中正确命题的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 5．（北京·高考真题）设，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（全国·高考真题）若，，则 A． B． C． D． 7．（浙江·高考真题）设，是实数，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（重庆·高考真题）若，且，则的最小值是. A． B．3 C．2 D． 二、多项选择题 9．（上海·高考真题）如果，那么下列不等式不正确的是(    ) A． B． C． D． 三、填空题 10．（辽宁·高考真题）已知且，则 的取值范围是 （答案用区间表示） 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1-3 等式与不等式性质 讲义 一、两个实数比较大小的常用方法：作差法(a，b∈R)． 二、等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么 三、不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔b<a； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒a>c； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)． 四、不等式的两类常用性质 1.倒数性质：(1)a>b，ab>0⇒； (2)a<b<0⇒； (3)a>b>0,0<c<d⇒； (4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒. 2.有关分数的性质：若a>b>0，m>0，则 (1)真分数的性质：(b－m>0)； (2)假分数的性质：(b－m>0)． 考点一 数与式的大小比较 【例1-1】(多选)下列不等式中正确的是(　　) A．x2－2x>－3(x∈R) B．a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R) C．a2＋b2>2(a－b－1) D．若a>b>0，则a2－b2> 【答案】AD【解】∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2－2x>－3，故A正确； a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b)． ∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定，∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误； ∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误； a2－b2－＝(a－b)(a＋b)＝(a－b)>0，故选项D正确． 【例1-2】已知c>1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是(　　) A．x>y B．x＝y C．x<y D．x，y的关系随c而定 【答案】C【解】由题设，易知x，y>0，又<1，∴x<y. 思维升华　比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小． 1.设t＝a－4b，s＝a＋b2＋4，则t与s的大小关系是(　　) A．s≥t B．s>t C．s≤t D．s<t 【答案】A【解】因为s－t＝a＋b2＋4－(a－4b)＝b2＋4b＋4＝(b＋2)2≥0，所以s≥t. 2.已知M＝，则M，N的大小关系为________． 【答案】M>N【解】方法一　 ∵;∴M>N. 方法二　令f(x)＝＝＝＋，显然f(x)是R上的减函数，∴f(2 023)>f(2 024)，即M>N. 考点二 不等式的基本性质 【例2-1】若实数a，b满足a<b<0，则(　　) A．a＋b>0 B．a－b<0 C．|a|<|b| D. 【答案】B【解】由a<b<0，可得a＋b<0，故A错误；由a<b<0，可得a－b<0，故B正确； 由a<b<0，可得－a>－b>0，所以|a|>|b|，故C错误；由a<b<0，可得|a|>|b|>0，所以，故D错误． 【例2-2】设，，则 A． B． C． D． 【答案】B【解】；； ,即；又；即；故选B. 【例2-3】(多选)已知a，b，c为实数，则下列说法正确的是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，则a＋c>b＋c C．若a>b>c>0，则> D．若a>b>c>0，则 【答案】BCD【解】当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；由不等式的可加性可知，B正确； 若a>b>c>0，则a－b>0，b＋c>0，∴－＝＝>0，∴>，故C正确； 若a>b>c>0，则a－b>0，a－c>0，b－c>0，且a－c>a－b， ∴>>0，又b>c>0，故，>，故D正确． 思维升华　判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证． (2)利用特殊值法排除错误选项． (3)作差法． (4)构造函数，利用函数的单调性 1.设a，b，c，d为实数，且c<d，则“a<b”是“a－c<b－d”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B【解】由a<b不能推出a－c<b－d，如a＝2，b＝3，c＝0，d＝1，满足a<b，但是a－c＝b－d，故充分性不成立； 当a－c<b－d时，又c<d，可得a－c＋c<b－d＋d，即a<b，故必要性成立， 所以“a<b”是“a－c<b－d”的必要不充分条件． 2．（2019·全国·高考真题）若a>b，则 A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 【答案】C【解】取，满足，，知A错，排除A； 因为，知B错，排除B； 取，满足，，知D错，排除D， 因为幂函数是增函数，，所以，故选C． 3．已知a，b＞0，且a≠1，b≠1.若，则( ) A． B． C． D． 【答案】D【解】， 当时，，， ； 当时，， ；观察各选项可知选D. 【易错点睛】解不等式时，一定要对分为和两种情况进行讨论，否则很容易出错． 4．已知，且，则 A． B． C． D． 【答案】C【解】A：由，得，即，A不正确； B：由及正弦函数的单调性，可知不一定成立； C：由，，得，故，C正确； D：由，得，但xy的值不一定大于1，故不一定成立，故选C. 【点睛】函数单调性的判断：(1)常用的方法有：定义法、导数法、图象法及复合函数法． (2)两个增(减)函数的和仍为增(减)函数；一个增(减)函数与一个减(增)函数的差是增(减)函数； (3)奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反. 5．若，，则 A． B． C． D． 【答案】C【解】用特殊值法，令，，得，选项A错误， ，选项B错误， ，选项D错误， 因为 选项C正确，故选C． 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 6．设，是实数，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D【解】本题采用特殊值法：当时，，但，故是不充分条件；当时，，但，故是不必要条件.所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D. 考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质. 7.(多选)若a>b>0，则下列不等式中正确的是(　　) A.< B．－a2<－ab C．ln|a－1|>ln|b－1| D．2a－b>1 【答案】ABD【解】因为a>b>0，>0，所以>，即<，故A正确； 因为a>b>0，－a<0，所以－a2<－ab，故B正确； 若a＝，b＝，ln|a－1|＝ln|b－1|＝ln ，故C不正确；因为a－b>0，所以2a－b>20＝1，故D正确． 考点三 不等式性质的综合应用 【例3-1】已知0<x<5，－1<y<1，则x－2y的取值范围是(　　) A．2<x－2y<3 B．－2<x－2y<3 C．2<x－2y<7 D．－2<x－2y<7 【答案】D【解】因为－1<y<1，所以－2<－2y<2，又0<x<5，所以－2<x－2y<7. 【例3-2】已知：－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1，求x－2y的范围． 【解】设x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，∴x－2y＝(m＋n)x＋(m－n)y，∴解得 ∴x－2y＝－(x＋y)＋(x－y)，∵－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1，∴－1≤－(x＋y)≤，－3≤(x－y)≤， ∴－4≤－(x＋y)＋(x－y)≤2，即－4≤x－2y≤2. 【例3-3】某班主任组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为(　　) A．20 B．22 C．26 D．28 【答案】B【解】设教师人数为x，家长人数为y，女学生人数为z，男学生人数为t，x，y，z，t∈N*， 则y≥x＋1，z≥y＋1≥x＋2，t≥z＋1≥y＋2≥x＋3，则x＋y＋z＋t≥4x＋6， 又教师人数的两倍多于男学生人数，∴2x>x＋3，解得x>3， 当x＝4时，x＋y＋z＋t≥22，此时微信群人数的最小值为22. 思维升华　利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质． (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围． 1.(多选)已知1≤a≤2,3≤b≤5，则(　　) A．a＋b的取值范围为[4,7] B．b－a的取值范围为[2,3] C．ab的取值范围为[3,10] D.的取值范围为 【答案】AC【解】因为1≤a≤2,3≤b≤5，所以4≤a＋b≤7，－2≤－a≤－1,1≤b－a≤4， 所以a＋b的取值范围为[4,7]，b－a的取值范围为[1,4]，故A正确，B错误； 因为1≤a≤2,3≤b≤5，所以3≤ab≤10，≤≤，≤≤， 所以ab的取值范围为[3,10]，的取值范围为，故C正确，D错误． 2.已知－2<x－y<0,1<2x＋y<3，则8x＋y的取值范围为__________． 【答案】(－1,9)【解】设8x＋y＝m(x－y)＋n(2x＋y)，则解得 ∴8x＋y＝2(x－y)＋3(2x＋y)．又－4<2(x－y)<0,3<3(2x＋y)<9，∴8x＋y∈(－1,9)． 3.（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D【分析】由不等式的性质可判断A,B,C，利用基本不等式即可判断D. 【解】对于A，由，可得，故A错误； 对于B，由，，，可得，故B错误； 对于C，若，且当时，可得为任意值，故C错误； 对于D，因为，当且仅当时，等号成立， 即，故D正确；故选：D. 一、单项选择题 1．（四川·高考真题）若则一定有 A． B． C． D． 【答案】D【解】已知,所以，所以，故．故选 2．（广东·高考真题）设，若，则下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D【解】利用赋值法:令排除A,B,C,选D. 3．（上海·高考真题）已知为非零实数，且，则下列命题成立的是 A． B． C． D． 【答案】C【解】若a<b<0,则a2>b2，A不成立；若B不成立；若a=1，b=2， 则,所以D不成立 ,故选C. 4．（北京·高考真题）已知，，，均为实数，有下列命题： （1）若，，则；（2）若，，则； （3）若，，则，其中正确命题的个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D【分析】本题就是，，三个结论之间轮换，知二推一，用不等关系即可． 【解】对于（1），;将不等式两边同时除以;;所以（1）正确 对于（2），;将不等式两边同时乘以;  所以（2）正确 对于（3）;;又;;所以（3）正确；故选：． 【点睛】本题考查不等式与不等关系的灵活运用，以及不等式的性质，属于基础题． 5．（北京·高考真题）设，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A【解】A. 利用不等式的加法性质判断；B；C；D；利用特殊值法判断； 【解】A. 因为，由不等式的加法性质有，故正确； B. 当时，，故错误； C. 当时，，故错误； D. 当时，，故错误；故选：A 【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题. 6．（全国·高考真题）若，，则 A． B． C． D． 【答案】C【解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误， ，选项D错误， 因为 选项C正确，故选C． 【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较. 7．（浙江·高考真题）设，是实数，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D【解】本题采用特殊值法：当时，，但，故是不充分条件；当时，，但，故是不必要条件.所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D. 8．（重庆·高考真题）若，且，则的最小值是. A． B．3 C．2 D． 【答案】A【分析】，将代入，即可求解. 【解】因为，所以． 而，且 所以，当且仅当时等号成立. 【点睛】本题主要考查了转化的思想及等式的变形，属于中档题. 二、多项选择题 9．（上海·高考真题）如果，那么下列不等式不正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】BCD【分析】根据不等式的基本性质，结合特殊值法，逐项判定，即可求解. 【解】对于A中，由，可得，所以，所以A正确； 对于B中，例如：若，此时，所以B不正确； 对于C中，例如：若，此时，所以C不正确； 对于D中，例如：若，此时，所以D不正确；故选：BCD. 三、填空题 10．（辽宁·高考真题）已知且，则 的取值范围是 （答案用区间表示） 【答案】（3,8）【分析】根据不等式的性质，求得待求量的范围. 【解】设，则，解得 ，即， 又且，且， ；故答案为：（3,8） 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$