10.3 分式的加减 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

10.3 分式的加减 一、同分母分式的加减法 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。具体步骤为： 1.分母不变，把分子相加减。如果分式的分子是多项式，一定要加上括号；如果分子是单项式，可以不加括号。 2.分子相加减时，应先去括号，再合并同类项。 3.最后的结果，应化为最简分式或者整式。 二、异分母分式的加减法 异分母的分式相加减，先通分，再按照同分母分式进行相加减。具体步骤为： 1.分式的分母是多项式的，能分解因式的要先分解因式。 2.找出各分母的最简公因式。 3.通分，将异分母分式化为同分母分式。 4.利用同分母分式的加减法法则进行计算。 5.将计算结果化为最简分式或整式。 注意： 1.当分子是多项式时，对分子进行加减运算时，要先带括号，后去括号进行运算。 2.加减运算后，对运算的结果要化简，最后的结果应是最简分式或整式。 3.通分时，若要改变某个因式的符号，可利用分式的符号变化规律进行变换。 巩固课内例1:同分母分式加减 1．计算的结果等于（   ） A． B．a C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了同分母分式的加减，熟练掌握同分母分式的加减法则是解题的关键．根据同分母分式加减法则计算即可得解． 【详解】解： , 故选：C； 2．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加法，根据同分母分式相加时分母不变，分子相加计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算：； 【答案】2 【分析】本题考查了分式的加法法则，根据分式的加法法则相加，再约分即可； 【详解】解： ； 巩固课内例2:异分母分式加减 1．计算：的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查分式化简求值，先通分，再由同分母的分式减法运算计算即可得到答案，熟记分式减法运算是解决问题的关键． 【详解】解：， 故选：A． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的减法运算，先通分，再分母不变，把分子相减即可． 【详解】解：， 故答案为： 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的加法运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 根据异分母分式加减法法则进行运算即可． 【详解】解： ． 巩固课内例3:分式加减(因式分解) 1．分式化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的通分和约分，注意分母变为的符号变化． 先把分子分母因式分解后约分，再把约分的结果与通分合并即可． 【详解】解：原式 故选：D． 2．计算 的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了异分母分式的相加减，熟练运用通分、约分法则是解本题的关键． 将原式通分，相加后再约分即可得出结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解题的关键．先通分，再根据同分母的分式相加减的法则计算即可． 【详解】解：原式= = = = 类型一、同分母分式加减法 1．计算的结果是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了同分母分式加减法．根据同分母分式加减法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 2．化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加法，熟练掌握分式的加法运算法则是解题的关键．根据分式的加法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用分式的加减法则计算即可． 【详解】解： ． 类型二、异分母分式加减法 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减运算，解题的关键在于熟练掌握分式的加减运算法则．将异分母分式化为同分母分式进行计算，即可解题． 【详解】解： ； 故选：A． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法，掌握异分母分式的减法法则是解答本题的关键． 根据异分母分式的减法法则计算化简即可解答． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （ 1）根据异分母分式的加减，先通分，再加减，可得答案； （ 2）根据互为相反数的偶次幂相等，可得同分母分式的加减，根据分子相加减，可得答案； （ 3）根据异分母分式的加减，先通分，再加减，可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 类型三、整式与分式相加减 1．计算的结果等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的加减运算，根据分式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故选：D． 2．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法，先通分，再相减即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的化简，分式的化简，掌握完全平方公式，平方差公式，去括号法则，分式的计算方法是解题的关键； （1）根据完全平方公式，平方差公式，去括号法则计算即可； （2）先通分，再算减法即可； 【详解】（1）解： ； （2） ； 类型一、分式加减混合运算 1．如图是数学老师给小雨留的习题，正确结果为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意找出的最简公分母为，然后通分转化为同分母相加，最后代入求值即可． 【详解】解：原式， ∵， ∴原式， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的加减运算，属于基础题，关键是找准最简公分母，然后进行通分转化为同分母计算即可． 2．计算： ． 【答案】 【分析】根据分式的运算求解即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的有关运算法则． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算、完全平方公式和单项式乘多项式，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法． （1）根据完全平方公式和单项式乘多项式可以解答本题； （2）根据分式的减法和除法可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型二、分式加减的实际应用 1．绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水吨数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的减法，正确进行分式的减法运算是关键．首先表示出原来与现在每天的用水量，然后求差即可． 【详解】解：原来每天用水量：吨， 改用喷灌方式后的每天用水量：吨， 则现在比原来每天节约用水：吨． 故选：A． 2．一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少 小时． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的实际应用，根据题意求出全程，及提速后行驶的速度，相除即可得到提速后行驶的时间，原来行驶时间减去提速后行驶的时间，即得比原来减少的时间． 【详解】解：A地到B地的路程：（千米）， 提速后的速度：（千米/小时）， 提速后的时间：（小时）， ∴提速后从A地到B地比原来减少的时间：（小时）， 故答案为：． 3．某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为米的正方形主房进行改造． 户型一是在主房两侧均加长米．阴影部分作为入户花园，如图所示． 户型二是在主房一边减少米后，另一边再增加米，阴影部分作为入户花园，如图所示． 解答下列问题： (1)设户型一与户型二的主房面积差为，入户花园的面积差为，试比较和的大小，并说明理由； (2)若户型一的总价为万元，户型二的总价为万元，试判断哪种户型（包括入户花园）的单价较低，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)户型二的单价较低，理由见解析 【分析】（）根据图形分别表示出户型一的主房面积和户型二的主房面积，进而求出，再分别求出户型一的入户花园的面积和户型二的入户花园的面积，求出，最后利用作差法比较即可； （）分别求出户型一和户型二的单价，再利用作差法比较即可； 本题考查了列代数式，整式的加减和分式加减的应用，掌握整式和分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意得，户型一的主房面积为平方米，户型二的主房面积为平方米， ∴平方米， 户型一的入户花园的面积为平方米， 户型二的入户花园的面积为平方米， ∴平方米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：户型二的单价较低，理由如下： 户型一的单价为：万元平方米， 户型二的单价为：万元平方米， ∵ ， ∵， ∴，，， ∴， 即， ∴户型二的单价较低． 类型一、分式恒等式 1．如果分式，那么A，B的值是(　　) A．A＝－2，B＝5 B．A＝2，B＝－3 C．A＝5，B＝－2 D．A＝－3，B＝2 【答案】A 【详解】因为=，所以，解得，故选A. 2．已知＝，且A、B为常数，则A+3B＝ ． 【答案】0 【分析】先通分，再根据分式的加减进行计算，根据已知得出二元一次方程组，求出方程组的解，再代入求值即可． 【详解】解： ＝ ＝ ＝， ∵＝，且A、B为常数， ∴， ∴， 解得：， ∴A+3B＝3+3×(-1)=0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了分式的加减和解二元一次方程组，能得出关于A、B的方程组是解此题的关键． 3．已知，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查异分母分式的加减法，根据异分母的分式的加减法则，进行计算即可． 【详解】解：， 由题意可知：， 解得：，． 类型二、分式加减中的规律 1．观察下列等式： 第1个等式：；         第2个等式：； 第3个等式：； ……， 按这样的规律，第n个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给的等式，分析数字变化的规律，再进行总结即可． 【详解】解：∵第1个等式：；         第2个等式：； 第3个等式：； ……， 可以看出：等式的左边是两个连续整数的倒数和与它们积的倒数的差，等式右边分母与左边较大整数相同，分子是2， 按这样的规律，第n个等式为： 故选：B． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式分析清楚存在的规律． 2．观察下列各等式：，，，…，根据你发现的规律计算： （n为正整数）． 【答案】 【分析】先根据已知等式归纳类推出，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意，归纳类推得：， 则 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，正确归纳类推出是解题关键． 3．观察下列式子，并探索它们的规律： ①，②，③…… (1)请写出第④个等式：__________； (2)试写出第n个等式表示这个规律，并加以证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了分式类规律题，分式的加减运算，明确题意，准确得到规律是解题的关键． （1）观察给出的3个等式，找出分数的分子、分母的变化规律，即可求解； （2）用含n的等式表示（1）中发现的规律，写出第n个等式，再根据异分母的分式加法法则计算化简即可证明． 【详解】（1）解：由题意得：第④个等式为， 故答案为：； （2）解：由题意得，第n个等式为：， 证明： ． 类型三、分式加减中的新定义 1．定义一种新运算．规则是x*y，根据此规则化简（m+1）*（m﹣1）的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据规则是x*y，可得到，解出即可． 【详解】解：根据题意得： ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了异分母分式相减，解题的关键是把新运算转化为异分母分式相减． 2．定义新运算：，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义下的运算，异分母的加法，解题的关键是正确理解题目所给新运算的运算顺序和运算法则．根据题目所给的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 则． 故答案为：． 3．定义：任意两个数a，b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a、b的“传承数”． (1)若，求a，b的“传承数”c； (2)若，且，求a，b的“传承数”c； (3)若，且a，b的“传承数”c的值为一个整数，则整数n的值是多少？ 【答案】(1) (2)1或 (3)2或0或4或 【分析】本题考查新定义，分式的求值，分式的加减运算： （1）根据已知条件中的新定义，把a，b的值代入，进行计算即可； （2）先根据，利用完全平方公式，求出的值，然后根据求出c即可； （3）根据已知条件中的新定义，把a，b的值代入，求出c，从而求出答案即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴a，b的“传承数”c的值为； （2）∵， ， ， ， ∵c是a，b的“传承数”， ∴ ， 当时，； 当时，； ∴a，b的“传承数“c为1或； （3）∵c是a，b的“传承数”， ∴ ， ∵c，n都为整数， ∴或， 解得：或0或4或． 1．若（其中），则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式化简求值，将变形为是解题的关键． 由可得，然后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 2．一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为，像距为，凸透镜的焦距为，且满足，则用表示的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的加减法，考查了跨学科知识点，理解题意，先计算，再利用倒数求．先将分式通分，求出 的值，然后根据倒数的概念求出的值 【详解】， ， 故选：C 3．实数a、b、m、n满足，若，，则M与N的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定的 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的加减计算，先求出，，再利用作差法求出，再根据题意得到，则，即． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 4．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的知识，解题的关键是掌握分式的性质，分式的加减，根据题意，则，把代入，即可． 【详解】解：∵， 把代入， ∴． 故答案为：． 5．化简 ． 【答案】1 【分析】此题考查了同分母分数的加法运算，根据同分母分数的加法运算法则求解即可． 【详解】 ． 故答案为：1． 6．已知，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了分式减法运算，等式右边进行通分运算后得，即可求解；掌握分式减法运算是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， 解得：， 故答案：，． 7．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法，解题的关键是掌握分式的减法法则．先将原式进行通分，再根据同分母分式的减法运算法则计算即可． 【详解】解： 8．若等式成立，求A，B，C的值． 【答案】，， 【分析】此题考查了异分母分式的加法运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 将通分化简，然后比较对应得到，进而求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 解得：，，． 9．阅读材料： 小明在做分式运算时发现如下几个等式， ；① ；② ；③ …… 小明经过思考写出了第①个等式的证明过程： ； 解答下列问题： (1)第⑤个等式是___________________； (2)第个等式是___________________； (3)请你证明第个等式成立． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查分式的运算，解题的关键是根据已知等式总结归纳出第n个等式． （1）根据已知等式进行类比，即可得出答案； （2）根据已知等式进行总结归纳，即可得出答案； （3）将变形为，变形为，再根据分式的运算法则进行计算，即可证明． 【详解】（1）解：∵；① ；② ；③ ； ∴第⑤个等式是， 故答案为：； （2）解：∵；① ；② ；③ ； ；⑤ …… ∴第n个等式是， 故答案为：； （3）证明： ． ∴． 即第n个等式成立． 10．我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学阶段，我们把分子小于分母的数称为真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式．反之，称为假分式．对于任意一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如： (1)在分式①，②，③，④中，属于真分式的是 （填序号）． (2)将假分式化成整式与真分式的和的形式． (3)若假分式的值是整数，则整数x的值为 ． 【答案】(1)①④ (2) (3)0或 【分析】本题主要考查了分式的定义、分式的加减运算等知识点，灵活运用分式的加减运算法则成为解题的关键． （1）根据真分式的定义逐一判断即可； （2）先对原式变形，然后逆用分式加法并约分即可解答； （3）由（2）的信息可得：是整数，可得或，然后再解方程即可． 【详解】（1）解：∵分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式， ∴①是真分式，②是假分数，③是假分数，④是真分式． 故答案为：①④． （2）解：． （3）解：∵假分式的值是整数， ∴，即是整数． ∴或，解得：或或0或， ∵x的值为整数， ∴x的值为0或． 故答案为：0或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.3 分式的加减 一、同分母分式的加减法 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。具体步骤为： 1.分母不变，把分子相加减。如果分式的分子是多项式，一定要加上括号；如果分子是单项式，可以不加括号。 2.分子相加减时，应先去括号，再合并同类项。 3.最后的结果，应化为最简分式或者整式。 二、异分母分式的加减法 异分母的分式相加减，先通分，再按照同分母分式进行相加减。具体步骤为： 1.分式的分母是多项式的，能分解因式的要先分解因式。 2.找出各分母的最简公因式。 3.通分，将异分母分式化为同分母分式。 4.利用同分母分式的加减法法则进行计算。 5.将计算结果化为最简分式或整式。 注意： 1.当分子是多项式时，对分子进行加减运算时，要先带括号，后去括号进行运算。 2.加减运算后，对运算的结果要化简，最后的结果应是最简分式或整式。 3.通分时，若要改变某个因式的符号，可利用分式的符号变化规律进行变换。 巩固课内例1:同分母分式加减 1．计算的结果等于（   ） A． B．a C．1 D． 2．计算的结果为 ． 3．计算：； 巩固课内例2:异分母分式加减 1．计算：的值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 2．计算： ． 3．计算：． 巩固课内例3:分式加减(因式分解) 1．分式化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算 的结果是 ． 3．计算：． 类型一、同分母分式加减法 1．计算的结果是（   ） A． B． C．2 D．4 2．化简： ． 3．计算：． 类型二、异分母分式加减法 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 类型三、整式与分式相加减 1．计算的结果等于（   ） A．1 B． C． D． 2．计算 ． 3．计算： (1)； (2)． 类型一、分式加减混合运算 1．如图是数学老师给小雨留的习题，正确结果为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)． 类型二、分式加减的实际应用 1．绿化队原来用漫灌方式浇绿地，天用水吨，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水吨数是（    ） A． B． C． D． 2．一辆汽车以v千米每小时的速度行驶，从A地到B地需要t小时．若该汽车的行驶速度在原来的基础上增加m千米每小时，那么提速后从A地到B地需要的时间比原来减少 小时． 3．某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为米的正方形主房进行改造． 户型一是在主房两侧均加长米．阴影部分作为入户花园，如图所示． 户型二是在主房一边减少米后，另一边再增加米，阴影部分作为入户花园，如图所示． 解答下列问题： (1)设户型一与户型二的主房面积差为，入户花园的面积差为，试比较和的大小，并说明理由； (2)若户型一的总价为万元，户型二的总价为万元，试判断哪种户型（包括入户花园）的单价较低，并说明理由． 类型一、分式恒等式 1．如果分式，那么A，B的值是(　　) A．A＝－2，B＝5 B．A＝2，B＝－3 C．A＝5，B＝－2 D．A＝－3，B＝2 2．已知＝，且A、B为常数，则A+3B＝ ． 3．已知，求的值． 类型二、分式加减中的规律 1．观察下列等式： 第1个等式：；         第2个等式：； 第3个等式：； ……， 按这样的规律，第n个等式为（    ） A． B． C． D． 2．观察下列各等式：，，，…，根据你发现的规律计算： （n为正整数）． 3．观察下列式子，并探索它们的规律： ①，②，③…… (1)请写出第④个等式：__________； (2)试写出第n个等式表示这个规律，并加以证明． 类型三、分式加减中的新定义 1．定义一种新运算．规则是x*y，根据此规则化简（m+1）*（m﹣1）的结果为（　　） A． B． C． D． 2．定义新运算：，若，则的值是 ． 3．定义：任意两个数a，b，按规则得到一个新数c，称所得的新数c为数a、b的“传承数”． (1)若，求a，b的“传承数”c； (2)若，且，求a，b的“传承数”c； (3)若，且a，b的“传承数”c的值为一个整数，则整数n的值是多少？ 1．若（其中），则的值是（   ） A． B． C． D． 2．一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为，像距为，凸透镜的焦距为，且满足，则用表示的结果为（   ） A． B． C． D． 3．实数a、b、m、n满足，若，，则M与N的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定的 4．若，则 ． 5．化简 ． 6．已知，则 ， ． 7．计算：． 8．若等式成立，求A，B，C的值． 9．阅读材料： 小明在做分式运算时发现如下几个等式， ；① ；② ；③ …… 小明经过思考写出了第①个等式的证明过程： ； 解答下列问题： (1)第⑤个等式是___________________； (2)第个等式是___________________； (3)请你证明第个等式成立． 10．我们知道：分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质．小学阶段，我们把分子小于分母的数称为真分数．类似地，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式．反之，称为假分式．对于任意一个假分式，都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如： (1)在分式①，②，③，④中，属于真分式的是 （填序号）． (2)将假分式化成整式与真分式的和的形式． (3)若假分式的值是整数，则整数x的值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$