10.2 分式的基本性质 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

10.2 分式的基本性质 一、分式的基本性质 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。此外，分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变。 二、分式的约分 1 分式的约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。 2 约分的依据：分式的基本性质。 3 约分的关键：是要找出分式的分子与分母的最大公因式。 4 分式的约分的一般方法：若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式；若分式的分子或分母含有多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去。 5 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式。 注意： 约分不改变分式的值，但可能改变分式中字母的取值范围，因此在确定分式中字母的范围时，不能进行约分。分式的约分，一般要约去分子和分母的所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式。 三、分式的通分 分式的通分是指将几个异分母的分式，化成与原来的分式相等的同分母的分式。 通分的关键是确定几个分式的最简公分母， 步骤： 1 将各个分式的分母分解因式。 2 取各分母系数的最小公倍数。 3 凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。 4 将上述取得的各因式相乘，即可得到最简公分母。 巩固课内例1:等式左右变形 1．下列各式从左到右的变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．=． 3．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ （1）； （2）． 巩固课内例2:分子分母最高此项系数为正 1．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 2．不改变分式的值，使分式的分子分母都不含“”号： ． 3．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数： （1）； （2）. 巩固课内例3:约分 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．约分： ． 3．约分： (1)； (2)． 巩固课内例4:约分(含分解因式) 1．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 2．化简： ． 3．约分： (1)； (2)； (3)． 巩固课内例5:通分 1．将分，，通分．最恰当的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．分式，，－的最简公分母是 ． 3．通分： (1)与； (2)与． 巩固课内例6:通分(含分解因式) 1．对分式通分后，的结果是（    ） A． B． C． D． 2．与通分的结果是 ． 3．计算． (1)约分： ； (2)通分：，． 类型一、分式变形 1．下列变形从左到右一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．当，满足 时，． 3．写出下列等式中所缺的分子或分母： (1)； (2)； (3)． 类型二、最简分式 1．下列分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 2．将分式化为最简分式，所得结果是 ． 3．化简下列分式： (1)； (2)． 类型三、最简公分母 1．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 2．分式，，的最简公分母是 ． 3．通分： (1)，； (2)，． 类型一、约分 1．下列约分正确的是（   ） A． B． C． D． 2．约分： ． 3．约分 (1) (2) (3) (4) 类型二、通分 1．在计算通分时，分母确定为（    ） A． B． C． D． 2．分式、的最简公分母是 ，通分为 ． 3．通分： (1)，，； (2)，． 类型三、分式的基本性质实际应用 1．如图，设表示甲图阴影部分面积，表示乙图阴影部分面积，则取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．小郑在一次拼图游戏中，发现了一个很神奇的现象： （1）他先用图形①②③④拼出矩形，接着拿出图形⑤． （2）通过平移的方法，用①②③④⑤拼出了矩形． 已知，图形④的面积为15，则增加的图形⑤的面积为： ．    3．一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐率变为；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐率变为；第三次加入同样多的水，盐水的含盐率将变为百分之几？ 类型一、分子分母最高此项系数为正 1．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 2．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ①= ；   ②= ； ③= ；④= ． 3．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数． (1)； (2)； (3)． 类型二、分子分母各项系数为整 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数，结果为 ． 3．不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． (1)； (2)． 类型三、真假分式 1．使分式的值为整数，则整数x可取的个数为(     ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．已知x为整数，且分式的值为正整数，则x可取的值有 ． 3．我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：________________； (2)若变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______________． 1．下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如果分式中的、都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大为到原来的3倍 D．扩大到原来的4倍 3．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中，是“和谐分式”的是（   ） A． B． C． D． 4．计算： ． 5．计算： ． 6．某轮船顺水航行一段路程的速度是12千米/时，原路返回时速度是8千米/时，全程的平均速度为 千米/时． 7．通分：与． 8．已知，，求分式的值． 9．已知，求代数式的值． 10．阅读理解： 材料：我们为了研究分式的值与分母的关系，制作如下表格： ....... … … … 无意义 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：；再如：． 请根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； 当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.2 分式的基本性质 一、分式的基本性质 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。此外，分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变。 二、分式的约分 1 分式的约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。 2 约分的依据：分式的基本性质。 3 约分的关键：是要找出分式的分子与分母的最大公因式。 4 分式的约分的一般方法：若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式；若分式的分子或分母含有多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去。 5 最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式。 注意： 约分不改变分式的值，但可能改变分式中字母的取值范围，因此在确定分式中字母的范围时，不能进行约分。分式的约分，一般要约去分子和分母的所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式。 三、分式的通分 分式的通分是指将几个异分母的分式，化成与原来的分式相等的同分母的分式。 通分的关键是确定几个分式的最简公分母， 步骤： 1 将各个分式的分母分解因式。 2 取各分母系数的最小公倍数。 3 凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式。 4 将上述取得的各因式相乘，即可得到最简公分母。 巩固课内例1:等式左右变形 1．下列各式从左到右的变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了判断分式变形是否正确，掌握分式的性质是解题关键． 【详解】解：若，可得；； 故等式只有当时才成立，故A不符合题意； 若，可得或； 故等式只有当或时才成立，故B不符合题意； 当时，分式无意义，故C不符合题意； ∵分式的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变， ∴，故D符合题意； 故选：D 2．=． 【答案】－a2 【分析】由分式的基本性质知，只要把的分子和分母都乘以-a即可. 【详解】∵=． 故答案为－a2. 【点睛】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 3．下列等式的右边是怎样从左边得到的？ （1）； （2）． 【答案】（1）由等式左边的分式的分子分母都乘以y得到等式右边的分式；（2）由等式左边的分式的分子分母都除以x得到等式右边的分式． 【分析】（1）根据分式的性质：分式的分子分母都乘以y，可得答案； （2）根据分式的性质：分式的分子分母都除以x，可得答案． 【详解】解：（1）因为，所以，是由等式左边的分式的分子分母都乘以y得到等式右边的分式； （2）因为，所以是由等式左边的分式的分子分母都除以x得到等式右边的分式． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，利用了分式的基本性质：分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的整式，分式的值不变． 巩固课内例2:分子分母最高此项系数为正 1．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可． 【详解】解：． 故选B． 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号． 2．不改变分式的值，使分式的分子分母都不含“”号： ． 【答案】 【分析】根据分式中的符号法则：分子、分母、分式本身同时改变两处的符号，分式的值不变可得答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式中的符号法则． 3．不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据分式的基本性质变形即可； （2）根据分式的基本性质变形即可； 【详解】解：（1）； （2）. 【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键. 巩固课内例3:约分 1．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的约分，直接把该分式的分母同时约去即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 2．约分： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．根据分式的性质，将分子分母中的相同因式约掉即可得出结论． 【详解】解：， 故答案为：． 3．约分： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）直接利用分式的性质化简得出答案； （2）首先将分母括号中的变为，接下来找出分子分母的公因式，分子分母同时除以公因式，即可完成约分． 【详解】（1）解： ； （2）， ， ． 【点睛】此题主要考查了分式的约分，找到分子分母的公因式是解题关键． 巩固课内例4:约分(含分解因式) 1．下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式的约分和分式的基本性质，根据分式基本性质进行变形，即可得到答案. 【详解】A. ，故选项错误，不合题意； B. ，故选项错误，不合题意； C. ，故选项正确，符合题意； D. ，故选项错误，不合题意； 故选：C 2．化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的约分，原式先把分子因式分解后再约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为： 3．约分： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查分式的基本性质，因式分解，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据分式的基本性质约分求解即可． （2）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质约分求解即可． （3）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质约分求解即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ． 巩固课内例5:通分 1．将分，，通分．最恰当的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】由题意根据通分的方法找分母的最小公倍数即可得出答案． 【详解】解：，，通分，可得4、5、12的最小公倍数为60， 则分母通分为60． 故选：D． 【点睛】本题考查异分母通分的方法，注意掌握异分母通分的方法是将找分母的最小公倍数进行变化． 2．分式，，－的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】先根据最简公分母的定义求解即可． 【详解】解：三个分式的分母分别为：2a，，， ∴最简公分母是， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是最简公分母的确定，掌握最简公分母的定义是解决此题的关键． 3．通分： (1)与； (2)与． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】找到各分式的最简公分母即可完成通分． 【详解】（1）解：，； （2）解：，． 【点睛】本题考查通分．确定最简公分母是解题关键． 巩固课内例6:通分(含分解因式) 1．对分式通分后，的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把a2-b2因式分解，得出的最简公分母，根据分式的基本性质即可得答案． 【详解】∵a2-b2=(a+b)(a-b)， ∴分式的最简公分母是， ∴通分后，=． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的通分，正确得出最简公分母是解题关键． 2．与通分的结果是 ． 【答案】 【分析】找到最简公分母，根据分式的结伴行知进行通分即可； 【详解】，， 最简公分母为， 通分后分别为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的通分，准确计算是解题的关键． 3．计算． (1)约分： ； (2)通分：，． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查了分式的约分和通分，熟知约分和通分的计算法则是解题的关键． （1）分别把分子和分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案； （2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行通分即可． 【详解】（1） ； （2）， ， ， 类型一、分式变形 1．下列变形从左到右一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，熟练掌握此知识点是解此题的关键．根据分式的基本性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变，故此选项变形错误，不符合题意； B、当，分母没有意义，故此选项变形错误，不符合题意； C、分子分母不是乘以的同一个数，分式的值改变，，故此选项变形错误，不符合题意； D、由可得，分子分母都除以，分式的值不变，，故此选项变形正确，符合题意； 故选：D． 2．当，满足 时，． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，即可求解． 【详解】解：当，满足时，． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 3．写出下列等式中所缺的分子或分母： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，即分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都乘以即可； （2）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都乘以即可； （3）根据分式的基本性质，分式的分子与分母都除以即可． 【详解】（1）解：， 等式中所缺的分子是； （2）解：， 等式中所缺的分子是； （3）解：， 等式中所缺的分母是． 类型二、最简分式 1．下列分式中，为最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据定义判断即可． 【详解】解：A．，故不是最简分式； B．，是最简分式； C．，故不是最简分式； D．，故不是最简分式； 故选B． 2．将分式化为最简分式，所得结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是最简分式，掌握分式的约分法则是解题的关键．先把分式的分子、分母因式分解，再约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．化简下列分式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式约分，解题的关键是明确分式约分的方法． （1）根据分式的约分的方法可以化简本题； （2）分式的分子分母能因式分解的先因式分解，然后约分即可解答本题． 【详解】（1）解：； （2）解：． 类型三、最简公分母 1．分式，的最简公分母是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简公分母，理解最简公分母的定义是解题关键．最简公分母：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答即可． 【详解】解：分式，的最简公分母是． 故选：A． 2．分式，，的最简公分母是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．据此求解即可． 【详解】解：，，的分母分别是、、，故最简公分母为． 故答案是：． 3．通分： (1)，； (2)，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了通分，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 类型一、约分 1．下列约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了约分，根据分式的性质逐项分析即可得解，熟练掌握分式的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、，故约分错误，不符合题意； B、，故约分错误，不符合题意； C、，故约分正确，符合题意； D、，故约分错误，不符合题意； 故选：C． 2．约分： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了约分，掌握约分的定义是解题关键．直接将分子与分母约去公因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．约分 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查约分，用到的知识点是分式的基本性质，分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变． （1）根据分式的基本性质求解即可； （2）根据分式的基本性质求解即可； （3）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可． （4）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 类型二、通分 1．在计算通分时，分母确定为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将分母因式分解，进而确定公分母即可． 【详解】， 计算通分时，分母确定为． 故选B 【点睛】本题考查了找最简公分母，先将分母因式分解是解题的关键． 2．分式、的最简公分母是 ，通分为 ． 【答案】 、 【分析】本题考查了最简公分母和通分，先对分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义可得出最简公分母，最后根据所得的最简公分母通分即可，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴分式、的最简公分母是， ∴，， 故答案为：；、． 3．通分： (1)，，； (2)，． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】本题考查了通分，准确熟练地找出最简公分母是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母是， 所以； ； ； （2）解：最简公分母是， 所以； ． 类型三、分式的基本性质实际应用 1．如图，设表示甲图阴影部分面积，表示乙图阴影部分面积，则取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列代数式，分式的化简，不等式的性质，解答的关键是表示出甲乙两图中的阴影部分的面积及熟悉分式的运算． 分别把甲乙两图中的阴影部分的面积表示出来，代入求值，再讨论即可求解． 【详解】解：甲图阴影部分的面积为：， 乙图阴影部分的面积为：， 则 ， ， ∴， ∴， 故选C． 2．小郑在一次拼图游戏中，发现了一个很神奇的现象： （1）他先用图形①②③④拼出矩形，接着拿出图形⑤． （2）通过平移的方法，用①②③④⑤拼出了矩形． 已知，图形④的面积为15，则增加的图形⑤的面积为： ．    【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，整式除法的应用，正确理解题意，理清图1和图2中线段的关系式解题的关键．如图1，先利用平行线分线段成比例定理求出，可设，则，图2所示，，，则，再由图形⑤与图形④同宽，即可求出图形⑤的面积． 【详解】解：如图1所示，由题意得，    ∴， ∴设， ∴， ∴如图2所示，，， ∴， ∵图形⑤与图形④同宽，图形④的面积为15， ∴图形⑤与图形④的宽为：， ∴图形⑤的面积为， 故答案为：． 3．一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐率变为；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐率变为；第三次加入同样多的水，盐水的含盐率将变为百分之几？ 【答案】 【分析】本题考查列代数式，分式的除法等知识，根据题意设出未知数并列式是解题的关键．设第一次加水后盐水的质量为，则盐的质量是，再根据“第二次又加入同样多的水，盐水的含盐率变为”求出每次加水的质量，从而得解． 【详解】设第一次加水后盐水的质量为，则盐的质量是， 第二次加水后的盐的质量不变， ∴第二次加水后盐水的质量为：， ∴每次加水的质量为：， ∴第三次加水后，盐水的含盐率为：， 答：盐水的含盐率将变为． 类型一、分子分母最高此项系数为正 1．下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质以及分式中的符号法则进行判断即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是分式的基本性质和约分，正确的把分子分母进行因式分解是解题的关键． 2．不改变分式的值，使分式的分子、分母中的首项的系数都不含 “－” 号． ①= ；   ②= ； ③= ；④= ． 【答案】 【详解】①= ; ②=; ③= ④=.故答案为  (1).     (2).     (3).     (4). 3．不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）改变分子的符号和整个分式的符号，分式的值不变计算即可； （2）改变分子的符号和整个分式的符号，分式的值不变计算即可； （3）同时改变分子，分母的符号，分式的值不变． 本题考查了分式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）． （2）． （3）． 类型二、分子分母各项系数为整 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整数指数幂的运算可判断A，根据单项式乘以单项式的法则可判断B，把分子分母都乘以10可判断C，根据积的乘方运算的法则可判断D，从而可得答案． 【详解】解：，故A符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是整数指数幂的运算，分式的性质，积的乘方运算，单项式乘以单项式的运算，熟记运算法则是解本题的关键． 2．不改变分式的值，把分式的分子与分母中各项的系数都化为整数，结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，根据分式的性质，分子分母同时乘以一个不为的整式，分式的值不变，只需将分式的分子和分母同时乘即可求解，掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键； （1）根据分式的基本性质变形即可； （2）根据分式的基本性质变形即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 类型三、真假分式 1．使分式的值为整数，则整数x可取的个数为(     ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】把分式化简为，因分式的值是整数，即可转化为讨论的整数值有几个的问题．由此即可解答. 【详解】, 要使分式的值为整数， ∵分子3一定， ∴x-1=±3或±1， ∴整数x可取的取值为4，-2，0，2，共,4个， 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式的值是整数的条件，把原式化简为的形式是解决本题的关键． 2．已知x为整数，且分式的值为正整数，则x可取的值有 ． 【答案】2，3，5 【分析】本题考查分式的化简，先根据分式的性质化简分式，然后根据题意得到x的取值，进而可求解． 【详解】解： ， ∵x为整数，且分式即的值为正整数， ∴x可取的值有2，3，5， 故答案为：2，3，5． 3．我们可以将一些只含有一个字母的分式，转化为整式与新的分式和的形式，其中新的分式的分子中，不含字母，如： 参考上面的方法，解决下列问题： (1)将变形为满足以上结果要求的形式：________________； (2)若变形为满足以上结果要求的形式，若该式的值为整数，求整数的值； (3)将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为______________． 【答案】(1) (2)，或 (3) 【分析】本题主要考查了分式的性质： （1）把原式先变形为，再约分化简即可得到答案； （2）把原式先变形为，进一步变形得到，再约分化简即可；根据题意可得的值为整数，则为整数，即可得到，解方程即可得到答案； （3）利用完全平方公式把原式变形为，进一步变形得到，再约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ∵的值为整数， ∴的值为整数， ∴为整数， ∴， ∴或； （3）解： ， 故答案为：． 1．下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：，则A符合题意； 无法约分，则B不符合题意； ，则C不符合题意； ，则D不符合题意； 故选：． 2．如果分式中的、都扩大到原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大为到原来的3倍 D．扩大到原来的4倍 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数；解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．根据分式的基本性质进行计算即可解答． 【详解】 ∴x、y的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值扩大到原来的3倍． 故选：C 3．如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中，是“和谐分式”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的约分、因式分解、新定义，根据题目中的新定义，对各个选项进行变形，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：A、，故选项A符合题意； B、的分子分母都不能分解因式，故选项B不符合题意； C、，故选项C不符合题意； D、，故选项D不符合题意； 故选：A． 4．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的除法，根据多项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为： 6．某轮船顺水航行一段路程的速度是12千米/时，原路返回时速度是8千米/时，全程的平均速度为 千米/时． 【答案】 【分析】本题考查了平均速度的求解，根据平均速度总路程总时间建立式子求解，即可解题． 【详解】解：记这一段路程为， 则平均速度为（千米/时）， 故答案为：． 7．通分：与． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了通分，掌握分式的基本性质成为解答的关键． 先确定两分式的最简公分母，然后根据分式的基本性质即可解答． 【详解】解：∵与的最简公分母是， ∴ ，． 8．已知，，求分式的值． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式．先化简式子，然后把，代入化简后的式子进行计算即可． 【详解】解：， ． 9．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的约分，分式的求值，先约分得到结果为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 10．阅读理解： 材料：我们为了研究分式的值与分母的关系，制作如下表格： ....... … … … 无意义 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料：对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 例如：；再如：． 请根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； 当时，随着的增大，的值______（填“增大”或“减小”）； (2)当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数． 【答案】(1)减小；减小； (2)当时，随着的增大，的值无限接近． 【分析】（）根据表格得当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小；当时，随着的增大，的值随之减小，从而得到的值随之减小； （）当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零，从而得出的值无限接近； 本题考查了分式的性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当的值随之减小，从而得到的值随之减小； 当时，随着的增大，的值随之减小， ∴当的值随之减小，从而得到的值随之减小； 故答案为：减小；减小； （2）解：∵， ∴当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近于零， ∴的值无限接近； 即当时，随着的增大，的值无限接近． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$