八年级数学下学期第一次月考测试卷【浙教版，测试范围：二次根式～一元二次方程】-【上好课】2024-2025学年初中数学同步精品课堂

2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：二次根式~一元二次方程（浙教版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　） A．x＞3 B．x≥3 C．x≤3 D．x＜3 2．（3分）用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，将方程变为（x﹣m）2的形式，则m的值为（　　） A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣1 3．（3分）下列运算中，正确的是（　　） A．523 B．236 C．33 D．235 4．（3分）在中，最简二次根式的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（3分）x1，x2是一元二次方程（x﹣1）2＝5的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（　　） A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3 C．x1，x2在﹣1和3之间 D．x1，x2都小于3 6．（3分）如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A．k B．k且k≠0 C．k D．k且k≠0 7．（3分）已知m是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a+2＝0的一个实数根，且满足（m2﹣3m+1）（a+1）＝﹣4，则a的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣3或﹣1 D．﹣3或1 8．（3分）已知m、n是两个连续自然数（m＜n），且q＝mn，设p，则p（　　） A．总是奇数 B．总是偶数 C．有时是奇数，有时是偶数 D．有时是有理数，有时是无理数 9．（3分）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC，AC＝b，再在斜边AB上截取BD．则该方程的一个正根是（　　） A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长 10．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则，其中正确的（　　） A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①② 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）化简： 　 　． 12．（3分）已知a是方程x2+2x＝3的一个根，则代数式a2+2a+2025的值为 　 　． 13．（3分）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简得结果是 　 　． 14．（3分）已知，，则的值为　 　． 15．（3分）如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为 　 　cm2． 16．（3分）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：5（x﹣6）2+7＝0与6（x﹣6）2+7＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”，则代数式mx2+nx+2024的最小值是 　 　． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）计算： （1）（2）4； （2）（）2﹣（1）（1）． 18．（8分）解方程： （1）（2x+3）2﹣25＝0； （2）3x2﹣4x+2＝0． 19．（8分）已知，． （1）求x2+3xy+y2的值； （2）求值． 20．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，设顶点在格点上的三角形为格点三角形，按下列要求画图． （1）请你在网格图中画出边长为，，的格点三角形； （2）在（1）的条件下，求三角形最长边上的高． 21．（8分）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长． 22．（10分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱． （1）若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？ （2）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？ （3）能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 23．（10分）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点E从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C的方向向点C运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动．若E、F两点同时出发，其中一点运动到终点另一点也停止运动，设运动时间为t s，连结DE、DF． （1）当t＝1时，四边形DEBF的面积等于 　 　cm2． （2）当t为何值时，线段EF长为？ （3）当t为何值时，△DEF的面积为9cm2？ 24．（12分）阅读材料： 已知a，b为非负实数，∵， ∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知x＞0，求代数式最小值． 解：令a＝x，，则由，得． 当且仅当，即x＝3时，代数式取到最小值，最小值为6． 根据以上材料解答下列问题： 【灵活运用】 （1）已知x＞0，则当x＝　 　时，代数式到最小值，最小值为 　 　． （2）已知x＞0，求代数式的最小值． 【拓展运用】 （3）某校要对操场的一个区域进行改造，利用一面足够长的墙体将该区域用围栏围成中间隔有两道围栏的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为500m2的花圃，所用的围栏至少为多少米？ （4）如图2，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOD和△BOC的面积分别是4和12，求四边形ABCD面积的最小值． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级数学下学期第一次月考卷 基础知识达标测 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题。 2．测试范围：二次根式~一元二次方程（浙教版）。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　） A．x＞3 B．x≥3 C．x≤3 D．x＜3 【分析】根据二次根式及分式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【解答】解：由题意得，3﹣x＜0， 解得x＞3． 故选：A． 2．（3分）用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，将方程变为（x﹣m）2的形式，则m的值为（　　） A．9 B．﹣9 C．1 D．﹣1 【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可求出m的值． 【解答】解：方程3x2﹣6x+2＝0， 变形得：x2﹣2x， 配方得：x2﹣2x+1，即（x﹣1）2， 则m＝1． 故选：C． 3．（3分）下列运算中，正确的是（　　） A．523 B．236 C．33 D．235 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案． 【解答】解：A、523，故此选项错误； B、2312，故此选项错误； C、33，正确； D、23，无法计算，故此选项错误； 故选：C． 4．（3分）在中，最简二次根式的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：3，3，，，都不是最简二次根式， 是最简二次根式， 故选：A． 5．（3分）x1，x2是一元二次方程（x﹣1）2＝5的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（　　） A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3 C．x1，x2在﹣1和3之间 D．x1，x2都小于3 【分析】利用直接开平方法解方程得出两根进而估计无理数的大小得出答案． 【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程（x﹣1）2＝5的两个解，且x1＜x2， ∴（x﹣1）2＝5， ∴x﹣1＝±， ∴x2＝13，x1＝11， 故选：A． 6．（3分）如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A．k B．k且k≠0 C．k D．k且k≠0 【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围． 【解答】解：由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根， 所以Δ＞0，Δ＝b2﹣4ac＝（2k+1）2﹣4k2＝4k+1＞0． 又∵方程是一元二次方程，∴k≠0， ∴k且k≠0． 故选：B． 7．（3分）已知m是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a+2＝0的一个实数根，且满足（m2﹣3m+1）（a+1）＝﹣4，则a的值为（　　） A．﹣3 B．1 C．﹣3或﹣1 D．﹣3或1 【分析】根据方程解的定义判断出m2﹣3m+1＝﹣a﹣1，构建关于a的方程求解即可． 【解答】解：∵m是关于x的一元二次方程x2﹣3x+a+2＝0的一个实数根， ∴m2﹣3m+a+2＝0， ∴m2﹣3m+1＝﹣a﹣1， ∵（m2﹣3m+1）（a+1）＝﹣4， ∴（a+1）2＝4， ∴a＝1或﹣3， 当a＝1时，方程无解舍去． ∴a＝﹣3． 故选：A． 8．（3分）已知m、n是两个连续自然数（m＜n），且q＝mn，设p，则p（　　） A．总是奇数 B．总是偶数 C．有时是奇数，有时是偶数 D．有时是有理数，有时是无理数 【分析】首先根据题意推出n＝m+1，即可求出q关于m的表达式，然后把q＝m2+m，n＝m+1，代入到p的表达式，推出p，通过m为自然数，即可求出m≥0和m+1＞0，最后根据根式的性质对根式进一步化简，即可推出p＝2m+1，由此可知p总是奇数． 【解答】证明：∵m，n是两个连续自然数，且m＜n， ∴n＝m+1，q＝mn＝m（m+1）＝m2+m， ∴p， ∵m是自然数， ∴m≥0，m+1＞0， ∴pm+1+m＝2m+1， ∴p总是奇数， 故选：A． 9．（3分）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC，AC＝b，再在斜边AB上截取BD．则该方程的一个正根是（　　） A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长 【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可． 【解答】解：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC，AC＝b，再在斜边AB上截取BD， 设AD＝x，根据勾股定理得：（x）2＝b2+（）2， 整理得：x2+ax﹣b2＝0（a≠0，b≠0）， ∵Δ＝a2+4b2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，且两根之积为﹣b2＜0，即方程的根一正一负， 则该方程的一个正根是AD的长， 故选：B． 10．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法： ①若a+b+c＝0，则b2﹣4ac≥0； ②若方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c＝0必有两个不相等的实根； ③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立； ④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则，其中正确的（　　） A．只有①②④ B．只有①②③ C．①②③④ D．只有①② 【分析】①由a+b+c＝0，可得出x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解，进而可得出Δ＝b2﹣4ac≥0； ②由方程ax2+c＝0有两个不相等的实根，可得出Δ＝﹣4ac＞0，结合偶次方的非负性，可得出Δ＝b2﹣4ac≥﹣4ac＞0，进而可得出方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根； ③代入x＝c，可得出ac2+bc+c＝0，当c＝0时，无法得出ac+b+1＝0； ④利用求根公式，可得出x0，变形后即可得出． 【解答】解：①∵a+b+c＝0， ∴x＝1是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解， ∴Δ＝b2﹣4ac≥0，结论①正确； ②∵方程ax2+c＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝﹣4ac＞0， ∴Δ＝b2﹣4ac≥﹣4ac＞0， ∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实根，结论②正确； ③∵c是方程ax2+bx+c＝0的一个根， ∴ac2+bc+c＝0， 若c为0，则无法得出ac+b+1＝0，结论③不正确； ④∵x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根， ∴x0， ∴±2ax0+b， ∴，结论④正确． ∴正确的结论有①②④． 故选：A． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）化简： 　　． 【分析】利用二次根式的性质进行化简即可， 【解答】解：根据二次根式的性质进行化简可得： ． 故答案为：． 12．（3分）已知a是方程x2+2x＝3的一个根，则代数式a2+2a+2025的值为 　2028　． 【分析】将x＝a代入方程，再结合整体思想即可解决问题． 【解答】解：因为a是方程x2+2x＝3的一个根， 所以a2+2a＝3， 则a2+2a+2025＝3+2025＝2028． 故答案为：2028． 13．（3分）已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简得结果是 　3a﹣b　． 【分析】根据数轴上点的位置确定出各自的正负，利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【解答】解：根据数轴上点的位置得：c＜a＜0＜b， ∴a+c＜0，c﹣a＜0， 则原式＝﹣|a|﹣|a+c|+|c﹣a|﹣b ＝a+a+c+a﹣c﹣b ＝3a﹣b． 故答案为：3a﹣b． 14．（3分）已知，，则的值为　3　． 【分析】根据分母有理化把a、b化简，分别求出a+b、ab，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可． 【解答】解：a3， b3， ∴a+b33＝2，ab＝（3）（3）＝1， ∴3， 故答案为：3． 15．（3分）如图①是一张等腰直角三角形纸片，，现要求按照图②的方法裁剪几条宽度都为的长方形纸条，用这些纸条为一幅正方形美术作品EFGH镶边（纸条不重叠）如图③，正方形美术作品的面积为 　　cm2． 【分析】理解题意，确定能裁剪的长方形的条数，再确定镶边时长方形的长，由此可求出正方形作品的边长，由此即可求解． 【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，， ∴，∠A＝∠B＝45°， 根据图②的裁剪长方形，如图所示， ∵，， ∴， ∴，， ∴能裁出3条， 根据题意，，，依次类推，第三条长方形的长为， ∴总长度为：，且宽为， ∴按图③镶边，如图所示， ∴， ∴， ∴正方形美术作品的面积为：， 故答案为：． 16．（3分）新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：5（x﹣6）2+7＝0与6（x﹣6）2+7＝0是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”，则代数式mx2+nx+2024的最小值是 　2019　． 【分析】利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可． 【解答】解：∵（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝0与2（x﹣1）2+1＝0是“同族二次方程”， ∴（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝（m+2）（x﹣1）2+1， ∴（m+2）x2+（n﹣4）x+8＝（m+2）x2﹣2（m+2）x+m+3， ∴， 解得， ∴mx2+nx+2024 ＝5x2﹣10x+2024 ＝5（x﹣1）2+2019， 则代数式mx2+nx+2024能取的最小值是2019． 故答案为：2019． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（8分）计算： （1）（2）4； （2）（）2﹣（1）（1）． 【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【解答】解：（1）原式22 ＝318﹣2 18； （2）原式＝3﹣22﹣（6﹣1） ＝3﹣22﹣5 ＝﹣2． 18．（8分）解方程： （1）（2x+3）2﹣25＝0； （2）3x2﹣4x+2＝0． 【分析】（1）先把方程变形得到（2x+3）2＝25，再把方程两边开方得到2x+3＝±5，然后解两个一次方程即可； （2）先计算出根的判别式的值得到Δ＜0，然后根据根的判别式的意义可判断方程没有实数解． 【解答】解：（1）（2x+3）2﹣25＝0， （2x+3）2＝25， 2x+3＝±5， 所以x1＝1，x2＝﹣4； （2）3x2﹣4x+2＝0， ∵a＝3，b＝﹣4，c＝2， ∴Δ＝（﹣4）2﹣4×3×2＝﹣8＜0， ∴方程没有实数解． 19．（8分）已知，． （1）求x2+3xy+y2的值； （2）求值． 【分析】（1）先将x、y进行分母有理化，再代入式子计算即可求解； （2）由（1）得，，再利用二次根式的性质进行化简即可求解； 【解答】解：（1）∵，， ∴x2+3xy+y2 ＝（x+y）2+xy ＝40+1 ＝41． （2）由（1）得：，， ∴x﹣2＞0，y+1＞0， ∴ ＝﹣6． 20．（8分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，设顶点在格点上的三角形为格点三角形，按下列要求画图． （1）请你在网格图中画出边长为，，的格点三角形； （2）在（1）的条件下，求三角形最长边上的高． 【分析】（1）根据勾股定理画出，，的格点三角形； （2）根据勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，进而根据等面积法，即可求解． 【解答】解：（1）如图所示，，，， （2）∵， 即AB2+AC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，且斜边为AB， ∴AB边上的高为． 21．（8分）已知关于x的方程x2﹣（3k+1）x+2k2+2k＝0． （1）求证：无论k取何值，方程总有实数根； （2）若等腰三角形 的底边长3，另两边长 恰好是这个方程的两根，求此三角形的周长． 【分析】（1）通过计算Δ＝b2﹣4ac＝（k﹣1）2，由偶次方的非负性可证明结论； （2）由等腰三角形的性质可得该方程由两个相等的实数根，结合根的判别式可求解k值，再将k值代入方程，得到x2﹣4x+4＝0，解方程求出两腰的长为2，又已知底边是3，则根据三角形的周长公式即可求解． 【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0， ∴无论k取何值，方程总有实数根； （2）解：∵等腰三角形的底边长3， ∴另两边长即为等腰三角形的腰长， ∵另两边长恰好是这个方程的两根， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3k+1）]2﹣4•（2k2+2k）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2＝0， 解得k＝1， 将k＝1代入方程，得x2﹣4x+4＝0， 解得：x1＝x2＝2． 此时△ABC三边为3，2，2； 所以周长为3+2+2＝7． 22．（10分）某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价1元，平均每天可多售出20箱． （1）若每箱降价3元，每天销售该饮料可获利多少元？ （2）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？ （3）能否使每天销售该饮料获利达到1500元？若能，请求出每箱应降价多少元；若不能，请说明理由． 【分析】（1）根据每箱饮料每降价1元，每天可多售出20箱写出答案即可； （2）、（3）利用的数量关系是：销售每箱饮料的利润×销售总箱数＝销售总利润，由此列方程解答即可． 【解答】解：设每箱饮料降价x元，商场日销售量（100+20x）箱，每箱饮料盈利（12﹣x）元； （1）依题意得：（12﹣3）（100+20×3）＝1440（元） 答：每箱降价3元，每天销售该饮料可获利1440元； （2）要使每天销售饮料获利1400元，依据题意列方程得， （12﹣x）（100+20x）＝1400， 整理得x2﹣7x+10＝0， 解得x1＝2，x2＝5； ∵为了多销售，增加利润， ∴x＝5， 答：每箱应降价5元，可使每天销售饮料获利1400元． （3）不能，理由如下： 要使每天销售饮料获利1500元，依据题意列方程得， （12﹣x）（100+20x）＝1500， 整理得x2﹣7x+15＝0， 因为Δ＝49﹣60＝﹣11＜0， 所以该方程无实数根，即不能使每天销售该饮料获利达到1500元． 23．（10分）如图，在长方形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点E从点A出发，以2cm/s的速度沿A→B→C的方向向点C运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度向点B运动．若E、F两点同时出发，其中一点运动到终点另一点也停止运动，设运动时间为t s，连结DE、DF． （1）当t＝1时，四边形DEBF的面积等于 　37　cm2． （2）当t为何值时，线段EF长为？ （3）当t为何值时，△DEF的面积为9cm2？ 【分析】（1）根据S四边形DEBF＝S长方形ABCD﹣S△ADE﹣S△DCF求解即可； （2）求出BE＝（6﹣2t）cm，BF＝（8﹣t）cm，根据勾股定理求解即可； （3）根据点E在点F左侧和右侧两种情况，根据三角形面积公式列出方程求解即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝8cm，CD＝AB＝6cm， 当t＝1时，AE＝2×1＝2（cm），CF＝1×1＝1（cm）， ∴S四边形DEBF＝S长方形ABCD﹣S△ADE﹣S△DCF ＝AB•ADAD•AECD•CF ＝48﹣8﹣3 ＝37（cm2）， 故答案为：37； （2）∵运动时间为t s，且0＜t＜7， ∴AE＝2t cm，CF＝t cm， ∴BE＝AB﹣AE＝（6﹣2t）cm，BF＝BC﹣CF＝（8﹣t）cm， 在Rt△EBF中，EB2+BF2＝EF2， ∴， 整理得，t2﹣8t+7＝0， 解得，t1＝1，t2＝7（不合题意，舍去） 所以，t＝1； （3）当点E在点F在左侧时，如图1， 此时，EF＝（﹣3t+14）cm， ∵S△DEF＝9cm2， ∴EF•CD＝9，即（﹣3t+14）×6＝9， 解得，； 当点E在点F在右侧时，如图2， 此时，EF＝（3t﹣14）cm， ∵S△DEF＝9cm2， ∴EF•CD＝9，即， 解得，； 综上，当或时，△DEF的面积为9cm2． 24．（12分）阅读材料： 已知a，b为非负实数，∵， ∴，当且仅当“a＝b”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知x＞0，求代数式最小值． 解：令a＝x，，则由，得． 当且仅当，即x＝3时，代数式取到最小值，最小值为6． 根据以上材料解答下列问题： 【灵活运用】 （1）已知x＞0，则当x＝　　时，代数式到最小值，最小值为 　　． （2）已知x＞0，求代数式的最小值． 【拓展运用】 （3）某校要对操场的一个区域进行改造，利用一面足够长的墙体将该区域用围栏围成中间隔有两道围栏的矩形花圃，如图1所示，为了围成面积为500m2的花圃，所用的围栏至少为多少米？ （4）如图2，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOD和△BOC的面积分别是4和12，求四边形ABCD面积的最小值． 【分析】（1）参考例题得求解过程即可； （2）根据，求出得最小值即可求解； （3）设花圃的宽为x米，则长为米，所用的围栏，据此即可求解；（4）作AE⊥BD，CF⊥BD，可得；根据四边形ABCD面积即可求解； 【解答】解：（1）令a＝x，，则由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， 故答案为：，； （2）， 令a＝2x，，则由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， ∴代数式的最小值为； （3）设花圃的宽为x米，则长为米， 所用的围栏， 令a＝4x，，则由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， 故：所用的围栏至少为米； （4）作AE⊥BD，CF⊥BD，如图所示： 由题意得：， ∵， ∴四边形ABCD面积， 令，， 则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为． ∴四边形ABCD面积的最小值为． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$