精品解析：河北省职教高考研究联合体2023-2024学年高三上学期第二次联合考试数学试题

2023—2024学年河北省职教高考研究联合体第二次联合考试 数学试题 2023-12 说明： 一、本试卷共4页，包括三道大题37个小题，共120分．考试时间120分钟．其中第一道大题(15个小题)为选择题． 二、答题前请仔细阅读答题纸上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．在答题纸上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题纸非题号对应的答题区域的答案一律无效．不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题纸上做任何标记． 三、做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案． 四、考试结束后，将本试卷与答题纸一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求) 1. 已知集合，，且，则满足条件的实数x的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知，，则下列各式中成立的是（ ） A. B. C. D. 3. “”是“直线在坐标轴上的截距相等”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 已知是定义域为R的奇函数，那么下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则公差等于（ ） A. B. C. D. 7. 下列函数中，周期为且是奇函数是（ ） A B. C. D. 8. 已知向量，满足，则等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 9. 已知倾斜角为的直线l与直线垂直，则等于（ ） A. 2 B. C. D. 10. 已知方程表示双曲线，则角所在象限是（ ） A 第一象限 B. 第二象限 C. 第一象限或第三象限 D. 第二象限或第四象限 11. 已知中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 12. 在中，若，，，则的最大角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 13. 在长方体中，四边形是正方形，且，点E是的中点，则与所成的角是（ ） A. B. C. D. 14. 在的二项展开式中，不含x的项是（ ） A. 第9项 B. 第10项 C. 第11项 D. 第12项 15. 现有两个装子，一个袋子中装有2个白球和1个黑球，另一个袋子中装有3个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，现从这两个袋子中随机各取一球，则取出的两个球中一个是白球，一个是黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 16. ________． 17. 已知函数则________． 18. 函数的定义域是________． 19. 设，，，，则a，b，c由大到小的排列顺序为________． 20. 已知函数是自变量为x的正比例函数，且在R上单调递减，则________． 21. 二次函数的图像与轴、轴的交点连接后所围成的三角形的面积为________． 22. 函数的值域为_______； 23. 已知函数，则________． 24. 若向量，且向是满足，则________． 25. 若椭圆的离心率是方程的解，则________． 26. 点关于直线对称的点的坐标为________． 27. 以圆的圆心为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为________． 28. 设抛物线的焦点为F，准线为为抛物线上一点，，为垂足，如果直线的斜率为，那么________． 29. 已知二面角，若平面内一点A到平面的距离为2，到棱的距离为4，则这个二面角大小为________． 30. 2023年中国杭州亚运会举办期间，某学校老师要将4张价位相同的门票分给5位同学，每人至多分得一张，并且门票必须分完，则不同的分法有________种． 三、解答题（本大题共7小题，共45分．要写出必要的文字说明证明过程和演算步骤） 31. 已知集合，，若，求实数m的取值范围． 32. 某商店中一个小熊玩具售价为元时，销售总量为个，如果每个小熊玩具的售价上涨，那么销售总量就会减少.当x取什么值时，小熊玩具的销售金额最大？最大销售金额为多少元？此时一个小熊玩具的售价为多少元？ 33. 在等比数列中，公比，且，． （1）求数列通项公式； （2）若，求数列的前10项和． 34. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）当x取何值时，函数取得最大值？最大值是多少？ 35. 已知双曲线C的一个焦点是直线与x轴的交点，双曲线C的虚轴长等于直线截圆所得的弦长． （1）求双曲线C的标准方程； （2）若直线与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，求证：． 36. 如图所示，在三棱锥中，是边长为4的等边三角形，平面平面，，E是的中点． （1）求证：； （2）求二面角的正切值． 37. 已知一枚质地均匀的骰子被连续拋掷了三次． （1）求它落地时向上的点数依次成等比数列的概率； （2）设随机变量表示出现偶数点的次数，求的概率分布． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年河北省职教高考研究联合体第二次联合考试 数学试题 2023-12 说明： 一、本试卷共4页，包括三道大题37个小题，共120分．考试时间120分钟．其中第一道大题(15个小题)为选择题． 二、答题前请仔细阅读答题纸上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．在答题纸上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题纸非题号对应的答题区域的答案一律无效．不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题纸上做任何标记． 三、做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案． 四、考试结束后，将本试卷与答题纸一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求) 1. 已知集合，，且，则满足条件的实数x的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合间的包含关系写出等式，再由集合中元素的互异性即可解得. 【详解】∵，∴或， 当时，或， 其中当时，不满足集合M中元素的互异性，故舍去； 当时，，均满足题意， ∴满足条件的实数x的个数为3． 故选：C. 2. 已知，，则下列各式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由不等式的基本性质逐项判断即可得解. 【详解】∵，， ∴，，， ∴，故选项A不正确； ∵，，∴，， ∴，∴，故选项B不正确； ∵，∴，又∵， ∴，故选项C不正确； ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴，故选项D正确． 故选：D. 3. “”是“直线在坐标轴上的截距相等”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先考虑直线在坐标轴上的截距相等时k的值，再由充分不必要的判定方法即可求解. 【详解】对于直线， ①当直线的截距均不为0时，且，故且. 当时，直线l在y轴上截距为； 当时，直线在x轴上的截距为. 由在坐标轴上的截距相等，得，解得； ②当直线的截距均为0时，，则； 故“”是“直线在坐标轴上的截距相等”的充分不必要条件. 故选：A 4. 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数相等的定义即可解得. 【详解】选项A：与不相等，错误. 选项B：定义域为，定义域为，两函数不相等，错误. 选项C：定义域为，定义域为，两函数相等，正确. 选项D：定义域为，定义域为，两函数不相等，错误. 故选：C 5. 已知是定义域为R的奇函数，那么下列各式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合奇函数的定义和性质，即可求解. 【详解】因为是定义域为R的奇函数， 所以，且函数的图像关于原点对称， 即当时，与正负相反， 所以． 故选：B. 6. 已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则公差等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质与通项公式即可得解. 【详解】因为是等差数列， 且，所以， 又因为，， 所以，所以， 解得. 故选：A. 7. 下列函数中，周期为且是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最小正周期公式、二倍角公式以及正弦函数的差角公式，结合三角函数的奇偶性即可解得. 【详解】选项A：，此函数是奇函数且周期为，正确. 选项B：，为偶函数且周期为，错误. 选项C：为偶函数且周期为，错误. 选项D：，为非奇非偶函数，错误. 故选：A 8. 已知向量，满足，则等于（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】对 两边同时平方，再根据向量数量积的运算性质进行求解. 【详解】∵，∴， 即，∴，∴． 故选：B. 9. 已知倾斜角为的直线l与直线垂直，则等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线m的斜率，再利用两直线垂直的条件得到直线l的斜率即可得解. 【详解】由题意知，直线m的斜率为， 由于直线l与直线m垂直，故直线l的斜率为， 即． 故选：B. 10. 已知方程表示双曲线，则角所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第一象限或第三象限 D. 第二象限或第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线标准方程判断三角函数符号，利用三角函数符号判断象限即可. 【详解】由双曲线定义可知， 当焦点在x轴上时，，所以是第二象限角 当焦点在y轴上时，，所以是第四象限角 故选：D. 11. 已知中心在坐标原点，离心率为的双曲线的焦点在y轴上，则它的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的离心率、双曲线的定义以及双曲线的渐近线方程即可得解. 【详解】∵双曲线的离心率为， 由双曲线的定义可知，， ∴， ∴双曲线的焦点在y轴上， ∴它的渐近线方程为． 故选：D. 12. 在中，若，，，则的最大角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据大边对大角以及余弦定理即可求解. 【详解】因为在中，若，，， 根据大边对大角知，的最大角为角， 再由余弦定理，得． 故选：A. 13. 在长方体中，四边形是正方形，且，点E是的中点，则与所成的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知将异面直线所成的角化为平面角，再由边的位置关系和等量关系证得三角形为等腰直角三角形即可解得. 【详解】由题知，为长方体，且为正方形， 则，底面， 又面，则， 与所成的角即为与所成的角， 为所求角，，即，又知， ，又知，为等腰直角三角形，． 故选：B. 14. 在的二项展开式中，不含x的项是（ ） A. 第9项 B. 第10项 C. 第11项 D. 第12项 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合二项式的通项公式，令x的指数部分为0，即可求解. 【详解】由二项展开式的通项，得， 令， 解得， 所以不含x的项是第11项． 故选：C. 15. 现有两个装子，一个袋子中装有2个白球和1个黑球，另一个袋子中装有3个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，现从这两个袋子中随机各取一球，则取出的两个球中一个是白球，一个是黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式计算可得． 详解】 由表知，共有15种结果，取出的两个球中一个是白球，一个是黑球有7种结果， 取出的两个球中一个是白球，一个是黑球的概率是， 故选：D. 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 16. ________． 【答案】0 【解析】 【分析】由指数幂的运算、三角函数的运算以及组合数的运算即可求解. 【详解】 ． 故答案为：0. 17. 已知函数则________． 【答案】2 【解析】 【分析】首先求出的值，再将的值代入解析式求出，最后将代入解析式求出的值. 【详解】已知函数， ∵， ∴， ∴． 故答案为：2. 18. 函数的定义域是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据根式、分式有意义的条件及对数函数的定义域列式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 需满足，解得， 故定义域是． 故答案为：． 19. 设，，，，则a，b，c由大到小的排列顺序为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数，指数函数，对数函数的单调性，巧用对比1和0，即可求解. 【详解】∵， 即则有在单调递增，∴， 对于指数函数在定义域内是单调递增的，故有， 对于对数函数在定义域内是单调递增的，故有， ∴． 故答案为：. 20. 已知函数是自变量为x的正比例函数，且在R上单调递减，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义求出m的可能取值，再根据函数的单调性对的值进行筛选. 【详解】正比例函数的一般形式为， 又函数是自变量为的正比例函数，且在上递减， 所以，解得， 故. 故答案为：. 21. 二次函数的图像与轴、轴的交点连接后所围成的三角形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】结合韦达定理及两点间距离公式求解即可. 【详解】设函数的图像与轴的交点为，， 则，， 所以， 函数与轴的交点为， 所求三角形的面积为． 故答案为：. 22. 函数的值域为_______； 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质即可求解. 【详解】因为当时，，所以， 所以函数的值域为. 故答案为：. 23. 已知函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的概念和换元法，即可求解. 【详解】∵，令， ∴，∵， ∴， ∴． 故答案为:. 24. 若向量，且向是满足，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】由单位向量的定义，即可求解. 【详解】由题向是满足，且向量， 故知，向量是与向量方向相同的单位向量，故． 故答案为：1. 25. 若椭圆的离心率是方程的解，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】先求解方程得到离心率的值，再根据椭圆的性质分情况讨论求出m的值. 【详解】∵方程的解为或. ∵椭圆的离心率，∴椭圆的离心率为. ∵，∴，∴． 故答案为：5. 26. 点关于直线对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据点关于直线对称的性质求解. 【详解】将直线化为， 由此可知该直线是特殊直线，是二、四象限的角平分线，点关于直线对称的点的坐标为 , 所以点关于直线对称的点的坐标为, 故答案为：. 27. 以圆的圆心为圆心，且与轴相切的圆的标准方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知圆的圆心得到所求圆的圆心和半径，即可求解． 【详解】圆可化为, 圆的圆心为，故所求圆的圆心也是， 又所求圆与轴相切，即， 故所求圆的标准方程为：. 故答案为：. 28. 设抛物线的焦点为F，准线为为抛物线上一点，，为垂足，如果直线的斜率为，那么________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线方程确定焦点坐标，再设，由斜率公式求出的值，代入抛物线方程，求出点的横坐标，最后由焦半径公式求值即可. 【详解】方法一：已知抛物线中，， 焦点坐标为，设， ∵，∴， ∴，∴点的纵坐标为， 把代入，得， 则根据焦半径公式，得． 方法二：∵直线的斜率为， 则该直线的倾斜角为，由图可知，， 根据抛物线的定义可知， ∴为等边三角形，设x轴与准线的交点为M， 则焦点到准线的距离， 则在中，，∴． 故答案为：4. 29. 已知二面角，若平面内一点A到平面的距离为2，到棱的距离为4，则这个二面角大小为________． 【答案】或 【解析】 【分析】利用二面角定义，构造直角三角形即可得解. 【详解】 过点作平面的垂线，垂足为，设过点作l的垂线，垂足为， 因为，，所以， 因为且，平面，平面， 所以平面，平面，所以， 则为二面角的平面角或其补角， 在中，，，， 又，所以或， 所以二面角的大小为或． 故答案为：或 30. 2023年中国杭州亚运会举办期间，某学校老师要将4张价位相同的门票分给5位同学，每人至多分得一张，并且门票必须分完，则不同的分法有________种． 【答案】5 【解析】 【分析】利用组合问题可求解. 【详解】5个人分4张价位相同的门票，每人最多分1张，票必须分完， 则有1人没分到票，故共有（种）不同分法. 故答案为：5 三、解答题（本大题共7小题，共45分．要写出必要的文字说明证明过程和演算步骤） 31. 已知集合，，若，求实数m的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】先由一元二次不等式和含绝对值的不等式的解法求解集合A和集合B，再求解的结果，由补集即可求解的结果. 【详解】， ， 若，则或, 解得或， ∴当时，， ∴实数m的取值范围为． 32. 某商店中一个小熊玩具售价为元时，销售总量为个，如果每个小熊玩具的售价上涨，那么销售总量就会减少.当x取什么值时，小熊玩具的销售金额最大？最大销售金额为多少元？此时一个小熊玩具的售价为多少元？ 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】设出售价并根据题中信息列出函数解析式，再根据二次函数最值求解即可解得. 【详解】设小熊玩具的销售金额为y元， 则， 当时，， 此时的售价为， ∴当时，小熊玩具的销售金额最大，最大销售金额为元，此时一个小熊玩具的售价为元． 33. 在等比数列中，公比，且，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前10项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出等比数列的公比，再求解通项公式即可. （2）根据（1）得到，再根据裂项相消法求解即可. 【小问1详解】 ∵数列为等比数列，且，， ∴． ∴，∵，∴． ∴． 【小问2详解】 ∵，∴， ∴， ∴. 34. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）当x取何值时，函数取得最大值？最大值是多少？ 【答案】（1） （2）当时取得最大值为1 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合两角差的余弦公式、正弦的二倍角公式、两角和的正弦公式，先化简函数为正弦型函数，即可求得函数的最小正周期； （2）根据题意，结合正弦函数的值域，即可求得函数的最大值，继而求得对应x的取值集合. 【小问1详解】 由题意， ． 所以函数的最小正周期． 【小问2详解】 由（1）知， 所以当时，函数取得最大值，即， 此时，， 即，时， 取得最大值为1. 35. 已知双曲线C的一个焦点是直线与x轴的交点，双曲线C的虚轴长等于直线截圆所得的弦长． （1）求双曲线C的标准方程； （2）若直线与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据直线方程和已知求出双曲线焦点，根据圆的方程求出圆心和半径，结合距离公式和双曲线之间的关系即可解得. （2）将双曲线和直线方程进行联立，结合韦达定理和向量垂直的性质即可证明. 【小问1详解】 直线与x轴的交点为，∴双曲线C的右焦点为，即， ∵圆的圆心为，半径为， ∴圆心到直线即的距离. ∴直线截圆所得的弦长为． ∴双曲线C的虚轴长为，∴，∴． ∴双曲线C的标准方程为． 【小问2详解】 由，可得， 设，，则，， ∴， ∴，∴． 36. 如图所示，在三棱锥中，是边长为4的等边三角形，平面平面，，E是的中点． （1）求证：； （2）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)根据线面垂直的判定定理即可证明线线垂直； (2)先根据直线与直线垂直找到二面角的平面角，再利用几何关系，构造直角三角形即可求解. 【小问1详解】 如图所示，取中点O，连接，， ∵，O为AC中点，∴， ∵为等边三角形，∴， ∵，平面， ∴平面， ∵平面，∴． 【小问2详解】 过O作于点M，连接， ∵平面平面，平面平面，， ∴平面，平面，∴， ∵，，平面， ∴平面，平面，∴， ∴即为二面角的平面角． 在Rt中，，，，∴， ∵E是等边三角形的边的中点，∴， 又∵，∴， ∵的中点是O，∴， 在Rt中，，， ∴二面角的正切值为． 37. 已知一枚质地均匀的骰子被连续拋掷了三次． （1）求它落地时向上的点数依次成等比数列的概率； （2）设随机变量表示出现偶数点的次数，求的概率分布． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】(1)由古典概型求概率的方法即可求解； (2)先求随机变量表示出现偶数点的次数的概率，再求出的概率分布． 【小问1详解】 设事件骰子落地时向上的点数依次成等比数列，满足条件的点数有以下8种情况： 1，2，4；4，2，1；1，1，1；2，2，2；3，3，3；4，4，4；5，5，5；6，6，6． 则． 【小问2详解】 由题意知，的取值为0，1，2，3， 每次抛掷骰子出现偶数点的概率为，则每次出现奇数点的概率也为，故 ， ， ， ． ∴的概率分布列如下表． 0 1 2 3 P 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$