专题4.5 等比数列的前n项和（7类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必必修第二册）

专题4.5 等比数列的前n项和 【知识梳理】 1 【考点1：求等比数列的前n项和】 2 【考点2：由等比数列的前n项和求通项公式】 2 【考点3：等比数列前n项和的性质】 3 【考点4：等比数列前n项和的最值问题】 4 【考点5：等比数列与不等式综合】 5 【考点6：等比数列的最大（小）项】 9 【考点7：等比数列的简单应用】 10 【知识梳理】 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列的首项为，公比为q，则等比数列的前n项和公式为 . 2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，.记A=，则=+A是一个指数式与一个常 数的和.当q>0且q≠1时，y=是指数函数，此时，点(n,)是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点. 3．Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 4．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质： (1). (2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为. (3)若{}共有2n(n)项，则=q； 若{}共有(2n+1)(n)项，则=q. 【考点1：求等比数列的前n项和】 【知识点：求等比数列的前n项和】 1．（24-25高三上·湖南永州·期末）设等比数列的前n项和为，已知，，则（　　） A．15 B．18 C．31 D．63 2．（24-25高三上·安徽·阶段练习）正项等比数列满足：，则数列的前10项和为（   ） A．1023 B．1024 C．2047 D．2048 3．（24-25高二上·黑龙江·期末）等比数列的前项和为，若，，则 . 4．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知为数列的前项和，若，则 ． 【考点2：由等比数列的前n项和求通项公式】 【知识点：由等比数列的前n项和求通项公式】 1．（广东省广州市2024-2025学年高三上学期12月调研测试数学试卷）已知正项等比数列的前n项和为，且，，则 . 2．（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）设公比不为1的等比数列的前n项和为，已知，则=（   ） A．55 B．65 C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且，则（    ） A．成等比数列 B．成等比数列 C．成等差数列 D．成等差数列 4．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）记为等比数列的前项和.已知，. (1)求的通项公式； (2)求，并判断，，是否成等差数列. 5．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【考点3：等比数列前n项和的性质】 【知识点：等比数列前n项和的性质】 1．（河南省部分学校2024-2025学年高三上学期第二次考试数学试题）记等比数列的前项和为，若，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 2．（24-25高二上·广西·期末）正项等比数列的前n项和为，则等于（   ） A．9 B．72 C．70 D．48 3．（多选）（24-25高三上·重庆·期中）已知等比数列的公比，其前n项和记为，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025·广东·模拟预测）已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ． 5．（2025高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 6．（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 【考点4：等比数列前n项和的最值问题】 【知识点：等比数列前n项和的最值问题】 1．（24-25高三上·河南三门峡·阶段练习）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 2．（2024·安徽淮北·一模）正项等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则的最小值为 . 3．（24-25高二下·河南南阳·期中）若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 4．（2025高三·全国·专题练习）若正项等比数列的前n项和为，且，则的最小值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 5．（2025高三·全国·专题练习）设首项为正且大于1的无穷等比数列的公比为，前项和为，若，则（    ） A．数列无最大项 B．数列有最小项为 C．数列是递增数列， D．数列最大值为 6．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为 . 7．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和，，则“存在最小值”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（多选）（24-25高三上·重庆·期中）已知等比数列的公比，其前n项和记为，且，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（     ） A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 【考点5：等比数列与不等式综合】 【知识点：等比数列与不等式综合】 1．（24-25高二下·北京西城·期末）在等比数列中，，公比，记其前项的和为，则对于，使得都成立的最小整数等于（    ） A．6 B．3 C．4 D．2 2．（24-25高三上·北京西城·期末）设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D． 4．（23-24高三上·安徽·阶段练习）记为等比数列的前n项和，． (1)若，求的值； (2)若，求证：． 5．（23-24高三上·福建厦门·阶段练习）设是数列的前项和，已知 (1)求，并证明：是等比数列； (2)求满足的所有正整数. 6．（24-25高二上·上海·期末）在等差数列中，，且，，构成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 7．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知数列满足，． (1)求数列的前n项和； (2)设的前项和为，证明：． 8．（24-25高三上·山东·期中）已知数列，满足且点在函数的图像上，且． (1)证明：是等比数列．并求． (2)令，设的前项和，证明． 9．（2024·山东泰安·二模）已知数列的前n项和为，，，. (1)求； (2)设，数列的前n项和为，若，都有成立，求实数的范围. 【考点6：等比数列的最大（小）项】 【知识点：等比数列的最大（小）项】 1．（24-25高三下·河南·阶段练习）已知为等比数列的前n项和，，（c为实数）．若，则当取最小值时，n＝ ． 2．（24-25高三上·北京西城·期末）设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）设首项为正且大于1的无穷等比数列的公比为，前项和为，若，则（    ） A．数列无最大项 B．数列有最小项为 C．数列是递增数列， D．数列最大值为 4．（2024·江西赣州·一模）若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【考点7：等比数列的简单应用】 【知识点：等比数列的简单应用】 1．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）某大型商场计划设计一个停车场，根据地形，设计6排停车位，靠近商场的第1排设计7个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍加1，则设计的停车位的总数是 . 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）某校100名学生军训时进行队列训练，规则如下：从左到右按照序号1至100排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的50位同学从左到右按照序号1至50排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的25位同学从左到右按照序号1至25排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；依次类推，直到剩下一位同学为止．问走到最前面的同学第一次的序号是 号，如果这位同学把每次的序号记住，则这位同学的所有序号之和是 ． 3．（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）一个弹力球从1m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处，那么在第次着地后，它经过的总路程超过5m，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（24-25高三上·江西上饶·期中）复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为系列、系列、系列，其中系列的幅面规格为，，，…，，所有规格的纸张的长度（以表示）和幅宽（以表示）的比例关系都为；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；…，如此对开至规格.现有，，，…，纸各一张，若纸的幅宽为，则这9张纸的面积之和为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·四川内江·一模）年月日是第个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第组领取所有树苗的一半又加半包，第组领取所剩树苗的一半又加半包，第组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第组也领取所剩树苗的一半又加半包，此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（  ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河南·阶段练习）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 7．（多选）（24-25高二上·重庆·阶段练习）设等比数列的公比为，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 8．（多选）（24-25高二上·甘肃·阶段练习）如图所示，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则（    ）    A．第个圆的面积为 B．这个圆的半径成公比为的等比数列 C．第一个圆的面积为 D．前个圆的面积和为 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.5 等比数列的前n项和 【知识梳理】 1 【考点1：求等比数列的前n项和】 2 【考点2：由等比数列的前n项和求通项公式】 3 【考点3：等比数列前n项和的性质】 7 【考点4：等比数列前n项和的最值问题】 10 【考点5：等比数列与不等式综合】 15 【考点6：等比数列的最大（小）项】 23 【考点7：等比数列的简单应用】 26 【知识梳理】 1．等比数列的前n项和公式 若等比数列的首项为，公比为q，则等比数列的前n项和公式为 . 2．等比数列前n项和公式与指数函数的关系 (1)当q=1时，是关于n的正比例函数，点(n,)是直线y=x上的一群孤立的点. (2)当q≠1时，.记A=，则=+A是一个指数式与一个常 数的和.当q>0且q≠1时，y=是指数函数，此时，点(n,)是指数型函数y=+A图象上的一群孤立的点. 3．Sn与an的关系 当公比q≠1时，等比数列的前n项和公式是，它可以变形为,设，则上式可以写成的形式，则Sn是an的一次函数. 4．等比数列前n项和的性质 已知等比数列{}的公比为q，前n项和为，则有如下性质： (1). (2)若(k)均不为0，则成等比数列，且公比为. (3)若{}共有2n(n)项，则=q； 若{}共有(2n+1)(n)项，则=q. 【考点1：求等比数列的前n项和】 【知识点：求等比数列的前n项和】 1．（24-25高三上·湖南永州·期末）设等比数列的前n项和为，已知，，则（　　） A．15 B．18 C．31 D．63 【答案】C 【分析】根据题意，由等比数列的通项公式可得其公比与首项，再由等比数列的求和公式代入计算，即可得到结果. 【详解】根据题意，等比数列为等比数列，设其公比为， 因为，所以， 变形可得：， 又，所以， 因为，解得， 所以， 故选：C． 2．（24-25高三上·安徽·阶段练习）正项等比数列满足：，则数列的前10项和为（   ） A．1023 B．1024 C．2047 D．2048 【答案】A 【分析】运用等比数列通项公式和求和公式计算即可. 【详解】根据题意，已知，得到，又， 解得．则. 故. 故选：A. 3．（24-25高二上·黑龙江·期末）等比数列的前项和为，若，，则 . 【答案】85 【分析】设出公比，利用题目条件得到方程，求出公比和首项，利用等比数列求和公式得到答案. 【详解】设公比为，则，， 联立得到，解得， 故，. 故答案为：85 4．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知为数列的前项和，若，则 ． 【答案】 【分析】根据作差得到是以为首项，为公比的等比数列，即可求出、，代入计算可得. 【详解】因为，当时，，解得， 当时，所以，即， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 所以. 故答案为： 【考点2：由等比数列的前n项和求通项公式】 【知识点：由等比数列的前n项和求通项公式】 1．（广东省广州市2024-2025学年高三上学期12月调研测试数学试卷）已知正项等比数列的前n项和为，且，，则 . 【答案】． 【分析】由等比数列前项和公式求得公比，再由通项公式得结论． 【详解】是等比数列，，，因此公比， ，解得（舍去） 所以， 故答案为：． 2．（24-25高三上·广东茂名·阶段练习）设公比不为1的等比数列的前n项和为，已知，则=（   ） A．55 B．65 C． D． 【答案】C 【分析】对赋值得，进而求出数列前项，由等比数列待定系数，再求即可. 【详解】由已知，分别令， 得，，， 则， 因为为公比不为1的等比数列， 则，所以有， 即，解得，或. 由等比数列各项均不为，可知，则. 验证：当时，， 当时，； 当时，； 当时也适合上式，故， 则，故是公比为的等比数列，满足题意. 因此. 故选：C. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，且，则（    ） A．成等比数列 B．成等比数列 C．成等差数列 D．成等差数列 【答案】C 【分析】根据与的关系式得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出通项公式和求和公式，从而对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】①，当时，，解得， 又②， ②①可得，即， 故是以为首项，为公比的等比数列， ， ， A选项，，，，，A错误； B选项，，，，，B错误； C选项，，，，，C正确； D选项，，，，，D错误. 故选：C 4．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）记为等比数列的前项和.已知，. (1)求的通项公式； (2)求，并判断，，是否成等差数列. 【答案】(1) (2)；，，成等差数列 【分析】（1）利用等差数列的通项公式得到关于的方程组，解之即可得解； （2）利用等比数列前项和公式求出，再根据等差数列的性质判断证明即可. 【详解】（1）设数列的首项为，公比为， 因为，， 所以，解得， 所以. （2）因为，，所以， 所以，， 所以 ， 即，所以，，成等差数列. 5．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2)，. 【分析】（1）利用得出数列是等比数列，从而可得通项公式； （2）由已知求得，得出是等差数列，求出其前项和，然后根据绝对值的性质得出数列与的前项和的关系，从而求得结论． 【详解】（1）由，则当时 两式相减得，所以. 将代入得，， 所以对于，故是首项为2，公比为2的等比数列， 所以. （2）. ， 因为当时，当时， 所以当时，， 当时，. 故. 【考点3：等比数列前n项和的性质】 【知识点：等比数列前n项和的性质】 1．（河南省部分学校2024-2025学年高三上学期第二次考试数学试题）记等比数列的前项和为，若，则（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】根据等比数列前项和的性质求解. 【详解】因为为等比数列，所以，，（显然三个数均不为0）也是等比数列. 且，，所以. 所以. 故选：A 2．（24-25高二上·广西·期末）正项等比数列的前n项和为，则等于（   ） A．9 B．72 C．70 D．48 【答案】D 【分析】利用等比数列定义以及前n项和公式计算可得结果. 【详解】由题意可得，设等比数列的公比为q， 可得． 故选：D． 3．（多选）（24-25高三上·重庆·期中）已知等比数列的公比，其前n项和记为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】借助等比数列求和公式可计算出数列的通项公式，借助通项公式即可得A；借助作差法后对分奇偶进行讨论可得B；求出后对分奇偶讨论可得C、D. 【详解】由题意可得，即， 故， 对A：，故A正确； 对B：， 若为奇数，则， 若为偶数，则，随的增大而增大， 故，故B正确； 对C：， 当为奇数时，，且随的增大而减小， 当为偶数时，，随的增大而增大， 则当时，有最大值，即， 当时，有最小值，即， 故C错误，D正确. 故选：ABD. 4．（2025·广东·模拟预测）已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ． 【答案】1 【分析】设出公比，根据，求出公比，故，得到. 【详解】设公比为，则， 其中，又， 故，， 故，即， 解得. 故答案为：1 5．（2025高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【答案】/ 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 6．（24-25高二上·全国·课堂例题）若等比数列共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为 ，项数为 ． 【答案】 2 9 【分析】利用等比数列奇数项和与偶数项和的关系，及前n项和公式列式计算即可得解. 【详解】在等比数列中，由，得，解得， 设这个数列共有项，则，解得，所以这个等比数列的项数为9. 故答案为：2；9 【考点4：等比数列前n项和的最值问题】 【知识点：等比数列前n项和的最值问题】 1．（24-25高三上·河南三门峡·阶段练习）已知正项等比数列的前项和为，若，，成等差数列，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】D 【分析】借助等比数列的片段和性质得出与的关系，再借助基本不等式即可得到. 【详解】根据等比数列的片段和性质有， 由，，成等差数列，有， 即，故有，又因为数列为正项等比数列，则， 即， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 2．（2024·安徽淮北·一模）正项等差数列的前项和为，若，，成等比数列，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】利用等差数列前项和的性质及等比中项，结合基本不等式计算即可. 【详解】设的公差为，则， 而， 当且仅当时取得等号. 故答案为： 3．（24-25高二下·河南南阳·期中）若正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（    ） A．22 B．24 C．26 D．28 【答案】B 【分析】根据题意，利用等比数列的性质，得到，求得，结合基本不等式的公式，即可求解． 【详解】由题意，设等比数列的公比为， 因为成等比数列，可得， 又因为，即 所以， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 4．（2025高三·全国·专题练习）若正项等比数列的前n项和为，且，则的最小值为（    ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】根据是等比数列，由，即，可得，，也是等比数列，结合基本不等式的性质即可求出的最小值. 【详解】因为是正项等比数列，，即， 所以，，也是等比数列，且， 所以， 则， 当且仅当，即取等号，所以的最小值为，故C正确. 故选：C. 5．（2025高三·全国·专题练习）设首项为正且大于1的无穷等比数列的公比为，前项和为，若，则（    ） A．数列无最大项 B．数列有最小项为 C．数列是递增数列， D．数列最大值为 【答案】B 【分析】设无穷等比数列的公比为，根据已知可得，得数列是摆动数列可判断C；由，；得数列的最小项、最大项可判断ABD． 【详解】设无穷等比数列的公比为，因为， 即，又，所以， 因为， 所以当时，数列是摆动数列，故单调性不确定，故C错误； 又，所以；， 此时数列的最小项为，最大项为，故B正确，AD错误． 故选：B. 6．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知正项等比数列的前项和为，若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】应用等比数列求和的基本量运算，结合基本不等式计算最小值. 【详解】正项等比数列的前项和为， 若， 则 . 当且仅当时取最小值. 故答案为：. 7．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）设是公比为的无穷等比数列，为其前n项和，，则“存在最小值”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】举出反例可得其充分性不成立，假设，借助等比数列的性质可得其必要性，即可得解. 【详解】当，时，有， 则有最小值， 故“存在最小值”不是“”的充分条件； 若，由，则， 故必有最小值，故“存在最小值”是“”的必要条件； 即“”是“存在最小值”的必要不充分条件. 故选：B. 8．（多选）（24-25高三上·重庆·期中）已知等比数列的公比，其前n项和记为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】借助等比数列求和公式可计算出数列的通项公式，借助通项公式即可得A；借助作差法后对分奇偶进行讨论可得B；求出后对分奇偶讨论可得C、D. 【详解】由题意可得，即， 故， 对A：，故A正确； 对B：， 若为奇数，则， 若为偶数，则，随的增大而增大， 故，故B正确； 对C：， 当为奇数时，，且随的增大而减小， 当为偶数时，，随的增大而增大， 则当时，有最大值，即， 当时，有最小值，即， 故C错误，D正确. 故选：ABD. 9．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（     ） A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 【答案】AB 【分析】根据条件判断，分和两情况讨论得成立与否得出，即可判断A；对于B，利用A的结论和等比数列项的性质即可判定；对于C，D，由前面推得的即可判断. 【详解】对于A，由可得，（*）， 由可得. 当时，因，则，则（*）不成立； 所以，则，（*）成立，故，即A正确； 对于B，因，故B正确； 对于C,D，由上分析，且， 则是数列中的最大值，故C错误，D错误. 故选：AB 【点睛】易错点睛：边界条件的遗漏：在判断数列的公比时，容易忽略公比为正的条件，尤其是当涉及到前项和与前项积的比较时，应特别注意各个条件的限制.最大值的判断：在判断数列是否存在最大值时，容易因数列项的变化规律分析不准确而得出错误结论.对于无穷项的数列，要明确变化的趋向. 【考点5：等比数列与不等式综合】 【知识点：等比数列与不等式综合】 1．（24-25高二下·北京西城·期末）在等比数列中，，公比，记其前项的和为，则对于，使得都成立的最小整数等于（    ） A．6 B．3 C．4 D．2 【答案】A 【分析】由题可得，即可得答案. 【详解】由题，，则. 故选：A 2．（24-25高三上·北京西城·期末）设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对进行分类讨论，结合等比数列前项和公式求得正确答案. 【详解】依题意，， 若，则，，此时不存在符合题意的，所以. 若，则， 当为正偶数时，，所以存在无穷多个正整数，使. 当时，， 其中，，所以，此时不存在符合题意的. 当时，， 其中，当是正奇数时，，所以，此时不存在符合题意的； 当是正偶数时，，，所以存在无穷多个正整数，使. 综上所述，的取值范围是. 故选：B 3．（24-25高二上·广东深圳·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项之积为，且满足，，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大值 D． 【答案】C 【分析】由已知结合等比数列的性质检验各选项即可判断. 【详解】因为等比数列满足， 又，所以，A错误； ，即,B错误； 当时，，当时，，即是数列中的最大值，C正确； 由题意得，，则,D错误. 故选：C. 4．（23-24高三上·安徽·阶段练习）记为等比数列的前n项和，． (1)若，求的值； (2)若，求证：． 【答案】(1)60； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据等比数列前项和的性质列方程求得，然后可得； （2）利用等比数列前项和的性质求出，然后整理变形即可得证. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 因为，所以， ，所以, 故，，成等比数列，且公比为， 所以， 整理得， 因为，故， 解得， 所以． （2）因为，所以，由（1）知，， 因为数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以 又， 则 所以 5．（23-24高三上·福建厦门·阶段练习）设是数列的前项和，已知 (1)求，并证明：是等比数列； (2)求满足的所有正整数. 【答案】(1)，证明见解析 (2)1，2 【分析】（1）利用代入计算即可求得，由等比数列定义可求得，即可得出证明； （2）利用数列分组求和可得出，再利用二次函数及指数函数单调性即可求得结果. 【详解】（1）由可得， 所以， 可得； 由已知得， 所以， 其中， 所以是以为首项，为公比的等比数列； （2）由（1）知， 所以， 所以， 所以 ， 由二次函数及指数函数性质可知当时，单调递减， 其中， 所以满足的所有正整数为1，2. 6．（24-25高二上·上海·期末）在等差数列中，，且，，构成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）根据等差数列基本量结合等比中项列式求解即可； （2）分组求和应用等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）在等差数列中，，设公差为，由，，构成等比数列， 可得，即有，得． 因为当时，，不满足题意，舍去， 所以，． （2）由（1）得，则，递增， 由， 可得时，正整数n的最小值为7． 7．（24-25高二上·云南丽江·阶段练习）已知数列满足，． (1)求数列的前n项和； (2)设的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出的通项公式，即可求出的通项公式； （2）由（1）可得，利用等比数列求和公式计算可得. 【详解】（1）因为，，所以， 又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以； （2）由（1）可得， 当时，即， 所以， 所以 . 8．（24-25高三上·山东·期中）已知数列，满足且点在函数的图像上，且． (1)证明：是等比数列．并求． (2)令，设的前项和，证明． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）先求出，从而求得，即，从而求解. （2）由（1）得，求出，从而求解. 【详解】（1）因为在函数上， 所以：，又， 所以：，即：， 且，可知， 两边取以为底的对数，， 又，， 所以：是首项为，公比为的等比数列． 所以：， 所以：. （2）因为，， 所以：， 则：，得：， 又因为：， ， 即证：. 9．（2024·山东泰安·二模）已知数列的前n项和为，，，. (1)求； (2)设，数列的前n项和为，若，都有成立，求实数的范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由，可得，两式相减并化简后可得，后分奇偶情况可得； （2）方法1，由题，由等比数列前n项和公式可得表达式；方法2，注意到，可得表达式.后注意到的单调性，利用可得答案. 【详解】（1），. ，，. 又，，，数列的奇数项，偶数项分别是以2，4为首项，4为公差的等差数列. 当时，；当时，. 综上，， （2）方法一：， . ，. 方法二：， ， ， ， ∴时，为递增数列， 时，为递减数列， 若，都有成立，只需使，则且，则. 【考点6：等比数列的最大（小）项】 【知识点：等比数列的最大（小）项】 1．（24-25高三下·河南·阶段练习）已知为等比数列的前n项和，，（c为实数）．若，则当取最小值时，n＝ ． 【答案】11 【分析】根据递推关系，多递推一项再相减，得，进而求出的通项公式，研究数列的单调性，得到前项和的最小值。 【详解】由题意，，两式相减得，则．设等比数列的公比为q，故，故，则，故，令，可得，则，即，故当时，，；当时，，故当取最小值时，． 故答案为：11 2．（24-25高三上·北京西城·期末）设是首项为正数，公比为q的无穷等比数列，其前n项和为.若存在无穷多个正整数，使，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对进行分类讨论，结合等比数列前项和公式求得正确答案. 【详解】依题意，， 若，则，，此时不存在符合题意的，所以. 若，则， 当为正偶数时，，所以存在无穷多个正整数，使. 当时，， 其中，，所以，此时不存在符合题意的. 当时，， 其中，当是正奇数时，，所以，此时不存在符合题意的； 当是正偶数时，，，所以存在无穷多个正整数，使. 综上所述，的取值范围是. 故选：B 3．（2025高三·全国·专题练习）设首项为正且大于1的无穷等比数列的公比为，前项和为，若，则（    ） A．数列无最大项 B．数列有最小项为 C．数列是递增数列， D．数列最大值为 【答案】B 【分析】设无穷等比数列的公比为，根据已知可得，得数列是摆动数列可判断C；由，；得数列的最小项、最大项可判断ABD． 【详解】设无穷等比数列的公比为，因为， 即，又，所以， 因为， 所以当时，数列是摆动数列，故单调性不确定，故C错误； 又，所以；， 此时数列的最小项为，最大项为，故B正确，AD错误． 故选：B. 4．（2024·江西赣州·一模）若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】D 【分析】根据等比数列定义以及可得且，即AB均错误，再由等比数列前项和的函数性质可知无最大值，由前项积定义解不等式可知的最大值为. 【详解】由可知公比，所以A错误； 又，且可得，即B错误； 由等比数列前项和公式可知，由指数函数性质可得为单调递增， 即无最大值，所以C错误； 设为数列前项积的最大值，则需满足，可得， 又可得，即的最大值为，所以D正确. 故选：D 【考点7：等比数列的简单应用】 【知识点：等比数列的简单应用】 1．（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）某大型商场计划设计一个停车场，根据地形，设计6排停车位，靠近商场的第1排设计7个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍加1，则设计的停车位的总数是 . 【答案】498 【分析】根据给定条件，每排停车位的个数构成数列，求出递推公式，利用构造法求出通项公式，再结合等比数列前n项和求解. 【详解】依题意，每排停车位的个数排成一列构成数列， 于是，即， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，则，即， 所以设计的停车位总数为. 故答案为：498 2．（24-25高三上·江苏·阶段练习）某校100名学生军训时进行队列训练，规则如下：从左到右按照序号1至100排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的50位同学从左到右按照序号1至50排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的25位同学从左到右按照序号1至25排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；依次类推，直到剩下一位同学为止．问走到最前面的同学第一次的序号是 号，如果这位同学把每次的序号记住，则这位同学的所有序号之和是 ． 【答案】 64 126 【分析】根据给定条件，按报数次数探讨向前一步的编号特征，再结合等比数列求解. 【详解】依题意，第一次报数后向前一步的原编号为，为第二次报数时的新编号， 第二次报数后向前一步的原编号为，为第三次报数时的新编号， 第三次报数后向前一步的原编号为，为第四次报数时的新编号， 第四次报数后向前一步的原编号为，为第五次报数时的新编号， 第五次报数后向前一步的原编号为，为第六次报数时的新编号， 显然第六次报数时向前一步的编号为， 因此走到最前面的同学各次编号按报数由后向前排列为， 所以走到最前面的同学第一次的序号是64；这位同学的所有序号之和为. 故答案为：64；126 【点睛】关键点点睛：探求报数前后两个编号的关系是求解问题的关键. 3．（24-25高三上·福建龙岩·阶段练习）一个弹力球从1m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的处，那么在第次着地后，它经过的总路程超过5m，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】求出通项公式，再利用等比数列求和公式得解. 【详解】设小球第一次落地时经过的路程为，第次落地到第次落地经过的路程为， 由题意，，数列从第二项起构成以首项为，公比为的等比数列， 则第n次着地后经过的路程为， 即，结合选项，检验时，，时，成立， 所以的最小值是. 故选：C 4．（24-25高三上·江西上饶·期中）复印纸按照幅面的基本面积，把幅面规格分为系列、系列、系列，其中系列的幅面规格为，，，…，，所有规格的纸张的长度（以表示）和幅宽（以表示）的比例关系都为；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；将纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；…，如此对开至规格.现有，，，…，纸各一张，若纸的幅宽为，则这9张纸的面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，设纸的幅宽为，利用等比数列的通项公式及前n项和公式列式计得解. 【详解】设纸的幅宽为，则的长宽分别为，的长宽分别为，的长宽分别为，…， 因此，，，…，纸的幅宽构成以为首项，为公比的等比数列， 由，得，则的长宽分别为，其面积为， 依题意，9张纸的面积是首项为，公比为的等比数列， 所以这9张纸的面积之和为. 故选：D 5．（2024·四川内江·一模）年月日是第个植树节，为加快建设美丽内江、筑牢长江上游生态屏障贡献力量，我市积极组织全民义务植树活动．现有一学校申领到若干包树苗（每包树苗数相同），该校个志愿小组依次领取这批树苗开展植树活动．已知第组领取所有树苗的一半又加半包，第组领取所剩树苗的一半又加半包，第组也领取所剩树苗的一半又加半包．以此类推，第组也领取所剩树苗的一半又加半包，此时刚好领完所有树苗．请问该校共申领了树苗多少包？（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原有树苗有包，求出第组到第组所领取树苗的包数，结合等比数列求和公式可得出关于的等式，解之即可. 【详解】设原有树苗有包，第组领取包， 第组领取包， 第组领取包， ， 以此类推可知，第组领取包， 由题意可得， 即，解得. 故选：B. 6．（24-25高二上·河南·阶段练习）《九章算术》中有问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.”意思是说今有蒲第一天长高三尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高为前一天的一半，莞每天长高为前一天的两倍，要使莞的长度大于蒲的长度（蒲与莞原先的长度忽略不计），需要经过的时间最少为（    ） A．3天 B．4天 C．5天 D．6天 【答案】A 【分析】根据题意，蒲生长长度与莞生长长度都构成了等比数列，利用等比数列的求和公式得到关于的不等式，解之即可得解. 【详解】由题意，蒲第一天长高三尺，以后蒲每天长高前一天的一半， 所以蒲生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍， 则莞生长长度构成首项为，公比为的等比数列， 其前项和为， 由题意得，即，则， 令，则，，解得，即， 又，，所以需要经过的时间最少为3天. 故选：. 7．（多选）（24-25高二上·重庆·阶段练习）设等比数列的公比为，其前n项和为，前n项积为，且满足条件，，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 【答案】AB 【分析】利用数列的性质，逐个选项分析即可. 【详解】，或，，，同号， 且，，即数列前项大于，从第项开始小于1， 对于A，，且易知，故，A正确， 对于B，易知，故，，B正确， 对于C，由题意知是递减数列，且，，故是数列中的最大项，故C错误， 对于D，，故D错误， 故选:AB 8．（多选）（24-25高二上·甘肃·阶段练习）如图所示，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆．如此下去，则（    ）    A．第个圆的面积为 B．这个圆的半径成公比为的等比数列 C．第一个圆的面积为 D．前个圆的面积和为 【答案】ABD 【分析】设第个正三角形的内切圆半径为，从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的，每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的，则可得内切圆半径是以为首项，为公比的等比数列，利用等比数列的通项、求和公式，即可得解. 【详解】设第个正三角形的内切圆半径为， 因为从第二个正三角形开始，每个正三角形的边长是前一个的， 每个正三角形的内切圆半径也是前一个正三角形内切圆半径的， 即这个圆的半径成公比为的等比数列，故B正确； 因为，， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，则， 则第个圆的面积为，第一个圆的面积为，故A正确，C错误； 设前个内切圆的面积和为， 则 ， 即前个圆的面积和为，故D正确. 故选：ABD. 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $$