2025年中考数学选择题复习《函数之二次函数》

第 1页（共 43页） 解析答案 单选题 1．下列 y关于 x的函数中，一定是二次函数的是（ ） A．y＝ax2+bx+c B．y＝（x﹣5）2﹣x2 C．y＝x2+1 D．� = 2�2 【解答】解：y＝ax2+bx+c中当 a＝0时，它不是二次函数，则 A不符合题意； y＝（x﹣5）2﹣x2＝﹣10x+25，则 B不符合题意； y＝x2+1符合二次函数的定义，则 C符合题意； y= 2�2不符合二次函数的定义，则 D不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 2．函数 y＝ax2﹣2x+1和 y＝ax+a（a是常数，且 a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：A、由一次函数 y＝ax+a的图象可得：a＞0，此时二次函数 y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口 向上，故选项正确； B、由一次函数 y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数 y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项 错误； C、由一次函数 y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数 y＝ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项 错误； D、由一次函数 y＝ax+a的图象可得：a＜0，此时二次函数 y＝ax2﹣2x+1 的对称轴 x=− −22�＜0，故选 第 2页（共 43页） 项错误． 故选：A． 【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象和性质，应该熟记一次函数 y＝ax+a在不同情况下所在 的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等． 3．关于抛物线 y＝﹣2（x+1）2+3，下列说法错误的是（ ） A．开口方向向下 B．当 x＜﹣1时，y随 x的增大而减小 C．对称轴是直线 x＝﹣1 D．经过点（0，1） 【解答】解：A．∵﹣2＜0， ∴抛物线开口向下，故 A选项正确，不符合题意； C．由解析式可知，对称轴为直线 x＝﹣1，故 C选项正确，不符合题意； B．∵抛物线开口向下，对称轴为直线 x＝﹣1， ∴当 x＜﹣1时，y随 x的增大而增大，故 B选项错误，符合题意； D．令 x＝0，得 y＝﹣2×1+3＝1， ∴抛物线经过点（0，1），故 D选项正确，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，函数增减性，以及抛物 线的开口方向的确定，熟记性质是解题的关键． 4．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c的对称轴是直线 x＝1，下列结论正确的是（ ） A．b＞0 B．2a+b＞0 C．b2﹣4ac＜0 D．a﹣b+c＞0 【解答】解：∵a＞0，− �2� =1＞0， ∴b＜0，故 A错误； 第 3页（共 43页） ∵抛物线 y＝ax2+bx+c的对称轴是直线 x＝1， ∴x=− �2� =1， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故 B错误； ∵抛物线与 x轴有两个交点， ∴方程 ax2+bx+c＝0有两个不等实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故 C错误； 由图象可知，抛物线与 x轴一个交点的横坐标在 2，3之间， ∵抛物线的对称轴为直线 x＝1， ∴抛物线与 x轴另一个交点的横坐标在﹣1，0之间， ∴当 x＝﹣1时，a﹣b+c＞0，故 D正确． 故选：D． 【点评】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，抛物线与 x轴的交点，关键是掌握二次函数的性 质． 5．在平面直角坐标系 xOy中，如果点( 13，�)、( 3 2，�)、(2，�)都在抛物线� = 2 3 � 2上，那么（ ） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 【解答】解：∵抛物线� = 23 � 2的开口向上，对称轴为 y轴， ∴x＞0时，y随 x的增大而增大， ∵点( 13，�)、( 3 2，�)、(2，�)都在抛物线� = 2 3 � 2上，且 1 3 ＜ 3 2 ＜2， ∴a＜b＜c． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的增减性是解题的关键． 6．抛物线 y＝2x2向左平移 1个单位，再向下平移 3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x+1）2﹣3 C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2+3 【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线 y＝2x2的图象向左平移 1个单位，再 向下平移 3个单位，则平移后的抛物线的表达式为 y＝2（x+1）2﹣3． 故选：B． 第 4页（共 43页） 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 7．已知：抛物线 y＝x2﹣6x+c的最小值为 1，那么 c的值是（ ） A．10 B．9 C．8 D．7 【解答】解：因为二次函数 y＝x2﹣6x+c的最小值为 1， 所以 4��−�2 4� = 4�−36 4 =1， 解得 c＝10． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数最大（小）值的求法，难度不大，关键掌握函数有最小值，当 x=− �2�时， y= 4��−� 2 4� ． 8．一抛物线的形状、开口方向与抛物线� =− 12 � 2 + 4� − 3相同，顶点为（﹣3，2），则此抛物线的解析 式为（ ） A．� =− 12 (� − 3) 2 + 2 B．� =− 12 (� + 3) 2 + 2 C．� =− 12 (� − 3) 2 − 2 D．� =− 12 (� + 3) 2 − 2 【解答】解：∵一抛物线的形状、开口方向与抛物线� =− 12 � 2 + 4� − 3相同，顶点为（﹣3，2）， ∴该抛物线的解析式为：� =− 12 (� + 3) 2 + 2， 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的表达式，理解二次函数的形 状、开口方向、顶点坐标，熟练掌握二次函数的顶点式是解决问题的关键． 9．将二次函数 y＝x2﹣4x﹣1化为 y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ） A．y＝（x+2）2+5 B．y＝（x+2）2﹣5 C．y＝（x﹣2）2+5 D．y＝（x﹣2）2﹣5 【解答】解：y＝x2﹣4x﹣1＝x2﹣4x+4﹣5 ＝（x﹣2）2﹣5． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式 y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）；顶点式 y＝a （x﹣k）2+h，顶点坐标为（k，h）；交点式 y＝（x﹣x1）（x﹣x2），x1、x2为抛物线与 x轴交点的横坐标． 10．已知抛物线 y＝ax2+bx+c如图所示，则关于 x的方程 ax2+bx+c﹣9＝0的根的情况是（ ） 第 5页（共 43页） A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 下平移 9个单位即可得到 y＝ax2+bx+c﹣9的图象， 此时，抛物线与 x轴无点， ∴方程 ax2+bx+c﹣9＝0无实数根． 故选：D． 【点评】此题主要考查了方程 ax2+bx+c＝0的根的情况，关键是看函数 y＝ax2+bx+c的图象与 x轴的交 点． 11．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数 y＝ax2+bx+c的图象与 x轴负半轴交于 A点，则一元二次方程 ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（ ） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 【解答】解：∵二次函数 y＝ax2+bx+c的顶点为（1，﹣4）， ∴对称轴为 x＝1， 而对称轴左侧图象与 x轴交点横坐标的取值范围是﹣3＜x＜﹣2， ∴右侧交点横坐标的取值范围是 4＜x＜5． 第 6页（共 43页） 故选：C． 【点评】此题主要考查了图象法求一元二次方程的近似根，解答本题首先需要观察得出对称轴左侧图象 与 x轴交点横坐标的取值范围，再根据对称性算出右侧交点横坐标的取值范围． 12．如图是二次函数 y1＝ax2+bx+c和一次函数 y2＝mx+n的图象，观察图象写出 y2＞y1时，x的取值范围 （ ） A．x≥0 B．0≤x≤1 C．﹣2＜x＜1 D．x≤1 【解答】解：从图象上看出，两个交点坐标分别为（﹣2，0），（1，3）， ∴当有 y2＞y1时，有﹣2＜x＜1． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数与不等式组，掌握借助图象求不等式的解是解题关键． 13．如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线 ACB）的薄壳屋顶．已知它的拱宽 AB为 4 米，拱高 CO为 0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图 ②是以 AB所在的直线为 x轴，OC所在的直线为 y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解 析式为（ ） A．y＝﹣0.2x2+0.8 B．y＝﹣0.2x2﹣0.8 C．y＝0.2x2+0.8 D．y＝﹣0.2x+0.4 【解答】解：设图②中的抛物线的解析式为 y＝ax2+bx+c（a≠0）， ∵AB＝4，CO＝0.8， ∴点 A的坐标为（﹣2，0），点 B的坐标为（2，0），点 C的坐标为（0，0.8）， 第 7页（共 43页） 将 A（﹣2，0），B（2，0），C（0，0.8）代入 y＝ax2+bx+c，得： 0 = 4� − 2� + � 0 = 4� + 2� + � 0.8 = � ， 解得： � =− 0.2 � = 0 � = 0.8 ， ∴图②中的抛物线的解析式为 y＝﹣0.2x2+0.8． 故选：A． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式以及待定系数法求二次函数解析式，构造坐标系， 利用待定系数法求出二次函数解析式是解题的关键． 14．一位运动员在距篮下 4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5m时，达到 最大高度 3.5m，然后准确落入篮圈．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮圈中心到地面的距离为 3.05m，该运动员身高 1.9m，在这次跳投中，球在头顶上方 0.25m处出手球出手时，他跳离地面的高度 是（ ） A．0.1m B．0.2m C．0.3m D．0.4m 【解答】解：∵当球运行的水平距离为 2.5米时，达到最大高度 3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴设抛物线的表达式为 y＝ax2+3.5． 由图知图象过以下点：（1.5，3.05）． ∴2.25a+3.5＝3.05， 解得：a＝﹣0.2， ∴抛物线的表达式为 y＝﹣0.2x2+3.5． 设球出手时，他跳离地面的高度为 hm， 因为 y＝﹣0.2x2+3.5， 则球出手时，球的高度为 h+1.9+0.25＝（h+2.15）m， ∴h+2.15＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5， ∴h＝0.1（m）． 第 8页（共 43页） 故选：A． 【点评】此题主要考查了二次函数的应用，建立合适的平面直角坐标系是解决本题的突破点，求得球出 手时距离地面的高度是解决本题的关键． 15．如图，⊙O的半径为 2，C1是函数� = 1 2 � 2的图象，C2是函数� =− 1 2 � 2的图象，C3是函数� = 3�的 图象，则阴影部分的面积是（ ） A．2π B． 5 3 � C． 11 3 � D． 4 3 � 【解答】解：抛物线 y= 12x 2与抛物线 y=− 12x 2的图形关于 x轴对称，直线 y= 3x与 x轴的正半轴的夹 角为 60°， 根据图形的对称性，把左边阴影部分的面积对折到右边，可以得到阴影部分就是一个扇形， 并且扇形的圆心角为 150°，半径为 2， 所以：S 阴影= 150⋅�⋅22 360 = 5 3�． 故选：B． 【点评】本题考查的是二次函数的综合题，题目中的两条抛物线关于 x轴对称，圆也是一个对称图形， 可以得到图中阴影部分的面积等于圆心角为 150°，半径为 2的扇形的面积，用扇形面积公式计算可以 求出阴影部分的面积． 16．若关于 x的函数� = (� + 2)��2−2 + � − 3是二次函数，则 m的值为（ ） A．0 B．2 C．﹣2或 2 D．﹣2 第 9页（共 43页） 【解答】解：∵关于 x的函数 y＝（m+2）x �2−2 +x﹣3是二次函数， ∴m+2≠0且 m2﹣2＝2， 解得：m＝2． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如 y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函 数，叫做二次函数． 17．已知一次函数� = �� + ��的图象如下，则函数 y＝ax 2+bx+c的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【解答】解：由一次函数的图象可得：�＜0， ��＞0， ∴函数 y＝ax2+bx+c的图象与 y轴的交点在 y轴的负半轴， ∴排除 A、C选项； 函数 y＝ax2+bx+c的图象的对称轴=− �2�＜0， ∴函数 y＝ax2+bx+c的图象的对称轴与 x轴的交点在 x轴的负半轴， ∴只有 B选项符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与一次函数的图象，解题时要熟练掌握二次函数的性质是关键． 18．二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）部分 x，y的对应值如下表： 第 10页（共 43页） x … 0 1 3 4 … y … 1 ﹣1 1 5 … 则下列判断中正确的是（ ） A．函数图象的开口向下 B．当 x＞2时，y随 x的增大而增大 C．当 y＞1时，x＞3 D．y最小值为﹣1 【解答】解：由表格可知， 该函数图象的对称轴为直线 x= 0+32 = 3 2， 函数图象开口向上，故选项 A错误，不符合题意； 当 x＞2时，y随 x的增大而增大，故选项 B正确，符合题意； 当 y＞1时，x＞3或 x＜0，故选项 C错误，不符合题意； 当 x= 32时，取得最小值，这个最小值小于﹣1，故选项 D错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键 是明确题意，利用二次函数的性质解答． 19．如果抛物线 y＝（m﹣1）x2+mx的顶点是它的最高点，那么 m的取值范围是（ ） A．m＞0 B．m＜0 C．m＞1 D．m＜1 【解答】解：∵抛物线 y＝（m﹣1）x2+mx的顶点是它的最高点， ∴抛物线 y＝（m﹣1）x2+mx图象的开口向下， ∴m﹣1＜0， ∴m＜1， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 20．设函数�1 =− (� − �)2，�2 =− (� − �)2，直线 x＝1 与函数 y1，y2的图象分别交于点 A（1，a1），B （1，a2），得（ ） A．若 1＜m＜n，则 a1＜a2 B．若 m＜n＜1，则 a1＜a2 C．若 m＜1＜n，则 a1＜a2 D．若 m＜n＜1，则 a2＜a1 【解答】解：如图所示，若 1＜m＜n，则 a1＞a2， 第 11页（共 43页） 故 A不符合题意； 如图所示，若 m＜1＜n，则 a1＞a2或 a1＜a2， 故 C不符合题意； 如图所示，若 m＜n＜1，则 a1＜a2， B符合题意，D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键． 21．将抛物线 y＝﹣2x2平移得到抛物线 y＝﹣2（x﹣3）2+1，下列平移过程正确的是（ ） A．向左平移 3个单位长度，再向上平移 1个单位长度 B．向左平移 3个单位长度，再向下平移 1个单位长度 C．向右平移 3个单位长度，再向下平移 1个单位长度 D．向右平移 3个单位长度，再向上平移 1个单位长度 【解答】解：将抛物线 y＝﹣2x2向右平移 3个单位长度，再向上平移 1个单位长度得到抛物线 y＝﹣2 第 12页（共 43页） （x﹣3）2+1， 故选：D． 【点评】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的规律是解答此 题的关键． 22．函数 y＝2x2﹣4x+5的图象如图所示，当﹣2≤x≤2时，函数的最大值为 m，最小值为 n，则 m+n的值 是（ ） A．24 B．18 C．16 D．2 【解答】解：∵抛物线为 y＝2x2﹣4x+5， ∴对称轴是直线 x=− −42×2 =1． ∵对称轴是直线 x＝1， ∴当 x＝1时，y有最小值 3，当 x＝﹣2时，y有最大值 21， ∴n＝3，m＝21； ∴m+n＝24． 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题是要熟练掌握并能灵活运用是关键． 23．如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（3，2），D（5，﹣1），y是关于 x的二次函数，抛物线 y经过点 A，B，C．抛物线 y2经过点 B，C，D，抛物线 y3经过点 A、B，D，抛 物线 y4经过点 A，C，D．下列判断其中正确的是（ ） ①四条抛物线的开口方向均向下； ②当 x＜0时，四条抛物线表达式中的 y均随 x的增大而增大； ③抛物线 y1的顶点在抛物线 y2顶点的上方； ④抛物线 y4与 y轴交点在点 B的上方． 第 13页（共 43页） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 【解答】解：由抛物线 y1经过点 A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（3，2）可得 y1=− 3 4x 2+ 94x+2， 同理可得 y2=− 3 10x 2+ 910x+2，y3=− 3 5x 2+ 125 x+2，y4=− 3 8x 2+ 32x+ 7 8， ∵− 34＜0，− 3 10＜0，− 3 5＜0，− 3 8＜0， ∴四条抛物线的开口方向均向下，故①正确； ∵四条抛物线表达式中二次项系数与一次项系数都异号， ∴四条抛物线的对称轴都在 y轴右侧， ∴当 x＜0时，四条抛物线表达式中的 y均随 x的增大而增大，故②正确； ∵y1=− 3 4x 2+ 94x+2=− 3 4（x− 3 2） 2+ 5916，y2=− 3 10x 2+ 910x+2=− 3 10（x− 3 2） 2+ 10740， ∴抛物线 y1的顶点（ 3 2 ， 59 16 ）在抛物线 y2顶点（ 3 2 ， 107 40 ）的上方，故③正确； 在 y4=− 3 8x 2+ 32x+ 7 8中，令 x＝0得 y= 7 8， ∴抛物线 y4与 y轴交点（0， 7 8 ）在点 B（0，2）的下方，故④错误； 故选：C． 【点评】本题考查二次函数性质和待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是用待定系数法求出四条 抛物线解析式． 24．将二次函数 y＝x（x﹣1）+3x化为一般形式后，正确的是（ ） A．y＝x2﹣x+3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x 【解答】解：y＝x（x﹣1）+3x＝x2+2x，即 y＝x2+2x． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的三种形式： （1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）； （2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k； （3）交点式（与 x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 第 14页（共 43页） 25．如图，对称轴为直线 x＝1的抛物线 y＝ax2+bx+c与 y轴负半轴相交，且与 x轴的负半轴的交点的横坐 标大于﹣1而小于 0，下列描述：①b＝﹣2a，②abc＞0，③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中描述正 确的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线 x＝1， ∴− �2� = 1， ∴b＝﹣2a． 故①正确； 由图象可得，a＞0，c＜0， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0， 故②正确； 由图象可得，抛物线与 x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， 故③正确； 由图象可得，当 x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， 故④正确． ∴正确的个数为 4个． 故选：A． 【点评】本题考查抛物线与 x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图 象上点的坐标特征 26．根据下表中二次函数 y＝ax2+bx+c的自变量 x与函数值 y的对应值，判断方程 ax2+bx+c＝0（a≠0，a， b，c为常数）的一个解 x的范围是（ ） 第 15页（共 43页） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 【解答】解：函数 y＝ax2+bx+c的图象与 x轴的交点的横坐标就是方程 ax2+bx+c＝0的根， 函数 y＝ax2+bx+c的图象与 x轴的交点的纵坐标为 0． 由表中数据可知：y＝0在 y＝﹣0.01与 y＝0.02之间， 所以对应的 x的值在 6.18与 6.19之间，即 6.18＜x1＜6.19． 故选：C． 【点评】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到 y由正变为负时，自变量的 取值即可． 27．设二次函数 y＝ax2+c（a，c为实数，a≠0，c＞0）的图象过点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），（4， y4），（ ） A．若 y1y4＞0，y2+y3＞0，则 a＞0 B．若 y1y4＞0，y2+y3＜0，则 a＞0 C．若 y1y4＜0，y2+y3＞0，则 a＜0 D．若 y1y4＜0，y2+y3＜0，则 a＜0 【解答】解：由题意知： A．y1＝9a+c，y2＝a+c，y3＝4a+c，y4＝16a+c， ∵y1y4＞0，则 （9a+c）（16a+c）＞0，即 (� + � 16 )(� + � 9 )＞0， ∴a＞0或 �＜ − �9且�＜ − � 16，故选项 A错误； B．∵y1y4＞0，则 (� + � 16 )(� + � 9 )＜0， ∴− �9＜�＜ − � 16，故选项 B错误； C．∵y2+y3＞0，则 a+c+4a+c＞0，即 5a+2c＞0， ∴�＞ − 25 �，故选项 C正确； D．∵y1y4＜0，则（a+ � 16）（a+ � 9）＜0， ∴− �9＜�＜ − � 16，故选项 D错误； 第 16页（共 43页） 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 28．跳台滑雪可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，落地点越远，飞行距离分越高．为寻找更为有利 的起跳条件，小官利用红外摄像仪记录了运动员从起跳点起跳后的飞行高度 y（m）与水平距离 x（m） 之间的五组数据，统计如表，并绘制函数图象如图． x/m 0 10 20 30 40 y/m 54.0 57.8 57.6 53.4 45.2 根据以上信息，可知 y与 x的函数关系式是（ ） A．� =− 125 � 2 − 1925 � + 54(� ≥ 0) B．� =− 125 � 2 + 1925 � + 54(� ≥ 0) C．� =− 150 � 2 − 2950 � + 54(� ≥ 0) D．� =− 150 � 2 + 2950 � + 54(� ≥ 0) 【解答】解：设 y与 x的函数关系式为 y＝ax2+bx+c， 把（0，54.0），（10，57.8），（20，57.6）分别代入得 � = 54.0 100� + 10� + � = 57.8 400� + 20� + � = 57.6 ， 解得 � =− 150 � = 2950 � = 54 ， 所以 y与 x的函数关系式为 y=− 150x 2+ 2950x+54（t≥0）． 故选：D． 【点评】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式：通过描点，观察图象后再判断是二次函数，然后 利用待定系数法求解解析式． 第 17页（共 43页） 29．如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气 阻力，小球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有函数关系 h＝20t﹣5t2.下列说法 正确的是（ ） A．小球飞行 1s时飞行高度为 10m B．小球飞行高度为 15m时，小球飞行的时间是 3s C．小球飞行的最大高度达到 25m D．小球从飞出到落地要用 4s 【解答】解：当 t＝1时，h＝20t﹣5t2＝15， ∴小球飞行 1s时飞行高度为 15m． 故选项 A不符合题意； 20t﹣5t2＝15的两根 t1＝1与 t2＝3，即 h＝15时所用的时间， ∴小球的飞行高度是 15m时，小球的飞行时间是 1s或 3s， 故选项 B不符合题意； h＝20t﹣5t2＝20﹣5（2﹣t）2， ∴对称轴直线为：t＝2，最大值为 20， 故选项 C不符合题意； ∵当 h＝0时，t1＝0，t2＝4， ∴t2﹣t1＝4， ∴小球从飞出到落地要用 4s， 故选项 D不符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，本题较为简单，正确理解函数值的意义是本题解题的关键． 30．如图，在平面直角坐标系 xOy中，A，B两点同时从原点 O出发，点 A以每秒 2个单位长的速度沿 x 轴的正方向运动，点 B以每秒 1个单位长的速度沿 y轴的正方向运动，设运动时间为 t秒，以 AB为直 径作圆，圆心为点 P．在运动的过程中有如下 5个结论： 第 18页（共 43页） ①∠ABO的大小始终不变； ②⊙P始终经过原点 O； ③半径 AP的长是时间 t的一次函数； ④圆心 P的运动轨迹是一条抛物线； ⑤AB始终平行于直线� =− 12 �． 其中正确的有（ ） A．①②③④ B．①②⑤ C．②③⑤ D．①②③⑤ 【解答】解：①由题意得：OA＝2t，OB＝t， 则 tan∠ABO= ���� = 2� � = 2， ∴∠ABO的大小始终不变，正确； ②∵AB是圆 P的直径， 则 AB所对的圆周角为 90°，即∠AOB＝90°， ∴⊙P始终经过原点 O，正确； ③由点 A、B的坐标，根据中点坐标公式得：点 P（t， 1 2 t）， 则 AP= (2� − �)2 + ( �2 ) 2 = 52 t， 即 AP的长度是时间 t的一次函数，正确； ④由③知，点 P（t， 1 2 t）， 则点 P在直线 y= 12x上，故④错误； ⑤设直线 AB的表达式为：y＝kx+b， 则 � = � 0 = 2�� + �，解得： � =− 12 � = � ， 故直线 AB的表达式为：y=− 12x+t， ∵AB始终平行于直线� =− 12 �，正确， 第 19页（共 43页） 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及到一次函数基本性质、圆的基本知识等，有一定的综合性， 难度不大． 31．已知抛物线 y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且 a≠0）y与 x的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣1 0 3 5 … y … 16 0 ﹣5 ﹣8 0 … 下列结论正确的是（ ） A．抛物线开口向下 B．有最小值﹣8 C．若 A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则 x1＜x2 D．当 x＞5时，y＞0 【解答】解： 根据表格中的数据描点，然后连线即可画出图形，根据画出的图形判断抛物线开口向上，故 A选项错 误， 根据画出的图形判断，对称轴为 x＝2，在 x＝2时有最小值，最小值小于﹣8，故 B选项错误， 根据画出的图形判断，当 x1、x2在对称轴左侧时，x1＞x2，故 C选项错误， 根据画出的图形判断，当 x＞5时，y＞0，故 D项错误． 故选：D． 【点评】本题考查的是二次函数图象的作图，二次函数的图象与性质，数形结合的思想是解题的关键． 32．关于抛物线 y＝x2﹣2mx+m2+m﹣6（m是常数），下列结论正确的是（ ） ①若此抛物线与 x轴只有一个公共点，则 m＝﹣6； 第 20页（共 43页） ②若此抛物线与坐标轴只有一个公共点，则 m＞6； ③若点 A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在抛物线上，则 y1＜y2； ④无论 m为何值，抛物线的顶点到直线 y＝x的距离都等于 3 2． A．②④ B．①③ C．②③ D．①④ 【解答】解：∵抛物线 y＝x2﹣2mx+m2+m﹣6（m是常数）与 x 轴只有一个公共点， ∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣6）＝0， 解得：m＝6， 故结论①不正确； ∵此抛物线与坐标轴只有一个公共点， ∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣6）＜0， 解得：m＞6， 故结论②正确； ∵抛物线 y＝x2﹣2mx+m2+m﹣6， ∴对称轴为直线 x＝m， ∵a＝1＞0，|m﹣2﹣m|＞|m+1﹣m|， ∴y1＞y2， 故结论③不正确； ④∵抛物线 y＝x2﹣2mx+m2+m﹣6＝（x﹣m）2+m﹣6， ∴抛物线的顶点为：（m，m﹣6）， ∴抛物线的顶点坐标在直线 y＝x﹣6上， ∴直线 y＝x﹣6平行于直线 y＝x， 如图，设直线 y＝x﹣6与 x轴交于点 A，过点 A作 AB⊥直线 y＝x于点 B，则∠AOB＝45°， 第 21页（共 43页） 当 y＝0时，x﹣6＝0，解得：x＝6， ∴A（6，0），OA＝6， ∴△OAB是等腰直角三角形， ∴�� = 22 �� = 3 2， ∴抛物线的顶点到直线 y＝x的距离都等于 3 2， 故结论④正确； ∴结论正确的是②④， 故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上 点的坐标特征，抛物线与 x轴的交点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数的对称 性． 33．如图，平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2+bx+c经过点 A（﹣2，0）和 B（3，0），P是抛物线上第四象 限内一动点，过点 P作 x轴的垂线，垂足为 Q，当 AQ+PQ取最大值时，点 P的坐标为（ ）． A．（1，9） B．( 12， − 25 4 ) C．( 1 2， − 9) D．（1，﹣6） 【解答】解：∵抛物线 y＝x2+bx+c经过点 A（﹣2，0）和 B（3，0）， ∴ 4 − 2� + � = 0 9 + 3� + � = 0，解得 � =− 1 � =− 6， ∴二次函数解析式为 y＝x2﹣x﹣6． 设点 P（m，m2﹣m﹣6），则 Q（m，0），且 0＜m＜3． ∴AQ+PQ＝m+1﹣m2+m+6＝﹣m2+2m+7＝﹣（m﹣1）2+8， 当 m＝1时，AQ+PQ有最大值，最大值为 8， ∴P（1，﹣6）． 故选：D． 第 22页（共 43页） 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求出二次函数解析式是关键． 34．小雨同学用计算机软件绘制函数� = 12 � 2 − � + 12的图象后，将其对称轴左侧的图象作关于 x轴对称的 图象，得到新的图象 G（如图所示）．若点 A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3），…，A19（1.9， y19），A20（2，y20）都在图象 G上，这 20个点的横坐标从 0.1开始依次增加 0.1，则 y1+y2+y3+…+y19+y20 的值是（ ） A．﹣1 B．0 C． 1 2 D．1 【解答】解：∵这 20个点的横坐标从 0.1开始依次增加 0.1， ∴ 0.1+1.9 2 = 0.2+1.8 2 = ⋯ = 0.9+1.1 2 = 1， ∴y1+y19＝0，y2+y18＝0，……， ∴y1+y2+y3+⋯⋯+y19+y20＝y10+y20， ∵A10（1，y10），A20（2，y20）， ∴当 x＝1时，y10＝0，当 x＝2时，�20 = 1 2 × 2 2 − 2 + 12 = 1 2， ∴�1 + �2 + �3 +⋯⋯+ �19 + �20 = �10 + �20 = 1 2， 故选：C． 【点评】本题考查了中心对称、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是关键． 35．已知二次函数 y1＝a（x﹣x1）（x﹣x2）的最小值是 m，二次函数 y2＝a（x﹣x2）（x﹣x3）的最小值是 4m， 当 x1＜x2＜x3时，x1，x2，x3满足的关系是（ ） A．�1 = �2+�3 2 B．�1 = 2�3−�2 2 C．�1 = �2−2�3 2 D．�1 = 3�2−�3 2 【解答】解：∵二次函数 y1＝a（x﹣x1）（x﹣x2）的最小值是 m， ∴当 x= �1+�22 时，y＝m， ∴m＝a（ �1+�2 2 − �1）（ �1+�2 2 − �2）， ∵二次函数 y2＝a（x﹣x2）（x﹣x3）的最小值是 4m， ∴当 x= �2+�32 时，y＝4m， ∴4m＝a（ �2+�3 2 − �2）（ �2+�3 2 −x3）， ∴（ �1+�2 2 − �1）（ �1+�2 2 − �2）= 1 4（ �2+�3 2 − �2）（ �2+�3 2 −x3）， 第 23页（共 43页） ∴ 1 4 （x2﹣x1）（x1﹣x2）= 1 16（x3﹣x2）（x2﹣x3）， ∴（x2﹣x1）2= 1 4（x3﹣x2） 2， ∵x1＜x2＜x3， ∴x2﹣x1= 1 2（x3﹣x2）， ∴x1＝x2− 1 2（x3﹣x2）= 3 2x2− 1 2x3= 3�2−�3 2 ， 即�1 = 3�2−�3 2 ． 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 36．抛物线 y＝﹣x2+bx+c交 x轴于点 A（﹣1，0），B（3，0），交 y轴于点 C，点 E为抛物线对称轴 l与 x 轴的交点．若点 P为第一象限内对称轴 l右侧抛物线上一点，则△PCE面积的最大值为（ ） A．3 B．5 C． 25 4 D． 25 8 【解答】解：∵抛物线 y＝﹣x2+bx+c交 x轴于点 A（﹣1，0），B（3，0）， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，抛物线对称轴是直线 x＝1， ∴E（1，0）． 当 x＝0时，y＝3， ∴C（0，3）． 过 P作 PM⊥x轴于 M，设 P（m，﹣m2+2m+3）， ∴OM＝m，PM＝﹣m2+2m+3， ∵OE＝1，EM＝m﹣1，OC＝3， ∴S△PCE＝S 梯形 COMP﹣S△COE﹣S△PEM = 12 (3 − � 2 + 2� + 3) × � − 12 × 1 × 3 − 1 2 × (� − 1)( − � 2 + 2�+ 3) 第 24页（共 43页） =− 12� 2 + 52� =− 12 (� − 5 2 ) 2 + 258， ∴当� = 52时，△PCE面积的最大值为 25 8 ． 故选 D． 【点评】本题主要考查了二次函数与几何综合，灵活运用数形结合以及二次函数的最值问题是本题解题 的关键． 37．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与 x轴交于 A，B两点，与 y轴的正半轴交于点 C，对称轴 是直线 x＝﹣1，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当 m≠﹣1 时，a﹣b＞am2+bm；②若 ��12 +bx1= ��22 +bx2且 x1≠x2，则 x1+x2＝2；③若 OA＝OC，则 OB=− 2 �；④连结 AC．若 B（1，0）， C（0，3），点 P在抛物线的对称轴上，且∠PCA＝90°，则 P（﹣1，4）．其中正确的是（ ） A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【解答】解：∵a＜0，抛物线的对称轴是直线 x＝﹣1， ∴当 x＝﹣1时，y有最大值 a﹣b+c， ∴a﹣b+c＞am2+bm+c（m≠﹣1）， 即 a﹣b＞am2+bm（m≠﹣1），所以①正确； ∵��12 +bx1= ��22 +bx2， ∴��12 +bx1− ��22 −bx2＝0， ∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0， ∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0， ∵x1≠x2， a（x1+x2）+b＝0， ∴x1+x2=− � �， 第 25页（共 43页） ∵− �2� =−1， ∴b＝2a， ∴x1+x2=− 2� � =−2，所以②错误； ∵C（0，c）， ∴OA＝OC＝c， ∴A（﹣c，0）， ∴ac2﹣bc+c＝0， ∴c= �−1� = 2�−1 � ， ∵OB+1＝OA﹣1＝c﹣1， ∴OB＝c﹣2= 2�−1� −2=− 1 �，所以③错误； ∵抛物线的对称轴为直线 x＝﹣1， 而 B（1，0）， ∴A（﹣3，0）， 设 P（﹣1，t）， ∵∠PCA＝90°， ∴AC2+PC2＝PA2， 即 32+32+12+（t﹣3）2＝（﹣1+3）2+t2， 解得 t＝4， ∴P（﹣1，4），所以④正确． 故选：A． 【点评】本题考查了抛物线与 x轴的交点：把求二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与 x 轴的交点坐标问题转化为解关于 x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐 标特征． 38．已知一个二次函数 y＝ax2+bx+c的自变量 x与函数 y的几组对应值如表， x ⋯ ﹣4 ﹣2 0 3 5 ⋯ y ⋯ ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 ⋯ 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A．图象的开口向上 第 26页（共 43页） B．当 x＞0时，y的值随 x的值增大而增大 C．方程 ax2+bx+c＝0的一个解 x的取值范围是﹣1＜x＜1 D．图象的对称轴是直线 x＝0 【解答】解：由题知， 4� − 2� + � =− 8 � = 0 9� + 3� + � =− 3 ， 解得 � =− 1 � = 2 � = 0 ， 所以二次函数的解析式为 y＝﹣x2+2x． 因为 a＝﹣1＜0， 所以抛物线的开口向下． 故 A选项不符合题意． 因为 y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1， 所以当 x＞1时，y随 x的增大而减小． 故 B选项不符合题意． 令 y＝0得， ﹣x2+2x＝0， 解得 x1＝0，x2＝2， 所以抛物线与 x轴的交点坐标为（0，0）和（2，0）． 所以方程 ax2+bx+c＝0的一个解 x的取值范围是﹣1＜x＜1． 故 C选项符合题意． 因为二次函数解析式为 y＝﹣（x﹣1）2+1， 所以抛物线的对称轴为直线 x＝1． 故 D选项不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，能用待定系数法求出二次函 数解析式及熟知二次函数的性质是解题的关键． 39．二次函数 y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线 x＝1．下列结论： ①abc＞0； ②3a+c＜0； ③a+b≤am2+bm（实数 m≠1）； 第 27页（共 43页） ④若方程 ax2+bx+c＝n有一根为﹣2，则不等式 ax2+bx+c＜n的解集是﹣2＜x＜4； ⑤若��12 −bx1= ��22 −bx2，且 x1≠x2，则 x1+x2＝﹣2． 其中结论错误的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵二次函数 y＝ax2+bx+c的图象开口向上，与 y轴交于负半轴，对称轴是直线 x＝1， ∴a＞0，c＜0，� =− �2� = 1， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0， 故①结论正确，该选项不符合题意； 根据图示可得，当 x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0， ∴a﹣（﹣2a）+c＞0，即 3a+c＞0， 故②结论错误，该选项符合题意； ∵二次函数图象开口向上，对称轴直线为 x＝1， ∴当 x＝1时，二次函数有最小值，最小值为 y＝a+b+c， ∴实数 m（m≠1）时，a+b+c＜am2+bm+c， 故③结论错误，该选项符合题意； 由二次函数图示可得，x＝﹣2时，二次函数 y＝ax2+bx+c＞0， ∵对称轴直线为 x＝1， ∴当 x＝﹣2时的函数值与 x＝4时的函数值相等， ∴不等式 ax2+bx+c＜n 的解集是﹣2＜x＜4， 故④结论正确，该选项不符合题意； 若��12 − ��1 = ��22 − ��2，且 x1≠x2， ∴��12 − ��22 − ��1 + ��2 = 0， 第 28页（共 43页） a（x1+x2）（x1﹣x2）﹣b（x1﹣x2）＝0， （x1﹣x2）[a（x1+x2）﹣b]＝0， ∵x1≠x2， ∴x1﹣x2≠0， ∴a（x1+x2）﹣b＝0， ∴�1 + �2 = � � = −2� � =− 2， 故⑤结论正确，该选项不符合题意， 综上所述，错误的有②③，共 2个， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数与不等式（组），二次函数图象与系数的关系，抛物线与 x轴的交点，掌 握图象开口，对称轴直线，最值的计算等方法是解题的关键． 40．如图 1，发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部 O处，以点 O为原点，水平方向 为 x轴方向，建立如图 2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近 似看作抛物线 y＝a（x﹣30）2+k的一部分，若发射石块在空中飞行的最大高度为 15米，则该抛物线的 解析式为（ ） A．� =− 160 (� − 30) 2 + 15 B．� =− 12 (� − 30) 2 + 15 C．� =− 215 (� − 15) 2 + 30 D．y＝﹣2（x﹣15）2+30 【解答】解：由题意可得：抛物线解析式为：y＝a（x﹣30）2+15， 将点（0，0）代入 y＝a（x﹣30）2+15， 得 0＝900a+15， ∴� =− 160， ∴� =− 160 (� − 30) 2 + 15， 第 29页（共 43页） 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数的实际应用．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的性质是解题 的关键． 41．在学校的秋季运动会中，小明参加了跳远比赛，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化 （如图），若重心高度 h（m）与起跳后时间 t（s）的函数表达式为 h＝﹣5t2+3t，当 t＝0.2，0.3，0.5时， 所对应的重心高度分别记为 h1，h2，h3，则（ ） A．h1＞h2＞h3 B．h1＞h3＞h2 C．h2＞h1＞h3 D．h2＞h3＞h1 【解答】解：当 t＝0.2时，h1＝﹣5×（0.2）2+3×0.2＝0.4； 当 t＝0.3时，h2＝﹣5×（0.3）2+3×0.3＝0.45； 当 t＝0.5时，h3＝﹣5×（0.5）2+3×0.5＝0.25； ∵0.45＞0.4＞0.25， ∴h2＞h1＞3， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的应用，关键是掌握二次函数的性质． 42．如图，抛物线 m：y＝ax2+b（a＜0，b＞0）与 x轴于点 A、B（点 A在点 B的左侧），与 y轴交于点 C．将 抛物线 m绕点 B旋转 180°，得到新的抛物线 n，它的顶点为 C1，与 x轴的另一个交点为 A1．若四边 形 AC1A1C为矩形，则 a，b应满足的关系式为（ ） A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣3 C．ab＝﹣4 D．ab＝﹣5 第 30页（共 43页） 【解答】解：令 x＝0，得：y＝b． ∴C（0，b）． 令 y＝0，得：ax2+b＝0， ∴x＝± − ��， ∴A（− − ��，0），B（ − � �，0）， ∴AB＝2 − ��，BC= �� 2+��2 = �2 − ��． 要使平行四边形 AC1A1C是矩形，必须满足 AB＝BC， ∴2 − �� = � 2 − ��． ∴4×（− ��）＝b 2− ��， ∴ab＝﹣3． ∴a，b应满足关系式 ab＝﹣3． 故选：B． 【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的性质和点的坐标关于一点中心对称的性质，灵活 应用平行四边形的性质是解决问题的关键． 43．如图，抛物线 y＝a1x2与抛物线 y＝a2x2+bx的交点 P在第三象限，过点 P作 x轴的平行线，与两条抛 物线分别交于点 M、N，若 �� �� = 2 3 ，则 �1 �2 的值是（ ） A．3 B．2 C． 2 3 D． 1 2 【解答】解：令 a1x2＝a2x2+bx得（a2﹣a1）x2+bx＝0， 设方程的解为 x1，x2， 因为图象交点为 O，P， ∴x1＝0，xP＝x2， 则 x1+x2＝x2= � �1−�2 ， 中考数学第一轮复习 选择题练习 函数之二次函数 单选题： 1．下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝（x﹣5）2﹣x2 C．y＝x2+1 D． 2．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．关于抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，下列说法错误的是（　　） A．开口方向向下 B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小 C．对称轴是直线x＝﹣1 D．经过点（0，1） 4．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（　　） A．b＞0 B．2a+b＞0 C．b2﹣4ac＜0 D．a﹣b+c＞0 5．在平面直角坐标系xOy中，如果点都在抛物线上，那么（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c 6．抛物线y＝2x2向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（　　） A．y＝2（x+1）2+3 B．y＝2（x+1）2﹣3 C．y＝2（x﹣1）2﹣3 D．y＝2（x﹣1）2+3 7．已知：抛物线y＝x2﹣6x+c的最小值为1，那么c的值是（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 8．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为（﹣3，2），则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 9．将二次函数y＝x2﹣4x﹣1化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（　　） A．y＝（x+2）2+5 B．y＝（x+2）2﹣5 C．y＝（x﹣2）2+5 D．y＝（x﹣2）2﹣5 10．已知抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c﹣9＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的正实数根 B．有两个异号实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 11．如图，以（1，﹣4）为顶点的二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴负半轴交于A点，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的正数解的范围是（　　） A．2＜x＜3 B．3＜x＜4 C．4＜x＜5 D．5＜x＜6 12．如图是二次函数y1＝ax2+bx+c和一次函数y2＝mx+n的图象，观察图象写出y2＞y1时，x的取值范围（　　） A．x≥0 B．0≤x≤1 C．﹣2＜x＜1 D．x≤1 13．如图①，某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线ACB）的薄壳屋顶．已知它的拱宽AB为4米，拱高CO为0.8米．为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系求解析式．图②是以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴建立的平面直角坐标系，则图②中的抛物线的解析式为（　　） A．y＝﹣0.2x2+0.8 B．y＝﹣0.2x2﹣0.8 C．y＝0.2x2+0.8 D．y＝﹣0.2x+0.4 14．一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m，该运动员身高1.9m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手球出手时，他跳离地面的高度是（　　） A．0.1m B．0.2m C．0.3m D．0.4m 15．如图，⊙O的半径为2，C1是函数的图象，C2是函数的图象，C3是函数的图象，则阴影部分的面积是（　　） A．2π B． C． D． 16．若关于x的函数是二次函数，则m的值为（　　） A．0 B．2 C．﹣2或2 D．﹣2 17．已知一次函数的图象如下，则函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 18．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）部分x，y的对应值如下表： x … 0 1 3 4 … y … 1 ﹣1 1 5 … 则下列判断中正确的是（　　） A．函数图象的开口向下 B．当x＞2时，y随x的增大而增大 C．当y＞1时，x＞3 D．y最小值为﹣1 19．如果抛物线y＝（m﹣1）x2+mx的顶点是它的最高点，那么m的取值范围是（　　） A．m＞0 B．m＜0 C．m＞1 D．m＜1 20．设函数，，直线x＝1与函数y1，y2的图象分别交于点A（1，a1），B（1，a2），得（　　） A．若1＜m＜n，则a1＜a2 B．若m＜n＜1，则a1＜a2 C．若m＜1＜n，则a1＜a2 D．若m＜n＜1，则a2＜a1 21．将抛物线y＝﹣2x2平移得到抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+1，下列平移过程正确的是（　　） A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 22．函数y＝2x2﹣4x+5的图象如图所示，当﹣2≤x≤2时，函数的最大值为m，最小值为n，则m+n的值是（　　） A．24 B．18 C．16 D．2 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣1），B（0，2），C（3，2），D（5，﹣1），y是关于x的二次函数，抛物线y经过点A，B，C．抛物线y2经过点B，C，D，抛物线y3经过点A、B，D，抛物线y4经过点A，C，D．下列判断其中正确的是（　　） ①四条抛物线的开口方向均向下； ②当x＜0时，四条抛物线表达式中的y均随x的增大而增大； ③抛物线y1的顶点在抛物线y2顶点的上方； ④抛物线y4与y轴交点在点B的上方． A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④ 24．将二次函数y＝x（x﹣1）+3x化为一般形式后，正确的是（　　） A．y＝x2﹣x+3 B．y＝x2﹣2x+3 C．y＝x2﹣2x D．y＝x2+2x 25．如图，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c与y轴负半轴相交，且与x轴的负半轴的交点的横坐标大于﹣1而小于0，下列描述：①b＝﹣2a，②abc＞0，③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中描述正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 26．根据下表中二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.06 A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 27．设二次函数y＝ax2+c（a，c为实数，a≠0，c＞0）的图象过点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），（4，y4），（　　） A．若y1y4＞0，y2+y3＞0，则a＞0 B．若y1y4＞0，y2+y3＜0，则a＞0 C．若y1y4＜0，y2+y3＞0，则a＜0 D．若y1y4＜0，y2+y3＜0，则a＜0 28．跳台滑雪可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，落地点越远，飞行距离分越高．为寻找更为有利的起跳条件，小官利用红外摄像仪记录了运动员从起跳点起跳后的飞行高度y（m）与水平距离x（m）之间的五组数据，统计如表，并绘制函数图象如图． x/m 0 10 20 30 40 y/m 54.0 57.8 57.6 53.4 45.2 根据以上信息，可知y与x的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 29．如图，将小球沿与地面成某个角度的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2.下列说法正确的是（　　） A．小球飞行1s时飞行高度为10m B．小球飞行高度为15m时，小球飞行的时间是3s C．小球飞行的最大高度达到25m D．小球从飞出到落地要用4s 30．如图，在平面直角坐标系xOy中，A，B两点同时从原点O出发，点A以每秒2个单位长的速度沿x轴的正方向运动，点B以每秒1个单位长的速度沿y轴的正方向运动，设运动时间为t秒，以AB为直径作圆，圆心为点P．在运动的过程中有如下5个结论： ①∠ABO的大小始终不变； ②⊙P始终经过原点O； ③半径AP的长是时间t的一次函数； ④圆心P的运动轨迹是一条抛物线； ⑤AB始终平行于直线． 其中正确的有（　　） A．①②③④ B．①②⑤ C．②③⑤ D．①②③⑤ 31．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）y与x的部分对应值如表： x … ﹣3 ﹣1 0 3 5 … y … 16 0 ﹣5 ﹣8 0 … 下列结论正确的是（　　） A．抛物线开口向下 B．有最小值﹣8 C．若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x2 D．当x＞5时，y＞0 32．关于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣6（m是常数），下列结论正确的是（　　） ①若此抛物线与x轴只有一个公共点，则m＝﹣6； ②若此抛物线与坐标轴只有一个公共点，则m＞6； ③若点A（m﹣2，y1），B（m+1，y2）在抛物线上，则y1＜y2； ④无论m为何值，抛物线的顶点到直线y＝x的距离都等于． A．②④ B．①③ C．②③ D．①④ 33．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣2，0）和B（3，0），P是抛物线上第四象限内一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，当AQ+PQ取最大值时，点P的坐标为（　　）． A．（1，9） B． C． D．（1，﹣6） 34．小雨同学用计算机软件绘制函数的图象后，将其对称轴左侧的图象作关于x轴对称的图象，得到新的图象G（如图所示）．若点A1（0.1，y1），A2（0.2，y2），A3（0.3，y3），…，A19（1.9，y19），A20（2，y20）都在图象G上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则y1+y2+y3+…+y19+y20的值是（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 35．已知二次函数y1＝a（x﹣x1）（x﹣x2）的最小值是m，二次函数y2＝a（x﹣x2）（x﹣x3）的最小值是4m，当x1＜x2＜x3时，x1，x2，x3满足的关系是（　　） A． B． C． D． 36．抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴于点C，点E为抛物线对称轴l与x轴的交点．若点P为第一象限内对称轴l右侧抛物线上一点，则△PCE面积的最大值为（　　） A．3 B．5 C． D． 37．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线x＝﹣1，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当m≠﹣1时，a﹣b＞am2+bm；②若bx1bx2且x1≠x2，则x1+x2＝2；③若OA＝OC，则OB；④连结AC．若B（1，0），C（0，3），点P在抛物线的对称轴上，且∠PCA＝90°，则P（﹣1，4）．其中正确的是（　　） A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④ 38．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表， x ⋯ ﹣4 ﹣2 0 3 5 ⋯ y ⋯ ﹣24 ﹣8 0 ﹣3 ﹣15 ⋯ 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（　　） A．图象的开口向上 B．当x＞0时，y的值随x的值增大而增大 C．方程ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围是﹣1＜x＜1 D．图象的对称轴是直线x＝0 39．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1．下列结论： ①abc＞0； ②3a+c＜0； ③a+b≤am2+bm（实数m≠1）； ④若方程ax2+bx+c＝n有一根为﹣2，则不等式ax2+bx+c＜n的解集是﹣2＜x＜4； ⑤若bx1bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝﹣2． 其中结论错误的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．如图1，发石车是古代一种远程攻击的武器．将发石车置于山坡底部O处，以点O为原点，水平方向为x轴方向，建立如图2所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线y＝a（x﹣30）2+k的一部分，若发射石块在空中飞行的最大高度为15米，则该抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D．y＝﹣2（x﹣15）2+30 41．在学校的秋季运动会中，小明参加了跳远比赛，可以用二次函数描述他在某次跳跃时重心高度的变化（如图），若重心高度h（m）与起跳后时间t（s）的函数表达式为h＝﹣5t2+3t，当t＝0.2，0.3，0.5时，所对应的重心高度分别记为h1，h2，h3，则（　　） A．h1＞h2＞h3 B．h1＞h3＞h2 C．h2＞h1＞h3 D．h2＞h3＞h1 42．如图，抛物线m：y＝ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　） A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣3 C．ab＝﹣4 D．ab＝﹣5 43．如图，抛物线y＝a1x2与抛物线y＝a2x2+bx的交点P在第三象限，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M、N，若，则的值是（　　） A．3 B．2 C． D． 44．如果正三角形的三个顶点分别在正方形的三条边上，那么这样的正三角形叫作正方形的内接正三角形．如图，正三角形EFG是正方形ABCD的内接正三角形，点E，F，G分别在边AD，AB，CD上（可与顶点重合），若△EFG面积的最大值是，则AB＝（　　） A． B．1 C． D．2 45．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点为A（1，0）和B（3，0），点P1（x1，y1），P2（x2，y2）是抛物线上不同于A，B的两个点，记△P1AB的面积为S1，△P2AB的面积为S2，则下列结论正确的是（　　） A．当x1＞x2+2时，S1＞S2 B．当x1＜2﹣x2时，S1＜S2 C．当|x1﹣2|＞|x2﹣2|＞1时，S1＞S2 D．当|x1﹣2|＞|x2+2|＞1时，S1＜S2 46．二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … ﹣1 0 1 2 … y … m 2 2 n … 且当时，对应的函数值y＜0． 有以下结论： ①abc＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝0的负实数根在和0之间；③；④p1（t﹣1，y1）和p2（t+1，y2）在该二次函数的图象上，则当实数时，y1＞y2.其中正确的结论是（　　） A．①② B．③④ C．②③ D．②③④ 47．在三个函数：①y＝kx+b（k≠0）；②；③y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象上，都存在点P1（n，y1），P2（n+1，y2），P3（n+2，y3），能够使不等式y3﹣y2＜y2﹣y1总成立的函数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 48．一个水杯竖直放置时的纵向截面如图1所示，其左右轮廓线AC，BD都是同一条抛物线的一部分，AB，CD都与水面桌面平行，已知水杯底部AB宽为4cm，水杯高度为12cm，当水面高度为6cm时，水面宽度为2cm．如图2先把水杯盛满水，再将水杯绕A点倾斜倒出部分水，如图3，当倾斜角∠BAF＝30°时，杯中水面CE平行水平桌面AF．则此时水面CE的值是（　　） A． B．12cm C． D．14cm 49．如图，抛物线y＝ax2x+4与直线yx+b经过点A（2，0），且相交于另一点B；抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点E；点N在线段AB上，过点N的直线交抛物线于点M，且MN∥y轴，连接AM、BM、BC、AC；当点N在线段AB上移动时（不与A、B重合），下列结论中正确的是（　　） A．MN+BN＜AB B．∠BAC＝∠BAE C．∠ACB﹣∠ANM∠ABC D．四边形ACBM的最大面积为13 50．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx（k为常数）与抛物线yx2﹣2交于A，B两点，且A点在y轴左侧，P点坐标为（0，﹣4），连接PA，PB．有以下说法： ①PO2＝PA•PB； ②当k＞0时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随k的增大而增大； ③当k时，BP2＝BO•BA；④△PAB面积的最小值为4， 其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$