精品解析：四川省职教高考研究联合体普通高校对口招生2023-2024学年高三上学期第一次模拟考试数学试题

2023-2024学年四川省职教高考研究联合体 普通高校对口招生第一次模拟考试 数学试卷 2023-10 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷2-4页，共4页． 考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（共60分） 注意事项： 1．必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑 2．第Ⅰ卷共一大题，15小题，每小题4分，共60分． 一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解法和区间的表示，结合并集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为集合，， ． 故选：D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出令函数有意义的的取值范围即可. 【详解】要使函数有意义，需满足，解得， 解得且， 所以函数的定义域是． 故选：B. 3. 若不等式的解集为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】结合不等式的解法即可求解. 【详解】由不等式，得， 则， 可得， 解得． 故选：B. 4. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正、余弦齐次式化简，即可求解. 【详解】因为，显然， 所以分子分母同时除以，即， 可化为，解得． 故选：A. 5. 下列不等关系中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数，对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为在上为减函数，在上为增函数， 所以，即，故A正确， 因为在上为减函数，在上为增函数， ，即，故B正确， 因为在上为减函数，在上为增函数， ，即，故C正确； ，故D错误， 故选：D. 6. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可/ 【详解】当时，，， 可得成立，但不一定成立， 所以“”不能推出“” 由，得，，故成立． 所以“”能推出“” 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 7. 若直线与垂直，则原点与直线上的点之间的最短距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与直线垂直的性质求解参数，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】直线，， ∵直线与垂直，∴，解得， ∴直线为， 故原点到直线的距离． 故选：A. 8. 已知向量与向量反向共线，且，点A的坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线的基本性质，结合向量的直角坐标表示，即可求解. 【详解】由题意，向量，可得， 由题，因为与向量反向共线， 所以， 则点B的坐标为. 故选：A. 9. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代入余弦型函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】由可知，函数最小正周期为. 故选：. 10. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和一次函数的单调性可判断结果. 【详解】当时，为增函数，排除C； 当时，为减函数，排除AD，只有B符合题意. 故选：B. 11. 已知圆柱的高为2，体积为，若它的两个底面圆恰好内切于长方体的上下两个底面，则该长方体的体积为（ ） A. B. C. 8 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆柱的体积公式，结合内切的定义和长方体的体积公式，即可求解. 【详解】圆柱的高为2，体积为，由，得， 它的两个底面圆恰好内切于长方体的上下两个底面， 长方体的底面边长为4，则长方体的体积为． 故选:D. 12. 已知学校团委组织学生志愿者参加校门口交通岗执勤，要从4名男同学、2名女同学中选出3名同学分别到三个人行横道执勤，若选出的同学中既有男同学又有女同学，则不同安排方法的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可分两种情况：选2名男生1名女生或选1名男生2名女生，结合排列数和组合数的应用，即可求解. 【详解】由题意，若选2名男生1名女生，共有种方法； 若选1名男生2名女生，共有种方法； 故不同的安排方法种数为. 故选：C. 13. 把函数的图像先向左平移个单位，再把所得图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（ ） A. B. C. D. ． 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦型函数的变换规律即可解答. 【详解】将的图像先向左平移个单位，得到的图像， 再把所得图像上所有点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得到的图像． 故选：B. 14. 已知，分别是椭圆的左，右焦点，若点P在椭圆上，且，则等于（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆方程，即可求出c的值，结合，可得，利用内积计算向量的模长，即可代入求值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以 ， 所以． 故选：A. 15. 已知是定义在R上的偶函数，若对任意的，都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由函数单调性的定义判断函数的单调性，再根据偶函数的性质和单调性即可判断函数值的大小. 【详解】因为对任意的，， 所以当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递减， 所以可知函数在上单调递减， 因为是定义在R上的偶函数，可得， 又，所以，即. 故选：A. 第Ⅱ卷（共90分） 注意事项： 1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试卷、草稿纸上无效． 2．第Ⅱ卷共两大题，11小题，共90分． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 16. 的二项展开式中，二项式系数最大的项为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质，结合二项展开通项公式即可得解. 【详解】因为的二项展开式有项，所以二项式系数最大的项为第项， 由通项公式得． 故答案为：. 17. 拋物线上的一点到抛物线的准线的距离为________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合焦半径的公式，即可求解. 【详解】由拋物线方程，点在抛物线上，所以代入得， 由抛物线的方程可得， ∴到拋物线准线的距离为． 故答案为：3. 18. 已知，，，则向量与的夹角为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件求出，再利用向量的夹角公式即可求解. 【详解】因为，，所以， 所以， 因为， 所以向量与的夹角为． 故答案为：． 19. 某地投入资金发展当地的旅游产业，已知本年度当地的旅游业收入估计为200万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加50万元．则至少经过________年，该地旅游业的总收入才能超过1500万元． 【答案】6 【解析】 【分析】根据等差数列前项和 公式解一元二次不等式易得答案. 【详解】设经过n年后旅游业的总收入才能超过1500万元. 每一年的收入构成以200为首项、50为公差的等差数列， 则n年的总收入为万元， 要使总收入超过1500万元，必须满足， 即， 解得或，即，又， 故至少经过6年，旅游业的总收入才能超过1500万元． 故答案为：. 20. 已知下列命题： ①如果函数对任意的，满足，那么函数是周期函数； ②如果函数对任意，，都有，那么函数在R上是奇函数； ③如果函数对任意的，都有，那么函数必为偶函数．其中真命题有________．（填序号） 【答案】①② 【解析】 【分析】根据周期函数和奇偶函数的定义，结合题意，即可判断求解. 【详解】因为函数对任意的，满足， 根据周期性的定义可知，函数是最小正周期为2的周期函数，故①是真命题； 因为函数对任意，，都有， 令，则，故； 令，，得，即， 所以是奇函数，故②是真命题； 因为函数对任意的，都有， 由，只可得出对称轴为，但不能判断函数的奇偶性，故③是假命题． 故真命题有①②. 故答案为：①②. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 已知数列的前n项和为，且，． （1）求，的值，并求数列的通项公式； （2）若，求证：数列前n项和． 【答案】（1），，， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，等比数列的定义，通项公式结合题意即可求解. （2）根据裂项求和的方法即可证明. 【小问1详解】 ∵，，， ∴当时，，∴． 当时，，∴， ∴①，②， ②①得，，即. ∴数列是首项为1，公比为2的等比数列， ∴，． 【小问2详解】 ∵，∴， ∴， ∴， ∵，∴，∴． 22. 某大型超市销售某种商品，超市管理者统计了国庆节前后50天内该商品的日需求量x（，单位：千克），其频率分布直方图如图所示．该商品每天的销售量在千克时，可获利10000元；销售量在千克时，可获利6000元；销售量在千克时，亏损2000元． （1）根据频率分布直方图，估计这50天内此超市该商品日需求量的平均数； （2）用事件发生的频率估计概率，假设超市每天获利为X元，求随机变量X的概率分布列及数学期望． 【答案】（1）15.32 （2）分布列见解析；6800 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合频率分布直方图和平均数的计算，即可求解； （2）根据题意，结合随机变量分布列的定义和数学期望的计算公式，代入即可求解. 【小问1详解】 由题意，这50天此超市该商品日需求量平均数为 ． 【小问2详解】 销售量在千克的频率为， 销售量在千克的频率为， 销售在千克的频率为， 随机变量的所有取值为， 随机变量X的分布列如下： X 6000 10000 P 0.1 0.5 0.4 数学期望； 23. 已知. （1）求的单调递增区间； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及辅助角公式，将函数化为正弦型函数，再根据正弦函数的单调性可求解； （2）由可得，根据余弦定理及基本不等式可得的最大值，再利用面积公式可求解. 小问1详解】 ， 令，得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为，， 所以，即， 因为，所以，则，得， 由余弦定理，得，即， 由均值不等式，得，则， 解得，当且仅当时取等号， 所以， 所以面积的最大值为. 24. 如图1所示，在边长为6的正三角形中，D，E分别是，边上的三等分点，F是的中点，与相交于点G，将三角形沿折起，得到如图2所示的三棱锥，其中． （1）求三棱锥的体积； （2）求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题目条件先找到三棱锥的高，然后利用体积公式进行求解即可. （2）首先利用线面垂直的判定定理证明线面垂直，然后利用线面垂直的性质定理即可得到线线垂直. 【小问1详解】 ∵在边长为6的正三角形中，D，E分别是，边上的三等分点，F是的中点， ∴，，，，，，， ∴， ∴，，可得，， ∵，平面， ∴平面， ∴就是三棱锥的高， ∵，，∴，∴， ∴，均为等腰直角三角形， ∴． 【小问2详解】 由（1）知，，， ∵，平面， ∴平面，平面， ∴， 又∵，，平面， ∴平面， 又∵平面， ∴． 25. 已知函数，是定义在R上的函数，对任意的，，都有，且． （1）求证：为奇函数； （2）若在上为减函数，求不等式的解集． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据抽象函数的特殊取值法和奇函数性质易证答案； （2）根据奇函数和减函数性质的运用和解一元二次不等式易得答案. 【小问1详解】 由题意知，，且， 令，则，得； 令，，则，得； 令，则． 又∵的定义域为R， ∴为奇函数． 【小问2详解】 由（1）知，为R上的奇函数， ∵在上为减函数，∴在R上也为减函数， 由，得， ∴， ∴， ∴， ∴或， 故不等式的解集为． 26. 已知过点且斜率为的直线与圆相交于，两点． （1）若直线被圆所截得的弦长，求直线的方程； （2）求证：为定值． 【答案】（1）或． （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得到直线的方程，利用圆的弦长公式与点线距离公式列式即可得解； （2）联立直线与圆的方程，利用韦达定理与向量运算的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 设过点且斜率为的直线的方程为， 由已知，得圆的圆心为，半径为2，弦长， 由勾股定理，得圆心到直线的距离， 由点到直线的距离公式，得，解得或， 故直线的方程为或． 【小问2详解】 设，， 联立方程，得， 整理得， 则，得， 所以，， 则 ， 故为定值1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年四川省职教高考研究联合体 普通高校对口招生第一次模拟考试 数学试卷 2023-10 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷2-4页，共4页． 考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（共60分） 注意事项： 1．必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑 2．第Ⅰ卷共一大题，15小题，每小题4分，共60分． 一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题列出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A B. C. D. 3. 若不等式的解集为，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 下列不等关系中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若直线与垂直，则原点与直线上的点之间的最短距离为（ ） A B. C. D. 8. 已知向量与向量反向共线，且，点A的坐标为，则点B的坐标为（ ） A B. C. D. 9. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 10. 函数大致图象是（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆柱的高为2，体积为，若它的两个底面圆恰好内切于长方体的上下两个底面，则该长方体的体积为（ ） A. B. C. 8 D. 32 12. 已知学校团委组织学生志愿者参加校门口交通岗执勤，要从4名男同学、2名女同学中选出3名同学分别到三个人行横道执勤，若选出的同学中既有男同学又有女同学，则不同安排方法的种数为（ ） A. B. C. D. 13. 把函数图像先向左平移个单位，再把所得图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图像所表示的函数是（ ） A. B. C. D. ． 14. 已知，分别是椭圆的左，右焦点，若点P在椭圆上，且，则等于（ ） A. 2 B. 4 C. D. 15. 已知是定义在R上的偶函数，若对任意的，都有，则（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共90分） 注意事项： 1．必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．答在试卷、草稿纸上无效． 2．第Ⅱ卷共两大题，11小题，共90分． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分． 16. 的二项展开式中，二项式系数最大的项为________． 17. 拋物线上的一点到抛物线的准线的距离为________． 18. 已知，，，则向量与的夹角为________． 19. 某地投入资金发展当地的旅游产业，已知本年度当地的旅游业收入估计为200万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加50万元．则至少经过________年，该地旅游业的总收入才能超过1500万元． 20. 已知下列命题： ①如果函数对任意的，满足，那么函数是周期函数； ②如果函数对任意，，都有，那么函数在R上是奇函数； ③如果函数对任意的，都有，那么函数必为偶函数．其中真命题有________．（填序号） 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 21. 已知数列的前n项和为，且，． （1）求，的值，并求数列的通项公式； （2）若，求证：数列的前n项和． 22. 某大型超市销售某种商品，超市管理者统计了国庆节前后50天内该商品的日需求量x（，单位：千克），其频率分布直方图如图所示．该商品每天的销售量在千克时，可获利10000元；销售量在千克时，可获利6000元；销售量在千克时，亏损2000元． （1）根据频率分布直方图，估计这50天内此超市该商品日需求量的平均数； （2）用事件发生的频率估计概率，假设超市每天获利为X元，求随机变量X的概率分布列及数学期望． 23. 已知. （1）求的单调递增区间； （2）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，求面积的最大值. 24. 如图1所示，在边长为6的正三角形中，D，E分别是，边上的三等分点，F是的中点，与相交于点G，将三角形沿折起，得到如图2所示的三棱锥，其中． （1）求三棱锥的体积； （2）求证：． 25. 已知函数，是定义在R上的函数，对任意的，，都有，且． （1）求证：为奇函数； （2）若在上为减函数，求不等式的解集． 26. 已知过点且斜率为的直线与圆相交于，两点． （1）若直线被圆所截得的弦长，求直线的方程； （2）求证：为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$