专题四 恒等变形 素养培优训练-2024-2025学年北师大版（2024）七年级数学下册

专题四　恒等变形 　　 恒等变形是解析式的一种变换，把一个代数式变成另一个与它恒等的代数式，叫做恒等变形，或恒等变换.恒等变形是提升学生数学抽象思维、逻辑推理能力的一个极为有效的方法，培养学生分析问题、解决问题的能力以及创新意识. 类型一　幂运算的恒等变形 1.已知am＝3，an＝5，求am＋2n的值. 解：am＋2n＝am·（an）2＝3×52＝75. 2.已知10a＝3，10b＝5，10c＝7，试把105写成底数是10的幂的形式. 解：105＝3×5×7＝10a×10b×10c＝10a＋b＋c. 3.已知：5a＝2，5b＝9. （1）求52a的值； （2）求53a－2b的值. 解：因为5a＝2， 所以52a＝（5a）2＝22＝4. 解：因为5a＝2，5b＝9， 所以53a－2b＝53a÷52b＝（5a）3÷（5b）2＝23÷92＝. 类型二　乘法公式的恒等变形 4.（1）已知a＋b＝5，ab＝10，求a2＋b2的值； 解：（1）因为（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab，a＋b＝5，ab＝10， 所以a2＋b2 ＝（a＋b）2－2ab ＝52－2×10 ＝5. （2）已知（a＋b）2＝17，（a－b）2＝13，求ab的值. 解：（2）因为（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab，（a－b）2＝a2＋b2－2ab， 所以4ab＝（a＋b）2－（a－b）2＝17－13＝4， 所以ab＝1. 5.已知a－b＝3，ab＝10. （1）求a2＋b2的值； 解：（1）因为a－b＝3，ab＝10， 所以a2＋b2＝（a－b）2＋2ab＝32＋2×10＝29. （2）求（a＋b）2的值. 解：（2）由（1）得a2＋b2＝29，ab＝10， 所以（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝29＋2×10＝49. 6.若a2＋b2＋4a－6b＋13＝0，试求ab的值. 解：因为a2＋b2＋4a－6b＋13 ＝a2＋4a＋4＋b2－6b＋9 ＝（a＋2）2＋（b－3）2＝0， 所以a＋2＝0，b－3＝0，即a＝－2，b＝3，所以ab＝（－2）3＝－8. 类型三　图形的恒等变形 7.用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形. （1）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式？ 解：（1）图中阴影部分可以看作4个长为a，宽为b的长方形的面积和，即4ab，图中阴影部分也可以看作大正方形的面积与中间空白小正方形的面积的差，即（a＋b）2－（a－b）2， 因此有（a＋b）2－（a－b）2＝4ab. （2）利用（1）中的结论解答：已知m＋n＝2，mn＝，求m－n； 解：（2）由（1），得（m＋n）2－（m－n）2＝4mn. 因为m＋n＝2，mn＝，即4－（m－n）2＝4×， 所以（m－n）2＝1，所以m－n＝1或m－n＝－1. （3）根据（1）中的结论，直接写出x＋和x－之间的关系；若x2－3x＋1＝0，分别求出x＋和（x－）2的值. 解：（3）（x＋）2－（x－）2＝4. 因为x2－3x＋1＝0，而x≠0，所以x－3＋＝0， 即x＋＝3. 因为（x＋）2－（x－）2＝4，所以9－（x－）2＝4， 即（x－）2＝5. 8.如图1是一个长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）. （1）根据上述过程，写出（a＋b）2，（a－b）2，ab之间的等量关系：　（a－b）2＝（a＋b）2－4ab　； 解：图2中间部分的面积可以看作从边长为（a＋b）的正方形的面积减去4个长为a，宽为b的长方形的面积，即（a＋b）2－4ab，也可以看作是边长为（a－b）的正方形的面积，所以（a－b）2＝（a＋b）2－4ab， 故答案为（a－b）2＝（a＋b）2－4ab； （2）利用（1）中的结论，若x＋y＝4，xy＝1，则（x－y）2的值是　12　； 解：因为x＋y＝4，xy＝1， 所以（x－y）2＝（x＋y）2－4xy ＝16－4×1 ＝12， 故答案为12； （3）实际上通过计算图形的面积可以探求相应的等式，如图3，请你写出这个等式：　（3a＋b）（a＋b）＝3a2＋4ab＋b2　； 解：因为大长方形的面积等于4个长为b，宽为a的小长方形的面积加上3个边长为a的正方形的面积再加上1个边长为b的正方形的面积，所以（3a＋b）（a＋b）＝3a2＋4ab＋b2， 故答案为（3a＋b）（a＋b）＝3a2＋4ab＋b2. （4）两个正方形ABCD，AEFG如图4摆放，边长分别为x，y，若x2＋y2＝34，BE＝2，求图中阴影部分面积的和. 解：因为x2＋y2＝34，BE＝2， 所以x－y＝2，① 所以x2－2xy＋y2＝4，所以34－2xy＝4，所以xy＝15. 因为（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2＝34＋30＝64，且x＋y＞0， 所以x＋y＝8，② ①＋②，得x＝5， 所以y＝3， 图中阴影部分面积的和＝S△DFC＋S△BEF＝x（x－y）＋y（x－y）＝x2－xy＋xy－y2＝（x2－y2）＝×（25－9）＝8. 9.【知识生成】 通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式. 例如：如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成四个小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形.请解答下列问题： （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积： 方法1：　根据图2知阴影部分是边长为（a－b）的正方形，所以面积为（a－b）2　； 方法2：　根据图2知阴影部分的面积是边长为（a＋b）的正方形的面积减去4个长为a，宽为b的长方形的面积，所以阴影部分的面积为（a＋b）2－4ab，所以（a＋b）2，（a－b）2　； 由此可以得出（a＋b）2，（a－b）2，ab之间的等量关系是　（a＋b）2－4ab＝（a－b）2　； 【知识迁移】 类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式. （2）如图3，请用两种不同的方法表示这个几何体的体积，并写出一个恒等式； 解：根据图3将几何体看作棱长为（a＋b）的正方体，则体积为（a＋b）3， 因为图3又可以看作长方体与正方体的体积的和，则该几何体体积为a3＋b3＋3a2b＋3ab2， 所以（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2. （3）已知a＋b＝3，ab＝1，利用（2）的结论求的值. 解：由（2）知（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2， 所以a3＋b3 ＝（a＋b）3－（3a2b＋3ab2）专题四　恒等变形 1.解：am＋2n＝am·（an）2＝3×52＝75. 2.解：105＝3×5×7＝10a×10b×10c＝10a＋b＋c. 3.解：（1）因为5a＝2， 所以52a＝（5a）2＝22＝4. （2）因为5a＝2，5b＝9， 所以53a－2b＝53a÷52b＝（5a）3÷（5b）2＝23÷92＝. 4.解：（1）因为（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab，a＋b＝5，ab＝10， 所以a2＋b2 ＝（a＋b）2－2ab ＝52－2×10 ＝5. （2）因为（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab，（a－b）2＝a2＋b2－2ab， 所以4ab＝（a＋b）2－（a－b）2＝17－13＝4， 所以ab＝1. 5.解：（1）因为a－b＝3，ab＝10， 所以a2＋b2＝（a－b）2＋2ab＝32＋2×10＝29. （2）由（1）得a2＋b2＝29，ab＝10， 所以（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝29＋2×10＝49. 6.解：因为a2＋b2＋4a－6b＋13 ＝a2＋4a＋4＋b2－6b＋9 ＝（a＋2）2＋（b－3）2＝0， 所以a＋2＝0，b－3＝0，即a＝－2，b＝3，所以ab＝（－2）3＝－8. 7.解：（1）图中阴影部分可以看作4个长为a，宽为b的长方形的面积和，即4ab，图中阴影部分也可以看作大正方形的面积与中间空白小正方形的面积的差，即（a＋b）2－（a－b）2， 因此有（a＋b）2－（a－b）2＝4ab. （2）由（1），得（m＋n）2－（m－n）2＝4mn. 因为m＋n＝2，mn＝，即4－（m－n）2＝4×， 所以（m－n）2＝1， 所以m－n＝1或m－n＝－1. （3）（x＋）2－（x－）2＝4. 因为x2－3x＋1＝0，而x≠0， 所以x－3＋＝0， 即x＋＝3. 因为（x＋）2－（x－）2＝4， 所以9－（x－）2＝4， 即（x－）2＝5. 8.解：（1）图2中间部分的面积可以看作从边长为（a＋b）的正方形的面积减去4个长为a，宽为b的长方形的面积，即（a＋b）2－4ab，也可以看作是边长为（a－b）的正方形的面积，所以（a－b）2＝（a＋b）2－4ab， 故答案为（a－b）2＝（a＋b）2－4ab； （2）因为x＋y＝4，xy＝1， 所以（x－y）2＝（x＋y）2－4xy ＝16－4×1 ＝12， 故答案为12； （3）因为大长方形的面积等于4个长为b，宽为a的小长方形的面积加上3个边长为a的正方形的面积再加上1个边长为b的正方形的面积， 所以（3a＋b）（a＋b）＝3a2＋4ab＋b2， 故答案为（3a＋b）（a＋b）＝3a2＋4ab＋b2. （4）因为x2＋y2＝34，BE＝2， 所以x－y＝2，① 所以x2－2xy＋y2＝4， 所以34－2xy＝4， 所以xy＝15. 因为（x＋y）2＝x2＋2xy＋y2＝34＋30＝64，且x＋y＞0， 所以x＋y＝8，② ①＋②，得x＝5， 所以y＝3， 图中阴影部分面积的和＝S△DFC＋S△BEF＝x（x－y）＋y（x－y）＝x2－xy＋xy－y2＝（x2－y2）＝×（25－9）＝8. 9.解：方法1：根据图2知阴影部分是边长为（a－b）的正方形，所以面积为（a－b）2. 方法2：根据图2知阴影部分的面积是边长为（a＋b）的正方形的面积减去4个长为a，宽为b的长方形的面积， 所以阴影部分的面积为（a＋b）2－4ab， 所以（a＋b）2，（a－b）2，ab之间的等量关系是（a＋b）2－4ab＝（a－b）2. （2）根据图3将几何体看作棱长为（a＋b）的正方体，则体积为（a＋b）3， 因为图3又可以看作长方体与正方体的体积的和，则该几何体体积为a3＋b3＋3a2b＋3ab2， 所以（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2. （3）由（2）知（a＋b）3＝a3＋b3＋3a2b＋3ab2， 所以a3＋b3 ＝（a＋b）3－（3a2b＋3ab2） ＝（a＋b）3－3ab（a＋b）. 因为a＋b＝3，ab＝1， 所以a3＋b3 ＝33－3×1×3 ＝18， 所以＝9. 学科网（北京）股份有限公司 $$