精品解析：江苏省对口单招教学联盟2023-2024学年高三上学期单招班期中联合考试数学试卷

江苏省对口单招教学联盟 2023~2024学年第一学期单招班期中联合考试 三年级·数学 2023-11 本试卷分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分．第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第2至4页．两卷满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请选出符合要求的答案，并将答题卷上对应的字母涂黑） 1. 已知集合，则集合A的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 2. 已知数组，数组，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 3. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. 8 B. C. D. 20 4. 在逻辑运算中，“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 某圆锥的母线长为2，侧面积为，则母线与底面所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 设常数，若的二项展开式中的系数为144，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知函数恒过定点M，且点M在直线（，）上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8 9. 如图所示是某工程的网络图（单位：天），下列说法正确的是（ ） A. 在对应横道图中，工作用斜纹横道表示 B. 最短总工期为天 C. 从开始节点到终止节点一共有条路径 D. 是的紧后工作 10. 一束光线从点出发，经过x轴反射后到达圆（为参数）上一点的最短路程是（ ） A. 4 B. C. D. 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填写在答题卷中横线上） 11. 执行如图所示的程序框图，当输出结果为3时，输入的x的值为________． 12. 已知是等差数列的前n项和，若，则________． 13. 以轴为对称轴，且焦点在直线上的抛物线标准方程为________． 14. 已知函数的图像的相邻两条对称轴间的距离为，若将函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像，则________． 15. 设函数，若关于x的方程恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．（用区间表示） 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知二次函数，设对于任意恒成立． （1）求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式． 17. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求实数a，b的值； （2）已知函数在上为减函数，求满足不等式的实数t的取值范围． 18. 已知向量，向量，函数． （1）若，求的最小值； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其周长为20，面积为，，求边a的长． 19. 某企业根据多年市场经验，总结得到其生产的甲产品在一个销售季度中的销售量y（单位：万件）与售价x（单位：元）之间满足的函数关系为甲产品的单件成本C（单位：元）与销量y之间满足的函数关系式为． （1）写出甲产品在一个销售季度中获得的利润L（单位：万元）与售价x的函数解析式； （2）当甲产品的售价为多少时，在一个销售季度中获得的利润最大？ 20. 解答下列各题： （1）设集合，集合，从集合A和集合B中随机取一个数分别作为m，n的值，求函数是增函数的概率； （2）若a是从区间中任取的一个数，b是从区间中任取的一个数，二次函数，求函数在区间上是增函数的概率． 21. 某咖啡馆配制A，B两种饮料，原料中均有奶粉、咖啡粉和糖，每杯饮料的原料配制量以及每杯的利润如表所示．已知咖啡馆每天原料的使用限额为奶粉3600g、咖啡粉2000g、糖3000g，假设每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，该咖啡馆每天应配制两种饮料各多少杯，能使获利最大？求出最大利润． 饮料名 奶粉（g） 咖啡粉（g） 糖（g） 利润（元） A 9 4 3 3.5 B 4 5 10 6 22. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，是与的等比中项． （1）求数列的通项公式； （2）若，求n的取值范围； （3）设数列满足，求数列的前n项和． 23. 已知椭圆的左，右焦点分别是，，P是椭圆C上一点， ，，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知直线与椭圆C相交于异于顶点的A，B两点，若以为直径的圆经过椭圆C的右顶点，证明直线l过定点，并求出定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省对口单招教学联盟 2023~2024学年第一学期单招班期中联合考试 三年级·数学 2023-11 本试卷分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分．第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第2至4页．两卷满分150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请选出符合要求的答案，并将答题卷上对应的字母涂黑） 1. 已知集合，则集合A的子集个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出集合A，进而根据集合A的元素个数，即可求解. 【详解】因为不等式，则有，解得， 已知集合， 则集合A的子集个数为. 故选：D. 2. 已知数组，数组，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由数组的运算即可求解. 【详解】因为数组，数组， 所以，而， 因此，，解得，， 所以. 故选：B. 3. 已知复数在复平面内对应的点为，则（ ） A. 8 B. C. D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数在复平面内对应的点，写出复数，再求出的值. 【详解】复数在复平面内对应的点为， ， . 故选：C. 4. 在逻辑运算中，“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据逻辑运算法则及充要条件的概念可判断结果. 【详解】若，，则，此时， 即，； 若，则，或，或，， 即，. 所以“，”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，诱导公式，即可求解. 【详解】， ，两边平方，可得 ， . 故选：A. 6. 某圆锥的母线长为2，侧面积为，则母线与底面所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式求出底面半径，再根据线面角的定义计算即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线与底面所成角为， 则，解得：， 又因为圆锥的高垂直于底面， 所以，所以. 故选：C. 7. 设常数，若的二项展开式中的系数为144，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式，已知某项的系数求参数. 【详解】的二项展开式通项为， 令， 的系数，即，解得. 故选：B. 8. 已知函数恒过定点M，且点M在直线（，）上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数恒过定点，进而利用基本不等式，可得的最小值. 【详解】令，即，， 故恒过定点， 点M在直线（，）上，故， 故， 当且仅当时等号成立， 即的最小值为. 故选：B. 9. 如图所示是某工程的网络图（单位：天），下列说法正确的是（ ） A. 在对应横道图中，工作用斜纹横道表示 B. 最短总工期为天 C. 从开始节点到终止节点一共有条路径 D. 是的紧后工作 【答案】A 【解析】 【分析】根据网络图的最短总工期和紧后工作的知识点易得答案. 【详解】A：在对应横道图中，非关键工作用斜纹横表示，工作不是关键工序，所以用斜纹横道表示，故正确； B：网络图中的关键路径为,最短总工期为天，故错误； C：从开始节点到终止节点一共有条路径，,故错误； D：工作可以同时开展，不所以不是的紧后工作，故错误. 故选：A. 10. 一束光线从点出发，经过x轴反射后到达圆（为参数）上一点的最短路程是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据参数方程求圆的标准方程，再得到点关于轴的对称点，从而利用定点到圆上的点的最小距离即可得解. 【详解】因为圆（为参数）， 所以圆的方程为， 所以圆心坐标为，， 点关于轴的对称点为， 所以最短路程是. 故选：A. 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填写在答题卷中横线上） 11. 执行如图所示的程序框图，当输出结果为3时，输入的x的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据程序框图运行规则，分类讨论的取值范围即可得解. 【详解】根据题意，可知，又， 当时，，解得（舍去）； 当时，，解得； 综上，. 故答案为：. 12. 已知是等差数列的前n项和，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式以及等差数列的性质，即可求解. 【详解】是等差数列的前n项和， 所以， 得到， 即. 故答案为：. 13. 以轴为对称轴，且焦点在直线上的抛物线标准方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可知抛物线焦点在轴上，在直线中，令可求得抛物线的焦点坐标，从而求得答案． 【详解】依题意可知，抛物线焦点在轴上， 又焦点在直线中，令，得 因此抛物线的焦点坐标，焦点在轴的负半轴， 即， 于是，抛物线标准方程为. 故答案为：. 14. 已知函数的图像的相邻两条对称轴间的距离为，若将函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简，再根据周期公式求，再求平移变换后的函数解析式易得答案. 【详解】因为的图像的相邻两条对称轴间的距离为， 所以， 所以， 因为函数的图像向左平移个单位后得到函数的图像， 所以， 即. 故答案为：. 15. 设函数，若关于x的方程恰有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________．（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数，绘制函数图像，进行分类讨论，即可求解. 【详解】，绘制函数图像如下： 观察图像可得：当时，关于x的方程恰有三个不相等的实数根. 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知二次函数，设对于任意恒成立． （1）求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式、二次函数、一元二次方程之间的关系，列不等式组要可求解； （2）根据指数函数的单调性，转化为一元二次不等式后可求解. 【小问1详解】 由题意知对于恒成立， 所以，即， 解得，即， 所以实数a的取值范围是． 【小问2详解】 由题意得， 因为，所以， 可化为， 解得，即不等式的解集为． 17. 已知定义域为的函数是奇函数． （1）求实数a，b的值； （2）已知函数在上为减函数，求满足不等式的实数t的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由已知，利用及奇函数的定义并结合指数幂的运算可求解； （2）不等式可转化为，根据函数的单调性，解一元二次不等式可求解. 【小问1详解】 因为定义域为的函数是奇函数， 所以，可得； 又，则， 即，解得， 经检验，，满足题意， 所以，. 【小问2详解】 由题意知， 因为是上的奇函数，所以. 又函数在上为减函数，则， 所以，解得或， 即实数t的取值范围为． 18. 已知向量，向量，函数． （1）若，求的最小值； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其周长为20，面积为，，求边a的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，结合三角函数的二倍角公式及两角和的正弦公式化简求得函数的解析式，再根据正弦型函数的性质求解最值即可； （2）由（1）的函数解析式对进行化简，求得角，再根据三角形的面积公式及周长，结合余弦定理求出的值. 【小问1详解】 由题意得， 则， 化简得， ∵，∴， 又因为函数图像在上先增后减， 当，即时，， 当，即时，， 所以当，即时，取最小值，最小值为． 【小问2详解】 由，可得， ∵在中，，∴， 则，解得． 又∵，∴， 周长为，则， 由余弦定理，得， 则， 解得：． 19. 某企业根据多年市场经验，总结得到其生产的甲产品在一个销售季度中的销售量y（单位：万件）与售价x（单位：元）之间满足的函数关系为甲产品的单件成本C（单位：元）与销量y之间满足的函数关系式为． （1）写出甲产品在一个销售季度中获得的利润L（单位：万元）与售价x的函数解析式； （2）当甲产品的售价为多少时，在一个销售季度中获得的利润最大？ 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）根据利润，将，和代入化简，建立分段函数模型即可. （2）将二次函数进行配方，根据二次函数的顶点式求最值即可. 【小问1详解】 甲产品在一个销售季度中获得的利润， 则． 当时，， 当时，， 所以. 【小问2详解】 当时，， 所以当时，， 当时，， 所以在上为减函数，则， 由于，所以当时，． 即甲产品的售价为16元时，在一个销售季度中所获利润最大，为万元． 20. 解答下列各题： （1）设集合，集合，从集合A和集合B中随机取一个数分别作为m，n的值，求函数是增函数的概率； （2）若a是从区间中任取的一个数，b是从区间中任取的一个数，二次函数，求函数在区间上是增函数的概率． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）记“函数是增函数”为事件，根据分步计数原理，可得从集合A和集合B中随机取一个数的总数，根据一次函数的单调性，列举可得事件的结果数，利用古典概型计算公式可求解； （2）设“函数在区间上是增函数”为事件，根据二次函数的性质，可得，作出不等式组对应的平面区域，求出相应的面积，利用几何概型的概率公式即可得到结论． 【小问1详解】 集合，集合，从集合A和集合B中随机取一个数分别作为m，n的值， 抽取的全部结果的基本事件总数：． 记“函数是增函数”为事件，则在事件中满足， 包括，，，，，，共6种结果． 则． 所以函数是增函数的概率为． 【小问2详解】 实数a，b从区间上任取一数满足的区域面积为． 设“函数在区间上是增函数”为事件， 则事件B满足，得， 构成事件B的区域为表示的区域，如图所示． 面积为． 则， 所以函数在区间上是增函数的概率为． 21. 某咖啡馆配制A，B两种饮料，原料中均有奶粉、咖啡粉和糖，每杯饮料的原料配制量以及每杯的利润如表所示．已知咖啡馆每天原料的使用限额为奶粉3600g、咖啡粉2000g、糖3000g，假设每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，该咖啡馆每天应配制两种饮料各多少杯，能使获利最大？求出最大利润． 饮料名 奶粉（g） 咖啡粉（g） 糖（g） 利润（元） A 9 4 3 3.5 B 4 5 10 6 【答案】该咖啡馆配制A饮料200杯，B饮料240杯时，利润最大，最大利润为2140元． 【解析】 【分析】根据题意列出函数关系式，即可求解. 【详解】设该咖啡馆每天配制A饮料x杯，配制B饮料y杯，所获利润为z元． 目标函数为． 根据题意，可得约束条件 不等式组所表示的平面区域如图所示． 作直线，向右平行移动，当移动到点A处时，z取最大值， 联立方程解得则点， 所以． 即该咖啡馆配制A饮料200杯，B饮料240杯时，利润最大，最大利润为2140元． 22. 已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，是与的等比中项． （1）求数列的通项公式； （2）若，求n的取值范围； （3）设数列满足，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为，由等比中项定义，可得，再利用等差数列的通项公式及求和公式，解方程组可得，据此可求解； （2）由（1）可得关于n的不等式，解不等式可求解； （3）由题可得，利用裂项相消法可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，由题可得， 即， 化简得，因为，所以， 又因为，所以， 则，所以， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知， 则， ，解得， 因为，所以n的取值范围为． 【小问3详解】 由题意得， 则 ， 即数列的前n项和为. 23. 已知椭圆的左，右焦点分别是，，P是椭圆C上一点， ，，． （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知直线与椭圆C相交于异于顶点的A，B两点，若以为直径的圆经过椭圆C的右顶点，证明直线l过定点，并求出定点坐标． 【答案】（1） （2）证明见解析，定点坐标为 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义以及，即可求解. （2）联立直线方程和椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系求得两点横纵坐标乘积，进而求得k与m的关系，即可求解. 【小问1详解】 由题意知，所以， 又因为，所以，即； 则， 即椭圆C的标准方程为． 【小问2详解】 设直线与椭圆相交于点，． 联立方程组，消去y，化简得， 由韦达定理得，， 且，得， 因为以为直径的圆经过椭圆C的右顶点， 则有，所以， 即， 又因为 ， 所以有， 解得或，且满足． 当时，直线，过点，与已知矛盾，舍去； 当时，直线，过点，满足条件． 综上所述，直线l过定点，定点坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $