7.1.2 两条直线垂直 课件-2024-2025学年人教版数学七年级下册

7.1.2 两条直线垂直 第七章 相交线与平行线 7.1 相交线 人教版七年级下册 1.理解垂线、垂线段的概念；能用三角板或量角器过一点画已知直线的垂线；掌握基本事实：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离. 一 2.经历观察、思考、探究、猜想、验证等活动归纳出垂线的概念和性质，体会从一般到特殊的数学思想方法，进一步培养观察、分析、归纳能力，发展空间观念. 二 三 3.会利用所学知识进行简单的推理，感受数学语言的简洁美，并能将学到的知识应用到生活中去，提高应用意识． 学习目标 1 复习引入 2 合作探究 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 目录 复习引入 问题1 如图，在相交线的模型中，如果两根木条a，b所成的角中有一个角∠α=35º，其他三个角分别等于多少度？如果∠α等于90º呢？ 合作探究 垂直 一般地，当两条直线a、b相交所成的四个角中有一个角是直角时，我们说a与b互相垂直，记作“a⊥b”. 垂线和垂足 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 如图，AB⊥CD，垂足为O. 推理过程 因为 ∠AOD=90º， 所以 AB⊥CD. 合作探究 垂线的性质 如果直线AB，CD相交于点O，∠AOD=90º，那么AB⊥CD. 垂线的判定 如果AB⊥CD，那么∠AOD=90º. 推理过程 因为 AB⊥CD， 所以 ∠AOD=90º. 合作探究 问题2 两条直线垂直和相交是什么关系？ 答：垂直是相交的特殊情况. 问题3 如何判定两条射线垂直？两条线段呢？ 答：两条射线垂直、两条线段垂直、线段与射线垂直、线段与直线垂直、射线与直线垂直，都是指它们所在的直线垂直． 合作探究 问题4 在日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见.你能再举出其他例子吗？ 合作探究 探究1 用三角尺画已知直线l的垂线. (1)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ (2)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条？ 关于垂线的基本事实 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 典例分析 例2 如图，过点P画出射线AB或线段AB的垂线. (1) (2) (3) 画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线. 合作探究 问题5 如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？ 合作探究 探究2 如图，P是直线l外一点，PO⊥l，垂足为O，我们称PO为点P到直线l的垂线段. A是直线l上除点O外一点，连接PA. 测量并比较线段PO与PA的长度，你能得到什么结论？改变点A的位置呢？ 画板验证 结论 线段PO的长度比线段PA的长度短. 合作探究 垂线段最短 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成垂线段最短. 点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 合作探究 问题5 如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？ 巩固练习 1. 当两条直线相交所成的四个角都相等时，这两条直线有什么位置关系，为什么？ 解：这两条直线是垂直关系. 因为 两条直线相交所成的四个角都相等， 所以 每个角都是360º÷4=90º， 所以 这两条直线是垂直关系. 巩固练习 2. 如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的直线吗？ 巩固练习 3. 如图，在一张半透明的纸上画一条直线l，在l上任取一点P，在l外任取一点Q，折出过点P且与l垂直的直线，这样的直线能折出几条？为什么？过点Q呢？ 解：过点P且与l垂直的直线只能折出一条，过点Q且与l垂直的直线也只能折出一条.因为在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 巩固练习 4. 如图，分别过点P画直线AB，CD的垂线，并量出点P到直线AB的距离. 点P到直线AB的距离就是线段PQ的长度. 巩固练习 5. 如图，在三角形ABC中，∠C=90º. (1)分别指出点A到直线CB，点B到直线AC的距离是哪些线段的长度？ (2)三条边AB，AC，CB中哪条边最长，为什么？ 解：(1)点A到直线CB的距离是线段AC的长度；点B到直线AC的距离是线段BC的长度. (2)三条边中AB边最长，理由如下： 因为垂线段最短， 所以AB>AC，AB>BC， 所以AB边最长. 巩固练习 6. 如图，AB⊥l，CB⊥l，B为垂足，那么A，B，C三点在同一条直线上吗？请说明理由. 解：A，B，C三点在同一条直线上. 理由如下： 因为 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 所以 若AB⊥l，BC⊥l，则直线AB与直线BC重合， 所以 A，B，C三点在同一条直线上． 归纳总结 两条直线垂直 垂直的定义 一般地，当两条直线a、b相交所成的四个角中有一个角是直角时，我们说a与b互相垂直，记作“a⊥b”. 垂线和垂足 两条直线互相垂直，其中的一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足. 垂线的画法 借助三角尺画垂线. 关于垂线的基本事实 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 垂线段最短 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简单说成垂线段最短. 点到直线 的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 感受中考 1. (2024•北京)如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC．若∠AOC＝58º，则∠EOB的大小为（　 ） A．29º B．32º C．45º D．58º B 感受中考 2. (2020•河北)如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（ 　） A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条 D 感受中考 3. (2016•淄博)如图，AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有（ 　） A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 D 感受中考 4. (2020•吉林)如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处．他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 　 　． 垂线段最短 知识点1　垂直的概念 1. 如图，直线AB与CD相交于点O，下列说法不正确的是（　D　） A. 若∠AOC＝90°，则AB⊥CD B. 若AB⊥CD，垂足为O，则∠BOD＝90° C. 若∠COB＝90°，则AB与CD垂直 D. 若AB与CD相交于点O，则O为垂足 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. 如图，CO⊥AB，若∠COD＝52°，则∠BOD的度数是（　A　） A. 38° B. 128° C. 142° D. 150° [变式] （2024·北京）如图，直线AB和CD相交于点O，OE⊥OC. 若∠AOC＝58°，则∠EOB的度数为（　B　） A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A. 29° B. 32° C. 45° D. 58° 3. 如图，若CD⊥EF，∠1＝∠2，则AB⊥EF，请说明理由（补全解题过程）. 解：因为CD⊥EF， 所以∠1＝ ⁠°. 因为∠1＝∠2， 所以∠2＝ °， 所以AB EF. 90　 90　 ⊥　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识点2　垂线的画法 4. 下列选项中，过点P画AB的垂线CD，三角尺的放法正确的是 （　C　） C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5. 如图，已知∠AOB，点D在射线OA上. （1）画直线DE⊥OA； 解：（1）如图，直线DE即为所求. （2）画直线DF⊥OB，垂足为F. 解：（2）如图，直线DF即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识点3　垂线的性质一 6. 如图，若OA⊥m，OB⊥m，则OA与OB重合，其理由是 （　D　） A. 两点确定一条直线 B. 在同一平面内，一条直线只有一条垂线 C. 两点之间，线段最短 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 无数条 [变式] 如图，在平面内作已知直线m的垂线，可以作出的垂线有 （　D　） D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 知识点4　垂线段的定义及垂线的性质二 7. 下列说法正确的是（　D　） A. 垂线段就是垂直于已知直线的线段 B. 垂线段就是垂直于已知直线并且与已知直线相交的线段 C. 垂线段是一条竖起来的线段 D. 过直线外一点向该直线作垂线，这一点与垂足之间的线段叫垂线段 D 1 2 3 4 5 6 7 8 8. （2024·本溪期末）如图，在A处的小马想去河边喝水，则作AB⊥l，垂足为B，沿AB走，距离最近，理由是（　C　） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 过一点作已知直线的垂线，有且只有一条 C 1 2 3 4 5 6 7 8 知识点5　点到直线的距离 9. 下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC的距离的是（　D　） D 1 2 3 4 5 6 7 8 10. （教材P9习题T6变式）嘉嘉同学在体育课上跳远后留下的脚印如图所示，他的跳远成绩是线段 的长，这样测量的依据是 ⁠ ⁠. BN　 垂线段 最短　 1 2 3 4 5 6 7 8 11. 如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l.若PA＝6 cm，PB＝5 cm，PC＝7 cm，则点P到直线l的距离是 cm. 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 12. 如图，E是直线CA上的一点，∠FEA＝40°，射线EB平分∠CEF，GE⊥EF，则∠GEB的度数为（　B　） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13. 已知P为直线MN外一点，A，B，C为直线MN上的三点.若PA＝5 cm，PB＝4 cm，PC＝2 cm，则点P到直线MN的距离（　D　） A. 等于4 cm B. 等于2 cm C. 小于2 cm D. 不大于2 cm D 1 2 3 4 5 6 7 8 14. 如图，若AO⊥CO，BO⊥DO，且∠BOC＝α，则∠AOD＝ .（用含α的式子表示） 180°－α　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15. （教材P6练习T3变式）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D. （1）点A到BC的距离是线段 的长，点A到CD的距离是线段 的长. AC　 AD　 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）比较大小： AC AD，AC AB，AB BC（填“＞”“＜”或“＝”），其根据是 ⁠. ＞　 ＜　 ＞　 垂线段最短　 1 2 3 4 5 6 7 8 16. 如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD. （1）若∠AOC＝70°，求∠BOE的度数； 解：（1）因为直线AB，CD相交于点O， 所以∠BOD＝∠AOC＝70°. 又因为OE平分∠BOD，所以∠BOE＝ ∠BOD＝35°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （2）若OF平分∠AOD，试说明OE⊥OF. 解：（2）因为OF平分∠AOD，所以∠DOF＝ ∠AOD. 因为OE平分∠BOD，所以∠DOE＝ ∠BOD， 所以∠EOF＝∠DOF＋∠DOE＝ （∠AOD＋∠BOD）＝ ×180°＝90°，所以OE⊥OF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17. 如图，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流. （1）从火车站到码头怎样走最近？画图并说明理由. （1）沿BA走.理由：两点之间，线段最短. 解：如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）从码头到铁路怎样走最近？画图并说明理由. （2）沿AC走.理由：垂线段最短. （3）从火车站到河流怎样走最近？画图并说明理由. 解：如图所示. （3）沿BD走.理由：垂线段最短. 解：如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 18. （2024·沈阳四十三中月考）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOC. [基础尝试] （1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：（1）因为∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝40°，所以∠BOC＝180°－40°＝140°. 因为OE平分∠BOC，所以∠COE＝ ∠BOC＝70°. 因为∠DOE＋∠COE＝180°，所以∠DOE＝180°－70°＝110°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [画图探究] （2）作射线OF⊥OC，设∠AOC＝x°，请你利用图2画出图形，并用含x的代数式表示∠EOF的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：（2）当OF在∠BOC的内部时，如图1. 因为∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝x°， 所以∠BOC＝（180－x）°. 因为OE平分∠BOC， 所以∠COE＝ ∠BOC＝（90－ x）°. 因为OF⊥OC，所以∠COF＝90°， 所以∠EOF＝90°－∠COE＝90°－（90－ x）°＝ x°. 当OF在∠AOD的内部时，如图2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为∠AOC＋∠BOC＝180°，∠AOC＝x°， 所以∠BOC＝（180－x）°. 因为OE平分∠BOC， 所以∠COE＝ ∠BOC＝（90－ x）°. 因为OF⊥OC，所以∠COF＝90°， 所以∠EOF＝90°＋∠COE＝90°＋（90－ x）°＝180°－ x°. 综上所述，∠EOF＝ x°或180°－ x°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 [拓展运用] （3）在第（2）题中，∠EOF可能和∠DOE互补吗？请你作出判断并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 解：（3）∠EOF可能和∠DOE互补.理由如下： 如图3，当AB⊥CD，且OF与OB重合时，∠BOC＝∠BOD＝90°. 因为OE平分∠BOC， 所以∠BOE＝ BOC＝45°，即∠EOF＝45°， 所以∠DOE＝∠BOD＋∠BOE＝90°＋45°＝135°， 所以∠EOF＋∠DOE＝180°，即∠EOF和∠DOE互补. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 垂线段最短 点到直线的距离 小结梳理 两条直线垂直 垂线段 垂线 垂足 两条直线相交 一般 特殊 基本事实 布置作业 必做题：习题7.1 第3题，第4题，第6题. 1 选做题：用量角器画已知直线l的垂线. 2 $$