2025届高考二轮复习选择填空压轴题精选第四讲·圆锥曲线

第四讲·圆锥曲线选填压轴 ≮专题一·抛物线焦点弦，阿基米德三角形≯ 例题1-1（多选）（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）设 为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点， 为的准线，则（    ） A． B． C．以 为直径的圆与 相切      D． 为等腰三角形 例题1-2（2024高三上·河南濮阳·阶段练习）我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质： ①P点必在抛物线的准线上； ②； ③． 已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形” 的面积为（    ） A． B． C． D． 例题1-3（多选）（2024·山东·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线，阿基米德三角形，弦过的焦点，其中点在第一象限，则下列说法正确的是（    ） A．点的纵坐标为 B．的准线方程为 C．若，则的斜率为 D．面积的最小值为16 变式1-1（2025高三·全国·专题练习）抛物线的焦点为，准线为直线，过点的直线交抛物线于，两点，分别过，作抛物线的切线交于点，于点，于点，则说法错误的是（ ） A．点在直线上 B．点在直线上的投影是定点 C．以为直径的圆与直线相切 D．的最小值为 例题1-2（多选）（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知为坐标原点，抛物线上有异于原点的，两点，为抛物线的焦点，以为切点的抛物线的切线分别记为，，则（    ） A．若，则三点共线 B．若，则三点共线 C．若，则三点共线 D．若，则三点共线 变式1-3（多选）（2025湖南衡阳）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”.如图是抛物线的阿基米德三角形，弦AB经过焦点F，又BC，AD均垂直于准线l，且C，D为垂足，则下列说法正确的有（    ） A．以AB为直径的圆必与准线l相切于M点 B．为定值4 C．为定值 D．有最小值 ≮专题二·焦半径，焦点弦，焦比定理，爪子模型≯ 例题2-1（24-25高二上·北京·阶段练习）已知焦点在x轴上的椭圆C：的左、右焦点分别为、，直线过，且和椭圆C交于A，B两点，，与的面积之比为3:1，则椭圆C的离心率为 . 例题2-2（24-25高三上·湖北·阶段练习）直线/经过抛物线C：（）的焦点F，与抛物线C相交于A，B两点，与y轴相交于点M.若，，则（   ） A． B． C． D． 例题2-3（24-25高三上·山西太原·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 变式2-1（24-25高二上·吉林延边·期中）已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（ ） A．的面积为 B．内切圆的面积为 C．点P的纵坐标为 D．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 ≮专题三·共焦点的椭圆和双曲线≯ 例题3-1（24-25湖南长沙高三阶段性检测）已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共的焦点，其中，分别为左、右焦点，P是与在第一象限的公共点.若线段的垂直平分线经过坐标原点，则当取最小值时，为 . 例题3-2（22-23高二上·甘肃酒泉·期末）已知、分别是椭圆和双曲线的离心率，、是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为 ． 变式3-1（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是该椭圆和双曲线的一个公共点，，的外接圆半径为2，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为4 ≮专题四·中点弦，第三定义，点差法≯ 例题4-1（24-25高二上·上海·期中）设为双曲线上两点，如下四个点：，，， 中，可作为线段中点的是 ．（请将所有满足条件的点填入） 例题4-2（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 例题4-3（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）已知为椭圆的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆C的长轴长为（   ） A． B． C．4 D．6 变式4-1（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，直线、分别与抛物线交于、两点，设直线、的斜率分别为、，则 . ≮专题五·夹角公式，角度转化≯ 例题5-1（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）过且倾斜角为的直线与曲线交于A，B两点，分别过A，B作曲线的两条切线，，若，交于N，直线MN的倾斜角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 例题5-2（2024高三下·湖南·期中）已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上．在△PAB中，，当m取最小值时，点P恰好在以A，B为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为 ． 变式5-1（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知以，为焦点的椭圆与双曲线共焦点，一动点在直线上运动，双曲线与椭圆在一象限的交点为，，当与相等时，取得最大值，则双曲线的离心率为（    ）． A． B． C． D． ≮专题六·蒙日圆≯ 例题6-1（多选）（24-25高二上·江西新余·阶段练习）法国著名数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的蒙日圆方程为 B．若为正方形，则的边长为 C．若是椭圆蒙日圆上一个动点，过作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，则面积的最大值为18 D．若是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于两点，是坐标原点，连接，当为直角时，或 变式6-1（多选）（24-25高二上·浙江杭州·期中）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．面积的最大值为 C．到的左焦点的距离的最小值为 D．若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 ≮专题七·新定义≯ 例题7-1（2024·陕西榆林·三模）在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.若，点为双纽线上任意一点，则下列结论正确的个数是（    ） ①关于轴不对称 ②关于轴对称 ③直线与只有一个交点 ④上存在点，使得 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例题7-2（多选）（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知曲线.点，，则以下说法正确的是（    ） A．曲线不关于原点对称 B．曲线存在点，使得 C．直线与曲线没有交点 D．点是曲线上在第三象限内的一点，过点向作垂线，垂足分别为，，则 例题7-3（22-23高二上·四川德阳·期末）如图，图中外形轮廓像阿拉伯数字“8”的曲线叫双纽线，它不仅体现了数学美的简洁、对称、和谐、抽象、精确、统一、奇异、突变，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石．图中双纽线C的方程：，于此曲线，给出如下结论： ①曲线C的图象关于原点对称 ②曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） ③曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3 ④若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 其中正确结论的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 变式7-1（24-25高二上·北京·阶段练习）笛卡尔、牛顿研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法，其中正确的是（   ） A．该曲线关于轴对称 B．该曲线关于原点对称 C．该曲线不经过第三象限 D．该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数 变式7-2（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）设计一条美丽的丝带，其造型也可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为9，则下列说法正确的个数是（   ） ①； ②若点在C上，则； ③在第一象限的点的纵坐标的最大值一定大于； ④当点在C上时，满足． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四讲·圆锥曲线选填压轴 ≮专题一·抛物线焦点弦，阿基米德三角形≯ 例题1-1（多选）（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）设 为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点， 为的准线，则（    ） A． B． C．以 为直径的圆与 相切      D． 为等腰三角形 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】由直线过抛物线的焦点，即可求得，进而判断A；将直线方程代入抛物线方程，结合韦达定理得出，由焦半径公式即可判断B；由的中点的横坐标得出中点到抛物线的准线的距离，即可判断C；分别求出两点的坐标，根据两点间的距离公式即可判断D． 【详解】如图， 对于A，直线过抛物线的焦点，可得，所以，故A正确； 对于B，抛物线方程为：，与交于两点， 直线方程代入抛物线方程可得，，所以， 所以，故B正确； 对于C，的中点的横坐标为，中点到抛物线的准线的距离为， 所以以为直径的圆与相切，故C正确； 对于D，由B得，，解得或， 不妨设，则， 所以，， 所以不是等腰三角形，故D错误； 故选：ABC 例题1-2（2024高三上·河南濮阳·阶段练习）我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，具有以下性质： ①P点必在抛物线的准线上； ②； ③． 已知直线与抛物线交于A，B点，若，则抛物线的“阿基米德三角形” 的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线的焦半径公式、抛物线中的三角形或四边形面积问题、由弦长求参数 【分析】根据给定条件求出直线PF方程，进而求出点P坐标及长即可求出的面积. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，直线经过抛物线的焦点， 依题意，，设，， 由消去y并整理得，则，， ，解得，即， 当时，因为“阿基米德三角形”，则直线PF斜率，直线PF方程为：， 点P必在抛物线的准线上，点，， 又，于是得， 由对称性可知，当时，同理有， 所以的面积是. 故选：A 例题1-3（多选）（2024·山东·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已知抛物线，阿基米德三角形，弦过的焦点，其中点在第一象限，则下列说法正确的是（    ） A．点的纵坐标为 B．的准线方程为 C．若，则的斜率为 D．面积的最小值为16 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的三角形或四边形面积问题 【分析】设，，直线，联立方程组，求得，，求得，两点处的切线方程，可求得点判断A；求得准线方程判断B；由，可求得，进而可求得，判断C；，，进而可得，可求的最小值，判断D. 【详解】对于A项，设，，直线， 联立，消去，得，， 所以，， 由，得，则点处的切线：①， 同理点处的切线：②，联立①②，得，， 所以，点，故A正确； 对于B项，准线方程为，故B错误； 对于C项，，得，所以，，故C错误； 对于D项，，点到直线的距离为：， 所以， 当时，的面积有最小值16.故D正确. 故选：AD. 变式1-1（2025高三·全国·专题练习）抛物线的焦点为，准线为直线，过点的直线交抛物线于，两点，分别过，作抛物线的切线交于点，于点，于点，则说法错误的是（ ） A．点在直线上 B．点在直线上的投影是定点 C．以为直径的圆与直线相切 D．的最小值为 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】对于，求出焦点的坐标，准线的方程，设，和直线的方程，与抛物线联立写出韦达定理，求出和，求导求出抛物线过点，的切线方程，求出点的坐标，对于，求出，证明，对于，证，，对于选项，求出和，求出. 【详解】 对于，依题意焦点的坐标为，准线为直线：， 不妨设，， 直线的方程为， 联立与， 得，从而，， ，， 由题意，所以， 故抛物线过点，的切线方程分别为 ，， 解得点的坐标为，故错误； 对于，因为，， 所以， 所以，即点在直线上的投影是点（定点），故选项正确； 对于，因为， 故，同理， 因此，即以为直径的圆与直线相切，选项正确； 对于选项，因为， ， 从而， 令，由函数在上单调递增， 所以当，即时，函数取最小值，故正确. 故选：A. 例题1-2（多选）（24-25高三上·湖南长沙·期末）已知为坐标原点，抛物线上有异于原点的，两点，为抛物线的焦点，以为切点的抛物线的切线分别记为，，则（    ） A．若，则三点共线 B．若，则三点共线 C．若，则三点共线 D．若，则三点共线 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】抛物线定义的理解、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题、根据韦达定理求参数 【分析】设方程，联立抛物线方程，利用韦达定理表示，.AB：结合所给的条件即可判断；C：分别求出切线、的方程，由斜率之积为可得即可判断；D：结合抛物线的定义化简计算即可判断. 【详解】设直线的方程为，代入抛物线方程得， 则，，， 所以， . 选项A：若，则，得， 故直线：，不一定经过焦点，三点不一定共线，故A错误. 选项B：若，则，得， 故直线：，经过焦点，三点共线，故B正确. 选项C：设在点处的切线方程为：，即， 与抛物线方程联立得， ，即，解得， 所以：，即， 即切线的方程为，同理切线的方程为， 由，得，得，由B知直线经过焦点，故C正确. 选项D：因为， 则， 整理得，则，故直线：， 不一定经过焦点，三点不一定共线，故D错误. 故选：BC 变式1-3（多选）（2025湖南衡阳）圆锥曲线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形叫做“阿基米德三角形”.如图是抛物线的阿基米德三角形，弦AB经过焦点F，又BC，AD均垂直于准线l，且C，D为垂足，则下列说法正确的有（    ） A．以AB为直径的圆必与准线l相切于M点 B．为定值4 C．为定值 D．有最小值 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】抛物线的范围、抛物线定义的理解、抛物线的焦半径公式、直线与抛物线交点相关问题 【分析】根据抛物线的切线方程，相似关系，联立直线与抛物线方程后根与系数的关系，两角和的正切公式代入即可求解. 【详解】 先证明出抛物线在其上一点处的切线方程为 证明如下： 由于点在抛物线上， 则， 联立 即，， 所以抛物线在其上一点 处的切线方程为 设，，设直线AB的方程为， 联立消去x得， 根据根与系数的关系可得， 又抛物线在点A处的切线方程为，即 同理可知，抛物线在点B处的切线方程为， 由题意知，， 直线MA的斜率为，直线MB的斜率为， ， 所以，，即点M在以AB为直径的圆上， 联立， 解得， 所以点M的横坐标为， 所以点M在抛物线的准线上，即以AB为直径的圆必与准线l相切于M点， 故A正确; 当AB垂直于x轴时，由抛物线的对称性可知，点 M为抛物线的准线与x轴的交点， 此时，则，， 又此时，则为定值4， 当AB不与x轴垂直时，直线AB的斜率为， 直线MF的斜率为， ， 则，在中，， 又以AB为直径的圆与准线l相切于M点， 设以AB为直径的圆的圆心为，即得， 则点M坐标为， 则， 故B正确; ， 故C正确; 由题意知，， 则 又根据题意知，则无最小值. 故D错误. 故选：ABC. ≮专题二·焦半径，焦点弦，焦比定理，爪子模型≯ 例题2-1（24-25高二上·北京·阶段练习）已知焦点在x轴上的椭圆C：的左、右焦点分别为、，直线过，且和椭圆C交于A，B两点，，与的面积之比为3:1，则椭圆C的离心率为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，，，，根据椭圆的定义可得，进而得出为等腰直角三角形，从而求得离心率. 【详解】，不妨设，， 由点作轴，同时也过点向轴引垂线， ， ， 设，， 由， ，， 所以， 所以，则点为椭圆的短轴端点，为等腰三角形， ，， ，为直角三角形， ，为等腰直角三角形， ， ,即. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的离心率问题，关键是利用椭圆的定义判断出为等腰直角三角形，考查了计算求解能力，属于中档题. 例题2-2（24-25高三上·湖北·阶段练习）直线/经过抛物线C：（）的焦点F，与抛物线C相交于A，B两点，与y轴相交于点M.若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】设方程为：，与抛物线方程联立计算与，设，由得，利用的值得，计算点的坐标，利用计算的值，即可得到直线的斜率以及的值，利用过焦点的弦长公式可得结果. 【详解】 不妨设点在点上方，设. 由题意得直线斜率存在，且， 设方程为：， 由得，， ∴. 设，由得，， ∴，解得， 由得，∴，即， 由得，，解得，则，， ∴，∴， ∴. 故选：A. 例题2-3（24-25高二上·山西太原·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线交的左支于两点，若成等差数列，且，则的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】等差中项的应用、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设，根据条件表示出，然后结合求解出的关系式，则离心率可求. 【详解】设，所以， 又因为成等差数列，所以， 所以，所以， 因为，解得， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，化简可得，所以， 故选：A.    【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线离心率的常用方法： （1）定义法：根据已知条件列出方程组求解出的值，结合离心率计算公式求得结果； （2）齐次式法：根据已知条件得到关于的齐次方程，将其转化为关于离心率的方程，计算出结果即可； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值求得离心率. 变式2-1（24-25高二上·吉林延边·期中）已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（ ） A．的面积为 B．内切圆的面积为 C．点P的纵坐标为 D．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】椭圆定义及辨析、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题 【分析】根据椭圆的定义和余弦定理求出即可判断A，根据三角形面积求出内切圆半径即可判定B，根据三角形面积建立关系求解判断C，根据椭圆的有界性可判断D. 【详解】对于A：根据椭圆定义可得，则， 在中，由余弦定理， 由①②可得， 所以得面积为，故A错误； 对于B：设内切圆半径为，因为的面积为， 所以，即，解得， 所以内切圆的面积为，故B正确； 对于C：因为的面积为，则， 解得，故C错误； 对于D：设，则，， ， 则当时，的最大值为5，故D错误； 故选：B. ≮专题三·共焦点的椭圆和双曲线≯ 例题3-1（24-25湖南长沙高三阶段性检测）已知离心率为的椭圆：和离心率为的双曲线：有公共的焦点，其中，分别为左、右焦点，P是与在第一象限的公共点.若线段的垂直平分线经过坐标原点，则当取最小值时，为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题 【分析】由题意，，利用椭圆和双曲线的性质有，最后用均值不等式即可求解． 【详解】设半焦距为，，， 为中点，线段的垂直平分线经过坐标原点，为中点，则， 由，， 则，，， 所以，从而有， 故， 当且仅当，即时取等. 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：关于离心率问题，可以根据条件得到关于a，c的齐次式，设，，利用椭圆和双曲线的性质有，，结合，得到，利用基本不等式求的最小值即可． 例题3-2（22-23高二上·甘肃酒泉·期末）已知、分别是椭圆和双曲线的离心率，、是它们的公共焦点，是它们的一个公共点．且，则的最大值为 ． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】利用椭圆、双曲线的定义以及余弦定理找到、的关系，然后利用三角换元求最值即可. 【详解】设椭圆的长半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为， 设，，， 因为，所以由余弦定理可得，① 在椭圆中，，①化简为，即，② 在双曲线中，，①化简为，即，③ 联立②③得，，即， 记，，， 则， 当且仅当，即，时取等号． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 变式3-1（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是该椭圆和双曲线的一个公共点，，的外接圆半径为2，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值为4 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】由椭圆与双曲线中参数之间的关系得到，判断A选项；由三角形正弦定理求得角，由椭圆和双曲线定义表示出线段，再用余弦定理求得关系，由三个参数的关系式，判断B选项；由两边同除再化简，判断C选项；用离心率公式代换代数值后利用基本不等式求得最小值，判断D选项. 【详解】∵双曲线，则焦点在轴，则椭圆中， ∵，∴，即，即，故A选项错误； 由正弦定理可知在中，∴， ∵，∴， 由椭圆和双曲线的定义可知：，解得， ∴， 即，∴， ∴，B选项错误； ∵，∴，即，∴，C选项正确； 当且仅当，即时取等号，所以最小值为，D选项错误.    故选：C. 【点睛】方法点睛，本题巧用三角形的正弦定理求出角是关键，然后就是利用椭圆与双曲线的几何性质和参数之间的关系，进行整理化简即可. ≮专题四·中点弦，第三定义，点差法≯ 例题4-1（24-25高二上·上海·期中）设为双曲线上两点，如下四个点：，，， 中，可作为线段中点的是 ．（请将所有满足条件的点填入） 【答案】 【难度】0.4 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求弦中点所在的直线方程或斜率、由弦中点求弦方程或斜率 【分析】根据双曲线方程利用点差法求得直线的斜率表达式，再根据各点坐标以及中点坐标公式得出直线方程，与双曲线方程联立根据判别式判断方程根的个数可得结论. 【详解】设，则可得的中点坐标为， 因此， 因为在双曲线上，所以，两式相减可得， 因此， 对于，可得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线没有交点， 故不符合题意； 对于，可得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线没有交点， 故不符合题意； 对于，可得，此时， 此时，即， 显然为双曲线的渐近线，所以直线与双曲线没有交点， 故不符合题意； 对于，可得，此时， 此时直线的方程为，即， 联立，消去可得， 此时，所以直线与双曲线有两个交点， 故符合题意；综上可知可作为线段中点的是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解圆锥曲线弦中点问题时，经常利用点差法由中点坐标求得弦所在直线的斜率或直线方程，即可得出相应结论. 例题4-2（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】二倍角的正切公式、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，由二倍角公式得直线的斜率，代入两直线的斜率关系式，求得，进而得离心率. 【详解】由双曲线，可知. 设, 由均在上，为的中点， 得，则， 由分别在的左，右两支，则，且， ，. 设直线的倾斜角为，则，为锐角， 是以为底边的等腰三角形，则， 直线的倾斜角为，则. ， 由代入得，. 所以椭圆的离心率为. 故选：A. 【点睛】结论点睛：中点弦定理：若直线与椭圆（双曲线）交于不同两点，中点为（不为原点），且斜率存在，则有，其中为坐标原点，为曲线的离心率. 例题4-3（24-25高二上·湖北武汉·阶段练习）已知为椭圆的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆C的长轴长为（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的长轴、短轴、由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数 【分析】由外接圆面积求半径，应用正弦定理求中的，结合已知有，根据中点弦，应用点差法有即可求椭圆的长轴长. 【详解】由外接圆的面积为，则其外接圆半径为. ∵是以为底边的等腰三角形，设，则， ∴，得， ∴或. 不妨设点在轴下方， 由是以为底边的等腰三角形，知：或 设，则 ，， 所以， 所以， 因为四点共线，为线段的中点， 所以，， 所以， 所以或（此时焦点在轴上，舍去） ∵为椭圆的右焦点， ， ∴，故椭圆的长轴长为.    故选：B. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中解决弦的中点相关问题，经常利用点差法解决. 变式4-1（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，直线、分别与抛物线交于、两点，设直线、的斜率分别为、，则 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】抛物线中的定值问题 【分析】设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，设、，结合韦达定理可得出，，利用斜率公式可求得的值. 【详解】当直线与轴重合时，直线与抛物线有且只有一个公共点，不合乎题意， 设直线的方程为，设点、， 联立，可得，， 由韦达定理可得，， 设点、，易知点， 易知，直线不与轴重合，设直线的方程为， 联立，可得，， 由韦达定理可得，，同理可得， 所以，. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． ≮专题五·夹角公式，角度转化≯ 例题5-1（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）过且倾斜角为的直线与曲线交于A，B两点，分别过A，B作曲线的两条切线，，若，交于N，直线MN的倾斜角为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、直线与抛物线交点相关问题 【分析】首先画出平面图形，求出的结论，再利用两角和与差的正切公式以及前面的结论将化简为的形式，由基本不等式即可求得最值. 【详解】如图，设，， 由于曲线，则， 所以在A点的切线方程为， 同理在B点的切线方程为， 由于N点是两切线的交点，所以， 则为，且过， 且，设， ， 当且仅当时“”成立， 故选：C. 【点睛】方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为： （1）设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：； （2）若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为. 例题5-2（2024高三下·湖南·期中）已知点A是抛物线的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上．在△PAB中，，当m取最小值时，点P恰好在以A，B为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、抛物线定义的理解、根据韦达定理求参数 【分析】作垂直于准线于H，然后结合抛物线的定义可以得到，进一步判断出当直线AP与抛物线相切时，PAH最小，然后结合直线与抛物线相切求得答案. 【详解】如图，作垂直于准线于H，∵，∴，根据抛物线的定义有，∴，当m最小时，最小. 故当直线AP与抛物线相切时，PAH最小．易知点A（0，2），设直线AP方程为，联立 ， ，． 此时，椭圆中，椭圆离心率． 故答案为：. 变式5-1（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知以，为焦点的椭圆与双曲线共焦点，一动点在直线上运动，双曲线与椭圆在一象限的交点为，，当与相等时，取得最大值，则双曲线的离心率为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】设双曲线的实轴长为，设，，根据椭圆以及双曲线的定义推出，，利用余弦定理可得，再利用两角差的正切公式结合的最大值可推出，两式联立即可求得答案. 【详解】由题意设，，设双曲线的实轴长为， 双曲线与椭圆在一象限的交点为， 设，，，则，， 故，， 由，得， 即； 动点在直线上运动，设l与x轴交点为E，设， 在中，， 在中，， 由题意知为锐角，且， 即， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最大值为， 而当与相等时，取得最大值， 可知，即，结合， 得，则， 故双曲线的离心率， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助两角差的正切公式，得到的最大值，再结合与相等，得到. ≮专题六·蒙日圆≯ 例题6-1（多选）（24-25高二上·江西新余·阶段练习）法国著名数学家加斯帕尔•蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆.若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（    ） A．椭圆的蒙日圆方程为 B．若为正方形，则的边长为 C．若是椭圆蒙日圆上一个动点，过作椭圆的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，则面积的最大值为18 D．若是直线上的一点，过点作椭圆的两条切线与椭圆相切于两点，是坐标原点，连接，当为直角时，或 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、求直线与圆交点的坐标、圆的弦长与中点弦、圆内接三角形的面积 【分析】A选项，求出，可得到蒙日圆方程；B选项，设出边长，得到方程，求出答案； C选项，，由基本不等式求出最值； D选项，直线与的交点即为所求点，联立后得到点坐标，进而得到. 【详解】解：对于A，椭圆的四个顶点处的切线， 恰好围成长、宽分别为和的矩形，蒙日圆为此矩形的外接圆，半径， 故椭圆的蒙日圆方程为，故A正确； 对于B，由题意可知正方形是圆的内接正方形， 设正方形的边长为，可得，解得， 即正方形的边长为，故B正确； 对于 C，由题意可得，则为圆的一条直径， 则，由勾股定理可得， 所以 当且仅当时，等号成立， 因此，面积的最大值为9，故 C错误； 对于 D，过直线上一点作椭圆的两条切线，切点分别为，， 当为直角时，点在椭圆的蒙日圆上， 即为直线与圆的交点， 由，解得或， 即点的坐标为或， 则直线（为坐标原点）的斜率为0或，故 D正确. 故选：ABD. 变式6-1（多选）（24-25高二上·浙江杭州·期中）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，过上的动点作的两条切线，分别与交于，两点，直线交于，两点，则下列结论正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．面积的最大值为 C．到的左焦点的距离的最小值为 D．若动点在上，将直线，的斜率分别记为，，则 【答案】ABC 【难度】0.4 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题 【分析】求椭圆的离心率，根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的最值问题，根据题意结合圆，椭圆的知识并结合直线与椭圆位置关系，韦达定理可逐项求解. 【详解】A：依题意，过椭圆的上顶点作轴的垂线，过椭圆的右顶点作轴的垂线则这两条垂线的交点在上， 因为，所以椭圆的离心率，故A正确； B：因为点，，都在上，且，为的直径， 所以面积的最大值为，故B正确； C：设，的左焦点为，连接， 所以， 又，当时，的最小值为， 则到的左焦点的距离的最小值为，故C正确； D：由直线经过坐标原点，易得点A，关于原点对称， 设，，则，得，， 又，两式相减得，， 所以，故D错误. 故选：ABC 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：配方法；基本不等式法；单调性法；三角换元法；导数法等，要特别注意自变量的取值范围. ≮专题七·新定义≯ 例题7-1（2024·陕西榆林·三模）在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.若，点为双纽线上任意一点，则下列结论正确的个数是（    ） ①关于轴不对称 ②关于轴对称 ③直线与只有一个交点 ④上存在点，使得 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由方程研究曲线的性质、求平面轨迹方程、圆锥曲线新定义 【分析】用定义法把动点的轨迹方程求出来，利用代换，方程没有变化，可知双纽线关于轴，轴，原点对称，再利用它与联立方程组，解得只有一组解，可知③正确，再利用原点到的距离正好是,可知满足题意，所以④正确，从而可以做出所有选项的判断. 【详解】①设到定点的距离之积为4， 可得.，整理得， 即曲线的方程为， 由用代换，方程没变，可知曲线关于轴对称， 由用代换，方程没变，可知曲线关于轴对称， 由用代换，用同时代换，方程没变，可知曲线关于原点对称， 图象如图所示： 所以①不正确，②正确； ③联立方程组，可得，即，所以， 所以直线与曲线只有一个交点，所以③正确. ④原点满足曲线的方程，即原点在曲线上，则， 即曲线上存在点与原点重合时，满足，所以④正确. 故选:C. 例题7-2（多选）（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）已知曲线.点，，则以下说法正确的是（    ） A．曲线不关于原点对称 B．曲线存在点，使得 C．直线与曲线没有交点 D．点是曲线上在第三象限内的一点，过点向作垂线，垂足分别为，，则 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】由方程研究曲线的性质 【分析】分，的零的大小讨论，得到曲线方程，并画出图形，由对称性可得A错误；由双曲线的定义可得B错误；由渐近线方程可得C正确；由点到直线的距离公式可得D正确； 【详解】当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即；不存在； ，时，曲线，即； ，时，曲线，即；画出图形如下： 对于A，由图可得曲线不关于原点对称，故A正确； 对于B，方程是以，为上下焦点的双曲线，当，时，曲线存在点，使得，故B错误； 对于C，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线没有交点，故C正确； 对于D，设，设点在直线上，点在直线，则由点到直线的距离公式可得，， 所以， 又点是曲线上在第三象限内的一点，满足，即， 代入曲线方程可得，故D正确； 故选：ACD. 例题7-3（22-23高二上·四川德阳·期末）如图，图中外形轮廓像阿拉伯数字“8”的曲线叫双纽线，它不仅体现了数学美的简洁、对称、和谐、抽象、精确、统一、奇异、突变，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石．图中双纽线C的方程：，于此曲线，给出如下结论： ①曲线C的图象关于原点对称 ②曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） ③曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3 ④若直线与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为 其中正确结论的个数为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】由方程研究曲线的性质、求两曲线的交点、圆锥曲线新定义 【分析】①，由曲线上任一点关于原点的对称点适合曲线方程可判断；②，利用换元法转化为二次方程，通过判别式得出范围，再赋值求解整点的坐标即可；③，利用已知方程变形，根据有界性结合两点间距离公式可判断；④，联立直线与曲线C研究方程根的情况即可． 【详解】①，设曲线上任意一点，则坐标满足曲线方程， 即方程成立， 可得成立， 即点关于原点的对称点也适合曲线方程， 所以曲线的图象关于原点对称，故①正确； ②，方程可化为， 令，则方程， 由判别式，可得， 若是整数，则. 令，，解得或3或，有三个整点，，； 令，，解得或5，此时无整点； 所以曲线共经过3个整点，故②错误； ③，设曲线C上任一点， 当为原点时，到原点的距离为，满足题意； 当不为原点时，， 则由可得，， 所以点到原点的距离，且； 综上，曲线C上任一点到原点的距离都不超过3，故③正确； ④，直线恒过原点，且曲线C经过， 则直线与曲线至少一个公共点， 又与曲线C只有一个公共点，故除原点外无其他公共点. 联立， 消得， 当时，方程仅一解，满足题意； 当时，当时，方程恒成立，即恒有一解， 当时，方程化简得，即当时，方程无解，满足题意； 综上，，解得或，故④正确. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知直线与曲线交点个数求参数值(取值范围)问题，通常将直线方程代入曲线方程转化为一元方程根的情况研究，再结合方程类型变形建立不等式，通过解不等式确定参数范围，但也要注意变形过程中的等价处理.如复合方程通过整体换元转化为简单方程来研究时，不能忽视求解新元的范围；高次方程因式分解转化为低次方程来研究时，要注意几个低次方程之间的重根讨论；分式方程化为整式方程研究时，分母是否为0的分类讨论；无理方程转化为有理方程时，被开方数的限制条件等. 变式7-1（24-25高二上·北京·阶段练习）笛卡尔、牛顿研究过方程，关于这个方程的曲线有下列说法，其中正确的是（   ） A．该曲线关于轴对称 B．该曲线关于原点对称 C．该曲线不经过第三象限 D．该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由方程研究曲线的性质 【分析】A选项，得到，，则，A错误；B选项，举出反例；C选项，当时，，该曲线不经过第三象限，C正确；D选项，变形得到，当时满足要求，故整数点至少有8个，D错误. 【详解】A选项，当时，显然等式不成立，故， 所以，令， 则， 故，故A错误； B选项，，B错误； C选项，当时，，故， 所以该曲线不经过第三象限，C正确； D选项，， 其中，当时，为整数， 故整数点至少有8个，D错误. 故选：C 【点睛】关键点点睛：研究出，从而得到，令，利用函数的性质进行研究，得到结论. 变式7-2（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）设计一条美丽的丝带，其造型也可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为9，则下列说法正确的个数是（   ） ①； ②若点在C上，则； ③在第一象限的点的纵坐标的最大值一定大于； ④当点在C上时，满足． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】由方程研究曲线的性质、求平面轨迹方程、抛物线定义的理解 【分析】由题意，将原点坐标代入可得；通过放缩可得不等式，进一步可判断第二个序号；取点即可判断第三、四个序号. 【详解】对于①，由题意点在曲线C的上面，当且仅当， 因为曲线C过原点且，所以，故①正确； 对于②，若点在C上， 则 ，故②正确； 对于③，在中，当时，化简得 令，可得，故③正确； 对于④，当点在C上时，由③可知点不满足，故④错误； 说法正确的个数是3. 故选：C. 【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理. 学科网（北京）股份有限公司 $$