2025届高考二轮复习选择填空压轴题精选第二讲·平面向量、直线与圆

第二讲·平面向量，直线与圆选填压轴 ≮专题一·直线与圆，圆与圆的位置关系≯ 例题1-1（24-25高三上·四川眉山·阶段练习）曲线在处的切线为，圆：上恰好存在2个点，到切线的距离为1，则的一个取值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例题1-2（多选）（24-25高三上·广东佛山·阶段检测）已知，，是曲线上的任意一点，若的值与无关，则（   ） A．m的取值范围为 B．n的取值范围为 C．的最大值为7 D．的最小值为 例题1-3（多选）（24-25高二上·山东淄博·期中）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，下列说法正确的为（    ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．四边形面积的最小值为 C．存在唯一点，使得 D．直线恒过定点 例题1-4（多选）（24-25高二上·山东青岛·期中）已知圆，直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．对任意实数和，直线和圆有公共点 B．对任意实数和，直线和圆相切 C．对任意实数，必存在实数，使直线和圆相切 D．对任意实数，必存在实数，使直线和圆相切 例题1-5（2024·上海嘉定·一模）已知实数满足：，则的最小值为 . 变式1-1．（11-12高三上·甘肃兰州·期末）已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 变式1-2．（24-25高二上·江苏常州·期中）过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则 . 变式1-3（2025高二上·湖南长沙·期中）对于圆 上任意一点的值与无关，有下列结论: ① 点的轨迹是一个圆； ② 有最小值； ③ 当 时，有最大值； ④ 当 时，. 其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 ≮专题二·平面向量，圆的轨迹，阿氏圆≯ 例题2-1（24-25高三上·吉林·期末）已知，为单位向量，且，向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例题2-2（23-24高二下·河南南阳·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 例题2-3（24-25高三上·湖北·期末）若为曲线上任意两点，则两点间距离的最大值为 ． 例题2-4（24-25高二上·江苏无锡·期中）在中，D是AB的中点，E在边AC上，，CD与BE交于点F，若AC=6，，则的面积的最大值为 变式2-1（23-24高二上·贵州·阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式2-2（多选）（24-25高三·湖南长沙·阶段练习）设曲线，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线的周长为 C．曲线围成的图形的面积大于5 D．曲线上的两点之间距离不大于 变式2-3（2024·山东日照·一模）已知向量满足，，则的最大值为 ． ≮专题三·圆中线性规划最值≯ 例题3-1（24-25高二上·江苏无锡·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最小值为 ，的最大值为 ． 例题3-2（2023·上海崇明·一模）已知正实数满足则当 取得最小值时， 变式3-1（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知实数满足，则的最大值为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二讲·平面向量，直线与圆选填压轴 ≮专题一·直线与圆，圆与圆的位置关系≯ 例题1-1（24-25高三上·四川眉山·阶段练习）曲线在处的切线为，圆：上恰好存在2个点，到切线的距离为1，则的一个取值可能为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由导数的几何意义求出切线方程，求出圆心到直线的距离，结合图形，随圆的半径变化求解满足题意的的范围. 【详解】设， 则，，又， 所以切线方程为，即. 圆：， 圆心到直线的距离，即圆心恰在直线上. 如图，到直线距离等于的点，在与直线平行且与直线距离为的两条直线上.    结合圆的半径变化，由图形可知， 当时，圆上存在4个点到直线的距离为1； 当时，圆上存在2个点到直线的距离为1； 当时，圆上不存在到直线的距离为1的点. 综上可知，当时，圆上存在2个点到切线的距离为1. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，发现切线经过圆的圆心，从而数形结合即可得解. 例题1-2（多选）（24-25高三上·广东佛山·阶段检测）已知，，是曲线上的任意一点，若的值与无关，则（   ） A．m的取值范围为 B．n的取值范围为 C．的最大值为7 D．的最小值为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由方程知曲线为半圆，再由题意转化为半圆夹在两平行直线之间，求出相切与过端点的情况即可得解. 【详解】由曲线，得，则（）， 所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（轴及以上部分）. 设直线：与：， 由， 得表示点到直线和的距离和的倍， 对于AB，若的值与无关， 则该曲线在两平行直线：与：之间， 当与该曲线相切时，，解得， 则的取值范围为， 当经过点时，，解得， 则的取值范围为，故A正确，B错误； 对于C，由图知，当点的坐标为时， 点到直线的距离最大，为， 所以的最大值为7，故C正确； 对于D，由图可知，当与该曲线相切，且经过点时， 点到直线和的距离和最小， 此时， 则点到直线和的距离和最小值为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：将转化为点到直线和的距离和的倍，是解决本题的关键. 例题1-3（多选）（24-25高二上·山东淄博·期中）已知圆，点是直线上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和，下列说法正确的为（    ） A．圆上恰有一个点到直线的距离为 B．四边形面积的最小值为 C．存在唯一点，使得 D．直线恒过定点 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、切线长、相交圆的公共弦方程、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】利用圆心到直线的距离可判断A；利用圆的性质可得切线长，由题可得四边形的面积，可判断B；当时，四边形为正方形，将问题转化为时，求点的个数，即可判断C；由题可知点，在以为直径的圆上，利用两圆方程相减可得公共弦的方程，即可判断D. 【详解】由圆，可知圆心，半径. 对于A，由圆心到直线的距离为， 所以圆上任意一点到直线的距离的取值范围为（当时，直线与圆的两个交点处分别取等号）. 而，所以圆上有两个点到直线的距离为，故A错误； 对于B，四边形的面积， 由圆的性质可得切线长， 所以当最小时（时）, ， 所以四边形的面积的最小值为1，故B正确； 对于C，若，由，，则四边形为正方形，则， 设，则，解得， 即存在唯一P点，使得，故C正确； 对于D，设，因为为过点作圆的切线，所以点在以为直径的圆上. 又，所以以为直径的圆为，即. 与圆联立，相减，即为直线的方程为：. 由，得，即直线恒过定点，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题D选项的关键是分析得点在以为直径的圆上，进而两圆方程相减得到直线的方程，再利用直线过定点问题的求解方法即可得解. 例题1-4（多选）（24-25高二上·山东青岛·期中）已知圆，直线，则下列命题为真命题的是（    ） A．对任意实数和，直线和圆有公共点 B．对任意实数和，直线和圆相切 C．对任意实数，必存在实数，使直线和圆相切 D．对任意实数，必存在实数，使直线和圆相切 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】辅助角公式、求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系 【分析】由题设条件求出圆心到直线的距离，对于A，由直线与圆都经过原点即可判断；对于B,D,通过举例子排除B，通过分析时的范围可排除D，对于C，将距离公式利用辅助角公式化成，根据正弦型函数的有界性即可判断. 【详解】由圆的方程可知，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为：. 对于A，因，故圆经过坐标原点，而直线经过原点， 故对任意实数和，直线和圆有公共点，即A正确； 对于B，当时，，此时直线与圆相交，故B错误； 对于C，由其中， 故对任意实数，必存在，直线和圆相交或相切，故C正确； 对于D，不妨取，则， 因对，都有，即恒成立，此时直线与圆相交，故D错误. 故选：AC. 例题1-5（2024·上海嘉定·一模）已知实数满足：，则的最小值为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】设，根据给定条件可得为单位圆上两点，且，再利用的几何意义转化为直线与圆上点的距离最小值求解. 【详解】设，则，由，， 得点在单位圆上，且， 即，则为等边三角形，， 可视为点到直线：的距离与之和， 当点在直线同侧时， 设，或， 当时，，则， ，， ， ， 于是 ， 由，得，，； 当时，，则， ，， ， ，，； 当点在直线异侧时（包括点之一在直线上）， 过分别作，垂足为，令直线与直线的夹角为， ，    所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将的转化为点两点到直线的距离与之和. 变式1-1．（11-12高三上·甘肃兰州·期末）已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】首先分和两种情况去绝对值，两边平方后，可得曲线方程，再利用数形结合，求直线斜率的取值范围. 【详解】当时，曲线即， 两边平方，整理得， 表示以为圆心，半径的圆的右半圆； 当时，曲线即， 两边平方，整理得， 表示以为圆心，半径的圆的左半圆， 直线表示经过定点、斜率为的直线， 因此，直线与曲线有两个不同的交点， 就是直线与两个半圆组成的图形有两个交点， 当直线与右半圆有两个交点时，记点， 可得圆心到直线的距离小于半径，且直线的斜率小于或等于的斜率， 且，解得； 当直线与左半圆有两个交点时，由对称性可得；    综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 变式1-2．（24-25高二上·江苏常州·期中）过抛物线上一动点作圆的两条切线，切点分别为，若的最小值是，则 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】切线长、根据抛物线的方程求参数 【分析】设，利用圆的切线性质，借助图形的面积把表示为的函数，再求出函数的最小值即可. 【详解】设，则，圆的圆心，半径为， 由切圆于点，得， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 可知的最小值为， 整理可得，解得， 且，所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据切线的性质，将转化为，根据面积结合几何性质求解. 变式1-3（2025高二上·湖南长沙·期中）对于圆 上任意一点的值与无关，有下列结论: ① 点的轨迹是一个圆； ② 有最小值； ③ 当 时，有最大值； ④ 当 时，. 其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——直线、求平行线间的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由，将已知条件看作到直线、距离之和的倍，且已知圆在平行线、之间得，再结合各项描述分析正误. 【详解】令，可看作到直线、距离之和的倍， 由的值与无关， 所以距离之和与在圆上的位置无关，故已知圆在平行线、之间， 而两线距离为， ①当时，的轨迹是直线，错误； ②由上分析知：r有最大值，无最小值，错误； ③时，，即有最大值，正确； ④时，则，故，正确. 所以正确的有③④. 故选：B ≮专题二·平面向量，圆的轨迹，阿氏圆≯ 例题2-1（24-25高三上·吉林·期末）已知，为单位向量，且，向量满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、数量积的坐标表示、已知切线求参数 【分析】由单位向量的概念以及题目中的模长等式，可得向量夹角，即可设出坐标，根据题目中的等式，可得向量终点的轨迹方程，利用直线与圆的位置关系，可得答案. 【详解】由，为单位向量，且，则，解得， 设的夹角为，则，解得， 不妨设，，， 由，则，整理可得，易知圆心，半径为， 设，由，则， 易知当直线与圆相切时，取得最值， 可得，整理可得，解得， 所以的最大值为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于向量运算的坐标表示，根据题意建立合理的坐标系，设出向量的坐标，整理未知向量终点的轨迹方程，利用解析几何的解题思想，将向量问题等价转化为直线与圆的位置关系问题. 例题2-2（23-24高二下·河南南阳·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点是圆上任一点，点，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】根据题目阿波罗尼斯圆的条件不妨取，使得，从而将所求转化为，根据题意，所表示的圆与圆相同可解得点坐标，再利用三角形两边之和大于第三边得到 (当且仅当在线段上时取等)即可得解. 【详解】设，不妨取，使得， 则， 整理得， 此方程与相同， 所以有，解得， 所以， 所以，当且仅当在线段上时，取等号. 因为，所以在圆内； ，所以在圆外； 所以线段与圆必有交点（记为）， 当重合时，，为其最小值， 故选：C. 【点睛】关键点睛：解决本题时，关键是利用阿波罗尼斯圆将变为，再由当在线段上时，求出最小值. 例题2-3（24-25高三上·湖北·期末）若为曲线上任意两点，则两点间距离的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围）、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】作出曲线的图象，结合图象分析任意两点距离的最大值即可得出结果. 【详解】由题意可得曲线关于轴，轴，原点对称， 当时，曲线方程化为，圆心; 当时，曲线方程化为，圆心； 当时，曲线方程化为，圆心； 当时，曲线方程化为，圆心； 当时，；当时，. 作出曲线在平面直角坐标系下的图象如下图： 曲线上任意两点距离的最大值为， 故答案为：. 例题2-4（24-25高二上·江苏无锡·期中）在中，D是AB的中点，E在边AC上，，CD与BE交于点F，若AC=6，，则的面积的最大值为 【答案】 【难度】0.4 【知识点】用基底表示向量、轨迹问题——圆、平面向量共线定理的推论 【分析】根据给定条件，利用平面向量共线向量定理的推论可得，再建立平面直角坐标系，求出点到边的距离的最大值，利用倍分法求出面积最大值. 【详解】在中，D是AB的中点，E在边AC上，， ，令， 则，又点共线，于是，解得， 则，的面积， 由，得，以直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 点，设，则， 整理得，因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除圆与轴的交点外）， 则点到边的距离的最大值为， 所以的面积的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：利用平面向量求得，再借助阿氏圆求出最大距离是解题的关键. 变式2-1（23-24高二上·贵州·阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】直线过定点问题、求平面两点间的距离、轨迹问题——圆 【分析】由已知可得，则点的轨迹是以为直径的圆，除去点，得到的轨迹方程为， 由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可. 【详解】当时，，此时，交点为. 当时，由，斜率为， 由，斜率为，， 综上，. 又， 直线恒过， ，直线恒过， 若为的交点，则，设点， 所以点的轨迹是以为直径的圆，除去点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故的轨迹方程为， 即，则有. 又，易知O、Q在该圆内， 又由题意可知圆上一点满足，取， 则，满足. 下面证明任意一点都满足，即， ， 又， . 所以， 又， 所以， 如图，当且仅当三点共线，且位于之间时，等号成立 即最小值为. 故选：A.    变式2-2（多选）（24-25高三·湖南长沙·阶段练习）设曲线，则（    ） A．曲线关于直线对称 B．曲线的周长为 C．曲线围成的图形的面积大于5 D．曲线上的两点之间距离不大于 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】由方程求曲线的图形、由方程研究曲线的性质、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】A选项，将点关于直线的对称点代入方程即可判断；B选项，分类讨论，作出图形，求出曲线的周长为，B错误；C选项，在B选项基础上，得到图形面积；D选项，作出辅助线，得到即为曲线上的两点之间距离最大值，求出最大值，得到D正确. 【详解】A选项，将点关于直线的对称点代入曲线得， 即点满足曲线C方程，故关于直线对称，A正确； B选项，当时，满足，故原点在上， 当得， 故对应的图形为圆心为，半径为，的圆在第一象限的半圆部分， 此圆弧的长度为， 同理可得，对应的图形如下：    故曲线的周长为，B错误； C选项，曲线围成的图形的面积可分割为边长为的正方形和4个半径为的半圆， 故曲线围成的图形的面积为，故C正确； D选项，其中圆心与，直线与图形交于点， 则即为曲线上的两点之间距离最大值， 其中， 故曲线上的两点之间距离不大于，D正确.    故选：ACD 【点睛】方法点睛：研究曲线方程其图形的对称性，作出图形，数形结合进行求解是解曲线方程问题常用技巧. 变式2-3（2024·山东日照·一模）已知向量满足，，则的最大值为 ． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、轨迹问题——圆、数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】根据向量的模和夹角，考虑建立平面直角坐标系，将条件化简得到点C的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，从而赋予的几何意义为圆上的点与的距离，结合圆的性质易得其最大值. 【详解】    设，以OA所在的直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系（如图）， 因，则设， 由可得： 即，整理得：，∴点C在以为圆心，1为半径的圆上， 则表示点A，C的距离，即圆上的点与的距离，∵圆心到点A的距离为，∴的最大值为. 故答案为：. ≮专题三·圆中线性规划最值≯ 例题3-1（24-25高二上·江苏无锡·期中）我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数、满足，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、判断直线与圆的位置关系、直线与圆的位置关系求距离的最值、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】设，则与有公共点，利用圆心到直线的距离小于等于半径，得到不等式，求出的最小值为；变形得到式子几何意义为上的点到直线的距离与它到点的距离比值的2倍，作出辅助线，得到，数形结合得到过点的直线与圆相切于点，此点位于第一象限时，此时取得最大值，设直线为，与圆方程联立，根据根的判别式为0求出，从而得到切点坐标，代入求出最大值. 【详解】设，故，的几何意义为直线与轴交点的纵坐标， 且直线与有公共点， 其中是圆心为，半径为的圆， 故，解得， 故的最小值为； ， 可以看作上的点到直线的距离 与它到点的距离比值的2倍， 圆心到的距离为， 故直线与相交，且圆心在直线上方， 过点作⊥直线于点， 则，故， 当过点的直线与圆相切于点，此点位于第一象限时， 此时取得最大值， 故取到最大值， 设直线为， 联立与得 ， 由得， 结合图形可知， 将代入中得， 解得， 将代入中得，故切点坐标为， 代入中得， 故的最大值为. 故答案为：， 【点睛】关键点点睛：变形得到，转化为上的点到直线的距离与它到点的距离比值的2倍，作出辅助线，进一步转化为，数形结合得到最值 例题3-2（2023·上海崇明·一模）已知正实数满足则当 取得最小值时， 【答案】【难度】0.4 【知识点】点与圆的位置关系求参数、基本不等式求和的最小值 【分析】设出点之间的距离，由基本不等式求出最值，利用点和圆的位置关系确定自变量取值，代入求解即可. 【详解】设点与点之间的距离为，则， 易知的几何意义是点与点之间的距离的平方， 点在以为圆心，半径为的圆上，又，则， 设点与点之间的距离为，则， 故，当且仅当时取等， 此时取得最小值，由点与圆的位置关系得，此时， 代入得，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是利用基本不等式找到关于的取值．再利用点与圆的位置关系确定此时也取得最小值，然后将代入目标式，得到所要求的结果即可． 变式3-1（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知实数满足，则的最大值为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求分式型目标函数的最值、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】依题意可得，从而得到点在圆上，再由表示点与点连线的斜率，结合图象及直线与圆的位置关系求出的最值，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以点在圆上，其中圆心为，半径为， 又，其中表示点与点连线的斜率， 又，所以点在圆外， 由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，设过点的直线的方程为， 即，则，解得或， 即的最大值为，最小值为， 所以的最大值为. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$