2025届高考二轮复习选择填空压轴题精选第一讲·函数与导数

第一讲 函数与导数选填压轴 ≮专题一 等高线与分段函数零点≯ 例题1-1(24-25高三上 广东深圳 期中)已知函数,若关于的方程有四个不同的实数解、、、,且,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据指对幂函数零点的分布求参数范围、函数与方程的综合应用 【分析】画出函数的图象,根据对称性和对数函数的图象和性质即可求出. 【详解】作出函数的图象如下图所示: 若关于的方程有四个不同的实数解、、、,且, 由可得或,解得或, 所以,, 由得,即,所以,, 由图可知,点、关于直线对称,则, 所以,,其中, 令函数,其中,则函数在上单调递增, 所以,,即,即. 故选:D. 【点睛】关键点点睛:解本题的关键点在于通过对称性与对数的运算性质将所求代数式变形为以为自变量的函数的值域来求解. 例题1-2(多选).已知函数,若有四个不同的实数解,且满足,则下列命题正确的是( ) A. B.的取值范围是 C.的取值范围是 D.的取值范围是 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数图象的应用 【分析】A选项:将方程的解转化为函数与图象交点的横坐标,然后结合图象即可得到的范围;BCD选项:由题意可得,整理得,利用二次函数的对称性得到,然后利用对勾函数的单调性求范围即可. 【详解】作函数的图象如下, 有四个解,即与的图象有4个交点,, 可得,可知选项A正确; 由图象可得,则,即, 且, 令,根据“对勾”函数单调性可得在上单调递减, 故,可知选项B正确; , 令,根据“对勾”函数单调性可得, 又,可知选项C错误; 令,根据“对勾”函数单调性可得在上单调递减, 在上单调递增,故,可知选项D正确. 故选:ABD. 【点睛】关键点睛:解决本题的关键一是画出函数的图象,二是对数的运算,三是数形结合思想的运用. 例题1-3(2024 全国 模拟预测)已知函数关于x的方程在上有四个不同的解,,,,且.若恒成立,则实数k的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、cosx(型)函数对称性的其他应用、基本不等式求和的最小值 【分析】由分段函数先画出图象,将方程变形得,故只有时才有四个不相同的解,由余弦函数对称性可求,令可求范围,令可得,则等价于,结合基本不等式可求的取值范围. 【详解】画出函数的图象,如图所示: ,由图易知,当时,方程无解,故只有时才有四个不相同的解,且.由,解得或,从而, 由余弦函数的性质知,关于直线对称,则, 由,即①,解得x=1或x=9,从而, 令得,则, 故等价于,故,恒成立,所以(当且仅当时取得最小值),所以, 故选:D. 例题1-4(2023 全国 高三专题练习)已知定义在上的函数若函数恰有2个零点,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】,故, 则函数恰有2个零点等价于有两个不同的解, 故的图象有两个不同的交点, 设 又的图象如图所示, 由图象可得两个函数的图象均过原点, 若,此时两个函数的图象有两个不同的交点, 当时, 考虑直线与的图象相切, 则由可得即, 考虑直线与的图象相切, 由可得,则即. 考虑直线与的图象相切, 由可得即, 结合图象可得当或时,两个函数的图象有两个不同的交点, 综上,或或, 故选:B. 例题1-5(2024 全国 高三专题练习)已知函数有三个不同的零点.其中,则的值为( ) A.1 B. C. D. 【答案】A 【解析】令,则, 故当时,,是增函数, 当时,,是减函数, 可得处取得最小值, ,,画出的图象, 由可化为, 故结合题意可知,有两个不同的根, 故,故或, 不妨设方程的两个根分别为,, ①若,, 与相矛盾,故不成立; ②若,则方程的两个根,一正一负; 不妨设,结合的性质可得,,,, 故 又,, . 故选:A. 变式1-1.(22-23高三上 河南 阶段练习)设函数,若关于x的方程()有四个实数解,且,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】函数图象的应用、函数与方程的综合应用 【分析】作出函数图像,由图像得出函数单调性,再作直线由直线与函数图像交点得满足的性质,再求得其范围. 【详解】如图所示: 因为关于x的方程()有四个实数解,且,,所以.的对称轴为,所以. 因为,所以,即,.因为,所以. 所以,令,, 因为,为减函数,所以. 故选:A. 【点睛】本题考查方程解的问题,解题方法是把方程的解转化为直线与函数图像交点问题,作出函数图像与直线,利用数形结合思想得出解具有的性质,然后再求解. 变式1-2(2024 辽宁 校联考二模)已知函数有三个不同的零点,,,且,则的值为( ) A.81 B.﹣81 C.﹣9 D.9 【答案】A 【解析】 ∴ ∴ 令,,则, ∴ 令,解得 ∴时,,单调递减;时,,单调递增; ∴,, ∴a﹣3 ∴. 设关于t的一元二次方程有两实根,, ∴,可得或. ∵,故 ∴舍去 ∴6,. 又∵,当且仅当时等号成立, 由于,∴,(不妨设). ∵,可得,,. 则可知,. ∴. 故选:A. 变式1-3(多选)已知函数,若关于的方程有四个不同的根,它们从小到大依次记为,,,,则( ) A. B. C. D.函数有6个零点 【答案】ABC 【难度】0.4 【知识点】函数图象的应用、根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】方程有四个不同的根,即图象与直线有4个交点,画出函数大致图象可完成判断;B由图象可判断选项正误;C由题可得,,据此可完成判断;D令,可将函数的零点个数转化为图象与直线交点个数之和,据此可完成判断. 【详解】对于A,由题可画出大致图象, 则方程有四个不同的根,即图象与直线有4个交点, 则由图可得,故A正确; 对于B,由图可得,当时,,当趋近于0时,,则,故B正确; 对于C,由题. 又由题及图可得,, 则,注意到函数 在上单调递减,则,故C正确; 对于D,令,则, 由图可得,则的零点个数为 方程根的个数之和, 即图象与直线交点个数之和. 由图,图象与直线交点个数为0,图象与直线交点个数为2, 图象与直线交点个数为3,图象与直线交点个数为3, 则交点个数之和为8,即函数有8个零点,故D错误. 故选:ABC 【点睛】关键点睛:对于零点问题,常转化为函数图象交点相关的问题;对于含有的问题,常通过令来简化问题. 变式1-4(24-25高三上 天津河东 期末)已知函数,若有三个不等零点,则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点、函数与方程的综合应用 【分析】函数有三个不等零点转化为方程有三个不等实根. 分两种情况讨论:当时,,令,结合的单调性讨论根的情况;当时,得,当时,显然方程无实根;当时,,令,利用导数研究函数的性质,作出函数图象,数形结合得答案. 【详解】由有三个不等零点,等价于有三个不等实根, 当时,, 由,得, 即, 令, 由于在上单调递增,故, 故当时,方程无实根; 当时,方程在上有一实根. 当时,,由,得 当时,显然方程无实根; 当时,,令,, 当时,,所以在上单调递增; 当时,,所以在单调递减; 即当时,函数取得极大值 ;;当时,;当时,, 作出函数的图象如图, 要使有三个不等实根,需满足:在上有一实根,在上有两个实根. 由图可知与的图象有两个交点时,,即, 综上,,即实数的取值范围是. 故答案为:. 【点睛】关键点点睛:对于零点问题常转化成方程根的个数问题,分离常数后构造函数,讨论单调性,数形结合利用两函数图像的交点得到参数的范围. ≮专题二 嵌套函数≯ 例题2-1(2024 全国 高三专题练习)已知函数,设关于的方程有个不同的实数解,则的所有可能的值为 A. B.或 C.或 D.或或 【答案】A 【解析】在和上单增,上单减,又当时,时,故的图象大致为: 令,则方程必有两个根,且,不仿设 ,当时,恰有,此时,有个根,,有个根,当时必有,此时无根,有个根,当时必有,此时有个根,,有个根,综上,对任意,方程均有个根,故选A. 例题2-2(2025 全国 高三专题练习)已知函数,则函数的零点个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】令, 当时,且递增,此时, 当时,且递减,此时, 当时,且递增,此时, 当时,且递增,此时, 所以,的零点等价于与交点横坐标对应的值,如下图示: 由图知:与有两个交点,横坐标、: 当,即时,在、、上各有一个解;当,即时,在有一个解. 综上,的零点共有4个. 故选:B 例题2-3(24-25高三上 天津北辰 期末)已知函数.若函数恰有三个零点,则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由导数求函数的最值(不含参)、利用导数研究函数的零点 【分析】先通过导数研究的单调性与最值,结合换元法将问题化为的零点问题,根据导数的几何意义计算参数即可. 【详解】设,则,,得, 当单调递增, 当单调递减, 当时,函数取得最大值2, 如图,画出函数的图象, 由,即,则,, 如图,画出函数的图象,设过点的切线与相切于点, 则,得,即切点,所以切线方程为, 如图,则与有2个交点,, 如图可知,若函数恰有三个零点,则,, 则,所以, 综上可知,. 故答案为: . 【点睛】思路点睛:对于复合函数的零点问题,通常利用换元法与数形结合的思想. 变式2-1(2024 全国 高三专题练习)已知函数,设关于的方程有个不同的实数解,则的所有可能的值为( ) A.3 B.1或3 C.4或6 D.3或4或6 【答案】B 【解析】由已知,,令,解得或,则函数在和上单调递增,在上单调递减,极大值,最小值. f(x)的图象如下: 综上可考查方程的根的情况如下: (1)当或时,有唯一实根; (2)当时,有三个实根; (3)当或时,有两个实根; (4)当时,无实根. 令,则由,得, 当时,由, 符号情况(1),此时原方程有1个根, 由,而,符号情况(3),此时原方程有2个根,综上得共有3个根; 当时,由,又, 符号情况(1)或(2),此时原方程有1个或三个根, 由,又,符号情况(3),此时原方程有两个根, 综上得共1个或3个根. 综上所述,的值为1或3. 故选B. 变式2-2 ≮专题三 切线与公切线,距离问题≯ 例题3-1(2024 江西上饶 二模)若曲线与曲线有公切线,则实数a的取值范围( ) A. B. C. D. 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值(不含参)、求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题 【分析】分别求出两曲线的切线方程,则两切线方程相同,据此求出a关于切点x的解析式,根据解析式的值域确定a的范围. 【详解】设是曲线的切点,设是曲线的切点, 对于曲线 ,其导数为 ,对于曲线 ,其导数为 , 所以切线方程分别为:,,两切线重合, 对照斜率和纵截距可得:,解得(),令 (), ,得:, 当 时, ,是减函数, 当 时, ,是增函数, ∴且当x趋于 时,, 趋于 ;当 趋于 时, 趋于; ∴,∴; 故选:D. 例题3-2(2025高三上 湖南长沙)已知函数,,若曲线与曲线存在公切线,则实数m的最大值为 . 【答案】/0.5 【难度】0.4 【知识点】两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题、由导数求函数的最值(不含参) 【分析】设出公切线和两个曲线相切的切点,,根据导数的几何意义找到的关系,然后化二元为一元,将用一个量表示,结合导数工具求解. 【详解】由题意可知:, 设公切线和相切于,和相切于, 因为就没有垂直于轴的切线,故公切线斜率存在,设公切线斜率为. 于是 由可得,; 由化简整理可得,. 根据可得,, 故, 设,则, 1.当时,显然; 2.当时,则, 令,则, 故在上递增,注意到, ①当时,,; ②当时,,; 综上所述:当时,;当时,; 则在上递增,在上递减,故, 所以的最大值为. 故答案为:. 【点睛】关键点睛:本题的突破口在于,通过导数的几何意义,找出参数和两个切点横坐标的关系,利用消元的思想,消去一个未知量,然后构造函数进行求解. 例题3-3(2023 全国 高三专题练习)若函数的图象上存在两条相互垂直的切线,则实数的值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为,所以, 因为函数的图象上存在两条相互垂直的切线, 不妨设函数在和的切线互相垂直, 则,即①, 因为a一定存在,即方程①一定有解,所以, 即,解得或, 又,所以或,, 所以方程①变为,所以,故A,B,D错误. 故选:C. 例题3-4(多选)(23-24高三上 安徽合肥 期末)已知点,()是函数()图象上两点,则( ) A.对任意点A,存在无数个点B,使得曲线在点A,B处的切线倾斜角相等 B.若存在点A,B,使得曲线在点A,B处的切线垂直,则 C.若对于任意点A,B,直线AB的斜率恒小于1,则a的取值范围是 D.若且曲线在点A,B处的切线都过原点,则 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】已知切线(斜率)求参数、由函数在区间上的单调性求参数、求曲线切线的斜率(倾斜角) 【分析】选项A,转化为在点A,B处导数值相同,由方程有无数解可得;选项B,转化为在点A,B处导数值之积为,方程有解可得参数的范围;选项C,转化为函数单调递减,利用导数小于等于恒成立可求;选项D,由切线斜率的两种求法建立等量关系可得. 【详解】对于A,因为, 要使,则, 得, 所以,,即对任意,的值有无数个,故A正确: 对于B,若存在点A,B,使得曲线在点A,B处的切线垂直, 即存在,使得, 因为,, 则且,即, 则的最小值为, 故要使有解, 则有, 解得,满足条件,故B正确; 对于C,对于任意点A,B,直线AB的斜率恒小于1, 则,即, 所以在上是减函数, 所以恒成立, 设,,且, 所以要使恒成立,则,即,故C错误; 对于D,曲线在点A,B处的切线都过原点, 由,则点均不与原点重合,设曲线在处切线的斜率为, 则,由切线过原点, 则切线即直线的斜率, 所以,化简得, 若时,则,这与矛盾, 故,所以有, 同理可得, 所以由,得,故D正确. 故选:ABD. 【点睛】方法点睛:导数与切线有关的问题处理的关键在于以下三个关系的应用: (1)切点在切线上,即切点的坐标满足切线的方程; (2)切点在函数图象上,即切点的坐标满足函数的解析式; (3)在切点处的导数值等于切线的斜率,即斜率的求法可以通过求导运算,也可以通过两点斜率坐标公式求解,或通过算两次建立等量关系. 变式3-1(24-25高三上 江苏 阶段练习)若曲线与曲线存在公切线,则a的最大值 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】两条切线平行、垂直、重合(公切线)问题、由导数求函数的最值(不含参) 【分析】设公切线与曲线切与点,与曲线切与点,由题意可得,化简可得,则,构造函数,利用导数求出其最大值即可. 【详解】设公切线与曲线切与点,与曲线切与点, 由,得;由得. 则, 所以,所以,即. 设,则. 由;由. 所以函数在上单调递增,在上单调递减. 所以函数. 即的最大值为. 故答案为: 【点睛】关键点点睛:此题考查导数几何意义,考查利用导数求函数的最值,解题的关键是设出两切点的坐标,由切线为两曲线的公切线列方程组求解,考查数学转化思想和计算能力. 变式3-2(多选)(23-24高三下 广东 阶段练习)若函数的图象上至少存在两个不同的点P,Q,使得曲线在这两点处的切线垂直,则称函数为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是( ) A. B. C. D. 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程(斜率) 【分析】由题意可知,导函数中至少存在两个点,它们的函数值相乘为,才可能是“垂切函数”,求导相乘,逐项判断即可. 【详解】存在,,使成立,A正确. 不存在,,使成立,B错误. ,存在,使得成立,C正确. 存在,,使成立,D正确, 故选:ACD. ≮专题四 整数解与不动点≯ 例题4-1(24-25高三上 山东济宁 阶段练习)已知函数,若关于的不等式恰有一个整数解,则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】分段函数的性质及应用、解含有参数的一元二次不等式、二次函数的图象分析与判断、解分段函数不等式 【分析】作出函数的图象,求出方程的解,由已知可得出,对实数的取值进行分类讨论,确定满足不等式的整数解,结合图象可得出实数的取值范围. 【详解】由,可得. 因为,作出函数的图象如下图所示: 当时,, 当时,由, 即,解得或(舍). 若,则有,且, 若使得满足不等式恰有一个整数解, 由图可知,则该整数解为,且不是不等式的解, 则,即; 若,则,无解; 若,则有, 由图可知,则满足不等式的整数解为, 且与都不是不等式的解,且, 所以,即. 综上所述,实数的取值范围是. 故答案为:. 例题4-2(2024 四川绵阳 一模)已知函数,若关于x的不等式的整数解有且仅有2个,则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数图象及性质、利用导数研究能成立问题 【分析】判断函数的单调性,作出函数图象,结合题意列出相应不等式组,即可求得答案. 【详解】令,则, 当时,,则在上单调递减; 当时,,则在上单调递增; 令,则其图象为开口向下,对称轴为的抛物线; 由关于x的不等式, 可知,当时,,即有; 当时,,即有; 作出函数图象如图: 要使关于x的不等式的整数解有且仅有2个, 显然不能满足题意,故需满足,即, 解得,即的取值范围为, 故选:A 【点睛】关键点睛:解答本题的关键在于作出函数图象,从而列出相应不等式组,求得答案. 例题4-3(2025 全国 高三专题练习)设函数(),为自然对数的底数,若曲线上存在点,使得,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵曲线上存在点 ∴ 函数()在上是增函数,根据单调性可证 即在上有解,分离参数,,,根据是增函数可知,只需故选A. 变式4-1(2023 河南开封 一模)在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数,存在点,使得,那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数为“不动点”函数,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值(不含参)、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数新定义、函数与方程的综合应用 【分析】根据题意列出关于和的等式,然后分离参数,转化为两个函数有交点. 【详解】题意得若函数为不动点函数,则满足 ,即,即 设, 令,解得 当时,,所以在上为增函数 当时,,所以在上为减函数 所以 当时, 当时, 所以的图象为: 要想成立,则与有交点,所以, 对应区间为 故选:B. 变式4-2(24-25高一上 重庆 阶段练习)已知函数,若关于的不等式恰有1个整数解,则实数的最大值是 . 【答案】12 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、根据图像判断函数单调性、函数图象的应用、解含有参数的一元二次不等式 【分析】由解析式作出函数图象,分类讨论与,结合图象分析题设不等式的解集中整数的个数情况,进而得到关于的不等式组,解之即可得解. 【详解】函数的函数图象如下: 因为,则, 当时,则, 若时,此时不等式无整数解, 当时,由对称性可知,不等式至少有2个整数解; 当时,则, 令,则,则,要想不等式恰有1个整数解, 则是不等式的解,不是不等式的解, 由函数图象可知,函数在上单调递减, 所以,即,即, 所以实数的最大值是12. 故答案为:12. ≮专题五 函数与导数双函数问题≯ 例题5-1(24-25高三上 福建龙岩 阶段练习)已知函数的定义域均为是奇函数,且的图象关于对称,,则( ) A.4 B.8 C. D. 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】由条件变形求出的图像关于对称,利用奇函数性质可得的图象关于点中心对称,进一步求得是以4为周期的周期函数,变形可得也是以4为周期的周期函数,赋值法求出,从而利用周期可求得答案. 【详解】因为的图象关于对称,所以. 因为①,则, 即②, ①②得,, 所以的图像关于对称. 令,则是奇函数, 所以,即, 所以的图象关于点中心对称, 所以,所以, 所以是以4为周期的周期函数. 因为,所以. 因为是以4为周期的周期函数, 所以也是以4为周期的周期函数, 由,取,,所以. 因为,所以, 所以. 由,取,所以, 所以, 所以. 故选:B. 【点睛】结论点睛:对称性的常用结论如下 (1)若函数满足或或,则的一条对称轴为; (2)若函数满足或或,则的一个对称中心. 例题5-2(多选)(24-25高三上 山东泰安 期末)已知是偶函数,是奇函数,且,则( ) A.是周期函数 B.的图象关于点中心对称 C. D.是偶函数 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、简单复合函数的导数、函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】先根据函数,的奇偶性及,结合赋值法得到函数是周期为2的周期函数,即可得A;由,,即可得到的图象的对称中心,进而判断选项B;利用倒序相加法及即可判断选项C;由,对两边同时求导后结合,并对两边同时求导即可判断选项D. 【详解】对A:由是偶函数,则,故, 则, 即有,又是奇函数,则, 即有,则,, 即周期为,故A正确; 对B:由,, 则, 即,故的图象关于点中心对称,故B错误; 对C:由, 则, 则 , 故,故C错误; 对D:由,则, 又,则, 故为偶函数,故为偶函数,故D正确. 故选:AD. 【点睛】结论点睛:解决抽象函数的求值、性质判断等问题,常见结论: (1)关于对称:若函数关于直线轴对称,则,若函数关于点中心对称,则,反之也成立; (2)关于周期:若,或,或,可知函数的周期为. 例题5-3(多选)(24-25高三上 江苏 阶段练习)已知定义在上的函数和,是的导函数且定义域为.若为偶函数,,,则下列选项正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】判断证明抽象函数的周期性、由抽象函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用 【分析】根据题意,先利用求导证明为奇函数,再证明其还为周期为的函数,再通过合理赋值可一一核对各选项的对错. 【详解】因为为偶函数,则,两边求导得,所以为奇函数, 因为,, 所以,则,所以, 即的周期,因为为定义域为的奇函数,所以, 则,故B错误; 在中,令,可得, 所以,故A正确; 由,令,可得, 则,则,即, 所以,故D错误; 在中,令,得, 在中,令,得, 两式相加得,即,故C正确. 故选:AC 【点睛】方法点睛: 对于抽象函数求值问题,赋值法是一种常用的方法, 尤其适用于题目中给出抽象函数关系式的题型. 变式5-1(2024高三 全国 专题练习)已知函数的定义域均为,的图象关于点中心对称,,,,则( ) A. B.2 C. D.1003 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】根据题意,可得,即是上的偶函数和以4为周期的周期函数,从而也是以4为周期的周期函数,可得解. 【详解】因为的图象关于点中心对称,所以①. 因为,所以②. 因为③,所以④. ③④得,,所以是上的偶函数, 所以①可变形为,则, 故,所以是以4为周期的周期函数. 由④可得,则也是以4为周期的周期函数. 因为,又, 所以,所以. 故选:C. 【点睛】方法点睛:求解函数性质综合问题时,往往借助函数奇偶性、对称性、周期性等性质进行推理证明,结合对称轴、对称中心等实现求和计算即可. 变式5-2(2025高三 全国 专题练习)已知函数及其导函数的定义域均为R,,且为奇函数,记,其导函数为,则( ) A.8是的一个周期 B. C. D.为奇函数 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、导数的运算法则 【分析】利用已知条件与复合函数的求导法则,结合函数的奇偶性,逐一分析判断即可. 【详解】对于A,因为,所以, 又,即,则,可得关于点对称, 又的定义域为R,则; 又为奇函数,则,所以, 即,所以关于直线对称, 因为,所以,所以, 则,则8是的一个周期,故A正确; 对于B,由上述得,所以, 则关于点对称,且的定义域为R,则, 令,得,故B正确; 对于C,因为,所以, 则的周期也为8,则, 又的周期为8,则,所以,故C错误; 对于D,由上述知,则为奇函数,故D正确. 故选:ABD. ≮专题六 函数对称性问题≯ 例题6-1(多选)已知函数的定义域为,其图象关于中心对称,若,则( ) A. B. C.为奇函数 D.为奇函数 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用 【分析】A选项,根据中心对称为,得到,A错误;B选项,变形得到,赋值得到B正确;C选项,根据函数的对称中心得到,C正确;D选项,根据题目条件得到,变形为,D正确. 【详解】对于A,因为的对称中心为,则, 将变为得,变形得,故A错误; 对于B,由A知,,结合已知,, 即,令,得,故B正确; 对于C,的图象可由的图象向左平移1个单位长度后, 再向下平移2个单位长度, 由的图象关于中心对称知,的图象关于中心对称,即为奇函数,故C正确; 对于D,由,令,得, 即,. 令,定义域为,所以, 所以为偶函数,故D错误. 故选:BC 【点睛】函数的对称性: 若,则函数关于中心对称; 若,则函数关于对称. 例题6-2(多选)(24-25高三上 云南昆明)已知函数的定义域为,且函数是偶函数,函数是奇函数,当时,,下列结论正确的是( ) A.的一条对称轴是直线 B.的一条对称轴是直线 C.方程有3个解 D. 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、函数与方程的综合应用 【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性、方程的解等知识对选项进行分析,从而确定正确答案. 【详解】函数是偶函数,所以的图象关于直线对称,A选项正确. 由于函数是奇函数,所以的图象关于对称,B选项错误. 则,所以, 即有, 所以是周期为的周期函数. 当时,, 画出、的大致图象如下图所示, 由图象以及的周期性可知,两个函数图象有个交点, 则有3个解,C选项正确. , ,所以, 所以,所以D选项错误. 故选:AC 【点睛】函数的奇偶性、对称性、周期性等等,可以根据给定的函数表达式来确定,如本题中,是偶函数,图象关于轴对称,而是由向左平移个单位得到,所以的图象关于对称.如果一个函数既关于直线对称,又关于点对称,可以考虑函数具有周期性. 例题6-3(2024 全国 高三专题练习)已知函数(,为自然对数的底数)与的图象上存在关于轴对称的点,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】设上一点,,且关于轴对称点坐标为,在上, 有解,即有解. 令,则,, 当时,;当时,,在上单调递减;在上单调递增 ,,, 有解等价于与图象有交点, . 故选:B 变式6-1(2023 广西钦州 高一校考阶段练习)若直角坐标平面内的两点、满足条件:①、都在函数的图象上;②、关于原点对称,则称点对是函数的一对“友好点对”(点对与看作同一对“友好点对”).已知函数,则此函数的“友好点对”有( ) A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 【答案】C 【解析】由题意,设点,则的坐标为, 因为, 所以此函数的“友好点对”的个数即方程在时的解的个数, 作与的图像如图所示, 两函数图像有两个交点,所以此函数的“友好点对”有2对 故选:C ≮专题七 指对同构≯ 例题7-1(2024 全国 高三专题练习)若关于的不等式在上恒成立,则实数的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由已知可得,,由可得, 所以,, 构造函数,其中,则, 故函数在上为增函数,由可得, 所以,,即, 令,其中,则. 当时,,此时函数单调递减, 当时,,此时函数单调递增,则, ,解得,故实数的最大值为. 故选:A. 例题7-2(2024 湖南长沙 高三专题练习)若关于x的不等式对恒成立,则实数a的取值范围为 【答案】B 【解析】由题设可得,令,则在上恒成立, 由,在上;在上; 所以在上递增;在上递减,且, 在上,上,而, 所以,只需在上恒成立,即恒成立, 令,则,即在上递增,故. 故a的取值范围为. 例题7-3(24-25高一上 广东惠州 阶段练习)已知实数,满足 ,,则( ) A. B.3 C. D.4 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】对数的运算性质的应用、对数型复合函数的单调性、指数式与对数式的互化、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据题意,由,得到,结合函数为增函数,得到 ,求得,代入即可求解. 【详解】由,可得,则,可得, 因为函数在定义域上为单调递增函数, 又由,所以 ,可得,即 所以. 故选:B. 训练7-1(2023 全国 模拟预测)已知函数,对于恒成立,则满足题意的a的取值集合为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为函数,对于恒成立, 所以,对于恒成立, 所以,对于恒成立, 设,则为上的增函数,所以, 则,对于恒成立, 设,则, 当时,恒成立,所以在上为增函数, 因为,所以存在,使得,不满足,对于恒成立; 当时,令,得, 所以当时,,为减函数, 当时,,为增函数, 所以,则, 设,则, 令,得, 当时,,为增函数, 当时,,为减函数, 所以,当且仅当时,等号成立, 又,所以,即. 综上所述:的取值集合为. 故选:D 训练7-2(2024 湖南郴州 模拟预测)已知,若有两个零点,则实数m的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由同构的思想可知,若有两个零点,则有两个解,即有两解,分离变量求导即可 【详解】若有两个零点,则有两个解, 等价于有两个解,因为,,所以, 令,原式等价于有两个解, 因为,则当时,所以在上单调递增, 所以有两个大于零的解. 解,可得,令, 则,当时,,当时,, 所以在上单调递增,在上单调递减,且,的图象如图: 所以当时,有两个交点,即有两个零点. 故选:A 【点睛】方法点睛:当两个函数可以构造成相同的形式时,常用同构的思想,构造函数,将两个函数看成自变量不同时的同一函数,若函数有交点,转化为自变量有交点求解. 训练7-3(24-25高二上 全国 课后变式)若存在正实数x,使得不等式成立(e是自然对数的底数),则实数a的最大值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】利用同构法将题给不等式转化为,再构造函数,并利用导数求得其最大值,进而求得的最大值. 【详解】当时,. 设,则对恒成立, 则在上单调递增, 则. 设,则. 当时,; 当时,, 所以在上单调递增,在上单调递减, 则当时,取得最大值,故,因此实数a的最大值为. 故选:C. ≮专题八 三次函数≯ 例题8-1(多选)(24-25高三上 广西 期中)已知函数,则( ) A.若,则有三个零点 B.若,则函数存在个极值点 C.在单调递减,则 D.若在恒成立,则 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、由函数的单调区间求参数、根据极值点求参数 【分析】利用导函数判断函数单调区间,从而得到极值点,得到函数大致图像就可以判断函数零点问题。函数在某个区 间内恒成立问题可以通过分离参数的方法得到对应函数,利用导函数求函数最值,从而判断参数的取值范围. 【详解】对于选项A:若,,,由,得:, 当时,,得:在上单调递减; 当和时,,得:在和上单调递增; 所以函数有极大值,有极小值, 所以三次函数有三个零点,故A选项正确; 对于选项B,若,, 由,得有两个解, 当和时,, 在和上单调递增; 当时,, 在上单调递减, 所以存在两个极值点,故B选项正确; 对于选项C,由题意可知:是解集的子集, 当时,显然恒成立; 当时,,由于,可得:,即; 综上可得:,故C选项错误; 对于选项D,当时,恒成立, 当,令,则, 令(), , 当时,,单调递增; 当时,,单调递减; 故,则; 当,令,则, 令(), , 当时,,单调递增; 所以,则; 综上所述:若在恒成立,则,故D选项正确. 故选:ABD 例题8-2(23-24高三上 广东汕头 阶段练习)若过点可作曲线三条切线,则( ) A. B. C.或 D. 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值(不含参) 【分析】设出切点,求导,得到切线方程,将代入切线方程,得到,故有三个实数根,令,求导,得到其单调性和极值点情况,从而得到不等式,求出答案. 【详解】设切点为,则, ,故,且切线方程为, 因为在切线上,故, 整理得, 因为过点可作曲线三条切线, 故有三个实数根, 设,则, 由得,或, 因为,由得或,此时单调递增, 由得,此时单调递减, 所以的极大值点为,极小值点为, 故要有三个实数根的充要条件为, 即,解得. 故选:D 【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率,主要体现在以下几个方面: (1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数; (2) 已知斜率求切点即解方程; (3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 变式8-1(2025高三 安徽六安 阶段练习)已知函数,则下列结论错误的是( ) A.当时,若有三个零点,则b的取值范围为 B.若满足,则 C.若过点可作曲线的三条切线,则 D.若存在极值点,且,其中,则 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究双变量问题、利用导数研究函数的零点 【分析】对于A ,将代入求导求极值,有三个零点,则令极大值大于零,极小值小于零即可; 对于B ,根据,推断函数的对称性,进而可以求得的值; 对于C ,将代入得到的解析式,根据过某点处导数的几何意义的求法求解即可; 对于D ,利用导数在函数单调性中的应用,先分和讨论函数的单调性,得到且,此时可得的表达式,令,结合,再化简即可得到答案. 【详解】对于A ,,当时,,, 令,解得或, 在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增; 当时取得极大值,当时取得极小值, 有三个零点,,解得,故选项A正确; 对于B ,满足,根据函数的对称可知的对称点为,将其代入,得, 解得,故选项B错误; 对于C ,, 设切点为,则切线的斜率 化简 由条件可知该方程有三个实根,有三个实根, 记,, 令,解得或, 当,,当,,当,, 所以当时,取得极大值,当时,取得极小值, 因为过点可作出曲线的三条切线, 所以,解得,故选项C正确; 对于D ,,, 当,在上单调递增; 当,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增; 存在极值点, 由得 令, ,于是, 所以 , 化简得:, ,,于是, .故选项D正确; 故选:B ≮专题九 函数的伸缩与旋转变换≯ 例题9-1(2023 内蒙古呼和浩特 高一呼市二中校考期末)设D是含有数1的有限实数集,是定义在D上的函数,若的图象绕原点逆时针旋转90 与原图象重合,则的值一定不可能为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】D 【解析】对于上一点绕原点逆时针旋转90 后对应点为,也在图象上, 所以,绕原点逆时针旋转90 后对应点为,且绕原点逆时针旋转90 后对应点为,均在图象上, 所以,在含有数1的有限实数集D中, 若,则有,若,则有, 若,则有,若,则有, 显然当时有2个y与之对应,不符合函数的定义,的值一定不可能为1. 故选:D. 例题9-2(2023春 四川 高一阶段练习)定义域为的函数满足,当时,,若当时,函数恒成立,则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】当x∈[0,1)时,f(x)=x2−x∈[−,0]当x∈[1,2)时,f(x)=−(0.5)|x−1.5|∈[−1,−], ∴当x∈[0,2)时,f(x)的最小值为−1, 又∵函数f(x)满足f(x+2)=2f(x), 当x∈[−2,0)时,f(x)的最小值为, 当x∈[−4,−2)时,f(x)的最小值为, 若x∈[−4,−2]时,恒成立, ∴恒成立. 即t2−4t+3⩽0, 即(t−3)(t−1)⩽0, 即1⩽t⩽3, 即t∈[1,3], 本题选择D选项. 变式9-1(2025 全国 高三专题练习)设是含数1的有限实数集,是定义在上的函数,若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中的取值只可能是 A. B.1 C. D.0 【答案】B 【解析】由题意可得: 问题相当于圆上由6个点为一组,每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合. 设处的点为, 的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合, 旋转后的对应点也在的图象上, 同理的对应点也在图象上, 以此类推,对应的图象可以为一个圆周上6等分的6个点, 当(1)时,即,此时,不满足函数定义; 当(1)时,即,此时,不满足函数定义; 当(1)时,即,此时,,,,不满足函数定义; 故选. 变式9-2(2024 全国 高三专题练习)定义域为的函数满足,当时,,若当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为当时,不等式恒成立,所以, 当时, 当时,,当时, ,因此当时,,选B. ≮专题十 抽象函数≯ 例题10-1(多选)设是定义在上的偶函数,其图象关于直线对称,,且,,都有,则( ) A. B. C. D. 【答案】BC 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用 【分析】利用赋值法判断A,利用的奇偶性与对称性分析得其周期性,再结合赋值法可判断BC,利用的周期性,结合一个周期内的相应函数值之和即可得解. 【详解】对于A,因为,,都有, 所以,即,则, 又,故,故A错误; 对于B,则,即, 又,则, 因为是定义在上的偶函数,其图象关于直线对称, 所以,,则, 所以,故B正确; 对于C,,即,则, 所以,故C正确; 对于D,因为, 所以 又,即是周期为的周期函数, 所以,故D错误. 故选:BC. 【点睛】结论点睛:解决抽象函数的求值、性质判断等问题,常见结论: (1)关于对称:若函数关于直线轴对称,则, 若函数关于点中心对称,则,反之也成立; (2)关于周期:若,或,或,可知函数的周期为. 例题10-2(多选)(24-25高三上 河南 期中)已知函数的定义域为,对于任意非零实数,均有,且,则下列结论正确的为( ) A. B.为奇函数 C. D. 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】求函数值、函数奇偶性的定义与判断 【分析】对于A:令代入运算即可;对于B:举反例说明即可;对于C:整理可得,令,结合题意分析即可;对于D:整理可得,令,分析讨论的符号即可判断. 【详解】对于选项A:因为对于任意非零实数x,y,均有, 令,则,可得,故A正确; 对于选项B:例如,显然, 对于任意非零实数,,且,符合题意, 但,显然不为奇函数,故B错误; 对于选项C:因为,整理可得, 令,可得, 又因为,且, 可得,故C正确; 对于选项D: 若,由可知成立; 若,由,整理可得, 令,可得, 当时,由可知,即, 所以; 当时,对于, 令,则, 可得,可知, 由可知,即, 可得; 综上所述:,故D正确; 故选:ACD. 【点睛】方法点睛:1.对于CD:结合选项要适当整理函数关系式,方便理解和运算; 2.也可以整理得,以指数函数为基础理解,可以快速作出选择. 变式10-1(多选)(2024 广东韶关 一模)若为函数的导函数,对任意的,恒有,且,则( ) A. B. C.为偶函数 D.若,则 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】抽象函数的奇偶性、函数周期性的应用、求函数值、导数的运算法则 【分析】对于A,令求解即可;对于B,令得即可判断;对于C,令得,判断出为偶函数即可做出判断;对于D,通过赋值法,分别求出,发现具有周期性,再利用周期性求解即可. 【详解】原式移项得, 即 对于A,令,则由可得, 故(舍去)或,故A正确: 对于B,令,则,故. 由于,令,则,所以,即有,故B正确: 对于C,令,则,即, 因为,所以,所以为偶函数, 对左右两边同时求导得,所以为奇函数,故C错误; 对于D,由A选项,若, 令,则,即, 令,则,即, 令,则,即, 令,则,即, 令,则,即, 令,则,即, 令,则,即, 由此可得的值有周期性,且周期为6, 且, 故,故D正确. 故选:ABD. 【点睛】结论点睛:若,的定义域均为,且,则: (1)若为奇函数,则为偶函数;若为偶函数,则为奇函数,反之未必成立. (2)若为周期函数,则也是周期函数,且周期相同,反之未必成立. 变式10-2(多选)(24-25高一上 山东泰安 期中)定义域为的函数,对任意,,且不恒为0,则下列说法正确的是( ) A. B.为偶函数 C.若,则关于中心对称 D.若,则 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】抽象函数的奇偶性、判断或证明函数的对称性、函数奇偶性的定义与判断 【分析】令,再根据不恒为0,可求出的值判断A;令,化简后根据偶函数的定义判断B;令,化简后根据对称性的定义判断C;令,结合BC结论化简判断D. 【详解】选项A:令可得,因为不恒为0,所以,A说法错误; 选项B:由A可知,令可得, 所以,即,为偶函数,B说法正确; 选项C:若,令可得, 即,所以关于中心对称,C说法正确; 选项D:令,则, 因为为偶函数,,所以, 因为任意,, 所以,即, 所以, 又因为关于中心对称,所以, 所以,即,D说法正确; 故选:BCD 【点睛】结论点睛:函数的对称性与周期性: (1)若,则函数关于中心对称; (2)若,则函数关于对称; (3)若,则函数的周期为2a; (4)若,则函数的周期为2a. ≮专题十一 已知函数解析式的综合性质应用≯ 例题11-1(多选)(2024高三下 山东 专题练习)设函数,,则下列命题正确的是( ) A.不等式的解集为 B.函数在上单调递增,在上单调递减 C.当时,恒成立,则 D.若函数有两个极值点,则实数 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值(不含参)、利用导数研究不等式恒成立问题、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】求出函数的导数,根据函数的单调性分别判断即可. 【详解】的导函数为, 则,, 对于A,,即,解得,故A正确; 对于B,,当时,,在上单调递增, 当时,,在上单调递减,故B错误: 对于C,可化为. 设,又, 在上单调递减, 在上恒成立, 即在上恒成立. 又在上单调递增,在上单调递减, ∴在处取得最大值,,,故C正确; 对于D,若函数有两个极值点, 则有两个零点,即,即有两个不等实根. 又在上单调递增,在上单调递减,,时,,, 所以,即,故D错误. 故选:AC. 【点睛】关键点点睛:判断选项C时,根据题设条件变形,并构造函数,利用参数分离法求出 的最小值是解题关键,此题考查了函数的单调性,最值问题,考查导数的应用以及转化思想,属于较难题. 例题11-2(23-24高三下 四川攀枝花 阶段练习)已知函数,不等式对任意的恒成立,则的最大值为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、函数奇偶性的定义与判断、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值(不含参) 【分析】研究的单调性和奇偶性,转化不等式为在恒成立,再构造函数,利用导数研究其最小值,即可求得的范围,从而求得其最大值. 【详解】,定义域为,且, 故是奇函数; 又,且,,故 恒成立, 故在上单调递增; ,即,也即, 故,也即在恒成立; 令,则; 令,则,故在单调递增; 又,故存在,使得,即; 则当,,故,此时单调递减; 当,,故,此时单调递增; 故时,取得最小值, 又满足:,两边取对数可得,也即; 故的最小值. 故,则的最大值为. 故答案为:. 【点睛】关键点点睛:处理本题的关键,一是熟练掌握利用函数单调性和奇偶性求解不等式的方法;二是,熟练掌握利用导数求函数最小值的问题,尤其是本题中涉及隐零点的处理,属综合困难题. 变式11-1(24-25高三上 四川 期中)已知函数,设,则的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】比较函数值的大小关系、奇偶函数对称性的应用 【分析】令,则,判断的奇偶性和单调性,结合基本不等式和对数运算和对数函数的性质,利用作商法比较的大小,进而可得大小关系. 【详解】由,令,则, 由,故为偶函数, 当时,在上递增, , , 因为, 且, 所以, 所以, 所以, 所以 即. 故选:C. 【点睛】关键点点睛:令,得出,是解决本题的关键. 变式11-2(24-25高三上 湖南 阶段练习)已知函数,若实数满足,则的最大值为( ) A.2 B. C. D. 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、基本不等式求积的最大值 【分析】先判断与的关系,然后建立等式,最后利用基本不等式求解即可. 【详解】根据题意,, 所以,所以的图像关于点对称, 又因为,其中,当且仅当时等号成立, 而,所以,所以在上单调递增. 则由,可得, 记,则, 可得,当且仅当时取等号, 故的最大值为. 故选:B 变式11-3(24-25高一上 黑龙江哈尔滨 阶段练习)已知函数,则下列说法正确的是( ) A.是奇函数 B.的最大值为2 C.的最小正周期是 D.在区间单调递减 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、复合函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断、函数的周期性的定义与求解 【分析】利用奇偶性定义即可判断A项;通过正余弦函数的图象性质,分别求出和的最值即可判断B项;根据函数的周期性定义可判断C项;利用正余弦函数在的单调性和值域,结合复合函数的单调性即可判断D项. 【详解】对于A,函数的定义域为, 因,故A错误; 对于B,当时,,则, 当且仅当时,取得最大值1; 又,当且仅当时,取得最大值, 因,则的最大值为,故B错误; 对于C,对于, 不能恒等于,故C错误; 对于D,当时,单调递减,且,此时因在上单调递增, 则由复合函数的单调性知,在上单调递减; 又当时,单调递增,且,此时因在上单调递减, 则由复合函数的单调性知,在上单调递减. 综上所述,函数在区间单调递减,故D正确. 故选:D. ≮专题十二 双变量与多变量最值≯ 例题12-1(2025高三 全国 专题练习)已知函数有两个极值点,且,则的取值范围是 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值(不含参)、根据极值点求参数 【分析】求,根据是的两个极值点可得为方程的两个根,结合韦达定理可得,令,构造函数分析单调性可得的值域,即得的取值范围. 【详解】∵,∴, ∴为方程的两个根, ∴,∴,, ∴ 代入可得:, 设,∵,∴, 设,则, ∴在上单调递减, ∵, ∴ ,即的取值范围是. 故答案为:. 例题12-2(2024 四川眉山 一模)已知函数,若,且,有恒成立,则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【详解】将条件转化为在上单调递增,再转化为在上恒成立,利用导数求函数的最小值,可得结论. 【分析】不妨设,则不等式可化为, 所以, 设,由已知可得在上单调递增, 所以在上恒成立, 所以在上恒成立, 所以在上恒成立, 设,则, 设,则, 所以函数在上单调递增, 又,, 所以存在,满足, 即,所以, 设,则, 所以在上单调递增,又, 所以, 所以当时,,,函数在上单调递增, 当时,,,函数在上单调递减, 所以,又, 所以, 所以,所以, 所以实数的取值范围是. 故答案为:. 【点睛】关键点点睛:本题解决的关键在于将条件转化为在上单调递增,进一步转化为在上恒成立. 变式12-1(24-25高一上 浙江宁波 期中)若定义在上的函数同时满足:①为奇函数;②;③对任意的,且,都有,则称函数具有性质,已知函数具有性质,则不等式的解集为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】由对任意的,且,可得在上递减. 注意到,结合为奇函数及可得相关性质,即可得答案. 【详解】因对任意的,且,都有, 则在上单调递减,又因为奇函数及, 则为偶函数,且,在上单调递增. 因,则. 当, ; 当, 时, ,则; 当, 时, ,则; 综上,不等式的解集为. 故答案为: ≮专题十三 比较大小≯ 例题13-1(24-25高三上 江西抚州 阶段练习)设,,,则大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间(不含参)、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数,,求导利用函数的单调性比较的大小,构造函数,,求导利用函数的单调性比较的大小,从而确定的大小关系. 【详解】令,, 由, 在上单调递增, 所以,即,, ,所以; 令,, 由, 令,,, 令,则, 所以在上单调递减, 又,, 所以存在唯一,使得, 即当时,,当时,, 即在上单调递增,在上单调递减, 所以的最小值为,中一个,而,, 所以,即, 所以在上单调递增,所以, 即,,所以,即. 所以. 故选:B. 【点睛】关键点点睛:本题主要考查构造函数结合导数比较大小问题,解决本题的关键是构造函数,给定定义域求导确定函数单调性最后比较函数值大小即可判断, 例如比较,的大小时,转换,,可构造差函数,, 求导数结合导函数的性质即可确定在的单调性,从而可得函数值大小,即可判断大小关系. 例题13-2(24-25高三上 山东枣庄 阶段练习)设,,,则下列大小关系正确的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小、比较函数值的大小关系 【分析】首先通过构造函数得到当时,,再通过构造函数进一步得到,,由此即可比较,进一步比较,由此即可得解. 【详解】设,则, 所以在上单调递增, 所以,即, 令,则, 所以在上单调递增, 从而,即,, 所以,, 从而当时,, , 所以. 故选:B. 【点睛】关键点点睛:在比较的大小关系时,可以通过先放缩再构造函数求导,由此即可顺利得解. 变式13-1 (2022 江西赣州 二模)已知,,,则a,b,c的大小关系为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间(不含参)、比较对数式的大小 【分析】构造函数得出函数单调性可知,再由的近似值可得结论. 【详解】令,则, 当时,,单调递增; 当时,,单调递减, 当时,取得极大值,则,, 故. 故选:D 变式13-2(23-24高二下 内蒙古赤峰 期中)已知,,,则,,的大小关系是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由不等式的性质比较数(式)大小、作差法比较代数式的大小 【分析】通过比较的大小,可比较的大小,由于,则,构造函数,利用导数求出其最小值,从而可比较的大小,进而可得答案. 【详解】因为,, 所以, 因为, 所以, 令,则 , 当时,,当时,, 所以在上递减,在上递增, 所以, 所以当时,, 所以,所以, 所以,所以, 综上. 故选:D 【点睛】关键点点睛:此题考查比较大小,考查导数的应用,解题的关键是对变形,然后构造函数,利用导数判断其单调性求出最值,然后比较大小,考查计算能力和转化思想,属于较难题. 学科网(北京)股份有限公司 $$第一讲 函数与导数选填压轴 ≮专题一 等高线与分段函数零点≯ 例题1-1(24-25高三上 广东深圳 期中)已知函数,若关于的方程有四个不同的实数解、、、,且,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 例题1-2(多选).已知函数,若有四个不同的实数解,且满足,则下列命题正确的是( ) A. B.的取值范围是 C.的取值范围是 D.的取值范围是 例题1-3(2024 全国 模拟预测)已知函数关于x的方程在上有四个不同的解,,,,且.若恒成立,则实数k的取值范围是( ) A. B. C. D. 例题1-4(2023 全国 高三专题练习)已知定义在上的函数若函数恰有2个零点,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 例题1-5(2024 全国 高三专题练习)已知函数有三个不同的零点.其中,则的值为( ) A.1 B. C. D. 变式1-1.(22-23高三上 河南 阶段练习)设函数,若关于x的方程()有四个实数解,且,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 变式1-2(2024 辽宁 校联考二模)已知函数有三个不同的零点,,,且,则的值为( ) A.81 B.﹣81 C.﹣9 D.9 变式1-3(多选)已知函数,若关于的方程有四个不同的根,它们从小到大依次记为,,,,则( ) A. B. C. D.函数有6个零点 变式1-4(24-25高三上 天津河东 期末)已知函数,若有三个不等零点,则实数的取值范围是 . ≮专题二 嵌套函数≯ 例题2-1(2024 全国 高三专题练习)已知函数,设关于的方程有个不同的实数解,则的所有可能的值为 A. B.或 C.或 D.或或 例题2-2(2025 全国 高三专题练习)已知函数,则函数的零点个数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 例题2-3(24-25高三上 天津北辰 期末)已知函数.若函数恰有三个零点,则实数的取值范围是 . 变式2-1(2024 全国 高三专题练习)已知函数,设关于的方程有个不同的实数解,则的所有可能的值为( ) A.3 B.1或3 C.4或6 D.3或4或6 ≮专题三 切线与公切线,距离问题≯ 例题3-1(2024 江西上饶 二模)若曲线与曲线有公切线,则实数a的取值范围( ) A. B. C. D. 例题3-2(2025高三上 湖南长沙)已知函数,,若曲线与曲线存在公切线,则实数m的最大值为 . 例题3-3(2023 全国 高三专题练习)若函数的图象上存在两条相互垂直的切线,则实数的值是( ) A. B. C. D. 例题3-4(多选)(23-24高三上 安徽合肥 期末)已知点,()是函数()图象上两点,则( ) A.对任意点A,存在无数个点B,使得曲线在点A,B处的切线倾斜角相等 B.若存在点A,B,使得曲线在点A,B处的切线垂直,则 C.若对于任意点A,B,直线AB的斜率恒小于1,则a的取值范围是 D.若且曲线在点A,B处的切线都过原点,则 变式3-1(24-25高三上 江苏 阶段练习)若曲线与曲线存在公切线,则a的最大值 . 变式3-2(多选)(23-24高三下 广东 阶段练习)若函数的图象上至少存在两个不同的点P,Q,使得曲线在这两点处的切线垂直,则称函数为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是( ) A. B. C. D. ≮专题四 整数解与不动点≯ 例题4-1(24-25高三上 山东济宁 阶段练习)已知函数,若关于的不等式恰有一个整数解,则实数的取值范围是 . 例题4-2(2024 四川绵阳 一模)已知函数,若关于x的不等式的整数解有且仅有2个,则实数m的取值范围是( ) A. B. C. D. 例题4-3(2025 全国 高三专题练习)设函数(),为自然对数的底数,若曲线上存在点,使得,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 变式4-1(2023 河南开封 一模)在数学中,布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理,它可应用到有限维空间,并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数,存在点,使得,那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数为“不动点”函数,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 变式4-2(24-25高一上 重庆 阶段练习)已知函数,若关于的不等式恰有1个整数解,则实数的最大值是 . ≮专题五 函数与导数双函数问题≯ 例题5-1(24-25高三上 福建龙岩 阶段练习)已知函数的定义域均为是奇函数,且的图象关于对称,,则( ) A.4 B.8 C. D. 例题5-2(多选)(24-25高三上 山东泰安 期末)已知是偶函数,是奇函数,且,则( ) A.是周期函数 B.的图象关于点中心对称 C. D.是偶函数 例题5-3(多选)(24-25高三上 江苏 阶段练习)已知定义在上的函数和,是的导函数且定义域为.若为偶函数,,,则下列选项正确的是( ) A. B. C. D. 变式5-1(2024高三 全国 专题练习)已知函数的定义域均为,的图象关于点中心对称,,,,则( ) A. B.2 C. D.1003 变式5-2(2025高三 全国 专题练习)已知函数及其导函数的定义域均为R,,且为奇函数,记,其导函数为,则( ) A.8是的一个周期 B. C. D.为奇函数 ≮专题六 函数对称性问题≯ 例题6-1(多选)已知函数的定义域为,其图象关于中心对称,若,则( ) A. B. C.为奇函数 D.为奇函数 例题6-2(多选)(24-25高三上 云南昆明)已知函数的定义域为,且函数是偶函数,函数是奇函数,当时,,下列结论正确的是( ) A.的一条对称轴是直线 B.的一条对称轴是直线 C.方程有3个解 D. 例题6-3(2024 全国 高三专题练习)已知函数(,为自然对数的底数)与的图象上存在关于轴对称的点,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 变式6-1(2023 广西钦州 高一校考阶段练习)若直角坐标平面内的两点、满足条件:①、都在函数的图象上;②、关于原点对称,则称点对是函数的一对“友好点对”(点对与看作同一对“友好点对”).已知函数,则此函数的“友好点对”有( ) A.4对 B.3对 C.2对 D.1对 ≮专题七 指对同构≯ 例题7-1(2024 全国 高三专题练习)若关于的不等式在上恒成立,则实数的最大值为( ) A. B. C. D. 例题7-2(2024 湖南长沙 高三专题练习)若关于x的不等式对恒成立,则实数a的取值范围为 例题7-3(24-25高一上 广东惠州 阶段练习)已知实数,满足 ,,则( ) A. B.3 C. D.4 训练7-1(2023 全国 模拟预测)已知函数,对于恒成立,则满足题意的a的取值集合为( ) A. B. C. D. 训练7-2(2024 湖南郴州 模拟预测)已知,若有两个零点,则实数m的取值范围为( ) A. B. C. D. 训练7-3(24-25高二上 全国 课后变式)若存在正实数x,使得不等式成立(e是自然对数的底数),则实数a的最大值为( ) A. B. C. D. ≮专题八 三次函数≯ 例题8-1(多选)(24-25高三上 广西 期中)已知函数,则( ) A.若,则有三个零点 B.若,则函数存在个极值点 C.在单调递减,则 D.若在恒成立,则 例题8-2(23-24高三上 广东汕头 阶段练习)若过点可作曲线三条切线,则( ) A. B. C.或 D. 变式8-1(2025高三 安徽六安 阶段练习)已知函数,则下列结论错误的是( ) A.当时,若有三个零点,则b的取值范围为 B.若满足,则 C.若过点可作曲线的三条切线,则 D.若存在极值点,且,其中,则 ≮专题九 函数的伸缩与旋转变换≯ 例题9-1(2023 内蒙古呼和浩特 高一呼市二中校考期末)设D是含有数1的有限实数集,是定义在D上的函数,若的图象绕原点逆时针旋转90 与原图象重合,则的值一定不可能为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 例题9-2(2023春 四川 高一阶段练习)定义域为的函数满足,当时,,若当时,函数恒成立,则实数的取值范围为 A. B. C. D. 变式9-1(2025 全国 高三专题练习)设是含数1的有限实数集,是定义在上的函数,若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中的取值只可能是 A. B.1 C. D.0 变式9-2(2024 全国 高三专题练习)定义域为的函数满足,当时,,若当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. ≮专题十 抽象函数≯ 例题10-1(多选)设是定义在上的偶函数,其图象关于直线对称,,且,,都有,则( ) A. B. C. D. 例题10-2(多选)(24-25高三上 河南 期中)已知函数的定义域为,对于任意非零实数,均有,且,则下列结论正确的为( ) A. B.为奇函数 C. D. 变式10-1(多选)(2024 广东韶关 一模)若为函数的导函数,对任意的,恒有,且,则( ) A. B. C.为偶函数 D.若,则 变式10-2(多选)(24-25高一上 山东泰安 期中)定义域为的函数,对任意,,且不恒为0,则下列说法正确的是( ) A. B.为偶函数 C.若,则关于中心对称 D.若,则 ≮专题十一 已知函数解析式的综合性质应用≯ 例题11-1(多选)(2024高三下 山东 专题练习)设函数,,则下列命题正确的是( ) A.不等式的解集为 B.函数在上单调递增,在上单调递减 C.当时,恒成立,则 D.若函数有两个极值点,则实数 例题11-2(23-24高三下 四川攀枝花 阶段练习)已知函数,不等式对任意的恒成立,则的最大值为 . 变式11-1(24-25高三上 四川 期中)已知函数,设,则的大小关系是( ) A. B. C. D. 变式11-2(24-25高三上 湖南 阶段练习)已知函数,若实数满足,则的最大值为( ) A.2 B. C. D. 变式11-3(24-25高一上 黑龙江哈尔滨 阶段练习)已知函数,则下列说法正确的是( ) A.是奇函数 B.的最大值为2 C.的最小正周期是 D.在区间单调递减 ≮专题十二 双变量与多变量最值≯ 例题12-1(2025高三 全国 专题练习)已知函数有两个极值点,且,则的取值范围是 例题12-2(2024 四川眉山 一模)已知函数,若,且,有恒成立,则实数的取值范围是 . 变式12-1(24-25高一上 浙江宁波 期中)若定义在上的函数同时满足:①为奇函数;②;③对任意的,且,都有,则称函数具有性质,已知函数具有性质,则不等式的解集为 . ≮专题十三 比较大小≯ 例题13-1(24-25高三上 江西抚州 阶段练习)设,,,则大小关系为( ) A. B. C. D. 例题13-2(24-25高三上 山东枣庄 阶段练习)设,,,则下列大小关系正确的是 ( ) A. B. C. D. 变式13-1(2022 江西赣州 二模)已知,,,则a,b,c的大小关系为( ) A. B. C. D. 变式13-2(23-24高二下 内蒙古赤峰 期中)已知,,,则,,的大小关系是( ) A. B. C. D. 学科网(北京)股份有限公司 $$