第17章 勾股定理 单元测试卷 2024—2025学年人教版数学八年级下册

人教版2025年八年级下册 第17章 勾股定理 单元测试卷 满分120分 时间100分钟 题号 选择题 填空题 解答题 得分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，2，3 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．4，6，8 2．如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为（　　） A． B．28 C．128 D．100 3．下列条件中，哪个不能够判断一个三角形是直角三角形（　　） A．∠A＝∠B+∠C B．a2：b2：c2＝3：4：5 C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝12，b＝16，c＝20 4．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣1），B（5，3），则AB的长为（　　） A． B．5 C．4 D．3 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，则AB2﹣BC2等于（　　） A．4 B．16 C．20 D．25 6．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 7．四条线段的长分别为1，x，5，9（其中x为正数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如图），则x可能取值的个数为（　　） A．2 B．3 C．6 D．4 8．我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 9．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与D重合，折痕为EF，则BE的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 10．将一支长为14cm的圆珠笔，放在底面内径为6cm，高为8cm的圆柱形笔筒中，设圆珠笔在笔筒外面的长度为a cm，则a的取值范围是（　　） A．a≤10 B．a≤8 C．a≥6 D．4≤a≤6 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．如图，已知AB＝AC，B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为 　 　． 12．如图，以Rt△ACB的两边AB，BC为边向外所作正方形的面积分别是26cm2，10cm2，则以另一边AC为直径向外作半圆的面积为 　 　cm2． 13．“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈＝10尺，1尺＝10寸．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门高x尺，根据题意，可列方程为 　 　． 14．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形ABCD的边长为 　 　． 15．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上，则∠BAC+∠ABC的度数为 　 ． 16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．当点P运动到边AB时，t为　 　秒时，△BCP为等腰三角形． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（7分）已知a、b、c满足． （1）求a、b、c的值； （2）判断：以a、b、c为三角形的三边能否构成三角形？若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说明理由． 18．（7分）如图，6×6网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在网格的格点上． （1）AB＝ 　 　，BC＝ 　 　，AC＝ 　 　； （2）△ABC是直角三角形吗？请作出判断并说明理由． 19．（7分）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝4cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝6cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝8cm时，求钟摆AD的长度． 20．（9分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB． （1）若AB＝13，BC＝5，求CD的值； （2）证明：AC+BC＜AB+CD． 21．（9分）如图，∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m． （1）试判断以点A，B，C为顶点的三角形的形状，并说明理由； （2）求该图的面积． 22．（9分）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是A﹣B﹣D和A﹣C﹣D．已知AB＝90米，AC＝150米，点C在点B的正东方120米处，点D在点C的正北方60米处． （1）试判断AB与BC的位置关系，并说明理由； （2）通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：） 23．（12分）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB． （1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，则甲房间的宽度AB＝　 　米． （2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB； （3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°． ①求∠MPN的度数； ②求丙房间的宽AB． 24．（12分）定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c满足b2＝ac+a2，则称这个三角形为“和谐勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）命题：“直角三角形都是和谐勾股三角形”是 　 　（填“真”或“假”）命题； （2）如图1，若等腰△ABC是“和谐勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，求∠A的度数； （3）如图2，在三角形ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A． ①当∠A＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC为“和谐勾股三角形”． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 人教版2025年八年级下册 第17章 勾股定理 单元测试卷 满分120分 时间100分钟 题号 选择题 填空题 解答题 得分 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．1，2，3 B．5，12，13 C．0.3，0.4，0.5 D．4，6，8 【解答】解：A、32＝9≠12+22，错误，不是勾股数，不符合题意； B、52+122＝132，正确，是勾股数，符合题意； C、不是正整数，不是勾股数，错误，不符合题意； D、42+62＝52≠64＝82，错误，不是勾股数，不符合题意 故选：B． 2．如图，正方形内的数字代表所在正方形的面积，则A所在的正方形的面积为（　　） A． B．28 C．128 D．100 【解答】解：由勾股定理可知：SA＝36+64＝100， 故选：D． 3．下列条件中，哪个不能够判断一个三角形是直角三角形（　　） A．∠A＝∠B+∠C B．a2：b2：c2＝3：4：5 C．a：b：c＝3：4：5 D．a＝12，b＝16，c＝20 【解答】解：A、由∠A+∠B+∠C＝180°且∠A＝∠B+∠C可得∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故该选项能够判断一个三角形是直角三角形，不符合题意； B、由a2：b2：c2＝3：4：5可得a2+b2≠c2， ∴△ABC不是直角三角形， 故符合题意； C、由a：b：c＝3：4：5可设a＝3x，b＝4x，c＝5x，可得（3x）2+（4x）2＝25x2＝（5x）2， ∴△ABC是直角三角形， 故该选项能够判断一个三角形是直角三角形，不符合题意； D、由a＝12，b＝16，c＝20可得a2+b2＝c2，符合勾股定理逆定理， ∴△ABC是直角三角形， 故该选项能够判断一个三角形是直角三角形，不符合题意； 故选：B． 4．在平面直角坐标系中，点A（2，﹣1），B（5，3），则AB的长为（　　） A． B．5 C．4 D．3 【解答】解：∵A（2，﹣1），B（5，3）， ∴AB5， 故选：B． 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝4，则AB2﹣BC2等于（　　） A．4 B．16 C．20 D．25 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴AB是斜边，AC和BC是直角边，由勾股定理可得AB2﹣BC2＝AC2， ∵AC＝4， ∴AB2﹣BC2＝AC2＝16． 故选：B． 6．如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【解答】解：根据勾股定理得：AC5， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴BD＝2． 故选：A． 7．四条线段的长分别为1，x，5，9（其中x为正数），用它们拼成两个直角三角形，且AB与CD是其中的两条线段（如图），则x可能取值的个数为（　　） A．2 B．3 C．6 D．4 【解答】解：过B作BE∥CD交AD的延长线于E， 根据题意得：BE＝CD，DE＝BC，∠E＝90°， ∴AB2＝（AD+DE）2+BE2＝（AD+BC）2+CD2， ∵∠ADC＝∠C＝90°， ∴AB是最长边，长为9或x， 若AB＝x，CD＝9，则x， 若AB＝x，CD＝5，则x， 若AB＝x，CD＝1，则x， 若AB＝9，CD＝x，则x， 若AB＝9，CD＝5，则x， 若AB＝9，CD＝1，则x， 故选：C． 8．我国古代数学家赵爽最早证明了勾股定理，它标志着我国古代的数学成就．下面四幅图是由四个全等的直角三角形拼成的，其中不能证明勾股定理的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：选项A：如图， 大正方形的面积等于四个三角形的面积加两小正方形的面积， ∴4ab+a2+b2＝（a+b）2， 故选项A不能得出勾股定理，符合题意； 选项B：如图， 大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积， ∴4ab+c2＝（a+b）2， 整理得a2+b2＝c2， 故选项B能得出勾股定理，不符合题意； 选项C：如图， 由图可得abab+c2＝6ab+（a﹣b）2， 整理得a2+b2＝c2， 故选项C能得出勾股定理，不符合题意； 选项D：如图， 由图可知S正方形ABDE＝4S△ABC+S正方形FCHG， ∵大正方形的面积＝c2，小正方形的面积＝（a﹣b）2， ∴4ab+（a﹣b）2＝（a+b）2， 即c2＝a2+b2， 故选项D能得出勾股定理，不符合题意； 故选：A． 9．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与D重合，折痕为EF，则BE的长为（　　） A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm 【解答】解：∵长方形折叠点B与点D重合， ∴BE＝ED， 设AE＝x，则ED＝9﹣x，BE＝9﹣x， 在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2， 即32+x2＝（9﹣x）2， 解得x＝4， ∴AE的长是4， ∴BE＝9﹣4＝5， 故选：C． 10．将一支长为14cm的圆珠笔，放在底面内径为6cm，高为8cm的圆柱形笔筒中，设圆珠笔在笔筒外面的长度为a cm，则a的取值范围是（　　） A．a≤10 B．a≤8 C．a≥6 D．4≤a≤6 【解答】解：如图，当圆珠笔斜放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最短，最短为14144； 如图，当圆珠笔垂直放在笔筒中时，露在笔筒外的长度最长，最长为14﹣8＝6， 故a的取值范围是4≤a≤6， 故选：D． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．如图，已知AB＝AC，B到数轴的距离为1，则数轴上C点所表示的数为 　1　． 【解答】解：利用勾股定理算得， ∴， ∴数轴上C点所表示的数为：． 故答案为：． 12．如图，以Rt△ACB的两边AB，BC为边向外所作正方形的面积分别是26cm2，10cm2，则以另一边AC为直径向外作半圆的面积为 　2π　cm2． 【解答】解：∵以Rt△ACB的两边AB，BC为边向外所作正方形的面积分别是26cm2，10cm2，AC2＝AB2﹣BC2， ∴AC2＝26﹣10＝16， ∴以另一边AC为直径向外作半圆的面积为2π（cm2）， 故答案为：2π． 13．“尺”“寸”“丈”都是我国传统的长度单位，其中1丈＝10尺，1尺＝10寸．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？设门高x尺，根据题意，可列方程为 　x2+（x﹣6.8）2＝102　． 【解答】解：设长方形门高x尺，则宽是（x﹣6.8）尺， 根据题意得x2+（x﹣6.8）2＝102， 故答案为：x2+（x﹣6.8）2＝102． 14．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．在一次数学活动中，小明利用如图1所示的5个连排正方形，分割后拼成如图2所示的一个大正方形，就得到了“赵爽弦图”．若图1中的小正方形边长为1，则图中的大正方形ABCD的边长为 　　． 【解答】解：图中的大正方形ABCD的边长， 故答案为：． 15．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上，则∠BAC+∠ABC的度数为 　45°　． 【解答】解：如图：连接AE，CE， 由题意得：AC2＝12+22＝5， EC2＝12+22＝5， AE2＝12+32＝10， ∴AC2+CE2＝AE2， ∴△ACE是直角三角形， ∴∠ACE＝90°， ∵CA＝CE， ∴∠CAE＝∠CEA＝45°， 由题意得：AE∥BC， ∴∠ABC＝∠BAE， ∴∠CAB+∠ABC＝∠CAB+∠BAE＝∠CAE＝45°， 故答案为：45°． 16．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．当点P运动到边AB时，t为　5或4.75或5.3　秒时，△BCP为等腰三角形． 【解答】解：在Rt△ABC中，ACB＝90°， AC4cm． ①如图，当BP＝BC＝3时，△BCP为等腰三角形， ∴AC+CB+BP＝4+3+3＝10cm， ∴t＝10÷2＝5秒； ②如图，当PC＝PB时，△BCP为等腰三角形， ∵PC ＝ PB， ∴∠PCB ＝∠B， ∵∠ACB＝90°， ∴∠A+∠B＝∠ACB+∠BCP＝90°， ∴∠A＝∠ACB， ∴AP＝PC， ∴PC＝PB， ∴PA＝PBAB＝2.5cm， ∴AC+BC+BP＝4+3+2.5＝9.5cm， ∴t＝9.5÷2＝4.75秒； ③如图，当CP＝CB＝3时，作CD⊥AB于D， 则△ABC的面积 4×3． ∴CD ＝2.4， 在Rt△BCD中，由勾股定理得，BD 1.8， ∴PB＝2BD＝3.6， ∴CA+CB+BP＝4+3+3.6＝10.6（cm）， ∴t ＝10.6÷2＝5.3秒． 综上所述，t为5秒或4.75秒或5.3秒时，△BCP 为等腰三角形． 故答案为：5或4.75或5.3． 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（7分）已知a、b、c满足． （1）求a、b、c的值； （2）判断：以a、b、c为三角形的三边能否构成三角形？若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）∵， ∴， ∴，b﹣c+2＝0，b﹣1＝0， 解得：，b＝1，c＝3； （2）∵， ∴a2+b2＝c2， ∴以a、b、c为边能构成三角形，构成的三角形是直角三角形． 18．（7分）如图，6×6网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在网格的格点上． （1）AB＝ 　　，BC＝ 　　，AC＝ 　5　； （2）△ABC是直角三角形吗？请作出判断并说明理由． 【解答】解：（1）由题可知，AB； AC5 BC， 故答案为：，，5； （2）直角三角形， ∵AB2＝5，BC2＝20，AC2＝25； ∴AB2+BC2＝AC2； ∴△ABC为直角三角形． 19．（7分）如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度DE＝4cm，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF＝6cm，此时摆锤与静止位置时的水平距离BC＝8cm时，求钟摆AD的长度． 【解答】解：设AB＝AD＝x cm，由题意得，CE＝BF＝6cm， ∴AC＝AD+DE﹣CE＝（x﹣2）cm， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴（x﹣2）2+82＝x2， ∴x＝17， ∴AD＝17cm． 答：钟摆AD的长度17cm． 20．（9分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB． （1）若AB＝13，BC＝5，求CD的值； （2）证明：AC+BC＜AB+CD． 【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，AB＝13，BC＝5， ∴AC12， ∵CD⊥AB， ∴S△ABC， ∴CD； （2）证明：∵（AC+BC）2＝AC2+BC2+2AC•BC，（AB+CD）2＝AB2+CD2+2AB•CD，且AC2+BC2＝AB2， ∴（AC+BC）2﹣（AB+CD）2＝（AB2+2AC•BC）﹣（AB2+CD2+2AB•CD）＝2AC•BC﹣CD2﹣2AB•CD． 又∵， ∴2AC•BC﹣CD2﹣2AB•CD＝﹣CD2＜0， ∴（AC+BC）2＜（AB+CD）2， ∴AC+BC＜AB+CD． 21．（9分）如图，∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m． （1）试判断以点A，B，C为顶点的三角形的形状，并说明理由； （2）求该图的面积． 【解答】解：（1）以点A，B，C为顶点的三角形的形状是直角三角形， 理由是：连接AC， ∵∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m， ∴由勾股定理得：AC5m， ∵AB＝13m，BC＝12m， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， 即以点A，B，C为顶点的三角形的形状是直角三角形； （2）图形的面积S＝S△ACB﹣S△ADC24（m）2． 22．（9分）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是A﹣B﹣D和A﹣C﹣D．已知AB＝90米，AC＝150米，点C在点B的正东方120米处，点D在点C的正北方60米处． （1）试判断AB与BC的位置关系，并说明理由； （2）通过计算比较两条路线谁更短．（参考数据：） 【解答】解：（1）AB⊥BC， 理由如下：在△ABC中，AB＝90米，AC＝150米，BC＝120米， ∵AB2+BC2＝902+1202＝22500，AC2＝1502＝22500， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴∠ABC＝90°， ∴AB⊥BC； （2）在Rt△BCD中，BC＝120米，DC＝60米， 由勾股定理得：BD60（米）， AB+BD＝90+60222米，AC+CD＝150+60＝210（米）， ∵222＞210， ∴A﹣C﹣D路线更短． 23．（12分）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB． （1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，则甲房间的宽度AB＝　3.2　米． （2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB； （3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°． ①求∠MPN的度数； ②求丙房间的宽AB． 【解答】解：（1）在Rt△AMP中，∵∠A＝90°，MA＝1.6米，AP＝1.2米， ∴PM2， ∵PB＝PM＝2， ∴甲房间的宽度AB＝AP+PB＝3.2米， 故答案为：3.2； （2）∵∠MPN＝90°， ∴∠APM+∠BPN＝90°， ∵∠APM+∠AMP＝90°， ∴∠AMP＝∠BPN． 在△AMP与△BPN中，， ∴△AMP≌△BPN， ∴MA＝PB＝2.4， ∵PA0.7， ∴AB＝PA+PB＝0.7+2.4＝3.1； （3）①∠MPN＝180°﹣∠APM﹣∠BPN＝60°； ②过N点作MA垂线，垂足点D，连接NM． 设AB＝x，且AB＝ND＝x． ∵梯子的倾斜角∠BPN为45°， ∴△BNP为等腰直角三角形，△PNM为等边三角形（180°﹣45°﹣75°＝60°，梯子长度相同），∠MND＝15°． ∵∠APM＝75°， ∴∠AMP＝15°． ∴∠DNM＝∠AMP， ∵△PNM为等边三角形， ∴NM＝PM． ∴△AMP≌△DNM（AAS）， ∴AM＝DN， ∴AB＝DN＝AM＝2.8米， 即丙房间的宽AB是2.8米． 24．（12分）定义：在△ABC中，若BC＝a，AC＝b，AB＝c，a，b，c满足b2＝ac+a2，则称这个三角形为“和谐勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： （1）命题：“直角三角形都是和谐勾股三角形”是 　假　（填“真”或“假”）命题； （2）如图1，若等腰△ABC是“和谐勾股三角形”，其中AB＝BC，AC＞AB，求∠A的度数； （3）如图2，在三角形ABC中，∠B＝2∠A，且∠C＞∠A． ①当∠A＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC为“和谐勾股三角形”． 【解答】解：（1）如图1，假设Rt△ABC是和谐勾股三角形， ∴ab+a2＝c2， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理得，a2+b2＝c2， ∴ab+b2＝a2+b2， ∴ab＝a2， ∴a＝b， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴等腰直角三角形是和谐勾股三角形， 即原命题是假命题， 故答案为：假； （2）∵AB＝BC，AC＞AB， ∴a＝c，b＞c， ∵△ABC是和谐勾股三角形， ∴ac+a2＝b2， ∴c2+a2＝b2， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠A＝45°， （3）①在△ABC中，∠ABC＝2∠BAC，∠BAC＝32°， ∴∠ABC＝64°， 根据三角形的内角和定理得，∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝84°， ∵把这个三角形分成两个等腰三角形， 当射线经过点C， （Ⅰ）当∠BCD＝∠BDC时， ∵∠ABC＝64°， ∴∠BCD＝∠BDC＝58°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝84°﹣58°＝26°，∠ADC＝∠ABC+∠BCD＝122°， ∴△ACD不是等腰三角形，此种情况不成立； （Ⅱ）当∠BCD＝∠ABC＝64°时， ∴∠BDC＝52°， ∴∠ACD＝20°，∠ADC＝128°， ∴△ACD是等腰三角形，此种情况不成立； （Ⅲ）当∠BDC＝∠ABC＝64°时， ∴∠BCD＝52°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣BCD＝32°＝∠BAC， ∴△ACD是等腰三角形， 即：分割线和顶角标注如图2所示， 当射线经过点B，同（Ⅰ）的方法，判断此种情况不成立； 当射线经过点A，同（Ⅱ）的方法，判断此种情况不成立； ②如图3，在AB边上取点D，连接CD，使∠ACD＝∠A， 作CG⊥AB于G， ∴∠CDB＝∠ACD+∠A＝2∠A， ∵∠B＝2∠A， ∴∠CDB＝∠B， ∴CD＝CB＝a， ∵∠ACD＝∠A， ∴AD＝CD＝a， ∴DB＝AB﹣AD＝c﹣a， ∵CG⊥AB， ∴DG＝BG（c﹣a）， ∴AG＝AD+DG＝a（c﹣a）（a+c）， 在Rt△ACG中，CG2＝AC2﹣AG2＝b2﹣[（c+a）]2， 在Rt△BCG中，CG2＝BC2﹣BG2＝a2﹣[（c﹣a）]2， ∴b2﹣[（a+c）]2＝a2﹣[（c﹣a）]2， ∴b2＝ac+a2， ∴△ABC是“和谐勾股三角形”． 学科网（北京）股份有限公司 $$