精品解析：江苏省连云港市赣榆区2024-2025学年九年级上学期期末测试数学试卷

2024-2025学年度第一学期期末学业质量检测 九年级数学试题 注意事项： 1.考试时间为120分钟，本试卷共6页，27题，全卷满分150分． 2.请在答题卡规定的区域内作答，在其它位置作答一律无效． 3.作答前，请考生务必将自己的姓名、考试号和座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡及试题指定位置． 4.选择题答题，用2B铅笔填涂在答题卡的相应位置上．如需改动，用橡皮擦干净后再重新填涂． 5.作图题需用2B铅笔作答，并请加黑加粗． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，是相似图形的为（ ） A B. C. D. 2. 若关于x方程没有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，有次正面朝上，次反面朝上，第次抛掷，正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 将二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平面直角坐标系中，直线过点且平行于轴，直线过点且平行于轴，点的坐标为，根据图中点的位置，下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 王老师的电脑显示器分辨率为，当她全屏浏览尺寸为（“”表示像素）的图片时，由于不成比例（），画面两边会出现黑色区域，若成比例就不会出现此问题，王老师全屏浏览以下四种尺寸的图片时，画面四周都不会出现黑边的是（ ） A. B. C. D. 8. 在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点，，将线段绕点O旋转一周，则线段扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知线段，，则线段，的比例中项为___________ ． 10. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以是 _____（写出一个即可）． 11. 某公园平面图上有一块三角形草地，三边长分别为、、，已知这块三角形草地最长边的实际长度为，则最短边的实际长度是______m． 12. 已知二次函数，则______． 13. 甲、乙两地1月份连续五天的日平均气温如下表（单位：℃）． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 甲地气温 12 11 12 10 12 乙地气温 0 4 0 则甲、乙两地这5天日平均气温的方差大小关系为：______．（用“>”“<”或“=”填空） 14. 某商店6月份的利润是元，要使8月份的利润达到元，设平均每月利润增长的百分率为，则可列方程为________． 15. 心理学家研究发现，某年龄段的学生内对概念的接受能力y与提出概念所用时间x之间满足函数表达式：，则第______时学生接受概念的能力最强． 16. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元，某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形，若的半径为3，则这个圆内接正十二边形的面积为______． 17. 在平面直角坐标系中，以为圆心的圆的半径为2，若抛物线的图象与有且只有一个公共点，则______． 18. 如图，矩形中，，，点E、F分别为、边上的动点，且，M为的中点，直线分别交边、于点G、H，连接、，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 关于的一元二次方程． （1）判断方程根的情况，并说明理由； （2）若方程有一个根是，求它的另一个根． 21. 二次函数的部分图像如图所示，根据图像解决下列问题： （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，x的取值范围是______． 22. 现有两副完全相同的手套（分左、右手）． （1）从中任取一只，取到左手手套的概率是______； （2）从中任取两只，请用画“树状图”或列表格的方法，求这两只手套恰好配成一副的概率． 23. 某校举行的“吾有所爱，其名中华”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段． （1）初赛由39名学生评委给每位选手打分（百分制），对学生评委给某位选手的打分数据进行整理、描述和分析，得到频数分布直方图如图（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组），其中第3组的数据如下：85，86，86，86，86，86，87，87，88，88，88，89，89，89．根据以上信息，回答下列问题： ①这39个学生评委所打分数的中位数在第______组； ②若这39个学生评委所打分数的众数在第3组，则众数是______分； （2）决赛由7名教师评委给每位选手打分（十分制），从形象、表达、内容三项对进入决赛3位选手分别进行打分，各项成绩分别去掉一个最高分和一个最低分，其余5名评委所打分数的平均数作为该项的最终得分，3位选手部分得分信息如下： 3位选手各项最终得分 选手 形象 表达 内容 甲 8 7 9 乙 9 8 8 丙 7 9 m 其中，7位教师评委对丙选手“内容”的打分为：8，7，7，8，8，9，10． ①表中______； ②若将形象、表达、内容三项得分依次按的比例确定最终成绩，那么哪位选手的最终成绩最高？ 24. 如图，中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使圆心O在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； （2）若（1）中圆O与相切于E，，，求线段的长． 25. 连云港底蕴深厚，物产丰富，水晶是连云港的特产之一．某商家销售一种水晶饰品，平均每天可销售100件，每件可盈利20元，为了扩大销量，增加盈利，商家采取了降价措施．假设在一定范围内，每件水晶饰品每降价1元，该水晶饰品平均每天可多售出10件． （1）如果降价后商家销售这批水晶饰品平均每天盈利2240元，且让顾客尽可能多得实惠，则每件水晶饰品应降价多少元？ （2）新年将至，商家决定每销售一件该水晶饰品就赠送顾客一件价值a元的纪念品，若每件饰品降价不超过4元，赠送礼品后，商家为确保每天销售该水晶饰品能获得的最大利润为1960元，求a的值． 26. 数学研究小组发现，研究二次函数相关问题时，既可以从“形”的角度入手，也可以从“数”的角度进行． （1）二次函数的图像上有两点、，当时，______；（用“＞”“=”或“<”填空） （2）对于二次函数的图像上有两点、，若，判断，之间的关系，并通过代数推理加以证明； （3）过二次函数的图像的顶点M作轴，垂足为N，在线段上有两点P、Q（P在Q的上方），且，，R为线段上一点，若的最大值与最小值的比值为2，求k的值． 27. 如图1、商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套上一个杯套，方便拿取，小欣同学深受启发，准备为家中如图2所示的两种玻璃杯也配上杯套．（说明：整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和杯套的厚度） （1）小欣家直身杯的杯口直径为，她要制作高度为的杯套，则此杯套的面积为______（结果保留）； （2）小欣发现阔口杯近似为圆台形状（即一个大圆锥截去一个小圆锥后余下部分），如图3①所示，通过测量，杯子上口径，下底面直径，母线长、均为，为了制作此杯套，小欣进行了以下探究： ①如图3②，小欣画出了阔口杯的侧面展开图示意图，发现它是圆环的一部分，且，请证明这个结论，并求出所对的圆心角的度数； ②现有一张矩形杯套材料，如图4②所示，，，为了充分利用材料，请在图4②的矩形中画出杯套侧面展开图示意图（杯套示意图无拼接），并直接写出用该材料制作此阔口杯套的母线的最大长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期末学业质量检测 九年级数学试题 注意事项： 1.考试时间为120分钟，本试卷共6页，27题，全卷满分150分． 2.请在答题卡规定的区域内作答，在其它位置作答一律无效． 3.作答前，请考生务必将自己的姓名、考试号和座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在答题卡及试题指定位置． 4.选择题答题，用2B铅笔填涂在答题卡的相应位置上．如需改动，用橡皮擦干净后再重新填涂． 5.作图题需用2B铅笔作答，并请加黑加粗． 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 下列图形中，是相似图形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的知识点是相似图形的定义．根据相似图形的概念：如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，直接判断即可得出答案． 【详解】解：大小不同，形状相同的图形是相似形，选项A，B，D的形状不同，都不是相似形， 选项C的图形大小不同，形状相同，是相似形， 故选：C． 2. 若关于x的方程没有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解不等式，掌握当一元二次方程根的判别式小于零时，该方程没有实数根是解答本题的关键． 先把方程化成一般式，然后再运用根的判别式，列不等式求解即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的方程没有实数根， ∴， 即， 解得：． 故选：D． 3. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，有次正面朝上，次反面朝上，第次抛掷，正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了概率的计算，一枚质地均匀的硬币，抛掷后共有种可能性：正面朝上、反面朝上，所以每次抛掷后正面朝上的概率均为． 【详解】解：抛掷一枚质地均匀的硬币次，有次正面朝上，次反面朝上， 第次抛掷，正面朝上的概率是． 故选：B． 4. 将二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，所得图象对应的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象的平移，利用二次函数平移规律 “上加下减，左加右减”的原则进行解答即可，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∴平移后的函数关系式是， 故选：． 5. 如图，是的直径，弦交于点，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，三角形的外角性质，连接，由圆周角定理得，，再根据直角三角形的性质得，最后由三角形的外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 6. 如图，平面直角坐标系中，直线过点且平行于轴，直线过点且平行于轴，点的坐标为，根据图中点的位置，下列结论正确的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标．根据点在的右侧，可知，根据点在的上方，轴的下方，可知． 【详解】解：如图所示， 点在的右侧， ， 又点在的上方，轴的下方， ． 故选：D． 7. 王老师的电脑显示器分辨率为，当她全屏浏览尺寸为（“”表示像素）的图片时，由于不成比例（），画面两边会出现黑色区域，若成比例就不会出现此问题，王老师全屏浏览以下四种尺寸的图片时，画面四周都不会出现黑边的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，理解题意并掌握比例的化简是解题的关键．由题意得，当比例不变就不会出现黑色区域，比例化为最简比得到，再逐个分析选项中给出的分辨率的比例化简后是否是，即可解答． 【详解】解：， 由题意得，当比例不变就不会出现黑色区域， A选项：，比例改变，四周出现黑边，不合题意； B选项：，比例改变，四周出现黑边，不合题意； C选项：，比例相同，四周不会出现黑边，符合题意； D选项：，比例改变，四周出现黑边，不合题意． 故选：C． 8. 在网格中建立如图所示的平面直角坐标系，点，，将线段绕点O旋转一周，则线段扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆环的面积，明确扫出的图形是圆环是解题的关键． 线段扫过的轨迹为圆环，求出、到线段的距离，根据圆环的面积等于大圆面积减去小圆面积即可求解． 【详解】解：如图，线段扫过的轨迹为圆环，其中大圆是以为圆心、为半径的圆，小圆是以为圆心、为半径的圆； 连接， ∵， ∴大圆的半径， 小圆的半径即到线段的距离，即， ∴圆环的面积为， 即线段扫过的面积为． 故选． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知线段，，则线段，的比例中项为___________ ． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了比例中项的概念，掌握了以上知识是解题的关键；根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负． 【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 设它们的比例中项是，则，，（线段是正数，负值舍去）， 故答案为：． 10. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的值可以是 _____（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 由于方程有实数根，则其根的判别式，由此可以得到关于a的不等式，解不等式就可以求出a的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ， 解上式得． ∴的任意实数． ∴a值可以是1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 11. 某公园平面图上有一块三角形草地，三边长分别为、、，已知这块三角形草地最长边的实际长度为，则最短边的实际长度是______m． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了比例线段，主要利用了相似三角形对应边成比例．设最短边的实际长度是为，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设最短边的实际长度是为， 由题意得，， 解得． 即最短边的实际长度是． 故答案为：12． 12. 已知二次函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如，这样的函数叫做二次函数，根据二次函数的定义得到，，进行求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴． 故答案为：． 13. 甲、乙两地1月份连续五天的日平均气温如下表（单位：℃）． 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 甲地气温 12 11 12 10 12 乙地气温 0 4 0 则甲、乙两地这5天日平均气温的方差大小关系为：______．（用“>”“<”或“=”填空） 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查方差，掌握方差的计算方法是解题的关键．先求出甲、乙地的平均气温，再根据方差公式求出甲和乙的方差，然后进行比较，即可得出答案． 【详解】解：甲地的平均气温：； 乙地的平均气温：； ∵甲地的方差是：； 乙地的方差是：； ∴． 故答案为：＜． 14. 某商店6月份的利润是元，要使8月份的利润达到元，设平均每月利润增长的百分率为，则可列方程为________． 【答案】2500（1+x）2=3600 【解析】 【分析】如果设平均每月利润增长的百分率是x，那么7月份的利润是2500（1+x）元，8月份的利润是2500（1+x）2元，而此时利润是3600元，列出方程即可． 【详解】解：设平均每月利润增长的百分率是x，依题意，得 2500（1+x）2=3600． 故填：2500（1+x）2=3600． 【点睛】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程-平均增长率问题．解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量×（1+平均增长率）增长的次数=增长后的量． 15. 心理学家研究发现，某年龄段的学生内对概念的接受能力y与提出概念所用时间x之间满足函数表达式：，则第______时学生接受概念的能力最强． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数性质的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．根据二次项系数小于零判断该二次函数的图像开口向下，y有最大值，求出对称轴即可． 【详解】解：所用时间为时，学生接受概念的能力最强，理由如下： ∵， ∴该二次函数的图像开口向下，y有最大值， 此时， ∴所用时间为时，学生接受概念的能力最强． 故答案为：13． 16. 刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元，某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形，若的半径为3，则这个圆内接正十二边形的面积为______． 【答案】27 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，直角三角形的性质．如图，过A作于C，得到圆的内接正十二边形的圆心角为，根据三角形的面积公式即可得到结论． 详解】解：如图，过A作于C， ∵圆的内接正十二边形的圆心角为，， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正十二边形的面积为， 故答案为：27． 17. 在平面直角坐标系中，以为圆心的圆的半径为2，若抛物线的图象与有且只有一个公共点，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，圆的基本性质．根据题意顶点和圆心都在直线上，分类讨论即可求解． 【详解】解：∵抛物线， ∴顶点坐标为， ∵的圆心为， ∴顶点坐标与的圆心都在直线上， ∵抛物线的图象与有且只有一个公共点， ∴当时，抛物线开口向上， ∴， 当时，抛物线开口向下， ∴， 故答案为：或． 18. 如图，矩形中，，，点E、F分别为、边上的动点，且，M为的中点，直线分别交边、于点G、H，连接、，则的最小值为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题．先推导出点是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，得到当共线时，的值最小，利用勾股定理计算，从而得出的最小值． 【详解】解：连接， ∵矩形，直线， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，M为的中点， ∴， ∴点是以为圆心，以为半径的圆弧上的点， 作关于的对称点，连接，， ∵， ∴当共线时，的值最小， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为9， 故答案为：9． 三、解答题（本大题共9小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）先移项，然后利用提公因式法进行求解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法可进行求解一元二次方程． 【小问1详解】 解：， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得：，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得， ∴或， 解得：，． 20. 关于的一元二次方程． （1）判断方程根的情况，并说明理由； （2）若方程有一个根是，求它的另一个根． 【答案】（1）方程有两个不相等的实数根，理由见解析； （2）它的另一个根为． 【解析】 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解； （）设关于x的一元二次方程的两个根为，，其中，由，然后代入求解即可； 此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． 【小问1详解】 解：方程有两个不相等的实数根，理由如下： 由得， ， ∴方程有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：设关于的一元二次方程的两个根为，，其中， ∴， ∴，解得， ∴它的另一个根为． 21. 二次函数的部分图像如图所示，根据图像解决下列问题： （1）求这个二次函数的表达式； （2）当时，x的取值范围是______． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数与不等式． （1）由图可得二次函数的图像过点，，将这两个点坐标代入解析式，即可解答； （2）根据，则函数图像在直线的下方，所以找出函数图像在直线的下方的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由图可得，二次函数的图像过点，， ∴，解得， ∴这个二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴该二次函数的图像对称轴为，已知一个点为， 根据抛物线的对称性，则点关于对称轴对称的另一个点为， ∴时，的取值范围是或． 故答案为：或 22. 现有两副完全相同的手套（分左、右手）． （1）从中任取一只，取到左手手套的概率是______； （2）从中任取两只，请用画“树状图”或列表格的方法，求这两只手套恰好配成一副的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由概率公式直接求解即可； （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及这两只手套恰好配成一副的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 从中任取一只，取到左手手套的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中这两只手套恰好配成一副的结果有8种， 这两只手套恰好配成一副的概率为． 23. 某校举行的“吾有所爱，其名中华”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段． （1）初赛由39名学生评委给每位选手打分（百分制），对学生评委给某位选手的打分数据进行整理、描述和分析，得到频数分布直方图如图（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组），其中第3组的数据如下：85，86，86，86，86，86，87，87，88，88，88，89，89，89．根据以上信息，回答下列问题： ①这39个学生评委所打分数的中位数在第______组； ②若这39个学生评委所打分数的众数在第3组，则众数是______分； （2）决赛由7名教师评委给每位选手打分（十分制），从形象、表达、内容三项对进入决赛的3位选手分别进行打分，各项成绩分别去掉一个最高分和一个最低分，其余5名评委所打分数的平均数作为该项的最终得分，3位选手部分得分信息如下： 3位选手各项最终得分 选手 形象 表达 内容 甲 8 7 9 乙 9 8 8 丙 7 9 m 其中，7位教师评委对丙选手“内容”的打分为：8，7，7，8，8，9，10． ①表中______； ②若将形象、表达、内容三项得分依次按的比例确定最终成绩，那么哪位选手的最终成绩最高？ 【答案】（1）①3；②86 （2）①8；②丙选手的最终成绩最高． 【解析】 【分析】本题考查统计表，加权平均数、众数、中位数等知识． （1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）①根据平均数的定义求解即可； ②根据加权平均数的定义求解即可判断． 【小问1详解】 解：①这39个学生评委所打分数的中位数是第20个数，在第3组； ②若这39个学生评委所打分数的众数在第3组，则众数是86分； 故答案为：3；86； 【小问2详解】 解：①分数为：8，7，7，8，8，9，10， 分别去掉一个最高分和一个最低分，为8，7，8，8，9， ∴； ②甲的最终成绩，； 乙的最终成绩，； 丙的最终成绩，； ； 丙选手的最终成绩最高． 24. 如图，中，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使圆心O在上，且与、所在直线相切（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； （2）若（1）中圆O与相切于E，，，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）作的平分线，交于点O，以O为圆心，以长为半径画圆，即为所求作； （2）连接，则，根据角平分线性质得到，判定点E在上，是的切线，求出，根据，即可求得． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作； ； 【小问2详解】 解：连接，则于点E， ∵， ∴， ∴是的切线， ∵平分， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了尺规作图．圆的切线的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理解直角三角形，三角形面积法求三角形高，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 25. 连云港底蕴深厚，物产丰富，水晶是连云港的特产之一．某商家销售一种水晶饰品，平均每天可销售100件，每件可盈利20元，为了扩大销量，增加盈利，商家采取了降价措施．假设在一定范围内，每件水晶饰品每降价1元，该水晶饰品平均每天可多售出10件． （1）如果降价后商家销售这批水晶饰品平均每天盈利2240元，且让顾客尽可能多得实惠，则每件水晶饰品应降价多少元？ （2）新年将至，商家决定每销售一件该水晶饰品就赠送顾客一件价值a元的纪念品，若每件饰品降价不超过4元，赠送礼品后，商家为确保每天销售该水晶饰品能获得的最大利润为1960元，求a的值． 【答案】（1）每件水晶饰品应降价元； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程应用，二次函数的应用． （1）设每件水晶饰品应降价元，原来每件盈利20元，降价后每件盈利元，原来平均每天可销售100件，降价后每天可销售件，根据平均每天盈利2240元，列出一元二次方程，解之即可求解； （2）设每件水晶饰品降价元，则每天可销售件，每件盈利元，根据题意列出关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件水晶饰品应降价元， 根据题意得， 解得或， 由于让顾客尽可能多得实惠， ∴， 答：每件水晶饰品应降价元； 小问2详解】 解：设每件水晶饰品降价元， 根据题意得 ， ∵， ∴函数图象开口向下，对称轴为， ①当即时， 时，取最大值，则，解得：(舍去) ②当即时， 对称轴，取最大值， 即， 整理得， 解得或(不符合题意，舍去)， ③当即时， 时，取最大值，则， 解得：(舍去) 综上所述． 26. 数学研究小组发现，研究二次函数相关问题时，既可以从“形”的角度入手，也可以从“数”的角度进行． （1）二次函数的图像上有两点、，当时，______；（用“＞”“=”或“<”填空） （2）对于二次函数的图像上有两点、，若，判断，之间的关系，并通过代数推理加以证明； （3）过二次函数的图像的顶点M作轴，垂足为N，在线段上有两点P、Q（P在Q的上方），且，，R为线段上一点，若的最大值与最小值的比值为2，求k的值． 【答案】（1） （2），理由见解析 （3）4 【解析】 【分析】（1）用用待定系数法将点、代入函数表达式，然后利用作差的方法，得出，然后根据即可得出答案； （2）将、，代入函数表达式，并利用平方差化简，然后根据得出，，再根据，即可解答； （3）设则，，然后代入，利用配方的方法，分别得出最大值和最小值，根据它们的比即可解答。 【小问1详解】 解：∵点、在二次函数的图像上， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵二次函数的图像上有两点、， ∴，， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， 【小问3详解】 设则，， ∴， 当时，取得最大值为， 当或时，取得最小值 ， ∴最大值与最小值的比为2， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的最值，解一元一次不等式，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 27. 如图1、商家销售某些饮品时会给杯子在杯身上套上一个杯套，方便拿取，小欣同学深受启发，准备为家中如图2所示的两种玻璃杯也配上杯套．（说明：整个探究过程中均忽略杯套的连接部分和杯套的厚度） （1）小欣家直身杯的杯口直径为，她要制作高度为的杯套，则此杯套的面积为______（结果保留）； （2）小欣发现阔口杯近似为圆台形状（即一个大圆锥截去一个小圆锥后余下的部分），如图3①所示，通过测量，杯子上口径，下底面直径，母线长、均为，为了制作此杯套，小欣进行了以下探究： ①如图3②，小欣画出了阔口杯的侧面展开图示意图，发现它是圆环的一部分，且，请证明这个结论，并求出所对的圆心角的度数； ②现有一张矩形杯套材料，如图4②所示，，，为了充分利用材料，请在图4②的矩形中画出杯套侧面展开图示意图（杯套示意图无拼接），并直接写出用该材料制作此阔口杯套的母线的最大长度． 【答案】（1） （2）①见解析，所对的圆心角的度数为；②图见解析，母线的最大长度为． 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的侧面积公式求解即可； （2）①分别用和表示出的长和的长，即可证明结论成立；利用这个结论求得，再利用弧长公式即可求得所对的圆心角的度数； ②根据题意画出图形，利用垂径定理结合解直角三角形求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：①设与所对的圆心角为， ∴的长，的长， ∴， ∵杯子上口径，下底面直径， ∴的长，的长，， ∴， 解得，， ∴的长， 解得， 即所对的圆心角的度数为； ②如图，，连接，作于点，交于点，交于点， 则，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴母线的最大长度为． 【点睛】本题主要考查了弧长、圆心角、半径之间的关系及利用特殊直角三角形求边长等内容．解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$