2025年中考数学一轮基础过关课件：微专题 二次函数综合题

微专题　二次函数综合题 一、二次函数与线段 1.横线→ 横坐标差 条件：AB∥x 轴 结论：AB＝|xA－xB| 2.竖线→ 纵坐标差 条件：AB∥y 轴 结论：AB＝|yA－yB| 3.斜线→ 斜化直 条件：PD⊥BC，∠OBC＝α，作 PE∥y 轴于点 E 结论：PD＝PE·cos α 4.斜线比→ 横(竖)线比 条件：作 PE∥x 轴交 BC 于点 E 【例1】抛物线y＝ax2＋bx－4(a≠0)与x轴交于点A(－2，0)和B(4，， 0)，与 y 轴交于点 C，连接 BC.点 P 是线段 BC 下方抛物线上的一个动 点(不与点 B，C 重合)，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 M，交 x 轴 于点 N. (1)求该抛物线的解析式.(3 分) 【思路点拨】 已知点 A 和点 B 的坐标，利用待定系数法求解析式. (2)过点 C 作 CH⊥PN 于点 H，BN＝3CH. ①求点 P 的坐标；(3 分) 【思路点拨】 ①由抛物线的解析式可得点 C 的坐标，设出点 P 的坐标(m， 解得 m 的值，即得点 P 的坐标. ②连接 CP，在 y 轴上是否存在点 ，使得QCPQ 为直角三角形？ 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.(6 分) 【思路点拨】 (a)当 CP 为斜边时； (b)当 CQ 为斜边时； (c)当 PQ 为斜边时. 【针对练习】 (3)如图 2，点 P 在第二象限，x2＝－2x1，若点 M 在直线 PQ 上， 且横坐标为 x1－1，过点 M 作 MN⊥x 轴于点 N，求线段 MN 长度的最 大值.(6 分) 图 1 图 2 二、二次函数与面积 1.规则三角形 2.不规则图形可将图形分割为规则图形 (1)求抛物线表示的函数解析式；(4 分) 【思路点拨】 析式可得 k 的值，即得抛物线的函数解析式. (2)若点 P 为抛物线的顶点，连接 AD，DP，CP，求四边形 ACPD 的面积.(6 分) 【思路点拨】 连接 OP，将四边形ACPD分割为△AOD，△POD 和△POC.求出 C(2，0)，OC＝2，A(－2，0)，OA＝2，抛物线顶点 P 的坐标(2，4)， 分别求出S△AOD，S△POD和S△POC的面积，三个三角形的面积和即为四 边形 ACPD 的面积. 【针对练习】 2.(2024·凉山州)如图，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 与直线 y＝x＋2 相 交于 A(－2，0)，B(3，m)两点，与 x 轴相交于另一点 C. (1)求抛物线的解析式；(3 分) (2)点 P 是直线 AB 上方抛物线上的一个动点(不与 A， B 重合)，过点 P 作直线 PD⊥x 轴于点 D，交直线 AB 于 点 E，当 PE＝2ED 时，求点 P 的坐标；(3 分) (3)抛物线上是否存在点 M 使△ABM 的面积等于 △ABC 面积的一半？若存在，请直接写出点 M 的坐标； 若不存在，请说明理由.(6 分) 三、二次函数与最值 【针对练习】 3.(2023·张家界)如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 y＝ ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于点 A(－2，0)和点 B(6，0)两点，与 y 轴 交于点 C(0，6).点 D 为线段 BC 上的一动点. 图 1 图 2 (1)求二次函数的表达式；(3分) (2)如图1，求△AOD周长的最小值；(3分) (3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAD与△PBD的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值.(6分) (2)如图，作点 O 关于直线 BC 的对称点 E，连接 EC，EB. ∵B(6，0)，C(0，6)，∠BOC＝90°，∴OB＝OC＝6. ∵点 O，E 关于直线 BC 对称，∴四边形 OBEC 为正方形， ∴E(6，6).连接 AE，交 BC 于点 D，由对称性知|DE|＝|DO|， 此时|DO|＋|DA|有最小值，为 AE 的长， 　　∵△AOD 的周长为DA＋DO＋AO，AO＝2，DA＋DO的最小值为10， ∴△AOD 的周长的最小值为 10＋2＝12. $$