精品解析：广东省中等职业学校2023-2024学年高三上学期第二次联合考试数学试题

2023年广东省中等职业学校第二次联合考试 数学 本试卷共4页，24小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息，点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案.然后，再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，满分75分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】集合，， 所以. 故选：A. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数有意义,列出不等式,求解即可. 【详解】要使函数有意义,则,解得, 故函数的定义域是. 故选：A 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】举反例可知，，，根据充要条件的概念可判断结果. 【详解】取，满足，但不成立，即. 故“”不是“”的充分条件； 取，满足，但不成立，即. 故“”不是“”的必要条件. 综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 4. 过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求圆心，再利用直线垂直的性质假设所求直线方程，再代入圆心坐标即可得解. 【详解】依题意，已知圆的圆心为， 因为与直线垂直，设所求直线方程为， 将点代入，得，解得， 所以所求直线为. 故选：B. 5. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的周期公式即可得解. 【详解】， 故选：C. 6. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的定义和单调性逐个分析即可. 【详解】对于A，已知定义域为，则， 所以为偶函数不为奇函数，故A错误， 对于B，定义域为，则， 所以是奇函数，并且在定义域内单调递减，故B正确， 对于C，已知定义域为，则， 所以为偶函数不为奇函数，故C错误， 对于D，已知定义域为，则， 所以是非奇非偶数，故D错误， 故选：B. 7. 双曲线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程得的值及焦点在轴上易得答案. 【详解】因为双曲线，所以， 所以，， 焦点在轴上，所以双曲线的焦点坐标为. 故选：A. 8. 袋子中有4个完全一样的球，其中2个红球，2个白球.现从中随机摸出两个球，则摸出的两个球都是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列举出所有情况和概率公式易得答案. 【详解】记2个红球为，，2个白球为，， 从中不放回地依次随机摸出2个球，结果有： 、、、、、、 、、、、、， 摸出两个球共种， 其中第一次和第二次都是红球的结果有2种可能， 概率. 故选：D. 9. 向量，，若，则（ ） A. 5 B. C. 或2 D. 5或 【答案】D 【解析】 【分析】由平面向量共线的充要条件即可求解. 【详解】， 所以， 解得，. 故选：D. 10. 甲、乙两个班分别有三好学生3名和5名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有（ ）种不同的推选方法. A. 15 B. 30 C. 31 D. 29 【答案】A 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理即可求解. 【详解】利用分布原理：第一步：从甲班抽1名同学：有3种； 第二步，从乙班抽1名同学，有5种，种. 故选：A. 11. 已知数列满足，，（ ） A. 15 B. 13 C. 7 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的定义和通项公式易得答案. 【详解】因为得，，又， 所以数列是一个以首项，公差为2的等差数列， ， . 故选：C. 12. 二次函数在内是减函数，在内是增函数，则（ ） A. 3 B. 11 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的单调性知道函数的对称轴求出，再求函数值易得答案. 【详解】因为二次函数在内是减函数，在内是增函数， 所以对称轴直线，所以，解得， ， 所以. 故选：C. 13. 抛物线上的一点到焦点的距离为4，则点横坐标为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用抛物线的焦半径公式即可得解. 【详解】由题意令. ，，且， 点横坐标为， 故选：D. 14. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解即可. 【详解】由题意， ，， ， 故选：B. 15. 在中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同角三角函数的平方关系可求解与的值，再结合诱导公式和两角和的 余弦公式求解即可. 【详解】因为， 所以， ， 在中，， . 故选：B. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分.） 16. 已知向量，的夹角为，且，，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量内积的定义运算即可求解. 【详解】， 故答案为：. 17. 已知样本，，，，的均值为，则样本数据的方差是____________. 【答案】（对应人教版）；（对应高教版） 【解析】 【分析】根据已知均值解出参数，再计算方差即可解得. 【详解】. 解法一（对应高教版）： . 解法二（对应人教版）： 故答案为：（对应人教版）；（对应高教版）. 18. 函数的最大值是____________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据正弦型函数的最值求解即可. 【详解】因为函数， 所以， 所以最大值是2. 故答案为：2. 19. 在各项为正数的等比数列中，若，则____________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据等比数列的性质和对数的概念计算即可. 【详解】因为等比数列各项为正数， 所以， ，则. 故答案为：3. 20. 已知圆与抛物线的准线相切，则____________. 【答案】2或10 【解析】 【分析】先将圆的一般方程转化成标准方程求圆心坐标和半径，再求抛物线的准线方程易得答案. 【详解】因为圆化成标准方程是， 得圆心坐标是，半径， 抛物线的准线相切， 所以得或，解得或10. 故答案为：或. 三、解答题（本大题共4小题，第21、22、23题各12分，第24题14分，满分共50分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 21. 如图，四边形是菱形，是坐标原点，且cm，.点、分别从点、出发，以每秒1cm的速度向、运动，设运动时间为. （1）写出的面积与之间的函数解析式； （2）当为何值时，的面积是菱形面积的三分之一？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式列出一次函数易得答案； （2）根据函数值求自变量易得答案. 【小问1详解】 四边形是菱形，，， 过作垂直于，连接， 所以是等腰直角三角形， 所以， ，， ， 【小问2详解】 菱形的面积， 当的面积是菱形面积的三分之一时， ， ，解得， 所以当时，的面积是菱形面积的三分之一. 22. 在中，已知，，且.求 （1）角的大小； （2）边的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和及诱导公式可得，据此可求解； （2）根据余弦定理可求解. 【小问1详解】 由题意知：， 所以. 因为，所以； 【小问2详解】 由（1）知且，，由余弦定理得： ， . 23. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列定义求数列的通项公式易得答案； （2）根据裂项相消法易得答案 【小问1详解】 ，且， ，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列， . 【小问2详解】 由题意， . 24. 已知椭圆，过点，且离心率为.为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若是椭圆的点，且有，求面积，以及的最大值. 【答案】（1） （2），最大值为4 【解析】 【分析】(1)已知椭圆通过的点坐标，椭圆离心率以及的关系，即可求解. (2)利用余弦定理结合三角形面积公式，即可求出三角形面积代数式，利用基本不等式即可求出的最大值. 小问1详解】 由题意将点代入，得，解得， 又因为离心率，， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 设，，所以，， ① 由余弦定理得，将①式代入得 ，解得， ， 即， 当，即时，最大值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年广东省中等职业学校第二次联合考试 数学 本试卷共4页，24小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息，点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案.然后，再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，满分75分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 6. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 袋子中有4个完全一样的球，其中2个红球，2个白球.现从中随机摸出两个球，则摸出的两个球都是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 9 向量，，若，则（ ） A. 5 B. C. 或2 D. 5或 10. 甲、乙两个班分别有三好学生3名和5名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有（ ）种不同的推选方法. A. 15 B. 30 C. 31 D. 29 11. 已知数列满足，，（ ） A. 15 B. 13 C. 7 D. 19 12. 二次函数在内减函数，在内是增函数，则（ ） A. 3 B. 11 C. D. 13. 抛物线上的一点到焦点的距离为4，则点横坐标为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 14. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 15. 在中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分.） 16. 已知向量，夹角为，且，，则____________. 17. 已知样本，，，，的均值为，则样本数据的方差是____________. 18. 函数的最大值是____________. 19. 在各项为正数的等比数列中，若，则____________. 20. 已知圆与抛物线的准线相切，则____________. 三、解答题（本大题共4小题，第21、22、23题各12分，第24题14分，满分共50分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 21. 如图，四边形是菱形，是坐标原点，且cm，.点、分别从点、出发，以每秒1cm的速度向、运动，设运动时间为. （1）写出的面积与之间的函数解析式； （2）当为何值时，的面积是菱形面积的三分之一？ 22. 中，已知，，且.求 （1）角的大小； （2）边的长. 23. 已知数列满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 24. 已知椭圆，过点，且离心率为.为坐标原点. （1）求椭圆的标准方程； （2）若是椭圆的点，且有，求面积，以及的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$