精品解析：江苏省对口单招教学联盟2023-2024学年高二上学期单招班期中联合考试数学试题

江苏省对口单招教学联盟 2023~2024学年第一学期单招班期中联合考试 二年级·数学 2023-11 本试卷分第I卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分.第I卷第1至2页，第Ⅱ卷第2至4页.两卷满分150分.考试时间120分钟. 第I卷（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请选出符合要求的答案，并将答题卷上对应的字母涂黑） 1. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量线性运算的坐标表示计算即可. 【详解】因为向量， 所以. 故选：B. 2. 已知向量，则与其垂直的单位向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设所求向量为，由向量垂直的坐标表示结合模长为即可求出. 【详解】设与向量垂直的单位向量是， 则，又因为为单位向量， 所以， 由，解得或， 所以或. 故选：D. 3. 下列等式成立的个数是（　　） ①； ②； ③； ④； ⑤. A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的运算逐个选项判断即可. 【详解】由向量的线性运算可得，，， ，，，故①③④⑤正确. 故选：B 4. “”是“方程 表示的曲线为椭圆”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的标准方程结合充分、必要条件的定义计算即可. 【详解】易知时，，但时有， 此时方程表示圆，所以不满足充分性， 若方程 表示的曲线为椭圆，则， 显然成立，满足必要性， 故“”是“方程 表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 5. 已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程，可得或，结合实轴长，分别求出两种情况下的双曲线方程即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 所以或， 当时，焦点在x轴上， 又， 所以， 所以双曲线的标准方程为； 当时，焦点在轴上， 又， 所以， 所以双曲线的标准方程为， 综上所述，双曲线的标准方程为或. 故选：C. 6. 设，，，则（ ） A. 20 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示求出，结合平面向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】因为，，， 则， 则， 故选：. 7. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，且与不共线，列式求解即可． 【详解】由题意得，且与不共线， ∴，且，解得，且， 故的取值范围是． 故选：D． 8. 若抛物线上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线上点P到的对称轴的距离6，设P的坐标为，根据点P坐标适合抛物线方程及点P到焦点的距离为10，联立方程组，解之可得p与，即可求解. 【详解】抛物线上一点到的对称轴的距离6， 所以设该点为P，则P的坐标为， P到抛物线的焦点F的距离为10， 所以由抛物线的定义，得①， 点P是抛物线上的点，所以②， 由①②联立，解得或， 则抛物线方程为或. 故选:D. 9. 已知，是椭圆的两个焦点，过点且斜率为的直线与交于，两点，则的周长为（ ） A. 8 B. C. D. 与有关 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的方程确定的值，再由椭圆的定义，得出的周长为，即可解答. 【详解】已知椭圆，则， 由过点且斜率为的直线与交于，两点， 可得， 所以的周长为. 故选：C. 10. 若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】先求左焦点坐标，设，坐标表示出向量，根据向量数量积的运算将的关系式代入组成二次函数，即可求解. 【详解】椭圆中， 椭圆左焦点，设，则有 ，解得， 因为， 所以， 因为，所以当时，取得最大值. 故选：C. 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填写在答题卷中横线上） 11. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，则实数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将抛物线转化为标准方程，结合题意列出方程即可得解. 【详解】抛物线， 因为焦点到准线的距离为，则，解得， 故答案为：. 12. 已知，，三点共线，，，若点的横坐标为，则点的纵坐标为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意求出所在的直线方程，设出点坐标代入直线方程即可得解. 【详解】因为，，则直线的斜率存在且不为0， 设所在的直线方程为， 则，解得， 所以所在的直线方程为， 设，因为，，三点共线，即在直线上， 则，所以， 故答案为：. 13. 双曲线焦点在坐标轴上，且双曲线过，则双曲线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线方程，然后将点坐标代入得到方程组，解得方程组后即可求出双曲线方程. 【详解】因为双曲线焦点在坐标轴上，且双曲线过，， 无论焦点在轴上或者在轴上，可设双曲线方程为：， 将，代入可得，解得， 所以双曲线方程为：， 故答案为：. 14. 若，，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据内积的运算律计算即可. 【详解】已知，，， 则 . 故答案为：. 15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则该双曲线的离心率为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，可得，，结合点到直线的距离，先求出到渐近线的距离，根据勾股定理，表示出，继而表示出的面积，又与等底同高，故可知的面积，即可列出等式，求得c的值，即可求得离心率. 【详解】由题意，设右焦点， 因为，所以，， 所以双曲线的渐近线方程为，即， 所以右焦点到渐近线的距离， 所以， 故， 因为与等底同高，故面积相等， 所以， 得到，即， 所以该双曲线的离心率为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知向量. （1）若与平行，求m的值； （2）若与垂直，求m的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先利用向量线性运算的坐标表示求出与，再利用向量平行的充要条件求解； （2）先利用向量线性运算的坐标表示求出与，再利用向量垂直的充要条件求解； 【小问1详解】 因为向量， 所以， 又因为与平行， 所以， 解得 【小问2详解】 因为向量， 所以， 又因为与垂直， 所以， 解得或 17. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，可设，结合向量的模与向量共线的坐标表示，即可求解； （2）根据题意，结合向量垂直和内积的定义，即可求得夹角. 【小问1详解】 由题意，设， 因为，且， 所以，消元化简得， 解得或， 或； 【小问2详解】 ， ， 又， ， ， 即， ， ， ， 又， ， 即与的夹角. 18. 已知条件，条件，且是的必要条件，求的取值集合. 【答案】 【解析】 【分析】设出集合，根据题意得出，分类讨论是空集和不是空集的情况即可得解. 【详解】设条件，条件， 因为是的必要条件，所以， 所以或或， 当时，，满足题意； 当时，若，则，解得； 若，则，解得； 综上可得，取值集合是. 19. 已知向量，，，点为直线上一个动点.当取最小值时，求的坐标，并求此最小值. 【答案】时，有最小值 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示整理出的坐标，根据平面向量内积的坐标表示及二次函数的最值即可得解. 【详解】设点， 点为直线上一动点， ，，， ，， ， 故当，即时，有最小值. 20. 已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为9，求实数的值. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆的定义、勾股定理及三角形面积公式，即可化简求解. 【详解】，， 为直角三角形， ， 又， 且， ，（※） 又， 代入（※）式，得， ， . 21 已知直线与抛物线. （1）若直线与抛物线相切，求实数的值； （2）若直线与抛物线相交于两点，且，求直线的方程； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直线和抛物线相切，联立方程令，便可求得实数的值； （2）根据韦达定理表达出，代入求解即可求得实数的值，从而解得直线方程. 【小问1详解】 解：根据题意得： 直线与抛物线相切 联立，得 . 【小问2详解】 设，由（1）方程联立可知 . 又，且 ，满足 直线的方程为. 22. 如图所示，已知双曲线的左顶点与椭圆的左焦点重合，双曲线与椭圆在第一象限相交与点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过的直线与椭圆相交与点，线段的中点在双曲线的渐近线上，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）先由椭圆方程求得，从而得到，再将点代入双曲线方程求得，从而得解； （2）分类讨论直线斜率为或不为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理求得线段的中点坐标，代入双曲线的渐近线方程求得值，从而得解. 【小问1详解】 因为椭圆的左焦点为， 又双曲线的左顶点与椭圆的左焦点重合， 所以， 点代入双曲线方程可得，即，解得， 故双曲线标准方程为； 【小问2详解】 当直线斜率为时，易知的中点坐标为， 刚好落在双曲线的渐近线上，又直线过点， 所以直线的方程为； 当直线斜率不为时，设直线方程：，， 联立，消去，得， 即， 则， . 所以， 则的中点坐标为， 因为双曲线渐近线方程， 所以，解得， 故直线的方程为：，即或. 综上，直线的方程为或或. 23. 已知椭圆中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的顶点到焦点距离的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交于，两点（，不是左、右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，证明直线过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2）证明见解析；定点 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得，即可求得a和c的值，根据即可求得椭圆的标准方程； （2）根据题意，易得，将直线与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理，表示，化简即可得到直线斜率k和参数m的关系，继而可证明直线过定点. 【小问1详解】 由题意，设椭圆方程为， 椭圆的顶点到焦点距离的最大值,最小值为, 则有，解得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由题意，设，， 联立方程得，即， 消去，整理得， ， 即，所以， 由韦达定理得，， 以为直径的圆过椭圆的右顶点， ，即， 又， ， 得到，（1） 又， 代入（1）式，得 ， 整理得， 或，经检验，满足， 当时，直线的方程为，过定点； 当时，直线的方程为，过定点，为椭圆右顶点，不符合题意，舍去； 综上所述，直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省对口单招教学联盟 2023~2024学年第一学期单招班期中联合考试 二年级·数学 2023-11 本试卷分第I卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分.第I卷第1至2页，第Ⅱ卷第2至4页.两卷满分150分.考试时间120分钟. 第I卷（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请选出符合要求的答案，并将答题卷上对应的字母涂黑） 1. 已知向量，则（ ） A B. C. D. 2. 已知向量，则与其垂直的单位向量是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式成立个数是（　　） ①； ②； ③； ④； ⑤. A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. “”是“方程 表示的曲线为椭圆”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则双曲线的标准方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 设，，，则（ ） A. 20 B. C. D. 0 7. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若抛物线上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为（ ） A B. C. 或 D. 或 9. 已知，是椭圆的两个焦点，过点且斜率为的直线与交于，两点，则的周长为（ ） A. 8 B. C. D. 与有关 10. 若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 8 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填写在答题卷中横线上） 11. 已知抛物线的焦点到准线的距离为，则实数为__________. 12. 已知，，三点共线，，，若点的横坐标为，则点的纵坐标为__________. 13. 双曲线焦点在坐标轴上，且双曲线过，则双曲线的方程为______． 14. 若，，，则___________. 15. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则该双曲线的离心率为___________. 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知向量. （1）若与平行，求m的值； （2）若与垂直，求m的值. 17. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角. 18. 已知条件，条件，且是的必要条件，求的取值集合. 19. 已知向量，，，点为直线上一个动点.当取最小值时，求的坐标，并求此最小值. 20. 已知，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为9，求实数的值. 21. 已知直线与抛物线. （1）若直线与抛物线相切，求实数的值； （2）若直线与抛物线相交于两点，且，求直线的方程； 22. 如图所示，已知双曲线左顶点与椭圆的左焦点重合，双曲线与椭圆在第一象限相交与点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过的直线与椭圆相交与点，线段的中点在双曲线的渐近线上，求直线的方程. 23. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的顶点到焦点距离的最大值为3，最小值为1. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆相交于，两点（，不是左、右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，证明直线过定点，并求出该定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$