精品解析：江苏省南京镇江地区2023-2024学年高二上学期中职校际联考期中调研测试数学试卷题

2023-2024学年第一学期校际联考期中调研测试卷 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分.第Ⅰ卷1页至2页，第Ⅱ卷2页至4页.两卷满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（共40分） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必按规定要求填涂答题卡上的姓名、准考证号等项目. 2.用铅笔把答题卡上相应题号中正确答案的标号涂黑.答案不涂写在答题卡上，成绩无效. 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 若集合，，则的非空真子集个数是（ ） A. 8个 B. 7个 C. 6个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的概念求出，再由含个元素的集合的非空真子集个数为，由此即可得出结论. 【详解】已知集合，， 则共有3个元素， 其非空真子集有个. 故选：C. 2. 是的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】解绝对值不等式和命题推出关系易得答案. 【详解】因为能推出， 但不能推出， 所以是的充分不必要条件， 故选：B. 3. 一元二次不等式的解集是，则的值是（ ） A. 8 B. C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系求出的值即可得解. 【详解】∵一元二次不等式的解集是， ∴一元二次方程的根是，， ∴由韦达定理，得， 解得， ∴. 故选：B. 4. 若函数，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据自变量的范围选择代入相应的函数式计算，可得结果. 【详解】， 又， 故. 故选：B 5. 下列为函数的一个单调增区间的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质易得答案. 【详解】因为函数的单调增区间是， 因为. 故选：D. 6. 下列各对向量中，相互不垂直的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示可判断结果. 【详解】对A选项，因为，所以； 对B选项，因为，所以与不垂直； 对C选项，因为，所以； 对D选项，因为，所以； 故选：B 7. 设，，夹角为60°，则（ ） A. 37 B. 13 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的内积公式与模长公式求解即可； 【详解】由题可知，， 所以， 故选：D 8. 过椭圆的右焦点，与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出与直线垂直的直线方程为，将椭圆的右焦点坐标代入求出直线方程即可. 【详解】椭圆中，， 所以椭圆的右焦点为， 设与直线垂直的直线方程为， 将右焦点为代入可得，解得， 故直线方程. 故选：A 9. 已知两个圆的方程分别为和，则它们的公共弦长等于（ ） A. B. 2 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆与圆相交的直线方程，再利用圆心到该直线的距离与半径构成的直角三角形计算求解． 【详解】∵两个圆的方程方别为和， ∴两圆公共弦所在直线的方程为，即， ∴的圆心到直线的距离为1， ∴它们的公共弦长等于. 故选：C. 10. 已知双曲线（，）的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线方程得到其渐近线方程，再利用直线垂直求得，进而得到，从而利用双曲线的离心率的定义即可得解. 【详解】因为双曲线的一条渐近线与直线垂直， 而双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为， 所以，则，得，即， 所以双曲线的离心率. 故选：C. 第Ⅱ卷（共110分） 注意事项： 1.第Ⅱ卷，考生须用黑色水笔将答案直接答在答题卡上. 2.考试结束，考生将答题卡交回. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知函数定义域为，则的定义域为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的定义域，结合指数函数单调性求解复合函数定义域即可. 【详解】因为函数的定义域为， 对于函数，可将看作一个整体，它在函数中的地位与在函数中的地位相同, 所以，即， 得到，即函数的定义域为. 故答案为： 12. 已知等边三角形的边长为2，，则的模为_________ 【答案】 【解析】 【分析】由向量的模和内积的计算公式即可得解. 【详解】由题意知，且与的夹角为， 所以， 所以 . 故答案为：. 13. 已知的圆心角所对的圆弧长是，则圆的半径为_________ 【答案】6 【解析】 【分析】由扇形的弧长公式即可得解. 【详解】， 由弧长公式为，解得， 故圆的半径为6. 故答案为：6. 14. 若抛物线的焦点F恰与直线恒过的定点P重合，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的焦点，结合一次函数恒过定点，即可求解. 【详解】直线恒过的定点P，故点P为， 则可知，焦点F， 则抛物线的方程为，焦点为， 故，. 故答案为：. 15. 椭圆的一个焦点是，则实数的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】先将椭圆方程化为标准，再根据焦点位置和坐标求解. 【详解】将椭圆方程转化为标准方程为． ∵一个焦点是，∴焦点在轴上，且， ∴故根据方程，得到. 即，，解得． 故答案为：2. 三、解答题：|本大题共8题，共90分| 16. 若关于x不等式在R上恒成立. （1）求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的性质解一元二次不等式即可； （2）根据对数函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由题意可知， 函数的图像开口向上， 若关于x的不等式在R上恒成立， 则需满足， ∴， ∴， ∴， ∴实数取值范围是. 【小问2详解】 ∵， ∴ ， ∴解得 ， ∴原不等式的解集为 17. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由诱导公式可求得的值，将所求式转化为正切后可求解； （2）将所求式的分母看作1，并将1用 替换后，转化为正切可求解. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 . 18. 求过点，向圆所引的切线方程. 【答案】或 【解析】 【分析】由圆的方程求出圆心坐标和半径，分斜率存在和不存在两种情况结合直线到圆心的距离等于半径讨论即可求解. 【详解】由圆的方程可知：圆心为，半径， 当切线斜率不存在时，切线方程为， 此时圆心到切线距离，符合题意； 当切线斜率存在时，设切线方程为：，即， 圆心到切线距离，解得， 所以切线方程为，即， 过点的切线方程为：或 19. 已知，，是否存在k，使得： （1）； （2） 【答案】（1）； （2）k不存在. 【解析】 【分析】（1）根据向垂直的坐标表示结合已知条件列式即可求解. （2）根据共线向量的坐标表示结合已知条件列式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 即，，解得. 【小问2详解】 因为，所以，即，此方程无解， 所以k不存在. 20. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求b的值； （2）求当时，的解析式； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质得到，进而得到答案. （2）根据奇函数的性质求解解析式即可. （3）利用函数解析式求值即可. 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数. 当时，， 所以.即. 所以. 【小问2详解】 设.则. 所以. 因为函数是奇函数. 所以. 即. 所以当时，. 【小问3详解】 因为. 所以. 所以. 21. 已知椭圆C：. （1）求椭圆C的离心率； （2）直线与椭圆C交于A、B点，求弦的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的标准方程，离心率公式即可求解. （2）先求得两直线交点，再根据两点间的距离公式即可求解. 【小问1详解】 由题意知：，，，所以. 则离心率. 【小问2详解】 将直线与椭圆联立方程组，得：. 解得，，所以，，即. 22. 已知平面内向量，， （1）求； （2）若，且，求向量的坐标. 【答案】（1）6 （2）或 【解析】 【分析】（1）先根据向量的线性运算计算的坐标，再由模长公式即可求解向量的模. （2）根据向量和向量平行的性质，结合向量的直角坐标运算，即可求解. 【小问1详解】 ， 所以； 【小问2详解】 设，则， ， 由题意知：，即， 将代入中可得， 即，解得或， 所以或 所以或. 23. 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：（）的离心率为，点在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； （2）直线l：（k存）与圆O：相切，与椭圆相交与P、Q两点，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（）根据离心率公式，及结合椭圆上的点即可得解. （）根据相切的性质，联立方程组设出点的坐标利用韦达定理及平面向量垂直的坐标表示即可得解. 【小问1详解】 由离心率，得， 又因为， 所以椭圆方程为，将点代入可得， 解得，则， 所以椭圆C方程为：. 【小问2详解】 因为直线与圆相切，则圆心到直线的距离： ，得到：①， 由得：， 设，，则，， ，， ， ， 将①式代入，得：，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第一学期校际联考期中调研测试卷 高二数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分.第Ⅰ卷1页至2页，第Ⅱ卷2页至4页.两卷满分150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（共40分） 注意事项： 1.答第Ⅰ卷前，考生务必按规定要求填涂答题卡上的姓名、准考证号等项目. 2.用铅笔把答题卡上相应题号中正确答案的标号涂黑.答案不涂写在答题卡上，成绩无效. 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 若集合，，则的非空真子集个数是（ ） A. 8个 B. 7个 C. 6个 D. 5个 2. 是的（ ） A 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 一元二次不等式的解集是，则的值是（ ） A. 8 B. C. 16 D. 4. 若函数，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 下列为函数的一个单调增区间的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列各对向量中，相互不垂直的是（ ） A. B. C. D. 7. 设，，夹角为60°，则（ ） A. 37 B. 13 C. D. 8. 过椭圆的右焦点，与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知两个圆的方程分别为和，则它们的公共弦长等于（ ） A. B. 2 C. 2 D. 3 10. 已知双曲线（，）一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率等于（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共110分） 注意事项： 1.第Ⅱ卷，考生须用黑色水笔将答案直接答在答题卡上. 2.考试结束，考生将答题卡交回. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知函数定义域为，则的定义域为_________ 12. 已知等边三角形的边长为2，，则的模为_________ 13. 已知的圆心角所对的圆弧长是，则圆的半径为_________ 14. 若抛物线的焦点F恰与直线恒过的定点P重合，则_________ 15. 椭圆的一个焦点是，则实数的值为__________． 三、解答题：|本大题共8题，共90分| 16. 若关于x不等式在R上恒成立. （1）求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式. 17. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）. 18. 求过点，向圆所引切线方程. 19. 已知，，是否存在k，使得： （1）； （2） 20. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求b的值； （2）求当时，的解析式； （3）求的值． 21. 已知椭圆C：. （1）求椭圆C离心率； （2）直线与椭圆C交于A、B点，求弦的长度. 22. 已知平面内向量，， （1）求； （2）若，且，求向量的坐标. 23. 在平面直角坐标系中，已知椭圆C：（）的离心率为，点在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； （2）直线l：（k存在）与圆O：相切，与椭圆相交与P、Q两点，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$