21.3 实际问题与一元二次方程 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册

21.3一元二次方程与实际问题 问题1.某超市七月份的利润是25000元，九月份 的利润达到36000元，这两个月的平均月增长的百分率是多少？ 八月份利润如何表示？ 九月份利润如何表示？ 解：设这两个月的平均月增长率为x 则：   2 www.czsx.com.cn 问题2.某商场二月份的销售额为100万元，三月份的销售额下降了20%，商场从四月份起改进经营措施，销售额稳步增长，五月份销售额达到135.2万元，求四、五两个月的平均增长率？ 解：设这两个月的平均月增长率为x 则：     变式： 某种药剂每瓶原售价为10元，第一次降价20%，则每瓶售价为______元；若第二次再降价20%，则每瓶售价为______元。 类似地 这种增长率的问题在实际生活普遍存在, 有一定的模式： 若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为 其中增长取“+”,降低取“－” 归纳小结 4 www.czsx.com.cn 回顾列方程解应用题的基本步骤: ①审题，分析数量关系，找等量关系 ②设出未知量 ③列方程（依据等量关系） ④解方程、检验方程 ⑤答 通过刚才的实际问题我们知道一元二次方程也是刻画现实世界的有效的数学模型. 实际问题   配方法 因式分解法 公式法 降次 设未知数、列方程 解 方 程 实际问题 的答案   双检验 数学建模 归纳总结 1 .某农场粮食产量是：2022年1200万千克，2024年为1452万千克。如果平均每年的增长率为x，则可得方程 ( ) A. 1200(1+x%)2=1452 B. 1200(1+2x)=1452 C. 1200(1+x)2=1452 D. 1200(1+x%)=1452 2、某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均月增长率为x，则由题意可列方程____________。 小试牛刀： 问题3 据调查，初春是流感盛行的季节， （1）经研究流感在每轮传染中平均一个人传染5人，请问:一人患流感一轮传染后共有 _人患了流感?经过两轮传染后共有 人患了流感? （2）如果设流感在每轮传染中平均一个人传染x人，请问:一人患流感一轮传染后共有_____ 人患了流感；经过两轮传染后共有 _____________人患了流感。 6 36 (X+1) (x+1)+x(x+1) 8 www.czsx.com.cn 有一个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了 流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 探究1 分析:设每轮传染中平均一个人传染了x人 开始有一人患了流感, 第一轮:他传染了x人,第一轮后共有______人患了流感. 第一轮的传染源 第一轮后共有________人患了流感. 第二轮的传染源 第二轮:这些人中的每个人都又传染了x人, 第二轮后共有____________________人患了流感. x+1 x+1 1+x+x(x+1)=(x+1)2 列方程得 1+x+x(x+1)=121 x1=10;x2=-12 注意:1,此类问题是传播问题. 2,计算结果要符合问题的实际意义. 思考:如果按照这样的传播速度,三轮后有多少人患流感?n轮后呢？ 121+121×10=1331人 9 www.czsx.com.cn 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支? 主干 支干 支干 …… 小分支 小分支 …… 小分支 小分支 …… …… x x x 1 解:设每个支干长出x个小分支, 则1+x+x●x=91 即 解得, x1=9,x2=－10(不合题意,舍去) 答:每个支干长出9个小分支. 应用 10 www.czsx.com.cn 实际问题   配方法 因式分解法 公式法 降次 设未知数、列方程 解 方 程 实际问题 的答案   双检验 数学建模 复习归纳 两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元.哪种药品成本的年平均下降率较大？ 经过计算，你能得出什么结论？ 思考？ 经过计算,成本下降额较大的药品,它的成本下降率不一定较大,应比较降前及降后的价格. 探究2 成本下降额较大的药品，它的成本下降率一定也较大吗？ 1、某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨,平均每月增长率是x, 可列方程( ) A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=500 B 2、参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会? 14 www.czsx.com.cn 3、 商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36％，问平均每月降价百分之几？ 解：设平均每月降价的百分数为 ， 又设两个月前的价格为 元，则现在的价格为 元， 根据题意，得 ， 不合题意舍去． ． 答：平均每月降价 ． 15 www.czsx.com.cn 都 某大学为了改善校园环境，计划在一块长80m，宽60m的矩形场地的中央建一个矩形网球场，网球场占地面积为3500m2，四周为宽度相等的人行道，求人行道的宽度。 探究3 分析: 本题关键是画图理解题目的意思。 在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽为20cm,要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个长方形框的框边宽。 X X 30cm 20cm 解:设长方形框的边宽为xcm,依题意,得 30×20–(30–2x)(20–2x)=400 整理得 x2– 25x+100=0 得 x1=20, x2=5 当x=20时,20-2x= -20(舍去);当x=5时,20-2x=10 答:这个长方形框的框边宽为5cm 变式1 分析: 本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度? （精确到0.1cm)? 解法一:设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm 依题意得 解得 故上下边衬的宽度为: 左右边衬的宽度为: 变式: 27 21 1.8 1.4 要设计一本书的封面,封面长27㎝,宽21㎝,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度? （精确到0.1cm)? 27 21 解法二:设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为7xcm依题意得 解方程得 例1：某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条等宽道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),根据两种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分别是多少?( 图(1),(2)的草坪面积为540米2.) (1) (2) 20 (1) 解:(1)如图，设道路的宽为x米，则 化简得， 其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去. ∴图(1)中道路的宽为1米. ①割 ②补法 21 解法二： 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路） 22 (2) (2) 草坪矩形的长（横向）为 ， 草坪矩形的宽（纵向） 。 相等关系是：草坪长×草坪宽=540米2 (20-x)米 （32-x)米 即 化简得： 再往下的计算、格式书写与解法1相同。 23 学校课外生物小组的实验园地是一块长40 米，宽 26 米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为 864 平方米，求小道的宽？ 解 设小道的宽为x 米。 根据题意得: (40－2x)(26－x) = 864 （不合题意，舍去） 答：小道的宽为2米。 小道 小道 26 40 40 26 例2： 例3．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，�上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，�渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模． 29 解：（1）设渠深为xm 则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（x+2）m 依题意，得： 整理，得：5x2+6x-8=0 解得：x1=0.8m，x2=-2（不合题意,舍去） ∴上口宽为2.8m，渠底为1.2m． 答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和1.2m； 需要25天才能挖完渠道． 30 1.如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为【 】 A．400cm2 B．500cm2 C．600cm2 D．4000cm2 2. 在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是【 】 A．x2+130x-1400=0 B．x2+65x-350=0 C．x2-130x-1400=0 D．x2-65x-350=0 3.如图，面积为30m2的正方形的四个角是面积为2m2的小正方形，用计算器求得a的长为（保留3个有效数字）【 】 A．2.70m B．2.66m C．2.65m D．2.60m 80cm x x x x 50cm a A B C 31 例1. 学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽20米的长方形空地上计划新建一块长9米、宽7米的长方形花圃. （1）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案. 应用 （2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由. 32 解: (1) 方案1：长为 米，宽为7米; 方案2：长为16米，宽为4米; 方案3：长=宽=8米; 注：本题方案有无数种 （2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加2平方米. 由题意得长方形长与宽的和为16米.设长方形花圃的长为x米，则宽为（16-x）米. x(16-x)=63+2， x2-16x+65=0， ∴此方程无解. ∴在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加2平方米 33 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为S米2， （1）求S与x的函数关系式; （2）如果要围成面积为45米2的花圃， AB的长是多少米？ （3）花圃的最大面积是多少？ （4）什么时候取到最大面积？ 巩固提升 34 例1:某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。 （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ 补充例题 例：如图，已知直线AC的解析式 ，点P从A点开始沿AO边向点O以1个单位/秒的速度移动，点Q从O点开始沿OC向点C以2个单位/秒的速度移动，如果P、Q两点分别从A、O同时出发，经几秒钟，能使△PQO的面积为8个平方单位。 A C O P Q x y 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 如图4所示，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽． 图4 如图1，要设计一幅宽20 cm，长30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2.如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度(结果保留小数点后一位)? 某地计划对矩形广场进行扩建改造．如图5，原广场长50 m，宽40 m，要求扩充后的矩形广场长与宽的比为3∶2.扩充区域的扩建费用为每平方米30元，扩建后在原广场和扩充区域都铺设地砖，铺设地砖费用为每平方米100元．如果计划总费用642 000元，扩充后广场的长和宽应分别是多少米？ 　图5 解：设扩充后广场的长为3x m，宽为2x m， 依题意得3x·2x·100＋30(3x·2x－50×40)＝642 000， 解得x1＝30，x2＝－30(舍去)． ∴3x＝90，2x＝60. 答：扩充后广场的长为90 m，宽为60 m. 图6 $$