精品解析：江苏省跨地区职业学校职教高考2023-2024学年高三上学期一轮联考数学试题

江苏省2023—2024年跨地区职业学校职教高考一轮联考 数学试卷 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含选择题（第1题~第10题，共10题）、非选择题（第11题~第23题，共13题）两部分．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与您本人是否相符． 4．作答选择题（第1题~第10题），必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1. 已知集合，且，则实数a的值为（ ） A. 或 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系求解参数即可. 【详解】因为集合，且， 所以或， 当，即时，集合不成立； 当，即（舍）或时，集合成立； 综上可知，. 故选：D. 2. 设数组，则（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数组运算的坐标表示即可求解. 【详解】， ， . 故选：B. 3. 若复数为纯虚数，其中，则的模为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义，求出a值，再根据共轭复数以及复数模的求法，即可求解. 【详解】为纯虚数， , . 故选：B. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】结合不等式，根据充分不必要条件的判断，即可求解. 【详解】因为或， 所以由“”可以推出“”， 但由“”不能推出“”， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式列出，再使的指数为，求出的值代回通项公式中即可. 【详解】由题意，的展开式的通项为， 令，解得， 所以，即的系数为， 故选：C. 6. 若点是角终边上一点，则：的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数，求得，的值，即可求解. 【详解】由题意，， 则， ， 所以. 故选：A. 7. 已知正方体的表面积为24，则此正方体的外接球的体积是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，先求出正方体的棱长，继而求得外接球的半径，结合球的体积公式，即可代入求解. 【详解】因为正方体的表面积为24， 所以正方体的棱长为， 所以正方体的外接球的半径， 所以此正方体的外接球的体积是. 故选：D. 8. 某项工程的工作明细见下表，若该工程的最短总工期为天，则m的最大值为（ ） 工作代码 A B C D E F G 紧前工作 无 无 A D 工期（天） 5 5 2 4 m 2 1 A. 6 B. 7 C. 5 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意确定所有路径，再根据关键路径法即可得解. 【详解】第一条路径为，总工期为， 第二条路径为，总工期为， 第三条路径为，总工期为， 第四条路径为，总工期为， 因为最短总工期为天，且， 所以，则， 所以m的最大值为6. 故选：A. 9. 过抛物线的顶点，且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出抛物线的顶点坐标，求出直线斜率，然后求解直线方程即可. 【详解】由题意知：抛物线的顶点为，直线的斜率为， 则与直线垂直的直线斜率为， 所以所求直线方程为， 即. 故选：C. 10. 已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】等式两边同时除以，结合基本不等式公式即可得解. 【详解】因为x，y为正实数，且，两边同时除以得， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以最小值为. 故选：. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 执行如图所示的程序框图，输出的_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据程序框图运行规则易得答案. 【详解】由题意得， 第一步：，所以， 第二步：，所以， 第三步：，所以， 第四步：，输出. 故答案为：. 12. 已知各项为正数的等比数列，若，则此数列的公比_______． 【答案】2 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式列式即可求解. 【详解】设各项为正数的等比数列的公比为， 因， 所以，两式作比可得， 即，则，解得或（舍去）， 所以此数列的公比. 故答案为：2. 13. 将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数的最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形的变化求出解析式，利用两角和差的正弦公式，辅助角公式将所求函数进行化简，结合正弦型函数的性质即可得解. 【详解】将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数， 则， 所以 ， 所以的最大值为， 故答案为：. 14. 若椭圆的一条准线方程为，则实数_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据抛物线的准线方程，即可求解. 【详解】由题意知：， 所以， 所以， 所以. 故答案为：1. 15. 已知函数且满足对任意都有成立，则实数a的取值范围是_______．(用区间表示) 【答案】 【解析】 【分析】根据对数函数和一次函数的单调性，列出不等式组，即可求解. 【详解】，函数为R上的增函数， 故有，即， 解得. 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知函数，若，求x的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】先求对数函数的定义域，再由对数函数单调性列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 必须有，即，解得或， 所以函数的定义域为， 又，则，即， 因为在上为减函数， 所以，即， 得，解得，即 综上的取值范围为. 17. 已知奇函数的定义域为，当时，． （1）求函数的解析式； （2）若对于，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先将代入解析式中，再由奇函数的定义即可解答. （2）首先根据函数奇偶性的特点和单调性得，并整理得，再由基本不等式确定最值即可得出m的取值范围. 【小问1详解】 已知当时，， 当时，则，所以 又为上的奇函数， ， 所以当时，， 则函数的解析式为. 【小问2详解】 已知为上的奇函数，所以， 则由，得， 由（1）可得， 因时，为减函数， ，也为减函数， 所以在为减函数，所以， 且时恒成立，所以，即， 所以，当且仅当时，等号成立， 即的最小值为，所以. 18. 为了解大学生体育锻炼的情况，随机地抽查了100名大学生每周跑步锻炼的情况，得到频率分布直方图如图所示，已知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，跑步时长在2~4h之间的学生数为b． （1）求a，b的值； （2）设m，n表示参加抽查的某两位同学的每周跑步时长，且已知，求事件“”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的通项公式易得答案； （2）根据排列和概率公式易得答案. 【小问1详解】 因为前4组的频数成等比数列，间的频数为， 间的频数为，所以， 所以前4组的频数为， 所以间的频数为，所以， 因为后6组的频数成等差数列，且共有， 所以， 解得， 所以之间的学生数； 【小问2详解】 因为m，n表示参加抽查的某两位同学的每周跑步时长，且已知， 所以在的有人，在的有人， 事件“”的的取法分别在内取， 所以事件“”的概率. 19. 已知函数. （1）求在区间上的最大值和最小值； （2）在中，，若，求的面积. 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角余弦公式和诱导公式和辅助角公式化简易得答案； （2）根据三角函数值求角，再根据余弦定理和三角形面积公式易得答案. 【小问1详解】 因为函数 ， 因为， 当时，函数取到最大值为， 当时，函数取到最小值为， 所以函数的最大值为，最小值为； 【小问2详解】 因为，因为在中，， 所以， 因为，所以，则，即， 因为， 所以，因为，解得， 所以的面积. 20. 已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料，配料的价格为元/，每次购买配料除需支付运输费元外，还需支付保管费用，其标准如下：天以内（含天），无论重量多少，均按8元/天支付；超出天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天元/kg支付.（总支出购买配料费运输费保管费） （1）设x天购买一次配料，求该厂在这x天中，用于配料的总支出y（元）关于x的函数关系式； （2）求多少天购买一次配料，才能使该厂平均每天的总支出最少? 【答案】（1） （2）天购买一次配料，才能使该厂平均每天的总支出最少 【解析】 【分析】（1）根据题意，分别讨论，和时的总支出，建立分段函数模型即可. （2）设平均每天的总支出为，则，再根据反比例函数的单调性确定时的最小值，运用基本不等式确定时的最小值，由此即可解答. 【小问1详解】 当时，， 当时，第天剩余配料的重量为， 保管费 第剩余配料的重量为， 保管费为 ， 第天剩余配料的重量为， 保管费为 所以天共需保管费为， 所以， 所以配料的总支出y（元）关于x的函数关系式为. 【小问2详解】 设平均每天的总支出为，则有， 所以， 当时，， 因为在上为减函数， 所以当时，（元）， 当时，， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以当时，， 综上所述，当天购买一次配料，才能使该厂平均每天的总支出最少. 21. 若数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）设求，数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用数列的递推式，结合作差法得到，再利用等比数列的定义得出为等比数列，从而得解； （2）利用错位相减法即可得解. 【小问1详解】 已知数列满足①， 则有②， ②①得，，即，又， 则，所以数列是首项与公比都为2的等比数列， 所以. 【小问2详解】 已知， 则数列的前n项和①， ②， 得， 则， 所以. 22. 某厂研发了甲、乙两种型号的产品，已知生产一个甲产品需A原料，B原料，可获利润600元；生产一个乙产品需A原料，B原料，可获利润800元．若该厂现有的A原料和的B原料可供生产这两种产品，那么这两种产品各生产多少个，才能使利润达到最大，最大利润是多少? 【答案】生产甲型号产品4个，乙型号产品9个时，利润取得最大值9600元 【解析】 【分析】根据题意，列出线性约束条件和目标函数，结合图解法，即可求得最优解，继而求得最大值. 【详解】由题意，设生产甲型号产品x个，乙型号产品个时，利润取得最大值，最大利润为z元， 则，目标函数， 根据线性约束条件作出可行域如下图所示： 所以，当目标函数经过可行域中的点A时，利润z取得最大值， 所以，即，解得， 即生产甲型号产品4个，乙型号产品9个时，利润取得最大值， 最大利润为元. 23. 已知椭圆过点，抛物线的准线过椭圆C的左焦点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线l交椭圆C于两点，线段的中点为，且直线m是线段的垂直平分线，求证：直线m过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据抛物方程确定准线方程，设椭圆方程为，将点代入，结合的关系求解即可； （2）设，，利用点差法结合线段的中点为，求得线段的垂直平分线的方程即可. 【小问1详解】 已知抛物线中，， 其准线为，所以椭圆的左焦点为，则 设椭圆方程为，将点代入， 得，又， 所以，解得（负值舍去）， 所以， 则椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 直线l交椭圆C于两点，线段的中点为 则在椭圆内，， 若斜率为0，则的垂直平分线为，与中点矛盾， 所以直线l的斜率不为0， 当直线的斜率存在且不为时，设，， 则有，， 两式相减得， 由线段的中点为，则， 故直线的斜率， 因为直线是线段的垂直平分线，故直线，即， 令，此时，于是直线过定点， 当直线的斜率不存在时，易知，此时直线，故直线过定点， 综上所述，直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省2023—2024年跨地区职业学校职教高考一轮联考 数学试卷 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共4页，包含选择题（第1题~第10题，共10题）、非选择题（第11题~第23题，共13题）两部分．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与您本人是否相符． 4．作答选择题（第1题~第10题），必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1. 已知集合，且，则实数a的值为（ ） A. 或 B. C. 2 D. 2. 设数组，则（ ） A. B. C. 0 D. 3. 若复数为纯虚数，其中，则模为（ ） A. 2 B. C. D. 4. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 的展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 6. 若点是角终边上一点，则：的值为（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知正方体的表面积为24，则此正方体的外接球的体积是（ ） A. B. C. D. 8. 某项工程的工作明细见下表，若该工程的最短总工期为天，则m的最大值为（ ） 工作代码 A B C D E F G 紧前工作 无 无 A D 工期（天） 5 5 2 4 m 2 1 A. 6 B. 7 C. 5 D. 8 9. 过抛物线的顶点，且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 10. 已知x，y为正实数，且，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 8 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 执行如图所示的程序框图，输出的_______． 12. 已知各项为正数的等比数列，若，则此数列的公比_______． 13. 将函数图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，则函数的最大值为_______． 14. 若椭圆的一条准线方程为，则实数_______． 15. 已知函数且满足对任意都有成立，则实数a的取值范围是_______．(用区间表示) 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知函数，若，求x取值范围． 17. 已知奇函数的定义域为，当时，． （1）求函数的解析式； （2）若对于，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 18. 为了解大学生体育锻炼的情况，随机地抽查了100名大学生每周跑步锻炼的情况，得到频率分布直方图如图所示，已知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，跑步时长在2~4h之间的学生数为b． （1）求a，b的值； （2）设m，n表示参加抽查的某两位同学的每周跑步时长，且已知，求事件“”的概率． 19. 已知函数. （1）求在区间上的最大值和最小值； （2）在中，，若，求面积. 20. 已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料，配料的价格为元/，每次购买配料除需支付运输费元外，还需支付保管费用，其标准如下：天以内（含天），无论重量多少，均按8元/天支付；超出天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天元/kg支付.（总支出购买配料费运输费保管费） （1）设x天购买一次配料，求该厂在这x天中，用于配料的总支出y（元）关于x的函数关系式； （2）求多少天购买一次配料，才能使该厂平均每天的总支出最少? 21. 若数列满足，且． （1）求数列的通项公式； （2）设求，数列的前n项和． 22. 某厂研发了甲、乙两种型号的产品，已知生产一个甲产品需A原料，B原料，可获利润600元；生产一个乙产品需A原料，B原料，可获利润800元．若该厂现有的A原料和的B原料可供生产这两种产品，那么这两种产品各生产多少个，才能使利润达到最大，最大利润是多少? 23. 已知椭圆过点，抛物线的准线过椭圆C的左焦点. （1）求椭圆C的标准方程； （2）直线l交椭圆C于两点，线段的中点为，且直线m是线段的垂直平分线，求证：直线m过定点，并求出该定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$