贵州省黔东南苗族侗族自治州2024-2025学年高三上学期1月期末数学试题

黔东南州2024一2025学年度第一学期高三期末统测 数学试卷参考答案 1.D因为A={x∈N1≤x≤6=1,2,3,4,5,6}，B={x|-7<3-2x<1}={xl1<x<5}, 所以A∩B={2,3,4. 2D复数：本十日D号吉复数：在复平面内对应的点为导。号》，位于 第四象限 3.A易知f(x)在(0，+∞)上单调递减，因为f(1)=6-2-1>0,f(2)=3-4一1<0，所以 f(x)的零点所在区间为(1.2). 4C该圆台的体积V=3(r+9x+3π)×3=13π. 5.A(a+b)2=a2+b+2a·b=1+1+2X1×1×号-3.即1a+b1=B.所以(a+b)e的 最大值为25. 6.B因为1+1-a十a1=2,所以a1十a,=2a.又因为S,=a1+a2+a=3,所以3-a a1'a3a 2a,解得a,=1或a,=一2（含去。 7.C设A(x1y1),B(x2y2),M(xaya).由题意可得 y-=81'将这两个等式作差可得 y2=8x3 -y2)(0+y)=8(x1-x),即二义(6y1+y2)=8,所以2X2y,=8,即y=2.又2=8x, x1一x2 x=AB的中点M在曲线C内部所以M的轨迹方程为y=2(>》】 8.D先从5个数字中选出1个数字，有C种选法，然后从红桃、黑桃、方块、梅花中抽取2种花 色，有C种抽法，再从剩余的4个数字中选2个数字，有C种选法，每个数字下面同样有 4张牌选择，有CC种选法.故不同的抽取方法有CiCiCc=2880种 A.ABD)的最小正周期为受-行A正确： 由-号+2kx≤号-吾≤受+2k,k∈Z.解得-晋+修<<否+，k∈Z. 所以)的单词造端区间为号+售号+售]，47B正确， /(）-2simx,C错误： 【高三数学·参考答案第1页（共7页）】 当e[o.]时，-晋≤号-晋<经则-<m(号-）1，于是-月≤f)2 所以x)在[0，]上的值域为一5,2]，D正确 10.AD如图，取F,G,H分别为C,D1,CC1,CD的中点，连接B1F, A FG,B,G,EH,BD.易知EHAB,所以H∈平面ABE,易知B, 平面B,FG∥平面A,BE,故点P的轨迹为线段FG,所以轨迹长 度为√2，A正确： 因为点C到FG的距离为号.所以DP的最小值为己号，B结误： 若B1P⊥AC,则B,P在平面ABCD上的投影在BD上，故C错误； 当CPLFG时，B,P与平面CC,D,D所成角的正切值最大，最大值为2=22，D正确 2 1.AC令y=0,则f(-1D+fx)f0)=-1,若f0)≠0，则/x)=-1-1=常数， f(0) 显然不符合f(xy-1)+f(x)f(y)=2.xy-1,故f(0)=0,A正确. f(-1)=-1,令x=y=1,得[f(1)]=1,因为f(1)≠1，所以f(1)=-1.令y=1,则f(x -1)-f(x)=2x-1,令x=2,则f(1)-f(2)=3,解得f(2)=-4,B错误. 由f(x-1)-f(x)=2x-1,可得f(xy-1)-f(xy)=2.xy-1,代入f(xy-1)+f(x)· f(y)=2xy-1,所以f(x)f(y)=-f(xy),令y=-1,所以-f(x)=-f(-x),即f(x) =f(一x),所以f(x)是偶函数，C正确： 取f(x)=一x2,满足f(xy-1)+f(x)f(y)=2xy-1,此时x=0为f(x)的极大值点，D 错误 35 12.牙（或60'）tan(a+B) tana十tanB_4 1-tan atan B 人 =3,因为a,B为锐角，所以0<a+B<π 故a+B=号（或60. 13.9 设曲线y=e与l相切于点(xo,e).又y'=e,所以e0=l,解得x。=0,将点(0，l)的 坐标代人y=x十m,可得m-1,即l:y=x+1.将l与y-x2+a联立，可得x2-x+a-1 =0,4=1-4(a-1)=0,故a=号 14.0 5 设0为坐标原点，由C+(号》-专令y=0,则=1，周=士山， 所以F,(-1.0).5,1.0.即=1又调C的网心为C(o,号)半径为25。 【高三数学·参考答案第2页（共7页）】 且1CE1=1C,E,0C1=1CP,所以∠CF,0=若，所以∠F,C,F,- 3 ∠FMF,=子 设MF,=m,MF,=n,则m十n=2a,Sa方msin∠F,MF,=-号 42·即m切 =2.在△FMF2中，|F,F212-|MFI2+|MF212-21MF,IMF2|cos∠F,MF2, 即1=m+n2-mm,即(m十n)2-3mm=4,所以a2一6=4，则u-@ 2 故椭圆C,的离心率e=C-而 a51 15.解：(1)因为3 asin B+bcos A=2b,所以W3 sin Asin B+sin Bcos A=2sinB,…2分 所以/5sinA十cosA=2,则sin(A+）=1,…4分 又A∈(0，x,所以A+若=受，即A= 3 …6分 (2)由余弦定理得a2=b2+c2-2 bccos A=b2+c2-bc,即b2十c2-b0=4.…9分 因为b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,所以bc≤4， 当且仅当b=℃=2时，等号成立，…11分 所以△ABC面积的最大值为√3. 13分 16.解：1)甲被录取的概率为p1=()°-6 ……1分 231 乙被录取的概率为p:一行X分一2： …2分 丙被录取的概率为A,一号×号-号 …3分 因为品子>子 4分 所以甲被录取的可能性最大.… 6分 (2)随机变量X的所有可能取值有0,1,2,3， 000000000000g0g年0年年g年0000 P0x=0=6×号×号-高 8分 915_5 p(X=3)=16×2×g32 …9分 Px=1)-品×(1-2)×(1-号)+(1-0)××1-哥)+(1-6)×(1-号)×号 【高三数学·参考答案第3页（共7页）】 11 32 11分 751129 P(X=2)=1-72323272' 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 11 29 5 72 32 72 32 12分 放E(X)=0x元+1×是+2×号+3×是器 5233 15分 17.(1)证明：连接AC.因为底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC. …1分 因为PA⊥平面ABCD,BDC平面ABCD,所以PA⊥BD. …2分 又BD⊥AC,PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC,所以1 BD⊥平面PAC.…4分 又PCC平面PAC,所以BD⊥PC.…6分 (2)解：因为PA⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD, 所以PA⊥AB,PA⊥AD.又AB⊥AD, B 所以PA,AD,AB两两垂直，以A为坐标原点，AB, AD,A户的方向分别为x,y,x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2.0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(1,1,1) 所以A它=C序=(1,1,1)，B正=(-1,1,1)，BD=(-2,2,0),DC=(2,0,0).…8分 设平面BDE的法向量为m=(a,b,c), m·BD=-2a+2b=0, 则 解得c=0,令a=1,得b=1, m·BE=-a十b十c=0, 故m=(1,1,0)为平面BDE的一个法向量. 10分 n·DC=2x=0. 设平面DCF的法向量为n=(x,y,g),则 n.CF=x+y+x=0, 令y=1,得z=-1,x=0, 故n=(0,1,一1)为平面DCF的一个法向量. 12分 设平面BDE与平面DCF的夹角为0，则0∈[0.受引， 因为cos0=cos(m,n>=mm-2X2 m·n 1 2 所以平面BDE与平面DCF的夹角为等 …15分 【高三数学·参考答案第4页（共7页）】 18.解：1)油题可设W的方程为 2分 所以c2=2a2=2,解得a2=2, 所以w的方程为号- y -1. 4分 (2)设B(x1y1),C(x2y2). (i)因为CB=2BA,所以A,B,C三点共线，且x2=3x1.…5分 易知直线BC的斜率存在，设直线BC的方程为y=x十2， r2 y 联立 2-之-1可得(1-4)x2-4x-6=0,则△=162+211-42)>0.即1<3， y=tx+2, 4 —6 6分 由x=3x1x十：=1-可得x11- …7分 所以33千)”-号解得=2 8分 因为B,C是W右支上两点，所以x1十x2>0,则1=一√2，即直线BC的斜率为一√2， …9分 (i)显然直线BC的斜率存在，设直线BC的方程为y=kx十m,x1>0,x2>0, (r2 y2 联立22 =1, 可得(1-k2)x2-2km.x-m2-2=0, y=kx十m, 士12m2也△=4m+2-2>0,得m+2>2.…1分 2km y1+y2=k(x1+xg)+2m= 2m 1-k21 …12分 设C的中点为D,则D")》 又AD⊥BC,所以kAD·kx 162一2 ·k=一1，则m十k2=1.…13分 km 1-k |BC1=V√1+k|x1-x2=√1+k√/(x1+x2)-4x1x2 =1+k 1m+2-2k5=2√1+k、 /k2-3 (1一k2)2 k2-1 …14分 点A到直线C的距离4=m-是+出-√十. 15分 √1+k2√1+k 【高三数学·参考答案第5页（共7页）】 因为△ABC为等边三角形，所以d=尽 16分 2BC,得k2三4，… 所以d=十k=5,即△ABC的高为5.…17分 19.(1)解：由题可知x1,x2是方程x2一2x一m=0的两根， 所以x1十x2=2,x1x2=一m,△=4十4m>0,… 1分 所以.x1-x2=√x十xg)-4x1x2=√+4m,…2分 x经-x|=|(x2-x1)(x2十x1)|=2/4十4m.…3分 因为/)=x-2-m为M~(2)函数，所以/4+m<2<2什m,解得-<m<0. 即m的取值范围为(-子，)。 …4分 (2)①)解：f'(x)=2x+-2+lnx_2(x2-1D+lnx ………5分 x 又因为函数g(x)=2(x3一1)十lnx单调递增，且g(1)=0, 由'(x)>0,得x>1,由f'(x)<0,得0<x<1, 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在[1，十∞)上单调递增. …6分 当a>2时，f(1)=2-a<0, ()-+a(+a)-a-+alna>0. fa)=a2+1-lna-a>a2-u+1-a-Da2-a-a=1-a-1)a+l0. 所以f(x)在（日，）和(1a)上各有-个零点： …8分 当a≤2时，f(x)的最小值为f(1),且f(1)=2-a≥0， 所以∫(x)在(0，十∞)内至多只有一个零点. 综上，4的取值范围是(2，十o∞).… …10分 (i)i证明：设G(x)=fx)-(x+-a）=x2-nx-xr∈(0，+oo. G1(x)=2x-1lnx-1-2x3-x2-1+mx-x-1)2x2+x+1)+lnx 则G11)=0,当x≠1时，G1x)=二(2x+x+1+n) 因为2z2+x+1-2(x+)'+日>0，片>0，所以2r+x+1+>0 令G(x)>0,解得x>1,令G1(x)<0,解得0<x<1, 所以G(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以G(x)>GI)=0.即f(x)>x+-a=h(x). …12分 【高三数学·参考答案第6页（共7页）】 设h,(x)的零点为xx(x3<x),则x4一x=a-4. 设x1<x2,则易知xa<x1<x<x,所以x2一x1<√a-4. …13分 设fe)-(r+a）-hz-1-nx-）xe0.+o 设G,(x)-1-lnx-则Gx)-+-中 r? 令G(x)>0,解得0<x<1,令G2(x)<0,解得x>1, 所以G2(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十o∞)上单调递减， 所以G2(x)≤G2(1)=1一0一1=0，所以G2(x)≤0恒成立， 即f(x)<x2十2a=h2(x）.…15分 设h2(x)的零点为x5x6(x<x6),x-x=√a-4. 易知0<x1<x6<x6<x2,所以x<x号<x<x,所以x是-x>Va-4.…16分 综上，x2-x1<√a-4<x-x引，即函数f(x)为M~(a-4)函数.…17分 【高三数学·参考答案第7页（共7页）】黔东南州2024-2025学年度第一学期高三期末统测 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小置给出的选项中，有多项符合题目要 数学试卷 状，全部选对的得 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， $$\left( f \left( x \right) = 2 \sin \left( \frac { 3 } { 2 } x - \frac { \pi } { 8 } \right) ，$$ 注意事项： A.f(x) 的最小正周期为 $$\frac { 4 \pi } { 3 }$$ 1.答题，考生务必将自己的姓名、考生号考据号、座位号填写在答题卡上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用船笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 B.f(x) 的单海递增区间为 $$\left[ - \frac { \pi } { 8 } + \frac { 4 k \pi } { 3 } ， \frac { 5 \pi } { 9 } + \frac { 4 b } { 3 } \right] ， k \in Z$$ 黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在 答题卡上，写在本试卷上无效， $$C . x - \frac { B \pi } { 9 }$$ f(x) 图象的一条对构布 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交国， 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容， D.f(x)且 $$0 . \frac { 2 \pi } { 3 } \right]$$ 上的值域为 $$- \sqrt 3 ， 2 \right]$$ 在棱长力2的正方体 $$A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$$ 中， E $$D D _ { 1 }$$ 的中点，动点P在正方形 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 $$C C _ { 1 } D _ { 1 } D$$ 内(包括边界)，若 $$B _ { 1 } P _ { 1 }$$ //平面 $$A _ { 1 } B$$ 题目要求的. A. 的轨迹长度为2 1设集合 A={x∈N|1≤x≤6\right.}，B={x|-7<3-2x<1}， 则 AFB= B.DP 的悬小值为 $$\sqrt 2$$ B.{x|1<x<5\right.} 存在点 ，使得， $$B _ { 1 } P \bot A C$$ C.(3.4.5] D2，3， $$B . B _ { 1 } P$$ 与平面 $$C C _ { 1 } D _ { 1 } D$$ 所域角的正切值的最大值为 $$2 \sqrt 2$$ 2.已知复数x满足 zi=1-2z， ，复数：在复平面内对应的点位于 已知函数 f(x) 的定义域为 $$R ， f \left( x y - 1 \right) + f \left( x \right) f \left( y \right) = 2 x y - 1 ， f \left( x \right) ^ { 2 } e 1 ，$$ 则 长 A.第一象限 B.第二象限 A.f(0)=0 Brf(2)=4 C.第三象限 D.第四象限 C.f(x) )是数 D.x=0 为 f(x) 的板小值点 3.函数了 $$f \left( x \right) = \frac { 6 } { x } - 2 ^ { x } - 1$$ -1的零点所在区向为 三、填空题：本共3小题，每小题5分，共15分. A.(1，2) B.(2，3) C.(5，4) D.(4，5) 12.已知 为锐角 $$2 . \tan \alpha + \tan \beta = \frac { 3 \sqrt 3 } { 4 } ， \tan \alpha \tan \beta = \frac { 1 } { 4 } ，$$ 则α+β= . 4.已知某圆台的上，下底面半径分别为1和3.高为 则该圆台的体积为 4.若直线 l：y=x+x 是曲线 $$y = e ^ { x }$$ 和曲线 $$y = x ^ { 2 } + a$$ 的一条公切线，则 a= $$A . \frac { 7 } { 2 } \pi$$ $$B . \frac { 2 1 \pi } { 2 }$$ C.16π D.34π 14.已知圈 $$C _ { 1 1 } ： x ^ { 2 } + \left( y - \frac { \sqrt 3 } { 3 } \right) ^ { 2 } - \frac { 4 } { 3 }$$ $$C _ { 1 } ： \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { x ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 \left( a > b > 0 \right)$$ >O的左，右焦点F，， $$F _ { 1 } ， F _ { 2 } ，$$ 曲线 4.已知单位向量a， 的夹角为 $$和 \frac { \pi } { 3 } ， | c | = 2 ，$$ ，则 (a+b)⋅c 的最大值为 $$C _ { 1 }$$ 与曲线C在第一象限的交点为 M， 若 $$\triangle M F _ { 1 } F _ { 2 }$$ 的面积为 $$\frac { \sqrt 3 } { 2 } ，$$ $$C _ { 2 }$$ 的离心率 $$A . 2 \sqrt 3$$ B. C.2 为▲ . 6.已知 $$a _ { n } > 0 ， S _ { n }$$ 是等比数到 $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ }的前 项和，着 $$且 \frac { 1 } { a _ { 1 } } + \frac { 1 } { a _ { 3 } } = 2 ， S _ { 1 3 } = 3 ，$$ $$a _ { 2 } =$$ 四，解答题：本题共5小题，共77分解答应写出必要的文字说明，证明过程或满算步 $$A . \frac { 2 } { 3 }$$ B1 $$C . \frac { 3 } { 2 }$$ D.2 15.(13分) 在 △ABC 中，角A.B，C的对边分别为 $$a ， b ， c ， 且 \sqrt 3 a \sin B + b \cos A = 2 b .$$ 已知斜率为2的直线与曲线 $$C ： y ^ { 2 } = 8 x$$ 8x交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点M的轨迹方程为 (1) 求 $$A _ { 1 }$$ A.y=4(x>2) $$B . x = 4 \left( - 4 \sqrt 2 < y < 4 \sqrt 2 \right)$$ (2)若 a=2， 求 △ABC 的最大值， $$C . y = 2 \left( x > \frac { 1 } { 2 } \right)$$ D.x=2(-4<y<4) 8.从20张扑克牌(红桃，黑桃、方块.梅花 个花色，每个花色均有数字从 2-6 的5张牌》中 取4张牌，若抽出的4张牌有耳仅有2张数字相同，不同的油取方法有 A.960种 B.1440种 C.1920种 D.2 88种 [高三数学第1g共+ [高三教学第2面1热4页)] 16.415分) 某公可招明专试分笔试与面试两部分进行，每部分成城只记“合格”与不合格“，两带分成填 817分) 已知对称拍都在坐标箱上的等箱观和的甲的一个熊点是(2，时 部合格春被公可录取甲，乙丙三人在笔试部分合格的氧率分别为是，导·是在面试都分合 (1求W的五程. 335 (2)已如时，E是W右支上两点，且A(0, 格的氧率分别为子·子，言，所有考试是香合格相互之间没有影响已知甲，乙，两三人椰同时 (若（事=2A,求直线0的斜率. 参如了笔试和面试 ()若△AC为等边三角形，求△AC的高. (1)在甲，乙、丙三人中，非被录取的可能性最大 《设甲，乙.丙三人中被烫取的人数为X,求X的分布判和期银， 19.(17分) 定义：如果函数f(x》在定义域内存在两个零点11，几存在实数A,使，一￥：<么<z通 17.15分) 一xI咸立，那么称函数fx)为M一(a)函数 在四棱株P-AB队CD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形，PA=AB=2,E是棱PC 的中点，AE一C (1)已知函数fx)■x一2x一m为M一(2)函数，求m的取值范围 (1)证明，BD上PC （2犯知雨数了-x+上二-a给有两个零点1 (2)求平面BDE与平面DCF夹角的大小 ()果a的取值范围： (防证明，函数fx)为M~(√a一4)虽数 [高三粒学第3页（共4置）】 【高三数燥第4页（共4页】