第三章 函数知识点总结-2025届内蒙古高三中职数学一轮复习

中等职业学校数学章知识点总结 编号：03-JC03 第三章 函数知识点总结 【知识结构】 【知识总结】 一、函数的概念 设集合A是一个非空实数集，对A内任意实数，按照某种对应法则f，有唯一确定的实数值y与它对应，则称这种对应关系为集合A上的一个函数， 记作 二、函数的三要素 （一）定义域 1.定义：函数中，自变量x的取值范围叫做函数的定义域。 注：定义域集合，必须写成集合的形式。 2.求函数定义域的方法 ①含有分数时，分母不为零； ②含有零指数或负整数指数幂时，底数不为零； 如：中；中。 ③含有偶次根式时，被开方数大于等于0； 含有奇次根式时，定义域为R； 如：中；中。 ④含有对数时，真数大于0，若底数中含有未知数，底数大于零且不等于1； 如：中；中。 ⑤正弦函数、余弦函数的定义域是R， 正切函数的定义域是 ⑥函数是整式时，定义域一般为R； ⑦表示实际问题中的函数关系时，需满足实际意义。 （二）值域 1.定义：与x对应的因变量y的取值集合叫做函数的值域。 值域中最大的值即为函数的最大值，值域中最小的值即为函数的最小值。 2.的意义 对于函数，当时，与它对应的函数值表示为 性质：点在函数图像上满足函数解析式。 3.求函数值域的方法 （1）基本初等函数的值域 ①一次函数 ②反比例函数 ③二次函数的值域 当时，值域为，当时，值域为 ④指数函数的值域为 ⑤对数函数的值域为R ⑥正弦函数、余弦函数的值域为： 正弦函数型函数的值域为： 正切函数的值域为R （2）利用函数的单调性 （3）利用函数的最值 （4）利用不等式的性质 （5）利用函数的变换 （三）对应法则：自变量x与因变量y之间的对应关系，称为函数的对应法则，用f表示，对应法则可能形式上不一样。 （四）同一函数 同一函数即同一个函数，两个函数的定义域、对应法则分别相同，则两个函数是同一函数。 二、函数的表示 （一）函数的三种表示方法 1.解析法 （1）定义：用一个等式来表示自变量x和因变量y的关系，这种表示函数的方法叫解析法，这个等式叫函数的解析式。 （2）优点：x与y的关系很明确。 2.列表法 （1）定义：用一个表格来表示自变量x和因变量y的关系，这种表示函数的方法叫列表法。 （2）优点：对于每一个确定的x的值，能方便地找到与它对应的函数值y。 3.图象法 （1）定义：用图象来表示自变量x和因变量y的关系，这种表示函数的方法叫图像法。 （2）优点：直观地观察出函数的变化趋势。 （二）三种方法之间的相互转化 1.已知函数的解析式，作函数的图像。 2.已知函数的图像，求函数的解析式。 三、函数的性质 （一）单调性 1.定义 （1）函数在某个区间上是增函数或减函数的这种性质，叫函数的单调性。 （2）增函数定义：如果在给定的区间上，自变量增大时，函数值也随着增大（或者自变量减小时，函数值也随着减小），这时称函数在这个区间上是增函数。 这个给定的区间，叫单调递增区间。 （3）减函数定义：如果在给定的区间上，自变量增大时，函数值反而随着减小（或者自变量减小时，函数值也随着增大），这时称函数在这个区间上是减函数。 这个给定的区间，叫单调递减区间。 2.判断函数单调性的方法 （1）定义法 在给定区间内任意取两个值，若，则称函数在这个区间上是增函数。 在给定区间内任意取两个值，若，则称函数在这个区间上是减函数。 （2）图象法 在给定区间上，从左到右，若图象一直上升，则函数在这个区间上是增函数； 在给定区间上，从左到右，若图象一直下降，则函数在这个区间上是减函数。 3.函数单调性的性质 （1）定义性质 若函数在某个区间上是增函数，则自变量增大时，函数值也随着增大； 若函数在某个区间上是减函数，则自变量增大时，函数值反而减小。 （2）图象性质 若函数在某个区间上是增函数，则在这个区间上，从左到右，若图象一直上升； 若函数在某个区间上是减函数，则在这个区间上，从左到右，若图象一直下降。 4.单调性的应用 （1）比较大小； （2）解不等式。 （二）奇偶性 1.定义 （1）一个函数是奇函数或偶函数的这种性质，叫函数的奇偶性。 （2）奇函数的定义：如果对于函数的定义域A内的任意一个值，都有，则这个函数叫奇函数。 （3）偶函数的定义：如果对于函数的定义域A内的任意一个值，都有，则这个函数叫偶函数。 2.函数奇偶性的判断方法 （1）定义法 若①定义域关于原点对称； ②对定义域A内的任意一个值，都有， 则函数为奇函数。 若①定义域关于原点对称； ②对定义域A内的任意一个值，都有， 则函数为偶函数。 （2）图象法 若图像关于原点对称，则为奇函数；若图像关于y轴对称，则为偶函数。 3.函数奇偶性的性质 （1）定义性质 若函数为奇函数， 则①定义域关于原点对称； ②对定义域A内的任意一个值，都有； 若函数为偶函数， 则①定义域关于原点对称； ②对定义域A内的任意一个值，都有。 （2）图象性质 奇函数图像关于原点对称。 偶函数图像关于y轴对称。 （3）符号性质 若奇函数的定义域内有0，则 若函数为奇函数，则f(x)与f(-x)互为相反数，即 四、基本初等函数 （一）一次函数 1.概念 形如 的函数叫一次函数。 当，叫正比例函数。 2.图象：一次函数的图像是一条直线。 做一次函数图像的方法：两点法。 3.性质 （1）过点和点。 （2）当时，一次函数是增函数；当时，一次函数是减函数。 （二）二次函数 1.概念 形如 的函数叫二次函数，它的定义域是R。 其中a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项。 2.二次函数的形式 （1）顶点式 以为顶点的函数的方程是 其中， （2）一般式 3.图象及性质 图象 y x y x 分类标准 开口方向 开口向上 开口向下 开口 变化趋势 越大，开口越小 定义域 R 顶点坐标 对称轴 直线 若，则对称轴为 值域 最值 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 4.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 方程的判别式 1. y 1. x1 x1 x2 1. x 1. y x1(x2) 1. x 1. o 1. y 1. x 1. o 二次函数 一元二次方程 有两个不等实根 x1、 x2 有一个实根 x1= x2 没有实根 一元二次不等式 R 一元二次不等式 R 一元二次不等式 一元二次不等式 5.求二次函数解析式的方法 （1）顶点法：已知顶点坐标时，一般设函数的顶点式方程。 （2）一般方程法：已知函数过某些点时，一般设函数的一般式方程。 （3）方程组法：列方程组来求三个未知数，常见条件。 ①若已知，则满足二次函数的方程。 ②若已知，（t为常数），对定义域内的任意都成立，则二次函数的对称轴为，即。 ③若为偶函数，则。 ④若已知函数的最值为k，则 ⑤已知图像在x轴上截得的线段长为m，如何列方程。 解：设对应的方程的两根为 则 即 即 ⑥递推公式形式求值，列方程。 第 - 1 - 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$中等职业学校数学章知识点总结 编号：03-JC03 第三章 函数知识点初中衔接总结 一、，与的关系 1. 2. 3. 二、韦达定理 设一元二次方程的两个根为，则 两根之和为，即 两根之积为，即 第 - 1 - 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $$中等职业学校数学章知识点总结 编号：03-JC03 第三章 函数知识点总结 【知识结构】 【知识总结】 一、函数的概念 设集合A是一个非空实数集，对A内任意实数，按照某种对应法则f，有唯一确定的实数值y与它对应，则称这种对应关系为集合A上的一个函数， 记作 二、函数的三要素 （一）定义域 1.定义：函数中，自变量x的取值范围叫做函数的定义域。 注：定义域集合，必须写成集合的形式。 2.求函数定义域的方法 ①含有分数时，分母不为零； ②含有零指数或负整数指数幂时，底数不为零； 如：中；中。 ③含有偶次根式时，被开方数大于等于0； 含有奇次根式时，定义域为R； 如：中；中。 ④含有对数时，真数大于0，若底数中含有未知数，底数大于零且不等于1； 如：中；中。 ⑤正弦函数、余弦函数的定义域是R， 正切函数的定义域是 ⑥函数是整式时，定义域一般为R； ⑦表示实际问题中的函数关系时，需满足实际意义。 （二）值域 1.定义：与x对应的因变量y的取值集合叫做函数的值域。 值域中最大的值即为函数的最大值，值域中最小的值即为函数的最小值。 2.的意义 对于函数，当时，与它对应的函数值表示为 性质：点在函数图像上满足函数解析式。 3.求函数值域的方法 （1）基本初等函数的值域 ①一次函数 ②反比例函数 ③二次函数的值域 当时，值域为，当时，值域为 ④指数函数的值域为 ⑤对数函数的值域为R ⑥正弦函数、余弦函数的值域为： 正弦函数型函数的值域为： 正切函数的值域为R （2）利用函数的单调性 （3）利用函数的最值 （4）利用不等式的性质 （5）利用函数的变换 （三）对应法则：自变量x与因变量y之间的对应关系，称为函数的对应法则，用f表示，对应法则可能形式上不一样。 （四）同一函数 同一函数即同一个函数，两个函数的定义域、对应法则分别相同，则两个函数是同一函数。 二、函数的表示 （一）函数的三种表示方法 1.解析法 （1）定义：用一个等式来表示自变量x和因变量y的关系，这种表示函数的方法叫解析法，这个等式叫函数的解析式。 （2）优点：x与y的关系很明确。 2.列表法 （1）定义：用一个表格来表示自变量x和因变量y的关系，这种表示函数的方法叫列表法。 （2）优点：对于每一个确定的x的值，能方便地找到与它对应的函数值y。 3.图象法 （1）定义：用图象来表示自变量x和因变量y的关系，这种表示函数的方法叫图像法。 （2）优点：直观地观察出函数的变化趋势。 （二）三种方法之间的相互转化 1.已知函数的解析式，作函数的图像。 2.已知函数的图像，求函数的解析式。 三、函数的性质 （一）单调性 1.定义 （1）函数在某个区间上是增函数或减函数的这种性质，叫函数的单调性。 （2）增函数定义：如果在给定的区间上，自变量增大时，函数值也随着增大（或者自变量减小时，函数值也随着减小），这时称函数在这个区间上是增函数。 这个给定的区间，叫单调递增区间。 （3）减函数定义：如果在给定的区间上，自变量增大时，函数值反而随着减小（或者自变量减小时，函数值也随着增大），这时称函数在这个区间上是减函数。 这个给定的区间，叫单调递减区间。 2.判断函数单调性的方法 （1）定义法 在给定区间内任意取两个值，若，则称函数在这个区间上是增函数。 在给定区间内任意取两个值，若，则称函数在这个区间上是减函数。 （2）图象法 在给定区间上，从左到右，若图象一直上升，则函数在这个区间上是增函数； 在给定区间上，从左到右，若图象一直下降，则函数在这个区间上是减函数。 3.函数单调性的性质 （1）定义性质 若函数在某个区间上是增函数，则自变量增大时，函数值也随着增大； 若函数在某个区间上是减函数，则自变量增大时，函数值反而减小。 （2）图象性质 若函数在某个区间上是增函数，则在这个区间上，从左到右，若图象一直上升； 若函数在某个区间上是减函数，则在这个区间上，从左到右，若图象一直下降。 4.单调性的应用 （1）比较大小； （2）解不等式。 （二）奇偶性 1.定义 （1）一个函数是奇函数或偶函数的这种性质，叫函数的奇偶性。 （2）奇函数的定义：如果对于函数的定义域A内的任意一个值，都有，则这个函数叫奇函数。 （3）偶函数的定义：如果对于函数的定义域A内的任意一个值，都有，则这个函数叫偶函数。 2.函数奇偶性的判断方法 （1）定义法 若①定义域关于原点对称； ②对定义域A内的任意一个值，都有， 则函数为奇函数。 若①定义域关于原点对称； ②对定义域A内的任意一个值，都有， 则函数为偶函数。 （2）图象法 若图像关于原点对称，则为奇函数；若图像关于y轴对称，则为偶函数。 3.函数奇偶性的性质 （1）定义性质 若函数为奇函数， 则①定义域关于原点对称； ②对定义域A内的任意一个值，都有； 若函数为偶函数， 则①定义域关于原点对称； ②对定义域A内的任意一个值，都有。 （2）图象性质 奇函数图像关于原点对称。 偶函数图像关于y轴对称。 （3）符号性质 若奇函数的定义域内有0，则 若函数为奇函数，则f(x)与f(-x)互为相反数，即 四、基本初等函数 （一）一次函数 1.概念 形如 的函数叫一次函数。 当，叫正比例函数。 2.图象：一次函数的图像是一条直线。 做一次函数图像的方法：两点法。 3.性质 （1）过点和点。 （2）当时，一次函数是增函数；当时，一次函数是减函数。 （二）二次函数 1.概念 形如 的函数叫二次函数，它的定义域是R。 其中a叫二次项系数，b叫一次项系数，c叫常数项。 2.二次函数的形式 （1）顶点式 以为顶点的函数的方程是 其中， （2）一般式 3.图象及性质 图象 y x y x 分类标准 开口方向 开口向上 开口向下 开口 变化趋势 越大，开口越小 定义域 R 顶点坐标 对称轴 直线 若，则对称轴为 值域 最值 单调性 在上是减函数； 在上是增函数 在上是增函数； 在上是减函数 4.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 方程的判别式 1. y 1. x1 x1 x2 1. x 1. y x1(x2) 1. x 1. o 1. y 1. x 1. o 二次函数 一元二次方程 有两个不等实根 x1、 x2 有一个实根 x1= x2 没有实根 一元二次不等式 R 一元二次不等式 R 一元二次不等式 一元二次不等式 5.求二次函数解析式的方法 （1）顶点法：已知顶点坐标时，一般设函数的顶点式方程。 （2）一般方程法：已知函数过某些点时，一般设函数的一般式方程。 （3）方程组法：列方程组来求三个未知数，常见条件。 ①若已知，则满足二次函数的方程。 ②若已知，（t为常数），对定义域内的任意都成立，则二次函数的对称轴为，即。 ③若为偶函数，则。 ④若已知函数的最值为k，则 ⑤已知图像在x轴上截得的线段长为m，如何列方程。 解：设对应的方程的两根为 则 即 即 ⑥递推公式形式求值，列方程。 第 - 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