第二章 四边形（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（湘教版）

第二章 四边形（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）（24-25九年级上·安徽安庆·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．B．C． D． 2．（本题3分）（24-25八年级上·四川广安·期末）如图，从纸片中剪去，得到四边形，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）（24-25九年级上·广东梅州·期中）如果、、、是四边形四条边的中点，要使四边形是菱形，那么四边形应具备的条件是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等且互相平分 C．一组对边平行而另一组对边不平行 D．对角线相等 4．（本题3分）（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形是菱形，于点，则的长是（  ） A． B．6 C． D．12 5．（本题3分）（24-25九年级上·四川雅安·期中）下列说法错误的是（ ） A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．矩形的对角线相等 D．顺次连接平行四边形各边的中点，得到的图形是菱形 6．（本题3分）（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．（本题3分）（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）菱形的对角线相交于点O，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线交于点M，连接，若，则的长为（    ） A．2 B．1 C． D． 8．（本题3分）（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 9．（本题3分）（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形…，记菱形的面积为，四边形的面积为…．若，则第个图形的面积的值为（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）（24-25九年级上·江西赣州·期末）正方形中，将沿折叠，使得点在上为点，折痕为，连接、，给出下列结论：（）；（）；（）；（）四边形为菱形；（）若，则正方形的面积为．其中正确的结论是（    ） A．（）（） B．（）（）（） C．（）（）（） D．（）（）（） 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，要测量池塘两岸相对的，两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点，，测得米，则的长是 米．    12．（本题3分）（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，矩形的对角线相交于点O，若，，则的周长是 cm． 13．（本题3分）（24-25八年级上·陕西延安·期末）将一个正五边形与一个正八边形按如图所示的方式放置，顶点A，B，C，D在同一条直线上，E为公共顶点，则的度数是 ． 14．（本题3分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，D，E，F分别是的中点．若，则 ． 15．（本题3分）（浙江省台州市2024—-2025学年九年级上学期期末数学卷）如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 16．（本题3分）（24-25九年级上·重庆綦江·期末）如图，正方形，，点为边边上的一点，，连接，把绕点顺时针旋转，得到△，连接，则的长为 ． 17．（本题3分）（24-25八年级上·江苏镇江·期中）把一张矩形纸片（矩形）按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，．则重叠部分的周长为 ． 18．（本题3分）（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则 ． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，于点，于点，求证：． 20．（本题6分）（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，． (1)求证：； (2)求的度数． 21．（本题8分）（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，点O是内一点，连接，并将的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 22．（本题8分）（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，矩形中，对角线、交于点，点、分别在边和上，在线段上，连接、，交于点． (1)求证：； (2)若是的中点，且，判断四边形的形状，并说明理由． 23．（本题9分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)①当______时，四边形是菱形； ②当______时，四边形是矩形，请说明理由． 24．（本题9分）（24-25九年级上·四川达州·期末）如图1，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点H．      (1)判断，的位置与数量关系？并说明理由 (2)若，，求的长． (3)如图2，正方形绕点逆时针旋转，连结、，与的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出与的面积之差；若变化，请说明理由． 25．（本题10分）（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在四边形中，，，，E为边上一点（），，连接，将绕点D顺时针旋转得到，连接． (1)当点C，D，F在同一条直线上时，求证：四边形是正方形； (2)求证：； (3)若，求的值． 26．（本题10分）（24-25九年级上·宁夏银川·期末）小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形，，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【概念理解】 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． 【性质探究】 通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空． 性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系 如图1，，由勾股定理可知， 中，，中，， 同理，， 则， 即_________． 性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系 _________． 【问题解决】 （1）如图1，若，，则_________．若，，则四边形的面积_________； （2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用含a的代数式表示_________； （3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接．求证：四边形为垂美四边形． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 四边形（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）（24-25九年级上·安徽安庆·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故A符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 2．（本题3分）（24-25八年级上·四川广安·期末）如图，从纸片中剪去，得到四边形，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了多边形内角和，三角形内角和．根据四边形内角和求出，再根据三角形内角和求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 3．（本题3分）（24-25九年级上·广东梅州·期中）如果、、、是四边形四条边的中点，要使四边形是菱形，那么四边形应具备的条件是（   ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等且互相平分 C．一组对边平行而另一组对边不平行 D．对角线相等 【答案】D 【分析】此题主要考查了三角形中位线的性质以及菱形的判定方法，由四边形中，分别是四条边的中点，要使四边形为菱形，则，根据中位线定理，，故要使，则需，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵四边形中，分别是四条边的中点，要使四边形为菱形， ∴， ∵，， ∴要使， ∴， ∴四边形应具备的条件是， 故选：． 4．（本题3分）（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，四边形是菱形，于点，则的长是（  ） A． B．6 C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，菱形的性质，根据勾股定理求得，进而得出，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， 在中，， ∴， ∵菱形的面积为， ∴， 故选：C． 5．（本题3分）（24-25九年级上·四川雅安·期中）下列说法错误的是（ ） A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形 C．矩形的对角线相等 D．顺次连接平行四边形各边的中点，得到的图形是菱形 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的判定、正方形的判定、矩形的性质，掌握相关的性质定理和判定定理是解本题的关键． 根据菱形的判定、正方形的判定、矩形的性质进行判断即可． 【详解】A．根据正方形的判定，对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项正确； B．根据菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误； C．根据矩形的性质，矩形的对角线相等，故选项正确； D．顺次连接平行四边形各边的中点，得到的图形是菱形，故选项正确． 故选：B． 6．（本题3分）（24-25九年级上·四川遂宁·期末）如图，是的中位线，的平分线交于点，连接并延长交于，若，则的长为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，根据中位线性质求出，，根据等腰三角形的性质与判定求出，再求出的长，最后可得答案． 【详解】解：∵是的中位线， ∴，， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．（本题3分）（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）菱形的对角线相交于点O，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线交于点M，连接，若，则的长为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，线段的垂直平分线，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明是等边三角形，求出即可． 【详解】解：四边形是菱形， 是等边三角形， 由作图可知， 故选：A． 8．（本题3分）（23-24九年级上·辽宁丹东·阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，E，F分别是，上的动点，M，N分别是，的中点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】首先证明出是的中位线，得出，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点和点重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， ，分别是，的中点， 是的中位线， ， 四边形是正方形，， ， 当最大时，最大，此时最大， 点是上的动点， 当点和点重合时，最大，即的长度， 此时， ， 的最大值为． 故选B． 9．（本题3分）（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，顺次连接菱形各边的中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边的中点，得到四边形…，记菱形的面积为，四边形的面积为…．若，则第个图形的面积的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的规律，找到连接矩形、菱形中点则形成新四边形的面积为原四边形面积的一半是解题的关键． 连接，菱形的面积为，得到矩形的面积为，菱形的面积为，故新四边形是原四边形的面积的一半，据此即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 菱形的面积为， 顺次连接菱形四边的中点得到矩形，则矩形的面积为 ， 顺次连接矩形四边的中点得菱形，则菱形的面积为 …… 故新四边形是原四边形的面积的一半 则四边形的面积为菱形面积的 四边形的面积为， 故选：D． 10．（本题3分）（24-25九年级上·江西赣州·期末）正方形中，将沿折叠，使得点在上为点，折痕为，连接、，给出下列结论：（）；（）；（）；（）四边形为菱形；（）若，则正方形的面积为．其中正确的结论是（    ） A．（）（） B．（）（）（） C．（）（）（） D．（）（）（） 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质，根据正方形的性质，折叠的性质，等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，故（）正确； 由折叠的性质可得：，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵与不一定相等， ∴，故（）错误； ∵平分， ∴点到的距离相等， 设点到的距离为， ∴，， ∵， ∴，故（）错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形，故（）正确； ∵， ∴， ∴， ∴设，则， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的面积为，故（）正确； 故选：． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，要测量池塘两岸相对的，两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点，，测得米，则的长是 米．    【答案】120 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质， 根据题意可知是的中位线，再根据三角形中位线的性质得出，进而得出答案即可． 【详解】解：∵点D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴． 故答案为：120． 12．（本题3分）（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，矩形的对角线相交于点O，若，，则的周长是 cm． 【答案】16 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．由矩形的性质可得，，，，由勾股定理可求，进一步计算即可求的周长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，． ∵，， ∴， ∴， ∴的周长． 故答案为：16． 13．（本题3分）（24-25八年级上·陕西延安·期末）将一个正五边形与一个正八边形按如图所示的方式放置，顶点A，B，C，D在同一条直线上，E为公共顶点，则的度数是 ． 【答案】/117度 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和定理，周角为等知识点，根据多边形的内角和定理分别算出正多边形的每个内角、再根据周角为即可求解，熟练掌握正多边形的内角和定理是解决此题的关键． 【详解】解：由题意知，,, , 故答案为：． 14．（本题3分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，D，E，F分别是的中点．若，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、三角形中位线的性质等知识点，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形中位线的性质即可解答． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∵E，F分别是的中点， ∴． 故答案为2． 15．（本题3分）（浙江省台州市2024—-2025学年九年级上学期期末数学卷）如图，在中，，，，将绕点按顺时针旋转得到，连接，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点作于点，交于点，连接，则，根据含30度角的直角三角形的性质勾股定理求得，根据旋转的性质得出，， ，进而证明四边形、是菱形，是等边三角形，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，连接，则 在中，，，， ∴，则 ∴ ∵在中，，，将绕点按顺时针旋转得到 ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形，则， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形，则， 又∵， ∴是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴ 故答案为：． 16．（本题3分）（24-25九年级上·重庆綦江·期末）如图，正方形，，点为边边上的一点，，连接，把绕点顺时针旋转，得到△，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据正方形的性质可得，，由勾股定理求得，再由旋转的性质可得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：正方形中，， ，， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 绕点顺时针旋转，得到， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 故答案为：． 17．（本题3分）（24-25八年级上·江苏镇江·期中）把一张矩形纸片（矩形）按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若，．则重叠部分的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查矩形的折叠问题，矩形的性质与勾股定理；根据折叠的性质，和勾股定理求出，进而求出的面积即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵折叠， ∴， 设：，则：， 在中：， 即：，解得：， 即：， ∵ ∴ ∵折叠， ∴ ∴ ∴ 如图所示，过点作于点， 又∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ 在中， ∴重叠部分的周长为 故答案为：． 18．（本题3分）（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，菱形的对角线、相交于点，作交的延长线于点，连接，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，由菱形的面积可得，进而由菱形的性质和勾股定理可得，得到，即得，最后根据直角三角形的性质即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图，在中，于点，于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质证明三角形全等是解题的关键． 根据平行四边形的性质可得，由此可证 ，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】证明： 四边形 是平行四边形， ， ， 于点 于点 ． ， 在 和 中， ， ， ． 20．（本题6分）（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，在正方形的外侧，作等边三角形，连接，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定，等边对等角．掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据正方形的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，，，可得，最后利用全等三角形的判定即可得证； （2）先证为等腰三角形，由根据等边对等角即可解答． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴ （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 21．（本题8分）（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，点O是内一点，连接，并将的中点D，E，F，H依次连接，得到四边形． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长是． 【分析】此题重点考查三角形中位线定理、平行四边形的判定、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）由D，E，F，H分别是的中点，根据三角形中位线定理得，且，即可证明四边形是平行四边形； （2）作于点G，因为，利用等腰三角形的性质，直角三角形的性质结合勾股定理求得，，再根据三角形中位线定理求得即可． 【详解】（1）证明：∵D，E，F，H分别是的中点， ∴，且，，且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：作于点G，则， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴的长是． 22．（本题8分）（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，矩形中，对角线、交于点，点、分别在边和上，在线段上，连接、，交于点． (1)求证：； (2)若是的中点，且，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】（）利用矩形的性质可证，得到，进而证明即可求证； （）由得，即可得四边形是平行四边形，再证明为等边三角形，得到，即得，再根据三线合一可得，即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由（）得，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是菱形． 23．（本题9分）（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在中，，点G是的中点，点E是边上的动点，的延长线与的延长线交于点F，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)①当______时，四边形是菱形； ②当______时，四边形是矩形，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)3.5 【分析】（1）由平行四边形的性质先证明，进而证明，得到，再由，即可证明四边形是平行四边形； （2）①根据平行四边形的性质可得，因此只需要保证是等边三角形，即可证明，从而证明平行四边形是菱形，据此求解即可； ②当时，平行四边形是矩形，过A作于M，可证明，得到，即可证明平行四边形是矩形． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：①当时，四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， 故答案为：2； ②当时，平行四边形是矩形，理由如下： 如图，过A作于M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和△中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形， 故答案为：3.5． 24．（本题9分）（24-25九年级上·四川达州·期末）如图1，点G是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段和相交于点H．      (1)判断，的位置与数量关系？并说明理由 (2)若，，求的长． (3)如图2，正方形绕点逆时针旋转，连结、，与的面积之差是否会发生变化？若不变，请求出与的面积之差；若变化，请说明理由． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) (3)与的面积之差不变，其值为0 【分析】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、二次根式的化简等知识，熟练掌握正方形的性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，从而可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后设交于点，根据对顶角相等、三角形的内角和定理可得，由此即可得； （2）连接，与交于点，先根据正方形的性质和勾股定理可得，，从而可得，再在中，利用勾股定理求出的长，由此即可得； （3）过点作于点，过点作的垂线，交延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，设交于点，    ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，连接，与交于点，    ∵四边形是正方形，， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 由（1）已证：， ∴． （3）解：如图，过点作于点，过点作的垂线，交延长线于点，    ∴， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 所以与的面积之差不变，其值为0． 25．（本题10分）（24-25九年级上·甘肃张掖·期末）如图，在四边形中，，，，E为边上一点（），，连接，将绕点D顺时针旋转得到，连接． (1)当点C，D，F在同一条直线上时，求证：四边形是正方形； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由旋转得，再证明四边形是平行四边形，再由，证明四条边相等，再由，，得出是正方形。 （2）连接交于点O，过点D作交AF的延长线于点G，先证（ASA），得出，，再进而证明四边形是平行四边形，得出，即可证明。 （3）作于点，根据已知条件证明四边形是矩形，得出。设，，根据已知关系表示出相关线段长度，在和中分别用勾股定理建立方程，求解方程得出a与b的关系，进而求出要求的值。 【详解】（1）由旋转，得，． ∵，点C，D，F在同一条直线上， ∴，． ∵， ∴，． ∴． ∴．             ∴四边形是平行四边形． ∵，， ∴四边形是正方形． （2）连接交于点O，过点D作交AF的延长线于点G， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∴． （3）作于点H， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）（2）知，，，， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴，，， 在中，由勾股定理得， ∴， 整理得，， 解得或（不合题意，舍去）， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， 解得（舍去）， ∴． 26．（本题10分）（24-25九年级上·宁夏银川·期末）小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形，，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【概念理解】 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． 【性质探究】 通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空． 性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系 如图1，，由勾股定理可知， 中，，中，， 同理，， 则， 即_________． 性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系 _________． 【问题解决】 （1）如图1，若，，则_________．若，，则四边形的面积_________； （2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用含a的代数式表示_________； （3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接．求证：四边形为垂美四边形． 【答案】【概念理解】菱形，正方形；【性质探究】，；【问题解决】（1）13，40；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题考查勾股定理，四边形面积求解，全等三角形判定及性质，正方形性质等． 根据题意可得为菱形和正方形； 根据题意可得和； （1）根据题意可得，； （2）先证明四边形为垂美四边形，继而得到，即可得到本题答案； （3）连接，设与交于点，与交于点，先证明和△全等，继而利用全等性质得到本题答案． 【详解】解：【概念理解】根据题意可得为菱形和正方形， 故答案为：菱形，正方形； 【性质探究】根据题意可得： ∴， ∴， 故答案为：，； 【问题解决】（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：13，40； （2）∵，是的中线， ∴，， ∵， ∴四边形为垂美四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，整理得：， 故答案为：； （3）证明：连接，设与交于点，与交于点， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和△中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形； 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$