专题9.4 中心对称与中心对称图形（5大知识点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.4 中心对称与中心对称图形（5大知识点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点. 【知识点2】中心对称的基本性质 1.中心对称的两个图形是全等图形. 2.中心对称的两个图形，对称点所连接线段都经过对称中心，而且被对称中心平分. 3.中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等. 【知识点3】作已知图形成中心对称图形的一般步骤 1.连接原图形上的所有关键点与对称中心； 2.再将以上连接延长找对称点，使得关键点与其对称点到对称中心的距离相等； 3.江对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出余原图形成中心对称的图形. 【知识点4】中心对称图形 1.把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 2.中心对称图形的性质： （1）中心对称图形上的对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，经过对称中心的直线与中心对称图形的两个对应角电视对称点. （2）过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分的面积和周长都分别相等. 【知识点5】关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，那么它们的坐标符号相反，即点p（x，y）关于原点的对称点的坐标为（-x，-y）. 知识点与题型目录 【题型1】图形变换的识别.......................................................2 【题型2】判断中心对称图形的对称中心...........................................2 【题型3】求关于原点对称的点的坐标.............................................3 【题型4】已知两点关于原点对称求参数...........................................4 【题型5】根据中心对称的性质求面积、长度、角度.................................4 【题型6】中心对称图形规律问题.................................................5 【题型7】画中心对称图形.......................................................6 【题型8】说出一个图形到另一个图形的运动过程...................................7 【题型9】直通中考.............................................................7 【题型10】拓展延伸............................................................8 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】图形变换的识别 【例1】（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，一块等腰直角三角板，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到的位置（A，C，三点共线）． （1）直接写出旋转角的度数； （2）连接，，它们相交于点M，求证：点A与关于点M成中心对称． 【变式1】（24-25九年级上·天津河西·期末）在下列与中国科技相关的一些标志中，可以看作是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，是由经过某种变换得到的图形，则 （选填“”“”或“”）；如果中任意一点M的坐标为，那么它的对应点N的坐标为 ． 【题型2】判断中心对称图形的对称中心 【例2】（2023·山东青岛·模拟预测）如图，把 经过一定的变换得到 ，如果上的点P 的坐标为，那么它的对应点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·山东临沂·期中）平面直角坐标系中，已知点，则点关于原点的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级·浙江宁波·自主招生）函数，关于M中心对称，则M的坐标为 ． 【题型3】求关于原点对称的点的坐标 【例3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是 ． 【变式1】（23-24九年级上·甘肃陇南·期末）已知点关于原点的对称点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点，点，点，点，为四边形边上一点．对于点给出如下定义：若，，点在x轴下方，点关于原点的对称点为Q，我们称点Q为点P关于点M为直角顶点的“变换点”；则P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为 ；若直线（）上存在点P关于点M为直角顶点的“变换点”，则k的取值范围为 ． 【题型4】已知两点关于原点对称求参数 【例4】（23-24八年级下·四川绵阳·期末）已知一次函数的图象沿着x轴或y轴平移m个单位长度得到的图象与原图象关于原点对称，则m的值为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，直线（m为常数）与x轴交于点A，将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点．若点与A关于原点O对称，则m的值为（    ） A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6 【变式2】（23-24九年级上·山东日照·期中）已知点与点关于原点成中心对称，则 ． 【题型5】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【例5】（23-24九年级上·吉林·期中）如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为 ． 【题型6】中心对称图形规律问题 【例6】（22-23八年级上·河北保定·期末）已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ． 【变式2】（22-23八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，与关于点成中心对称，，，，则 ．    【题型7】画中心对称图形 【例7】（24-25九年级上·安徽淮北·期末）在如图所示的网格中画图． （1）画出关于原点O对称的中心对称图形． （2）将绕点A按顺时针方向旋转后得到，画出． 【变式1】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，与关于点O成中心对称，与的顶点均在格点上． （1）请在图中直接画出点O； （2）将绕点C顺时针旋转得到，请画出． 【变式2】（24-25九年级上·吉林·期末）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点． （1）在图①，图②中，以4个标注点为顶点，各画一个中心对称图形．（两个中心对称图形不全等） （2）图①中所画的中心对称图形的面积为__________． 【题型8】说出一个图形到另一个图形的运动过程 【例8】（2020·陕西·一模）直线l1：y＝﹣x＋1与直线l2关于点（1，0）成中心对称，下列说法不正确的是（　　） A．将l1向下平移1个单位得到l2 B．将l1向左平移1个单位得到l2 C．将l1向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到l2 D．将l1向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到l2 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）以如图（1）（以为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有 （只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）． ①只要向右平移1个单位； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位； ③先绕着点旋转，再向右平移一个单位； ④绕着的中点旋转即可． 【变式2】（2021九年级上·全国·专题练习）如图，将AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？ 第二部分【链接中考与延伸拓展】 【题型9】直通中考 【例1】．（2015·江西·中考真题）如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A, D1 ,D三点的坐标分别是（0,4），（0，3），（0，2）. （1）对称中心的坐标； （2）写出顶点B, C, B1 , C1的坐标. 【例2】（19-20八年级下·福建宁德·期末）如图，直线：与y轴交于点A，与直线：交于点B，直线与y轴交于点C，点在射线上，过点P作直线轴，垂足为E，直线交直线于点Q． （1）求点B的坐标及线段的长； （2）当点P在线段的延长线上，且线段与关于点B成中心对称时，求点P 的坐标； （3）当时，求m的取值范围． 【题型10】拓展延伸 【例1】（22-23九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，，，则点的坐标为 ．    【例2】（22-23八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称，……．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是 ．    1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.4 中心对称与中心对称图形（5大知识点10类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】中心对称图形 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点. 【知识点2】中心对称的基本性质 1.中心对称的两个图形是全等图形. 2.中心对称的两个图形，对称点所连接线段都经过对称中心，而且被对称中心平分. 3.中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等. 【知识点3】作已知图形成中心对称图形的一般步骤 1.连接原图形上的所有关键点与对称中心； 2.再将以上连接延长找对称点，使得关键点与其对称点到对称中心的距离相等； 3.江对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出余原图形成中心对称的图形. 【知识点4】中心对称图形 1.把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形称为中心对称图形，这个点就是它的对称中心. 2.中心对称图形的性质： （1）中心对称图形上的对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分，经过对称中心的直线与中心对称图形的两个对应角电视对称点. （2）过对称中心的直线把中心对称图形分成的两部分的面积和周长都分别相等. 【知识点5】关于原点对称的点的坐标 在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，那么它们的坐标符号相反，即点p（x，y）关于原点的对称点的坐标为（-x，-y）. 知识点与题型目录 【题型1】图形变换的识别.......................................................2 【题型2】判断中心对称图形的对称中心...........................................4 【题型3】求关于原点对称的点的坐标.............................................6 【题型4】已知两点关于原点对称求参数..........................................10 【题型5】根据中心对称的性质求面积、长度、角度................................12 【题型6】中心对称图形规律问题................................................13 【题型7】画中心对称图形......................................................15 【题型8】说出一个图形到另一个图形的运动过程..................................18 【题型9】直通中考............................................................20 【题型10】拓展延伸...........................................................23 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】图形变换的识别 【例1】（24-25九年级上·江西南昌·期中）如图，一块等腰直角三角板，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到的位置（A，C，三点共线）． （1）直接写出旋转角的度数； （2）连接，，它们相交于点M，求证：点A与关于点M成中心对称． 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题考查旋转的性质，中心对称的判定，全等三角形的判定与性质． （1）旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等，根据题意旋转角； （2）分别过点A，作的垂线，垂足分别为P和Q，先证明，得到，再证明得到即可说明点A与关于点M成中心对称． 解：（1）解：根据旋转的性质可知，，那么旋转角度的大小为； （2）证明：如图，分别过点A，作的垂线，垂足分别为P和Q． ， ， ，， ， ， ， 又∵， ， ． 又∵， ， ． ∴点A与关于点M成中心对称． 【变式1】（24-25九年级上·天津河西·期末）在下列与中国科技相关的一些标志中，可以看作是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 【变式2】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，是由经过某种变换得到的图形，则 （选填“”“”或“”）；如果中任意一点M的坐标为，那么它的对应点N的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何变换的类型，根据中心对称的性质即可写出点坐标；熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 解：由图形知与中心对称， ∴， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为， 故答案为：，． 【题型2】判断中心对称图形的对称中心 【例2】（2023·山东青岛·模拟预测）如图，把 经过一定的变换得到 ，如果上的点P 的坐标为，那么它的对应点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转中心坐标的计算，解题的关键是掌握中点坐标的计算方法；根据题意可知旋转中心坐标为，再根据中点坐标公式的计算方法求解即可． 解：由图可知，与关于成中心对称，设， ， 解得， ． 故选：C． 【变式1】（24-25九年级上·山东临沂·期中）平面直角坐标系中，已知点，则点关于原点的对称点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标系中关于原点对称的点的坐标关系．关于原点的对称点的坐标特点：横、纵坐标都互为相反数，据此进行求解即可得到答案． 解： 点关于原点的对称点的坐标为， 故选：A． 【变式2】（22-23九年级·浙江宁波·自主招生）函数，关于M中心对称，则M的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，将函数变形为，根据函数的特点求出，找出与的关系即可． 解：设， ∴ 即， ∴， ， ∴， 即， ∴关于成中心对称， ∴点M的坐标为． 故答案为： 【点拨】本题主要考查成中心对称的函数的对称中心，要求某个函数的对称中心，只要看函数否满足．掌握证明函数图象关于某点中心对称的证明方法即可． 【题型3】求关于原点对称的点的坐标 【例3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在单位长度为1的平面直角坐标系网格中，与的顶点都在格点上，且与关于点E成中心对称，则对称中心点E的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，正确理解中心对称图形的性质是解题的关键．根据中心对称图形中，对应点连线被对称中心平分，即得答案． 解：如图，连接，，相交于点E，点E即为对称中心， 则对称中心点E的坐标是． 故答案为：． 【变式1】（23-24九年级上·甘肃陇南·期末）已知点关于原点的对称点在第一象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中，各象限内点的坐标的符号的确定方法，以及关于原点对称的两点坐标之间的关系以及一元一次不等式组的解法．先确定出点M在第三象限，然后根据第三象限内点的坐标特征列出不等式组，然后求解得到m的取值范围，从而得解． 解：∵点关于原点的对称点在第一象限， ∴点在第三象限， ∴， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 在数轴上表示如下： ． 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，点，点，点，点，为四边形边上一点．对于点给出如下定义：若，，点在x轴下方，点关于原点的对称点为Q，我们称点Q为点P关于点M为直角顶点的“变换点”；则P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为 ；若直线（）上存在点P关于点M为直角顶点的“变换点”，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据定义即可求出P关于点B为直角顶点的“变换点”R坐标，求得P关于点A为直角顶点的“变换点”坐标为，同理，点P关于点D为直角顶点的“变换点”坐标为，点P关于点C为直角顶点的“变换点”坐标为，点关于点为直角顶点的“变换点”的轨迹为正方形，可求直线经过定点，使直线与正方形的边有交点，即可求解． 解：如图，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，关于原点对称， ∴， ∴P关于点B为直角顶点的“变换点”坐标为； 如图，，，过点作轴于点， ， ， ， ， ∴， 在和中 ， （）， ，， ， ， 点关于原点的对称点为， ，即：P关于点A为直角顶点的“变换点”坐标为， 同理，点P关于点D为直角顶点的“变换点”坐标为， 点P关于点C为直角顶点的“变换点”坐标为， 如图，点关于点为直角顶点的“变换点”的轨迹为正方形， 直线上存在点关于点为直角顶点的“变换点”， 直线与正方形的边有交点， 当时，， 解得：， 直线经过定点， （ⅰ）当直线经过时， ， 解得：； （ⅱ）当直线经过时， ， 解得：； 综上所述：． 故答案为：，． 【点拨】本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义，解题的关键是读懂题意，理解点P关于点M的直角顶点“变换点”的定义． 【题型4】已知两点关于原点对称求参数 【例4】（23-24八年级下·四川绵阳·期末）已知一次函数的图象沿着x轴或y轴平移m个单位长度得到的图象与原图象关于原点对称，则m的值为（　　） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移，先在直线上任意取一点，然后根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数求出这点的对应点的坐标，然后代入平移后函数解析式计算即可求出m值． 解：∵一次函数的图象经过一三四象限， ∴一次函数的图象y轴向上平移m个单位得到的图象与原图象关于原点对称， ∴平移后的函数的解析式为， ∵直线经过点，该点关于原点的对称点为， 将代入，得， 解得， 即平移后解析式为， 可以化为：， 所以一次函数的图象y轴向上平移4个单位得到的图象与原图象关于原点对称， 或一次函数的图象x轴向左平移4个单位得到的图象与原图象关于原点对称， 故选：D． 【变式1】（23-24八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，直线（m为常数）与x轴交于点A，将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点．若点与A关于原点O对称，则m的值为（    ） A．﹣3 B．3 C．﹣6 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，根据平移的规律求得平移后的直线解析式，然后根据x轴上点的坐标特征求得A、的坐标，由题意可知，解得． 解：∵直线（m为常数）与x轴交于点A， ∴， 将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，得到， ∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后，与x轴交于点， ∴， ∵点与A关于原点O对称， ∴， 解得， 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·山东日照·期中）已知点与点关于原点成中心对称，则 ． 【答案】3 【分析】此题考查了关于原点对称点的性质：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是，解二元一次方程组．直接利用关于原点对称点的性质建立关于a，b的二元一次方程组，解方程组求出a，b的值，代入计算得出答案． 解：点与点关于原点成中心对称， ，即， 解得：， ． 【题型5】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【例5】（23-24九年级上·吉林·期中）如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得出，，根据中心对称的性质得出，，然后利用勾股定理求解即可． 解：∵是等腰三角形的底边的中线，， ∴，， ∵与关于点C中心对称，， ∴，，， ∴， ∴． 故选：D． 【变式1】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和中心对称，关键是熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质． 根据等边三角形的性质，得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理即可得出答案． 解：三角形是等边三角形，为的中点，， ，， ， 与关于点中心对称， ，，，， 在中，根据勾股定理， 得， 故答案为：． 【题型6】中心对称图形规律问题 【例6】（22-23八年级上·河北保定·期末）已知点，点，点是线段的中点，则，．在平面直角坐标系中有三个点，，，点关于点的对称点（即，，三点共线，且），关于点的对称点，关于点的对称点，…按此规律继续以，，三点为对称点重复前面的操作．依次得到点，，…，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用定义依次求出各点，再总结规律即可求解． 解：由题意，，，，，，，， …… 可得每6次为一个循环， ∵， ∴点的坐标是， 故选：A． 【点拨】本题考查了数式规律，解题关键是理解题意并能发现规律． 【变式1】（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A，C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到，……，按照顺序以此类推，则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出四次一个循环，利用规律求解即可． 解：如图，由题意， ∴与P重合，四次一个循环， ∵， ∴与重合， ∴． 故答案为：． 【变式2】（22-23八年级下·辽宁朝阳·期末）如图，与关于点成中心对称，，，，则 ．    【答案】1 【分析】根据中心对称的性质，得出，，再根据勾股定理求出，即可求解． 解：∵与关于点成中心对称，， ∴，， ∵，， ∴根据勾股定理可得：， ∴， 故答案为：1． 【点拨】本题主要考查了中心对称的性质，勾股定理，解题的关键在掌握成中心对称图形的对应边相等，对应角相等，以及勾股定理的内容． 【题型7】画中心对称图形 【例7】（24-25九年级上·安徽淮北·期末）在如图所示的网格中画图． （1）画出关于原点O对称的中心对称图形． （2）将绕点A按顺时针方向旋转后得到，画出． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】本题考查了中心对称作图和旋转作图； （1）作出关于原点O对称的中心对称图形，即可求解； （2）作出绕点A按顺时针方向旋转的图形，即可求解； 掌握作法是解题的关键. 解：（1）解：如图， 为所求作图形； （2）解：如图， 为所求作图形. 【变式1】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，与关于点O成中心对称，与的顶点均在格点上． （1）请在图中直接画出点O； （2）将绕点C顺时针旋转得到，请画出． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查中心对称、旋转作图： （1）连接与的两组对称点，交点即为点O； （2）利用格点找出点A，B绕点C顺时针旋转得到的对应点，顺次连接即可． 解：（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：如图，即为所求． 【变式2】（24-25九年级上·吉林·期末）图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点． （1）在图①，图②中，以4个标注点为顶点，各画一个中心对称图形．（两个中心对称图形不全等） （2）图①中所画的中心对称图形的面积为__________． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查格点作图，中心对称图形的定义． （1）利用格点的性质结合平行四边形是中心对称图形，分别选出能构成平行四边形的4个标注点连线即可； （2）根据图形利用割补法解答即可． 解：（1）解：如图所示为所求： （2）解：图①中所画的中心对称图形的面积为：． 【题型8】说出一个图形到另一个图形的运动过程 【例8】（2020·陕西·一模）直线l1：y＝﹣x＋1与直线l2关于点（1，0）成中心对称，下列说法不正确的是（　　） A．将l1向下平移1个单位得到l2 B．将l1向左平移1个单位得到l2 C．将l1向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到l2 D．将l1向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到l2 【答案】B 【分析】设直线l2的点（x，y），则（2﹣x，﹣y）在直线l1：y＝﹣x＋1上，代入可得直线l2解析式，根据直线l1与直线l2的解析式即可判断． 解：设直线l2的点（x，y），则（2﹣x，﹣y）在直线l1：y＝﹣x＋1上， ∴﹣y＝﹣（2﹣x）＋1， ∴直线l2的解析式为：y＝﹣x， A、将l1向下平移1个单位得到y＝﹣x，故此选项正确； B、将l1向左平移1个单位得到y＝﹣x＋，故此选项错误； C、将l1向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到y＝﹣x，故此选项正确； D、将l1向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到y＝﹣x，故此选项正确； 故选：B． 【点拨】本题考查一次函数图象与几何变换，求得直线l2的解析式是关键． 【变式1】（2024八年级下·全国·专题练习）以如图（1）（以为圆心，半径为1的半圆）作为“基本图形”，分别经历如下变换能得到图（2）的有 （只填序号，多填或错填得0分，少填个酌情给分）． ①只要向右平移1个单位； ②先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位； ③先绕着点旋转，再向右平移一个单位； ④绕着的中点旋转即可． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了几何变换的类型，根据轴对称变换，平移变换，旋转变换的定义结合图形解答即可． 解：由图可知，图（1）先以直线为对称轴进行翻折，再向右平移1个单位， 或先绕着点旋转，再向右平移一个单位， 或绕着的中点旋转即可得到图（2）． 故答案为：②③④． 【变式2】（2021九年级上·全国·专题练习）如图，将AOB中各顶点的纵坐标，横坐标分别乘-1，得到的图形与原图形相比有什么变化？作出所得的图形，这个过程可以看作是一个什么图形变换？ 【答案】图形的形状和大小都没有变化；可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的 【分析】把A（2，2），B（4，0）的纵坐标，横坐标分别乘-1得A′（-2，-2），B′（-4，0），可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的． 解：把A（2，2），B（4，0）的纵坐标，横坐标分别乘-1得A′（-2，-2），B′（-4，0），在平面直角坐标系中画出图形，如图所示： 所得的三角形和原三角形大小和形状不变，△A′OB′可以看作是△AOB绕O点按逆时针方向旋转180°得到的． 【点拨】本题考查了坐标与图形变换的知识，体现了数形结合的数学思想． 第二部分【链接中考与延伸拓展】 【题型9】直通中考 【例1】．（2015·江西·中考真题）如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，已知A, D1 ,D三点的坐标分别是（0,4），（0，3），（0，2）. （1）对称中心的坐标； （2）写出顶点B, C, B1 , C1的坐标. 【答案】（0，）；B（－2,4）C（－2，2）（2,1）（2,3）． 试题分析：（1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是D1D的中点，据此解答即可． （2）首先根据A，D的坐标分别是（0，4），（0，2），求出正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长是多少，然后根据A，D1，D三点的坐标分别是（0，4），（0，3），（0，2），判断出顶点B，C，B1，C1的坐标各是多少即可． 解：（1）根据对称中心的性质，可得 对称中心的坐标是D1D的中点， ∵D1，D的坐标分别是（0，3），（0，2）， ∴对称中心的坐标是（0，2.5）． （2）∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2）， ∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是：4﹣2=2， ∴B，C的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2）， ∵A1D1=2，D1的坐标是（0，3）， ∴A1的坐标是（0，1）， ∴B1，C1的坐标分别是（2，1），（2，3）， 综上，可得顶点B，C，B1，C1的坐标分别是（﹣2，4），（﹣2，2），（2，1），（2，3）． 考点：1、中心对称；2、坐标与图形性质 【例2】（19-20八年级下·福建宁德·期末）如图，直线：与y轴交于点A，与直线：交于点B，直线与y轴交于点C，点在射线上，过点P作直线轴，垂足为E，直线交直线于点Q． （1）求点B的坐标及线段的长； （2）当点P在线段的延长线上，且线段与关于点B成中心对称时，求点P 的坐标； （3）当时，求m的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】（1）根据直线上点的坐标特征求得A、C的坐标，即可求得，解析式联立，解方程组即可求得B点的坐标； （2）根据题意得出，即可得到，解得m的值，即可求得P的坐标； （3）根据，借助图象即可得到当时，则，解得；当时，则，解得． 解：（1）在直线中，令，则， ∴， 在直线中，令，则， ∴， ∴， 解得，， ∴； （2）设，则， ∵线段与关于点B成中心对称　 ∴， ∴， 解得， ∴； （3）设，则， 由题意可知，， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得， 综上，m的取值范围是或．    【点拨】本题考查了两条直线相交或平行问题，中心对称的性质，根据题意表示出点的坐标是解题的关键． 【题型10】拓展延伸 【例1】（22-23九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，，，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】过点作，与的延长线交于点，过点作轴于点，过作，与的延长线交于点，先证明，再证明，求得点的坐标，便可根据中心对称性质求得点的坐标． 解：过点作，与的延长线交于点，过点作轴于点，过作，与的延长线交于点， ∴， ∵，点的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∴， 解得， ∴， ， ∵， ∴， ∴点、关于点对称， ∴． 故答案为：．    【点拨】本题考查直角坐标系的特征，等腰直角三角形的判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，点到原点的距离，中心对称性质，关键在于构造直角三角形与全等三角形． 【例2】（22-23八年级下·江苏镇江·期末）如图，在平面直角坐标系中，的坐标分别为，，．一个电动玩具从原点出发，第一次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点成中心对称，……．电动玩具照此规律跳下去，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据中心对称的性质可得、、、、、的坐标，即可找出6个点一循环，从而求出的坐标． 解：的坐标分别为，，，点与点关于点A成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 点与点关于点成中心对称， 的坐标为， 6个点一循环， ， 点的坐标是：， 故答案为：． 【点拨】本题考查了中心对称的性质与规律的综合，熟练掌握中心对称性质以及找出点的循环数是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$