1.3 向量的数乘（5大题型提分练）（题型专练）数学湘教版必修第二册

1.3 向量的数乘 题型一 向量数乘的有关计算 1.已知平面内的两个非零向量，满足，则与（    ） A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反 【答案】D 【知识点】向量数乘的有关计算、平行向量（共线向量）、相等向量 【分析】根据向量的共线及模的关系确定选项即可. 【详解】因为两个非零向量，满足， 所以为共线反向向量，且模不相等， 所以ABC错误，D正确. 故选：D 2.已知，与的方向相反，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量数乘的有关计算 【分析】确定方向和大小关系即可得答案. 【详解】由，得， 又与的方向相反，所以. 故选：C. 3.设点D，E，F分别是的三边BC，CA，AB的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量数乘的有关计算、向量加法法则的几何应用 【分析】利用向量的几何运算求解即可. 【详解】 . 故选：D. 4.已知G是的重心，则 等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量数乘的有关计算、向量加法法则的几何应用、向量加法的法则 【分析】利用向量的加法法则及重心的性质即可求解. 【详解】延长交于，则为的中点，， ， 故选：D 题型二 平面向量的混合运算 1.下列运算正确的个数是（    ） ①； ②； ③. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】向量减法的运算律、平面向量的混合运算 【分析】利用平面向量的线性运算逐个选项分析求解即可. 【详解】根据向量数乘运算和加减运算规律知①②正确； 在③中，，显然该运算错误. 所以运算正确的个数为2. 故选：C 2.如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量减法的法则、向量数乘的有关计算、平面向量的混合运算 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为是的边上的中线， 所以，所以 . 故选：C 3.设是两两不共线的向量，且向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量减法的法则、平面向量的混合运算 【分析】根据向量基底运算法则直接计算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：C 4.（多选）已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【知识点】平面向量的混合运算、向量的线性运算的几何应用、平面向量共线定理证明点共线问题、根据向量关系判断三角形的心 【分析】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断. 【详解】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图，    则四边形是菱形，且． 为的平分线．   ，      即， ． ，，三点共线，即在的平分线上． 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心． 故选：B． 题型三 已知向量共线（平行）求参数 1.已知向量不平行，向量与平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用向量共线定理、平面向量基本定理即可求解. 【详解】因为向量与平行， 所以． 因为向量不平行， 所以解得． 故选：. 2.已知与为非零向量，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、向量数乘的有关计算、向量减法的运算律 【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案. 【详解】由题意知，三点共线，故, 且共线， 故不妨设，则， 所以，解得， 故选：D 3.设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】C 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据因为向量与向量共线，由求解. 【详解】解：因为向量与向量共线， 所以，即， 因为，是两个不共线的向量， 所以，解得 ， 故选：C 4.已知向量，且 与方向相同，则的取值范围是（    ） A．（1，+∞） B．（-1，1） C．（-1，+∞） D．（-∞，1） 【答案】C 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】与同向，用共线基本定理得到关系，表示依据的范围去求. 【详解】因为与同向，所以可设 则有，又因为，， 所以 所以的取值范围是(-1，+∞)， 故选：C. 题型四 向量的线性运算的几何应用 1.设向量，，若与不共线，且点在线段上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据向量线性关系的几何意义得到的线性关系，即可知正确选项. 【详解】由， ∴. 故选：C 2.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，若，，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量加法的法则 【分析】利用圆的性质，结合向量加法的平行四边形法则求解即得. 【详解】连接，由点C，D是半圆弧的三等分点，得垂直平分，且是正三角形， 于是四边形是菱形，所以. 故选：D 3.八卦是中国文化中的哲学概念，图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，给出下列结论： ①；    ②； ③；    ④. 其中正确的结论为（    ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量减法法则的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】根据图形关系，根据向量线性运算的运算法则依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，，①错误； 对于②，由正八边形性质知：，，设， ，为中点，， ，，， 又，，②正确； 对于③，， 由正八边形性质知：且，即， ，又， ，③正确； 对于④，，④正确. 故选：C. 4.（多选）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点是的中点 B．若，则点在边的延长线上 C．若，则点是的重心 D．若，则 【答案】ACD 【知识点】根据向量关系判断三角形的心、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据向量的线性运算结合几何性质逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为，可得， 即，则点是边的中点，故A正确； 对于选项B：因为，可得， 即，则点在边的延长线上，故B错误； 对于选项C：设的中点为，则， 由重心性质可知：点是的重心，故C正确； 对于选项D：因为，则， 整理得，故D正确． 故选：ACD． 题型五 向量数乘的有关计算、向量减法的法则、向量加法的法则 1.在中，点为边的中点．记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量数乘的有关计算、向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】    因为点D为边的中点，所以， . 故选：D. 2.如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则、向量的线性运算的几何应用 【分析】根据条件及图，利用向量的线性运算即可求出结果. 【详解】因为点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点， 如图，， 故选：A. 3.在中，，，是所在平面内一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量减法的法则、平面向量的混合运算、平面向量共线定理的推论 【分析】根据题意，得到，结合，化简得到，即可求解. 【详解】由，可得， 因为，可得， 所以， 又因为，所以. 故选：A. 4.若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为 . 【答案】直角三角形 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量减法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】利用向量的线性运算和向量的中线公式得到，从而得到，进而得到角间的关系，再利用三角形内角和为即可求出结果. 【详解】如图，取中点，因为，所以，即，所以，，所以，又三角形内角和为，所以，所以为直角三角形， 故答案为：直角三角形. 1.下列各式中不表示向量的是（　　） A． B． C． D．，，且 【答案】C 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据题意，依次分析选项是否表示向量，即可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，是向量的数乘运算结果仍为向量； 对于B，，是向量的加法，结果是向量， 对于C，是向量的模，是实数，不是向量； 对于D，向量的数乘运算结果仍为向量； 故选：C． 2.已知方向相同，且，则等于（    ） A．16 B．256 C．8 D．64 【答案】A 【知识点】向量的模、向量数乘的有关计算 【分析】根据向量方向相同，得，进而得到答案. 【详解】因为方向相同，且， 所以， 所以， 故选：A. 3.如图，在平行六面体中，M为与的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、用空间基底表示向量 【分析】利用空间向量基本定理表示出，得到答案. 【详解】. 故选：C 4.下列说法中正确的个数是（　　） ①与的方向不是相同就是相反 ②当且仅当与共线时，与共线 ③若，， ④若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】向量的模、平行向量（共线向量）、平面向量共线定理的推论 【分析】利用共线向量定理及向量共线的性质一一分析即可. 【详解】对于①，若，则，而的方向是不确定的，故①错误； 对于②，当与不共线时，则显然根据向量的加法几何意义得此时与不共线， 当与共线时，若时，则显然与共线， 当时，则当与共线时，则有，若，则，此时与共线， 若，则，此时与共线，反之亦成立，故②正确， 对于③，与的方向不确定，当与不共线时，则题目中结论不成立，故③错误， 对于④，若，则显然，即，故④正确， 综上，②④正确，①③错误， 故选：B. 5.已知是不共线的两个向量，在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的形状是（　　） A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 【答案】C 【知识点】平面向量共线定理证明线平行问题、向量加法的法则 【分析】根据题意可求得，结合与的关系分析判断. 【详解】由题意可得：， 则， 故与共线，且， ∴四边形ABCD是梯形． 故选：C. 6.在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】利用向量的加减法的几何意义将转化为、即可. 【详解】 . 故选：D.    7.如图所示的中，点分别在边上，且，则向量（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】根据题目条件，结合平面向量运算的三角形法则，进行推导即可． 【详解】； ； ，； ； 又； ； 故选：D． 8.已知，且，则点的坐标为 . 【答案】 【知识点】相等向量、向量数乘的有关计算 【分析】利用平面向量的数乘运算与相等向量的定义即可得解. 【详解】依题意，设点，， 则由，得， 即，解得， 所以点的坐标为. 故答案为：. 9.计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】（1）（2）应用向量的运算律化简即可. 【详解】（1）原式． （2）原式. 10.如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【知识点】平面向量共线定理的推论、向量的线性运算的几何应用、向量减法法则的几何应用、向量加法法则的几何应用 【分析】（1）由图中线段的位置及数量关系，用表示出，即可得结果； （2）用表示，得到，根据向量共线的结论即证结论. 【详解】（1）由题图，， . （2）由， 又，所以，故三点共线. 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 向量的数乘 题型一 向量数乘的有关计算 1.已知平面内的两个非零向量，满足，则与（    ） A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反 2.已知，与的方向相反，且，则（   ） A． B． C． D． 3.设点D，E，F分别是的三边BC，CA，AB的中点，则（    ） A． B． C． D． 4.已知G是的重心，则 等于（    ） A． B． C． D． 题型二 平面向量的混合运算 1.下列运算正确的个数是（    ） ①； ②； ③. A．0 B．1 C．2 D．3 2.如图，已知是的边上的中线，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 3.设是两两不共线的向量，且向量，，则（   ） A． B． C． D． 4.（多选）已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 题型三 已知向量共线（平行）求参数 1.已知向量不平行，向量与平行，则（    ） A． B． C． D． 2.已知与为非零向量，，若三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3.设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 4.已知向量，且 与方向相同，则的取值范围是（    ） A．（1，+∞） B．（-1，1） C．（-1，+∞） D．（-∞，1） 题型四 向量的线性运算的几何应用 1.设向量，，若与不共线，且点在线段上，，则（    ） A． B． C． D． 2.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，若，，则＝（    ） A． B． C． D． 3.八卦是中国文化中的哲学概念，图是八卦模型图，其平面图形记为图中的正八边形，其中，给出下列结论： ①；    ②； ③；    ④. 其中正确的结论为（    ） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③ 4.（多选）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（    ） A．若，则点是的中点 B．若，则点在边的延长线上 C．若，则点是的重心 D．若，则 题型五 向量数乘的有关计算、向量减法的法则、向量加法的法则 1.在中，点为边的中点．记，，则（    ） A． B． C． D． 2.如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 3.在中，，，是所在平面内一点，，则等于（    ） A． B． C． D． 4.若点是所在平面内的一点，且满足，则的形状为 . 1.下列各式中不表示向量的是（　　） A． B． C． D．，，且 2.已知方向相同，且，则等于（    ） A．16 B．256 C．8 D．64 3.如图，在平行六面体中，M为与的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量（    ） A． B． C． D． 4.下列说法中正确的个数是（　　） ①与的方向不是相同就是相反 ②当且仅当与共线时，与共线 ③若，， ④若，则 A．1 B．2 C．3 D．4 5.已知是不共线的两个向量，在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的形状是（　　） A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 6.在平行四边形ABCD中，，，G为EF的中点，则（    ）    A． B． C． D． 7.如图所示的中，点分别在边上，且，则向量（    ）    A． B． C． D． 8.已知，且，则点的坐标为 . 9.计算： (1)； (2)． 10.如图，在中，.设. (1)用表示； (2)若为内部一点，且.求证：三点共线. 3 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$