精品解析：山东省菏泽市单县五中职高部2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题

单县五中职教部高二年级2023~2024第二学期开学考试 数学试题 2024年2月 （试卷分为第I卷选择题和第Ⅱ卷填空题､解答题，将答案填涂在答题卡上．考试时间：120分钟，满分120分．） 第I卷 一､选择题（共20小题，每小题3分，共60分，每题只有一个正确选项．） 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知向量，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“与共线”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，下列选项正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 已知向量，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 6. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 7. 若抛物线上一点与焦点间的距离等于6，则点的横坐标等于（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p的值为（ ） A. B. 8 C. D. 4 9. 已知两个定点．若，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 10. 过双曲线的右焦点有一直线，与双曲线的右支交于两点．若，是双曲线的左焦点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 11. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 已知抛物线的焦点为是抛物线上一点．若，则点到轴的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 13. 在正方体中，直线与所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 14. 经过平面外一点作直线平行于平面，可以作（ ） A. 1条 B. 2条 C. 4条 D. 无数条 15. 下列命题正确的是（ ） A. 垂直于同一平面的两个平面垂直 B. 垂直于同一平面的两条直线垂直 C. 垂直于同一平面的两个平面平行 D. 垂直于同一平面的两条直线平行 16. 已知数列，则该数列的第50项为（ ） A. B. 99 C. D. 101 17. 已知正项等比数列中，公比，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 18. 设是公比为的等比数列，且，则（ ） A. B. C. 8 D. 11 19. 等差数列的公差是2，若，，成等比数列，则的前n项和（ ） A. B. C. D. 20. 已知数列既是等差数列又是等比数列，首项，则它的前2020项的和等于（ ） A. B. C. 2020 D. 0 第II卷 二､填空题（共5题，每题4分，共20分．） 21. 已知，则与的夹角的大小是__________． 22. 双曲线的渐近线方程为__________． 23. 已知为平面，若，则与的位置关系为__________． 24. 记为等差数列的前项和，，则__________． 25. 如图，已知是椭圆短轴的一个顶点，分别是椭圆的左，右焦点，，则椭圆的离心率__________． 三､解答题（共5题，每题8分，共40分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 26. 如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是平行四边形ACDE内一点，且，，，试用向量表示向量，，. 27. 已知椭圆的长轴为短轴的倍，并且经过点，求椭圆的标准方程． 28. 如图，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，底面ABCD，E是PC的中点．求证： （1）平面BDE； （2）平面平面BDE． 29. 已知等差数列的前项和为． （1）求的通项公式； （2）求的最小值及此时的值． 30. 已知双曲线的右焦点为，且渐近线方程为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若倾斜角为的直线过点，且与双曲线交于两点，求的面积（为坐标原点）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 单县五中职教部高二年级2023~2024第二学期开学考试 数学试题 2024年2月 （试卷分为第I卷选择题和第Ⅱ卷填空题､解答题，将答案填涂在答题卡上．考试时间：120分钟，满分120分．） 第I卷 一､选择题（共20小题，每小题3分，共60分，每题只有一个正确选项．） 1. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】判断充分性和必要性即可． 【详解】解：“”时，必然有“”，即； 但“”时，和可能互为相反数（如，），不一定相等， ， ∴“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 2. 已知向量，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示可求解. 【详解】由题可得. 故选：A. 3. 已知，则“”是“与共线”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由向量内积可以得到向量的夹角，从而判断向量是否共线. 【详解】由可知，， 所以，所以夹角为，可以得到与共线， 若与共线，则可得到向量夹角为或，所以得不到， 故“”是“共线”的充分不必要条件. 故选:B. 4. 已知向量，下列选项正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行与垂直的关系，求出参数的值即可. 【详解】若，则，解得，故A，B错误， 若，则，解得，故C正确. 故选：C. 5. 已知向量，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示可求解. 【详解】因为向量， 所以， 即. 故选：C 6. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆方程确定的值，再由椭圆的几何性质逐项分析即可. 【详解】已知椭圆中， 即， 则该椭圆长轴长为，短轴长，离心率，焦距为， 椭圆中， ， 即， 则该椭圆长轴长为，短轴长，离心率，焦距为， 所以两个椭圆的焦距相等， 故选：D. 7. 若抛物线上一点与焦点间的距离等于6，则点的横坐标等于（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和性质可求解. 【详解】由抛物线，可得，准线方程为， 设，由题可得 ，解得. 故选：B 8. 已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则实数p的值为（ ） A. B. 8 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线方程求出双曲线的右焦点坐标，再根据抛物线的性质即可得解. 【详解】双曲线，所以双曲线焦点在轴上， 且，则，所以右焦点坐标为， 所以抛物线的焦点为，所以， 故选：. 9. 已知两个定点．若，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆的概念和标准方程，即可求解. 【详解】因为两个定点，且， 且，所以点的轨迹是焦点在x轴上的椭圆， 所以， 所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：A. 10. 过双曲线的右焦点有一直线，与双曲线的右支交于两点．若，是双曲线的左焦点，则的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先将双曲线方程化为标准方程，再得出的值，再由双曲线的定义即可求出的周长. 【详解】由双曲线，得， 所以，则，， ，， 由，可得， 则的周长为： . 故选：C. 11. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆标准方程的结构特点列不等式组可求解. 【详解】由题可得 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 12. 已知抛物线的焦点为是抛物线上一点．若，则点到轴的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义即可解答. 【详解】抛物线的焦点为， 是抛物线上一点，且， 所以到准线的距离为， 且抛物线中，， 所以，即， 所以点到轴的距离为4， 故选：C. 13. 在正方体中，直线与所成的角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，可得直线与所成的角就是与所成的角，据此可求解. 【详解】 如图，在正方体中，， 所以直线与所成的角就是与所成的角，即为所求. 在正方形中，. 所以直线与所成的角的大小为. 故选：B. 14. 经过平面外一点作直线平行于平面，可以作（ ） A. 1条 B. 2条 C. 4条 D. 无数条 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理和性质即可得出结论. 【详解】如图过平面外一点， 作直线平行于， 则由确定的平面为， 因为平面，平面， ，且都在平面内，所以， 则在平面内过点有无数条直线与平面平行. 故选：D. 15. 下列命题正确的是（ ） A. 垂直于同一平面的两个平面垂直 B. 垂直于同一平面的两条直线垂直 C. 垂直于同一平面的两个平面平行 D. 垂直于同一平面的两条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线面位置关系即可解得. 【详解】选项AC：垂直于同一平面的两个平面位置关系可能为平行、垂直或相交，AC错误. 选项BD：根据线面垂直定理，垂直于同一平面的两条直线互相平行，D正确，B错误. 故选：D 16. 已知数列，则该数列的第50项为（ ） A. B. 99 C. D. 101 【答案】A 【解析】 【分析】根据所给数列看出通项公式，再求具体项易得答案. 【详解】因为数列， 所以数列的通项公式， 所以. 故选：A. 17. 已知正项等比数列中，公比，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比中项的性质，结合等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】因为正项等比数列中，公比， 所以，， 所以. 故选：A. 18. 设是公比为的等比数列，且，则（ ） A. B. C. 8 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】先利用通项公式求出，再根据等比数列的求和公式求解. 【详解】由题可得 ，解得， 所以. 故选：B 19. 等差数列的公差是2，若，，成等比数列，则的前n项和（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比中项公式，结合等差数列的通项公式与前项和公式即可求解. 【详解】因为是等差数列，，，，成等比数列， 所以，即， 则，解得， 所以的前n项和. 故选：A. 20. 已知数列既是等差数列又是等比数列，首项，则它的前2020项的和等于（ ） A. B. C. 2020 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得，数列为常数列，据此可判断结果. 【详解】由题可知，数列为常数列，即， 所以它的前2020项的和，故C正确，D错误； 由于数列为常数列，且，则公比，故A错误； 由于数列为常数列，则公差，，故B错误. 故选：C 第II卷 二､填空题（共5题，每题4分，共20分．） 21. 已知，则与的夹角的大小是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式可求解. 【详解】由题可得 ， 因为，所以， 即与的夹角为. 故答案为： 22. 双曲线的渐近线方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由标准方程可得的值，再根据渐近线公式可求解. 【详解】由双曲线，可知，且焦点在轴上， 所以渐近线方程为，即. 故答案为： 23. 已知为平面，若，则与的位置关系为__________． 【答案】平行 【解析】 【分析】根据空间中面面之间的关系结合图形分析即可. 【详解】已知为平面，若， 则与的位置关系为相交或平行， 若，即与不相交， 则与的位置关系为平行， 故答案为：平行. 24. 记为等差数列的前项和，，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式，可得，再利用求和公式可求解. 【详解】设等差数列的公差为，由题可得 ，从而， 所以. 故答案为： 25. 如图，已知是椭圆短轴的一个顶点，分别是椭圆的左，右焦点，，则椭圆的离心率__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出与的长度，利用的余弦值即可求解椭圆的离心率. 【详解】已知是椭圆短轴的一个顶点，且分别是椭圆的左，右焦点， 则，， 且，所以， 则， 所以椭圆的离心率， 故答案为：. 三､解答题（共5题，每题8分，共40分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 26. 如图所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是平行四边形ACDE内一点，且，，，试用向量表示向量，，. 【答案】，， 【解析】 【分析】根据向量加法和减法的运算法则即可求解. 【详解】解：因为四边形ACDE是平行四边形， 所以，，. 27. 已知椭圆的长轴为短轴的倍，并且经过点，求椭圆的标准方程． 【答案】或. 【解析】 【分析】由椭圆的性质表示出长轴，短轴再分类讨论焦点在轴，轴的情况求出椭圆的标准方程即可得解. 【详解】因为椭圆的长轴为短轴的倍. 设短轴长为，则长轴为即. 当焦点在轴上时. 设椭圆的标准方程为过点. 所以. 解得或（舍）. 所以椭圆的标准方程为. 当椭圆焦点在轴上时. 设椭圆的标准方程为过点. 所以. 解得或（舍）. 所以椭圆的标准方程为. 综上所述椭圆的标准方程为：或. 28. 如图，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，底面ABCD，E是PC的中点．求证： （1）平面BDE； （2）平面平面BDE． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行. （2）根据面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. 【小问1详解】 如图，，连接， 在中， ∵O是的中点，E是的中点， ∴， 又∵平面，平面． ∴平面． 【小问2详解】 ∵底面，底面， ∴， 又∵，且平面，平面， ∴平面，而平面， ∴平面平面． 29. 已知等差数列的前项和为． （1）求的通项公式； （2）求的最小值及此时的值． 【答案】（1） （2）当或时，的最小值为 【解析】 【分析】（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，即可求出，d，据此可得到通项公式； （2）求出的表达式，由二次函数的性质，可得当取得最小值时的值. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题可得，解得， 所以， 即的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知，， 因为，所以当或时，. 30. 已知双曲线的右焦点为，且渐近线方程为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若倾斜角为的直线过点，且与双曲线交于两点，求的面积（为坐标原点）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标，双曲线的渐近线结合的关系，即可求出双曲线的方程. （2）联立方程组结合韦达定理求得弦长，再根据点到直线距离，即可求解双曲线中的三角形面积. 【小问1详解】 已知双曲线的右焦点为，焦点在轴上， 即，又由渐近线方程为， 可得，即，解得， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 已知直线的倾斜角为，则， 又过点，所以直线的方程为，即, 联立方程组得，整理得， 其中， 设，则， 所以， 又点到直线的距离为， 所以的高为， 则的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $