精品解析：江西省南昌市第一中等专业学校2023-2024学年高二高考班4月月考数学试题

南昌市第一中等专业学校2023-2024学年下学期月考测试卷 22级高考班数学 一、是非填空题，对每小题的命题作出判断，对的填正确，错的填错误 1. 所有的复数都不可以比较大小．（ ） 2. 复数对应的点在第四象限．（ ） 3. ．（ ） 4. 函数的最小正周期为．（ ） 5. 在中，“”的充要条件是“”．（ ） 6. 边长为的三角形为钝角三角形．（ ） 7. ．（ ） 8. 直线是函数图像的一条对称轴．（ ） 9. 复数的虚部为．（ ） 10. 在中，，则．（ ） 二、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 12. 实系数一元二次方程的有一个根为，则（ ） A. B. C. D. 13. 已知，则（ ） A. B. C. D. 14. 要想得到函数的图像，只需将函数的图像（ ） A. 先往右平移个单位，再保证纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍 B. 先往右平移个单位，再保证纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍 C. 先往右平移个单位，再保证纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍 D. 先往右平移个单位，再保证纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍 15. 如图为函数的部分图像，则（ ） A. B. C. D. 16. 在中，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 17. 已知角为三角形的一个内角，且，则（ ） A. B. C. D. 18. 在等式中，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 19. 已知，则_________． 20. 化简：_________． 21. 在中，，则角_________． 22. 函数是________函数（填“奇”“偶”或“非奇非偶”） 23. 若角的终边经过点，则_________． 24. 在中，为的面积，且满足，则角________． 四、解答题（本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题每小题9分，共50分） 25. 已知复数． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若对应的点在直线上，求的值． 26. 已知，求的值． 27. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间； （3）求函数的最大值及取最大值时的取值集合． 28. 已知，均为锐角，求的值． 29. 某同学将函数的图像先往左平移了个单位，再保证纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍得到了函数的图像． （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最大值和最小值． 30. 在中，． （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌市第一中等专业学校2023-2024学年下学期月考测试卷 22级高考班数学 一、是非填空题，对每小题的命题作出判断，对的填正确，错的填错误 1. 所有的复数都不可以比较大小．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据复数的分类即可解得. 【详解】复数中包含实数，实数可以比较大小. 故答案为：错误 2. 复数对应的点在第四象限．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据复数对应复平面内点的坐标即可解得. 【详解】由题，复数， 对应复平面内点的坐标为，位于第四象限. 故答案为：正确. 3. ．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】利用余弦差角公式求值，即可求解. 【详解】； 故答案为：错误. 4. 函数的最小正周期为．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简解析式，然后利用周期公式可求. 【详解】 ， 则函数周期； 故答案为：正确. 5. 在中，“”的充要条件是“”．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据三角形的边角关系和充要条件的定义即可判断. 【详解】根据三角形中“大边对大角”，所以由可推出， 若，根据三角形中“大角对大边”，可推出， 所以在中，“”的充要条件是“”． 故答案为：正确 6. 边长为的三角形为钝角三角形．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据已知边长和余弦定理即可解得. 【详解】由题，在中，令， 则， 又知在中，，则为钝角， 所以边长为的三角形为钝角三角形. 故答案为：正确. 7. ．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系式及余弦二倍角公式判断即可. 【详解】. 故答案为：正确. 8. 直线是函数图像的一条对称轴．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据正弦型函数的图像和性质即可判断对错. 【详解】令， 得，当时，， 所以直线是函数图像的一条对称轴． 故答案为：正确 9. 复数的虚部为．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算和复数虚部的概念即可判断. 【详解】由题，复数 ， 该复数虚部为. 故答案为：错误 10. 在中，，则．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据正弦定理可求出，进而求解. 【详解】已知，， ， 根据正弦定理得， 因为， 所以或， 故答案为：错误. 二、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的线性运算及模的公式求解即可. 【详解】，， 则. 故选：B. 12. 实系数一元二次方程的有一个根为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系结合复数根的性质和复数的乘法运算即可解得. 【详解】由题，实系数一元二次方程一个根为，则另一个根为， 设实系数一元二次方程的两根为，则， ，故， ，故. 故选：C 13. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同角三角函数的关系及两角和的正切公式即可求解. 【详解】已知， 则， 因为， ， ， 故选：D. 14. 要想得到函数的图像，只需将函数的图像（ ） A. 先往右平移个单位，再保证纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍 B. 先往右平移个单位，再保证纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍 C. 先往右平移个单位，再保证纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍 D. 先往右平移个单位，再保证纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦型函数平移变换规律描述变换过程即可. 【详解】将函数的图像向右平移个单位得到， 再保证纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍即可得到. 故选：C. 15. 如图为函数的部分图像，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦型函数图像，由周期求出，由在图像上求出. 【详解】设函数的周期为，由图像可知此函数， 则，又，则， 则， 将代入解析式，则， 因为在函数的单调增区间上，则， 则，又，则. 故选：A. 16. 在中，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦定理及三角形面积公式即可求解. 【详解】根据余弦定理，， 因为， 则， 所以的面积. 故选：D. 17. 已知角为三角形的一个内角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系式及正切的二倍角公式可求. 【详解】，， 则， . 故选：B. 18. 在等式中，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正余弦二倍角公式及辅助角公式化简解析式，再利用正弦函数的值域求参数范围即可. 【详解】原式得， ， 因为，则， 则； 故选：D. 三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 19. 已知，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】先求出共轭复数，然后利用复数的乘法运算及同角三角函数基本关系式可求. 【详解】，则， ； 故答案为：. 20. 化简：_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二倍角公式及同角三角函数的关系即可求解. 【详解】. 故答案为：. 21. 在中，，则角_________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】在中，， 根据正弦定理， ， 因为，且， 所以或， 故答案为：或. 22. 函数是________函数（填“奇”“偶”或“非奇非偶”） 【答案】非奇非偶 【解析】 【分析】利用诱导公式与二倍角公式化简解析式，再利用奇偶性的定义判断即可. 【详解】 ， 则，， 则，， 故函数是非奇非偶函数. 故答案为：非奇非偶. 23. 若角的终边经过点，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义求出，再由两角和的余弦公式求值即可, 【详解】已知角的终边经过点， 则， 所以， 则， 故答案为：. 24. 在中，为的面积，且满足，则角________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形面积公式、余弦定理及同角三角函数基本关系式可求. 【详解】由三角形面积公式知， 则，即， 则，因为，则， 则，因为； 则角. 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，25-28小题每小题8分，29-30小题每小题9分，共50分） 25. 已知复数． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若对应的点在直线上，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用纯虚数实部为零虚部不为零求参数即可； （2）先表示出复数所对应的点，再将点代入到直线方程即可求解. 【小问1详解】 因为为纯虚数， 由题可知，解得； 【小问2详解】 复数对应的点为，因为对应的点在直线上， 则，即 解得：或． 26. 已知，求的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】首先由同角三角函数的平方关系求出，再由二倍角公式求出，最后由同角三角函数的商数关系求出即可. 【详解】已知， 则， 所以， ， ． 27. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间； （3）求函数的最大值及取最大值时的取值集合． 【答案】（1） （2） （3）最大值为， 【解析】 【分析】（1）利用正弦和角公式及辅助角公式化简解析式，然后利用周期公式可求； （2）利用正弦函数的单调性求增区间即可； （2）利用正弦函数的最大值，求取得最大值的的取值即可. 【小问1详解】 ； 最小正周期； 【小问2详解】 正弦函数在上为增函数； 则，解得 故函数的单调递增区间为； 【小问3详解】 函数，因为， 则当时，函数的最大值为， 此时，解得 即取值集合为． 28. 已知，均为锐角，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数间的平方关系和余弦的和角公式，结合角的范围即可解得. 【详解】因为均为锐角，， 所以， 则， 又因为均为锐角，， 所以，故. 29. 某同学将函数的图像先往左平移了个单位，再保证纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍得到了函数的图像． （1）求函数的解析式； （2）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值；最小值1 【解析】 【分析】（1）利用正弦型函数的平移变化规律求解析式即可； （2）求出的范围，然后利用正弦函数单调性求值域，即可求最值. 【小问1详解】 函数的图像先往左平移了个单位，得到了， 再保证纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍得到了，. 【小问2详解】 因为，可知， 由正弦函数单调性可知，在时为增函数， ，， 在时为减函数函数，，， 则函数在区间上的值域为， 则函数在区间上的最大值；最小值1. 30. 在中，． （1）求角的大小； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合正弦和角公式和诱导公式即可解得. （2）根据三角形面积公式和余弦定理列出等式即可解得. 【小问1详解】 由正弦定理可化为， 则，又知在中，， 则，所以， 又知，故． 【小问2详解】 由于，则， 又，即， 解得，所以，则， 所以的周长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $