精品解析：辽宁省葫芦岛市长江卫生中等职业技术学校2024年高二第二次月考数学试卷（普高班）

长江卫生中等职业技术学校2024年高二第二次月考 数学试卷（普高班） 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答題卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A. B. C. D. 2. 下列结论正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 在等比数列中，若，则“”是“”的（    ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是（    ）. A. 或 B. 或 C. D. 5. 曲线在点处切线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 6. 为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）： x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.9 1 1.1 1.5 若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（    ） A. B. 当时，y的预测值为2.2 C. 样本数据y的第40百分位数为1 D. 去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变 7. 中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾.七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢.每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第六天走的里程数约为（    ） A. 5.51 B. 11.02 C. 22.05 D. 44.09 8. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ）． A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知之间的回归直线方程为，且变量的数据如表所示，则下列说法正确的是（    ） 6 8 10 12 6 3 2 A. 变量之间呈负相关关系 B. 的值等于5 C. 变量之间的相关系数 D. 该回归直线必过点 10. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A. 函数在上递减，在上递减 B. 函数在上递增，在上递增 C. 函数有极大值和极小值 D. 函数有极大值和极小值 11. 一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，总面积为6980平方米.一百零八塔，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下，前六层依次建1，3，3，5，5，7座塔，从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座，总计一百零八座，因塔数而得名.将塔进行编号.第一层的一座塔编号为001号塔；第二层从左至右依次编号为002，003，004；第三层从左至右依次编号为005，006，007；…；依此类推.001号塔比较高大，残高为5.04米、塔底直径为3.08米，具有塔心室，其余107座皆为实心塔，大小基本相近，一般残高约为2.2米、塔底直径约为2米，塔底座间距相同约为1.2米（例如：002号塔底座右侧与003号塔底座左侧之间的距离为1.2米），记第层的宽度（以最左侧塔身和最右侧塔身最远距离计算）为米，则以下说法正确的是（    ） A. 一百零八塔共有12层塔 B. 088号塔在第11层 C. D. 的值约为53.2 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在点处的切线方程为______． 13. 已知，则的最小值为______. 14. 函数的导函数为，若，则______. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 16. 为数列的前项和，已知，. （1）求证：数列为等差数列； （2）设，求数列的前n项和. 17. 致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动．并对某年级的位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表．规定：成绩在内，为成绩优秀． 成绩 人数 5 5 （1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为此次竞赛成绩与性别有关； 优秀 非优秀 合计 男 女 合计 （2）某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于成绩分布表中不低于分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加分．若学生甲成绩在内，请列出其本次读书活动额外获得学分数的分布列并求其数学期望． 参考公式：，． 附表： 18. 已知数列中，，. （1）求证：数列是等比数列； （2）若数列满足，求数列的前n项和. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长江卫生中等职业技术学校2024年高二第二次月考 数学试卷（普高班） 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答題卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合对数的运算，先求出集合A，结合集合的表示方法即可求解. 【详解】对数函数在其定义域内为增函数， 所以，则有， 因所以， 又图中阴影部分表示的元素在集合A中而不在集合B中，即集合B在全集中的补集与集合A的交集， 故对应的集合为. 故选：D. 2. 下列结论正确的是（    ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质，即可求解. 【详解】对于A： 若，则，则A错误； 对于B：若，则，则B错误； 对于C：若但，则，则C错误； 对于D：若，得，则D正确. 故选：D. 3. 在等比数列中，若，则“”是“”的（    ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列基本量的计算可分别得和满足的条件，利用等价关系，结合必要不充分条件的定义，即可判断求解. 【详解】由，得，则； 由，得，即，则或， 若时，或不一定成立，即充分性不成立， 若或，则一定成立，即必要性成立， 所以若，是或的必要不充分条件； 所以若，则“”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 4. 若命题“，”为真命题，则实数m的取值范围是（    ）. A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据判别式得到不等式，求出答案. 【详解】“，”为真命题， 故， 解得或. 故选：A. 5. 曲线在点处切线的倾斜角为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，求出斜率，即可求解. 【详解】，故在点处切线的斜率， 因为，故. 故选：C. 6. 为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）： x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.9 1 1.1 1.5 若已求得一元线性回归方程为，则下列选项中正确的是（    ） A. B. 当时，y的预测值为2.2 C. 样本数据y的第40百分位数为1 D. 去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变 【答案】D 【解析】 【分析】由表格数据求出样本点的中心坐标，代入可得的值由此即可判断A，进一步可得回归方程，由此即可验算B选项，由百分位数的概念即可判断C，由相关系数公式即可判断D. 【详解】由题意，得， 所以样本点的中心坐标为， 将代入得，解得，故A错误； 当时，y的预测值为，故B错误； 样本数据y的第40百分位数为，故C错误； 由相关系数公式可知，去掉样本点后，x与y的样本相关系数r不会改变，故D正确. 故选：D. 7. 中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾.七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢.每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，则该马第六天走的里程数约为（    ） A. 5.51 B. 11.02 C. 22.05 D. 44.09 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，该马每天行走的里程数构成一个等比数列，公比为，利用等比数列的求和公式，求得首项，进而求得该马第六天行走的里程数为的值，即可求解. 【详解】由题意，设该马第天行走的里程数为， 则数列是公比为的等比数列， 所以该马七天所走的路程为， 解得， 所以该马第六天行走的里程数为. 故选：B. 8. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（    ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，对函数求导并进行参变分离得到，求出的最小值，进而求出实数a的取值范围. 【详解】由题意得：在上恒成立，即， 因为在处取得最小值， 所以， 所以，解得， 所以的取值范围为， 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知之间的回归直线方程为，且变量的数据如表所示，则下列说法正确的是（    ） 6 8 10 12 6 3 2 A. 变量之间呈负相关关系 B. 的值等于5 C. 变量之间的相关系数 D. 该回归直线必过点 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据回归直线方程的概念和相关系数公式易得答案. 【详解】因为，所以，变量之间呈负相关关系，故A对； 由题意，， 所以样本中心为，代入回归方程得，样本中心为，故B、D对； 由题意得相关系数，故C错. 故选：ABD. 10. 设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A. 函数在上递减，在上递减 B. 函数在上递增，在上递增 C. 函数有极大值和极小值 D. 函数有极大值和极小值 【答案】BD 【解析】 【分析】结合函数图象，对分区间讨论与大小关系，从而推导出在区间上的单调性即可； 【详解】由图可知：当时，，故在上单调递增； 当时，，故在上单调递减； 当时，，故在上单调递减； 当时，，故在上单调递增； 故函数在时取得极大值，在时取得极小值， 即函数有极大值和极小值； 故选：BD． 11. 一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，总面积为6980平方米.一百零八塔，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下，前六层依次建1，3，3，5，5，7座塔，从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座，总计一百零八座，因塔数而得名.将塔进行编号.第一层的一座塔编号为001号塔；第二层从左至右依次编号为002，003，004；第三层从左至右依次编号为005，006，007；…；依此类推.001号塔比较高大，残高为5.04米、塔底直径为3.08米，具有塔心室，其余107座皆为实心塔，大小基本相近，一般残高约为2.2米、塔底直径约为2米，塔底座间距相同约为1.2米（例如：002号塔底座右侧与003号塔底座左侧之间的距离为1.2米），记第层的宽度（以最左侧塔身和最右侧塔身最远距离计算）为米，则以下说法正确的是（    ） A. 一百零八塔共有12层塔 B. 088号塔在第11层 C. D. 的值约为53.2 【答案】ABD 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式可判断A；可先求出第12层有19座塔，进而可判断B；由题意，从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座，所以宽度上会多出2个塔底直径的长和两个间距的长，即可判断C；由等差数列通项公式计算即可判断D. 【详解】设数列1，3，3，5，5，7…为， 由题意，构成等差数列，公差，， 设塔共有层，则， 解得，故A正确； 由于第12层有座塔，， 所以088号塔在11层最后第二个，故B正确； 由题意，从第六层起，后面的每一层所建塔的座数依次比上一层多2座， 所以宽度上会多出2个塔底直径的长和两个间距的长，即有，故C错误； 由C的分析可知，构成等差数列， 公差，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在点处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数解析式求出切点坐标，利用导数求得切线斜率，利用点斜式求得切线方程. 【详解】∵，， ，， ∴切线的方程为：， 即. 故答案为：. 13. 已知，则的最小值为______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用基本不等式与指数幂的运算法则即可得解. 【详解】因为，， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立. 即的最小值为4. 故答案为：4. 14. 函数的导函数为，若，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】先求出的导函数，再代入易得答案. 【详解】因为，所以， 所以 解得. 故答案为：2. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象过点，且在点P处的切线恰好与直线垂直. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入函数解析式得到关于的方程，再根据函数在切点处的导数等于切线的斜率再建立关于的另一个方程，即可求出，即可确定函数的解析式； （2）利用导数求出函数的单调区间，结合的关系，即可求解. 【小问1详解】 因为函数的图象过点， 所以， 又因为，且点P处的切线恰好与直线垂直， 又直线的斜率为， 所以， 所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 令，即，解得或， 令，即，解得， 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增， 又函数在区间上单调递增， 所以或，解得或. 即实数m的取值范围是. 16. 为数列的前项和，已知，. （1）求证：数列为等差数列； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用，作差得到是首项为，公差的等差数列，从而求出其通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法计算可得. 【小问1详解】 由，可知 两式相减得， 即， ∵，∴， ∵当时，，∴（舍）或， 则是首项为，公差的等差数列， ∴的通项公式； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴数列的前项和 . 17. 致敬百年，读书筑梦，某学校组织全校学生参加“学党史颂党恩，党史网络知识竞赛”活动．并对某年级的位学生竞赛成绩进行统计，得到如下人数分布表．规定：成绩在内，为成绩优秀． 成绩 人数 5 5 （1）根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为此次竞赛成绩与性别有关； 优秀 非优秀 合计 男 女 合计 （2）某班级实行学分制，为鼓励学生多读书，推出“读书抽奖额外赚学分”趣味活动方案：规定成绩达到优秀的同学，可抽奖2次，每次中奖概率为（每次抽奖互不影响，且的值等于成绩分布表中不低于分的人数频率），中奖1次学分加5分，中奖2次学分加分．若学生甲成绩在内，请列出其本次读书活动额外获得学分数的分布列并求其数学期望． 参考公式：，． 附表： 【答案】（1）列联表见解析，没有的把握认为此次竞赛成绩与性别有关 （2）分布列见解析，期望值为分 【解析】 【分析】（1）根据成绩分段表得到优秀人数，结合列联表中的男生优秀人数求得女生优秀人数，然后可以完成列联表；根据列联表数据，利用公式计算的观测值，与相应临界值比较即可得到结论； （2）先根据成绩分段表求得p的值，然后利用二项分布列计算X的各个取值的概率，列出分布列，根据分布列计算期望即可. 【小问1详解】 根据图表数据，完成表格如下， 优秀 非优秀 合计 男 女 合计 假设： 此次竞赛成绩与性别无关. ， 所以没有的把握认为此次竞赛成绩与性别有关； 【小问2详解】 由图表数据可知，不低于分的人数有人，总人数为人， 所以每次中奖概率为， 又因为中奖1次学分加5分，中奖2次学分加分， 所以额外获得学分数的取值分别为， 所以，， ， 所以X的分布列为： X 0 5 P 期望值（分）. 18. 已知数列中，，. （1）求证：数列是等比数列； （2）若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合递推公式，证明为定值即可； （2）先根据（1）求出数列的通项，从而可得数列的通项，再利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 又， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列； 【小问2详解】 由（1）得， 所以， 所以①， 所以②， ①②得 ， 所以. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若函数在处取得极值，对，恒成立，求实数b的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）两种情况讨论的符号，可得在其定义域内的单调性； （2） 函数在处取得极值，求出，不等式恒成立问题通过分离参数法化为求函数的最值. 【小问1详解】 函数的定义域为， 当时， 在上恒成立，在上单调递增； 当时， 解得，解得， 此时在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 若函数在处取得极值， ∴，解得， ∴，经检验满足题意. 对，恒成立， 等价于在上恒成立， 设，， 解得，解得， ∴在上单调递增，在上单调递减. ， ∴， 实数b的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $