2.3.3 点到直线的距离公式 教学设计-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

《点到直线的距离公式》教学设计 点到直线的距离公式 1、 教学内容 本课时内容是在建立了直线的方程，研究了两点间距离公式基础上展开的。点到直线的距离公式的推导从求点Q的坐标入手，思路自然但运算量大，引发学生思考不去求点Q的坐标，从而引出“设而不求、整体代换”两种方法简化解析几何运算。在两种方法的基础上，引导学生利用投影向量及向量的相关运算推导点到直线的距离公式，极大简化了运算，使学生再次体会向量是解决空间角度、距离问题的有力工具。最后通过简单的例题及练习，使学生熟悉点到直线的距离公式的使用。 二、教材分析 本节课是人教A版普通高中数学选择性必修第一册第二章第3.3节。点到直线的距离公式是高中解析几何课程中最重要也是最精彩的公式之一，它是解决点线、线线距离的基础，也是研究直线与圆位置关系的重要工具，同时为后面学习圆锥曲线做准备。通过学习、探究点到直线的距离公式，培养了学生的数学运算和逻辑推理能力，让学生充分体验不同方法的差异。 三、学情分析 知识储备方面：通过空间向量与立体几何的学习，学生已掌握利用向量可以解决空间距离问题；直线的方程及两点间的距离公式的学习也为本节课的学习打下坚实的基础； 能力水平方面：通过以往知识的学习，学生已具备一定的数学运算能力和逻辑推理能力。 四、教学目标 1、经历用坐标法推导点到直线的距离公式的代数运算过程，掌握公式，发展数学运算与逻辑推理素养。 2、经历用“设而不求、整体代换”简化代数运算的过程，体会两种方法在简化解析几何运算中的妙用。 3、经历用向量法推导点到直线的距离公式的推导过程，体会向量是解决距离有力的工具。 五、教学重难点 教学重点：点到直线的距离公式的推导 教学难点：运用坐标法推导点到直线的距离公式的过程中运算难度很大；利用投影向量、数量积运算推导点到直线的距离公式过程中，进行知识的前后衔接是学生的另一个难点。 六、教学过程（不能是课堂实录） 教学环节 设计意图 教学预设 情景导入： 在公路附近有一家乡村饭馆，现在需要铺设一条连接饭馆和公路的道路，请同学们帮助设计一下：在理论上怎样铺路可以使这条连接道路的长度最短？ 这条道路的长度怎样通过理论计算出来？ 如果把饭馆看作一个点，公路看作一条线，这就是一个平面几何问题，我们要想解决这个问题，放在什么里边去研究？ 新课讲解 放在平面直角坐标系中，问题就是：点是直线 外的一点，我们该如何求P到直线的距离？ 首先，在图上你怎样作出点P到直线的距离？ P 根据定义，点P到直线的距离，是指从P到直线的垂线段PQ的长度，要求PQ的长度，现有P的坐标，我们需要求什么？ 追问1：如何去求点Q的坐标？ 追问2：如何去求垂线PQ的方程？ 追问3：如何求垂线PQ的斜率？ 知垂线斜率，就可以得到直线PQ的方程，与直线l方程联立，就可以求Q点坐标，再利用两点间的公式就可以求 我们按这个思路先求直线PQ的斜率，为了保证直线PQ与直线l都有斜率，规定直线的斜率是？由，直线PQ的斜率为,直线PQ的方程为即有了直线PQ的方程，下一步该干什么？前四组求x,其他组求y，点Q坐标 有了点P及点Q坐标，利用两点间的公式就可以求 教师逐步引导学生化简的表达式 这样我们就得到 时，点P到直线l的距离 这个公式是有限制的，很自然我们会提出下列问题：如果直线改为：（A=0）,如何求点P到直线l的距离？ 能否用去求点P到直线l的距离？ 如果直线改为：（B=0）,如何求点P到直线l的距离？ 一般地，点P到直线的距离 问题2：上述推导过程思路自然，但运算较繁，反思求解过程，你能发现引起复杂运算的原因吗？ 设 追问：能否从方程组中直接求出？ 首先由方程组构造 运算过程虽然设出Q点坐标，但整个过程并没有求出Q坐标，这种方法成为“设而不求”，同时我们整体构造出来，并带入简化了运算，这种方法称为“整体代换”，这两种方法是简化解析几何运算非常有效的方法，在做题中要认真体会。 问题3：向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离呢？ 追问1：点P与直线l上任一点所成向量与向量有何关系？ 点P到直线l的距离，就是向量的什么？ 在直线l上任取一点M，设 是直线PQ的单位方向向量，由投影向量的知识， 追问2：如何用坐标表示? 已知，设满足直线的方程，则=？ 追问3：如何用坐标表示？ 是直线PQ的单位方向向量，直线的斜率为？ 与直线l垂直的一个方向向量可以表示为 利用向量的投影，通过向量运算求出结果，简化了运算。 一般地，点P到直线的距离 分析点到直线的距离公式的特征 注意：直线方程必须是一般式 例题讲解 例1独立思考解答 例2独立思考后小组讨论完成 巩固练习 课本77页练习 当堂小结 引出本节课要解决的问题：求点到直线的距离 通过作图，使学生对点到直线的距离有直观的认识 教师层层设为，引导学生理清解决问题的思路 培养学生的运算能力，同时让学生体会运算的复杂 通过对特殊情况的讨论，归纳特殊情况可以特殊处理，也可以统一用公式解决 培养学生反思的能力，发现问题并研究缘由，并为寻找简化方法做铺垫。 针对原有问题需要回避什么，如何回避，培养了学生思考分析问题的基本途径，提升运算能力，体会“设而不求、整体代换”两种方法在简化运算时的妙用。 利用向量投影，通过向量运算求得点到直线的距离公式，简化了运算过程，学生通过对比公式推导的不同方法可以体会向量法的优点，提高运用向量研究解决几何中距离问题的意识与能力。 例题和练习的难度不大，由学生自主思考分析并通过运算解决，培养独立思考解决问题的能力；熟悉公式的运用同时，要根据题目的条件，灵活选用不同的方法 课堂小结帮助学生抓住本节课的重点，同时对比三种推导方法，使学生对代数方法解决解析几何问题有更系统的认识。 学生：由饭馆向公路作垂线 学生：平面直角坐标系 学生：由P向直线作垂线 学生：求Q坐标，利用直线l与直线PQ垂直求直线PQ的斜率 学生:直线的斜率是,直线PQ的斜率为, 学生：联立直线PQ和直线l的方程求点Q坐标 学生： 在老师的提醒下，学生能发现怎样去化简的表达式 学生：A=0时，直线l的方程可化为， 学生按照A=0时的解题过程，能很自然求解B=0的情况 通过老师引导，学生可以发现引起运算复杂的原因是去求Q点坐标，要想简化运算想到应该不去求Q坐标。 在老师的引导下，构造出，并求出 学生：向量是向量在上的投影向量。点P到直线l的距离，就是向量的模。 ( = ( x - x 0 ， y - y 0 ) ) 学生：直线的斜率为 通过向量用坐标表示及坐标运算，学生可以最后推导出向量的模的表达式 例二的解答，学生应该可以想到以下三种方法 学生在老师的引领下，能对本节知识进行回顾，并能对研究思路做梳理 7、 作业设计 1、课本习题2.3: 11、13、14 2、探究点到直线的距离公式的其他推导方法 八、教学反思 本节课内容是在建立了直线的方程，研究了两点间距离公式基础上展开的。点到直线的距离公式的推导从求点Q的坐标入手，思路自然但运算量大，引发学生思考不去求点Q的坐标，从而引出“设而不求、整体代换”两种方法简化解析几何运算。在两种方法的基础上，引导学生利用投影向量及向量的相关运算推导点到直线的距离公式，极大简化了运算，使学生再次体会向量是解决空间角度、距离问题的有力工具。最后通过简单的例题及练习，使学生熟悉点到直线的距离公式的使用。在求Q点的坐标及的化简过程中，明显感觉有些学生的运算能力不足，课下应加强学生运算能力的提高。 学科网（北京）股份有限公司 $$