微专题07 函数图象与性质-【上好课】2025年中考数学一轮复习讲练测（湖南专用）

第三章 函数 微专题07 函数图象与性质 类型01 一次函数的图象与性质 题型01 判断一次函数的增减性 1．当时，随的增大而减小的函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数图象的性质，掌握函数图象的增减性是解题的关键． 根据函数图象经过的象限，增减性进行判定即可求解． 【详解】解：A、是一次函数，经过第一、三象限，当时，随的增大而增大，不符合题意； B、是反比例函数，经过第一、三象限，在每个象限中，随的增大而减小，符合题意； C、是反比例函数，经过第二、四象限，在每个象限中，随的增大而增大，不符合题意； D、是二次函数，图象开口向下，对称轴为，当时，随的增大而增大，不符合题意； 故选：B ． 2．下列函数中，当时，随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，熟练掌握一次函数、反比例函数的性质是解题的关键． 根据二次函数、一次函数、反比例函数的增减性，结合自变量的取值范围，逐一判断． 【详解】解：A、， ，故y随着x增大而减小，故该选项不符合题意； B、， k<0，故y随着x增大而减小，故该选项不符合题意； C、，，在每个象限里，y随x的增大而增大，故该选项符合题意； D、，，当时，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意； 故选：C． 3．如图是一次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．y随x增大而增大 B．图象经过第三象限 C．， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数的图象与性质，一次函数与坐标轴的交点坐标问题，根据一次函数的图象：从左往右逐渐下降，与y轴交于正半轴，再逐项判断即可得，能正确的识图是解本题的关键． 【详解】解：A、由图象可得：y随x增大而减小，原说法错误，不符合题意； B、图象不经过第三象限，原说法错误，不符合题意； C、由图象可得y随x增大而减小，所以，函数图象与y轴的交点的纵坐标为b，则，原说法正确，符合题意； D、由图象可得，当时，，原说法错误，不符合题意． 故选：C． 4．已知和点是直线上的两个点，如果，那么和的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的增减性是关键．根据一次函数图象上点的坐标特征解答即可． 【详解】解：， 随x的增大而减小， ， ， 故选：A 5．对于一次函数，结论如下：①函数的图象不经过第三象限；②函数的图象与轴的交点坐标是：③将函数的图象向下平移个单位长度可以得到的图象：④若两点，在该函数图象上，则．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，掌握判定一次函数图象经过的象限，增减，平移等知识是解题的关键． 根据一次函数解析式可得图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小，可判定①；当时，，可判定②；根据函数图象平移规律“左加右减，上加下减”可判定③，根据函数增减性可判定④；由此即可求解． 【详解】解：一次函数， ∵， ∴图象经过第一、二、四象限，随的增大而减小， ∴函数的图象不经过第三象限，故①正确； 当时，， ∴函数的图象与轴的交点坐标是，故②正确： 将函数的图象向下平移个单位长度，即，故③正确； ∵， ∴，即，故④正确； 综上所述，正确的有①②③④，共4个， 故选：D ． 题型02 根据一次函数增减性求参数 1．已知一次函数（k是常数，且）的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的知识，先根据一次函数的解析式可以判断其必过点，再根据一次函数是递增函数，将点与选项各点逐一比较即可得解． 【详解】， 当时，，即必过点 A．，，此时满足y随x的增大而增大，故A项正确，符合题意； B．，，此时不满足y随x的增大而增大，故B项错误，不符合题意； ，，在平行于轴的同一直线上，C，D不符合题意； 故选：A． 2．若正比例函数（a为常数）的y值随x值的增大而增大，则a的值可以是（） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．由一次函数的图象中值随值的增大而增大，可得出，解之即可得出的取值范围，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：一次函数的图象中值随值的增大而增大， ， ． 故选：D． 3．已知点，在一次函数的图像上，当时，有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据时，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵时，， ∴，解得：， 故答案为：． 4．已知一次函数，当时，，则的值为 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质．利用一次函数的性质，当时，，；，，当时，，；，，然后分别利用待定系数法求出一次函数解析式，从而得到的值． 【详解】解：当时，，；，， ， 解得， 当时，，；，， ， 解得， 综上所述，k的值为或； 故答案为：1或． 题型03 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 1．若点都在一次函数图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较大小 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，当时，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大，当时，图象经过第二、四象限，y随x的增大而增减小． 由得y随着x的增大而减小，而，故． 【详解】解：∵， ∴y随着x的增大而减小， ∵， ∴， 故选：C． 2．如图所示是函数的图象，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，令，解得，令，解得，在同一坐标系中作出，结合图形即可得解． 【详解】解： 由图像可得， 令，解得， 令，解得， 在同一坐标系中作出如图所示， 由图可知，若，则的取值范围为， 故答案为：． 3．已知点在直线上，当时，下列结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】本题考查了一次函数性质，结合一次函数性质，根据大小关系进行合理分析是解题关键．根据一次函数性质对各项进行逐项分析判断即可． 【详解】解：∵点在直线上， 且中，随的增大而减小， ， ，①正确． 若， 当时，，时，，， 则不一定成立，故②错误． 若， 当时，满足， 而此时，则不一定成立，故③错误． 若，且， 且中，随的增大而减小， ，， ， ，故④正确． 正确结论的序号是①④． 故答案为：①④． 题型04 比较一次函数值的大小 1．在一次函数的图象上有，两点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而增大，结合，即可得出． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而增大， 又∵、两点均在一次函数的图象上，且， ∴． 故选：A． 2．已知是的一次函数，函数与自变量的部分对应值如下表所示， 比较大小： ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，根据表格中前两列的和的取值，得出随的变化关系，据此可解决问题． 【详解】解：由题知， 当时，；当时，； 因为，， 所以随的增大而减小． 又因为， 所以． 故答案为：． 3．已知一次函数（k，b是常数）的图象上有两点，若当时，与的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；随x的增大而减小”是解题的关键． 由，利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，结合，即可求解． 【详解】解：∵， ∴随的增大而增大， 又， ， 故答案为：． 4．点、是直线上的两点，则 （填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，根据一次函数的增减性，当时，随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点是直线上的两点，且， ∴． 故答案为：． 5．若点，在一次函数（为常数）的图象上，则，的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟知当时，y随着x的增大而减小是解此题的关键．根据一次函数的性质可得：y随着x的增大而减小，再解答即可． 【详解】解：∵， ∴y随着x的增大而减小， ∵， ∴； 故答案为：． 6．若点和在一次函数的图象上，则 （用“”“”和“”连接） 【答案】 【分析】本题考查比较一次函数的函数值大小，根据一次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴随着的增大而减小， ∵点和在一次函数的图象上，且， ∴； 故答案为：． 题型05 一次函数的规律探究问题 1．如图，已知直线a：y＝x，直线b：和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2024的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及点坐标规律探索，首先根据点的变化规律分别求出点、、、的坐标，根据它们的横坐标变化规律，得到点的横坐标，再根据点在直线上求出纵坐标． 【详解】点的坐标为，点在直线上， 点的坐标是， 轴， 点的纵坐标是， 又点在上， 解方程， 解得：， 点的坐标是， 轴， 点的横坐标是， 又点在直线上， 点的坐标是， 轴， 点的纵坐标是， 又点在直线上， 可得方程， 解得：， 点的坐标是， 根据规律可得：的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， 的横坐标为，的横坐标为， ， 的横坐标为， ， 的横坐标为， 又点在上， 可得：， 点的坐标为 故答案选： A． 2．正方形，正方形，正方形…按如图所示的方式放置．…和点…分别在直线和轴上，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的运用，正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，理解图示，找出数量关系及规律是解题的关键． 根据题意，如图所示，设直线与轴交于点，可得是等腰直角三角形，由正方形的性质可得，同理可得，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，设直线与轴交于点， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵四边形是正方形， ∴，轴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴, ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 同理，是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故答案为： ． 3．如图，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，按此方法作下去，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，，依题意得，，，进而得，则，由此可求出，再由△的面积公式求出，进而可求出，则，据此得点，根据直线， 直线，得，，，则，，再由直线得，则，，进而可求出，再由三角形的面积公式求出，由此可求出，则，据此得点，同理可得：点，点，，以此类推，点的坐标为，据此规律即可得出点的坐标． 【详解】解：分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，，如图所示：   直线与轴的夹角为，点的坐标为， ，， 直线经过坐标原点，且与轴的夹角为， ， ， ， ， ， 直线， ， ， ， 在中，，，由勾股定理得：， 由三角形面积公式得：的面积， ， 在中，，，由勾股定理得：， ， 点的坐标为， 直线， 直线， ，，， ， 由勾股定理得：， 直线， 在中，，则， ， 由勾股定理得：， 由三角形的面积公式得：的面积， ， 在中，，，由勾股定理得：， ， 点的坐标为，同理可得：点，点，，以此类推，点的坐标为， 当时，，， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查坐标规律，涉及一次函数的图像，直角三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的图像，理解在直角三角形中，的角所对的直角边等于斜边的一半，灵活运用勾股定理及三角形的面积公式进行计算是解决问题的关键，根据点，、，坐标的规律归纳总结出点的坐标是解决问题的难点． 4．如图．在平面直角坐标系中，点，…和，…分别在直线和x轴上，，…都是等腰直角三角形，如果直线经过点且截距为． （1）直线的表达式为 ； （2）的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的规律题，解题的关键是找到点的坐标规律． （1）根据待定系数法求出； （2）设，，，，，则有，，…..，，然后根据等腰直角三角形的性质可得，，….，进而将点的坐标依此代入即可求解． 【详解】解：（1）∵直线经过点且截距为， ∴，， 解得：，， ∴； 故答案为：． （2）设，，，，， 则有， ， ， 过点作轴于点C，过点作轴于点D，如图所示： ∵，，，都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 即， 同理可得：， ， 将点坐标依次代入直线解析式得到： ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 即的纵坐标是． 故答案为：． 5．如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角…，按此规律进行下去，则等腰直角的面积为 ．（用含正整数的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数规律探索、等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质和一次函数的性质求解即可，熟练掌握等腰三角形的性质和一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点在直线上，过点作轴交直线于点， ∴， ∴，即的面积， ∵， ∴， ∵过点作轴，分别交直线和于，两点， ∴， ∴，即的面积， 依次类推，，即的面积， ，即的面积， …， ∴，的面积， 故答案为：． 6．如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，且，直线与双曲线交于点，则的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，属于规律问题，求出是解题的关键．先求出的坐标，由题意容易得到为等腰直角三角形，即可得到，然后过作交y轴于H，设，通过反比例函数解析式可求出x，从而能够得到，再同样求出，即可发现规律，根据发现的规律即可求出的坐标． 【详解】解：联立，解得， ∴，， 由题意可知， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过作交y轴于H，则为等腰直角三角形，同理得到， 设，则， ∴， 解得，（舍）， ∴，， ∴， 用同样方法可得到， 因此可得到，即 ∴，即：． 故答案为：． 类型02 反比例函数的图象与性质 题型01 判断(画)反比例函数图象 1．反比例函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象的性质，根据反比例函数的，可知反比例函数的图象是双曲线且在第一、三象限，根据各选项的图象和图象所在的象限判断即可． 【详解】解：反比例函数的大致图象是双曲线，且在第一、三象限， A选项，是正比例函数图象，故A选项不符合题意； B选项：是正比例函数图象，故B选项不符合题意； C选项：是双曲线，且在第一、三象限，故C选项符合题意； D选项：是双曲线，但是在第二、四象限，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像，反比例函数的图像，掌握函数关系式中系数与图像的位置的关系是解题的关键．分两种情况讨论，再判断图像即可． 【详解】解：∵0， 若，， 则反比例函数的图象位于第一、第三象限， 二次函数的图象开口向上， 与y轴的交点位于y轴的正半轴． 故C符合条件，B不符合条件； 若，， 反比例函数的图象位于第二、第四象限， 二次函数的图象开口向下， 与y轴的交点位于y轴的负半轴． 故B，D不符合条件， 故选：C． 3．有下列四个函数： ①；②；③；④．其中图象经过如图所示阴影部分（包括边界）的函数有（   ） A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题综合考查一次函数，反比例函数，二次函数的图象与性质．根据阴影部分顶点坐标，结合函数图象，作出判断即可． 【详解】解：①的图象经过、两点，如图1， ②的图象经过、两点，如图2， ③的图象经过、两点，如图3， ④的图象开口向下，顶点为，经过点，，如图4． ∴图象经过如图所示阴影部分(包括边界)的函数有②③④． 故选：D． 4．如图1，在中，，，点P为上一点，，过点P作交于点Q．，的周长的周长之比为． (1)分别求，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象及交点问题，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形求出函数解析式是解题的关键． （1）由 可得 ， ，据此即可求解； （2）根据（1）所得函数解析式画出函数图象即可； （3）根据函数图象写出 的取值范围即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 又， ∴． ∵点P为上一点，， ∴，． （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：由函数图象可知，当时x的取值范围为． 题型02 己知反比例函数的图象，判断其解析式 1．下列各选项的坐标对应的点在反比例函数的图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键．将各个选项的点代入反比例函数解析式，计算即可得解． 【详解】解：A、当时，，故在反比例函数的图象上，符合题意； B、当时，，故不在反比例函数的图象上，不符合题意； C、当时，，故不在反比例函数的图象上，不符合题意； D、当时，，故不在反比例函数的图象上，不符合题意； 故选：A． 2．反比例函数的图象经过点．，则下列与点A在同一图象的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象与性质，反比例函数，先运用待定系数法求出的值，再逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，与点A在同一图象的点的乘积，即选项的值为，即为答案， A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：B 3．如果双曲线经过点，那么此双曲线也一定经过（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，双曲线经过点，可知点的横纵坐标的积为，根据反比例函数图象上的点的坐标的特点可知双曲线经过的点． 【详解】解：∵双曲线经过点， ∴， A.，故选项A符合题意； B. ，故选项B不符合题意； C. ，故选项C不符合题意； D. ，故选项D不符合题意； 故选：A． 4．某函数图象如图所示，则该函数的表达式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，观察函数图象利用反比例函数图象上点的坐标特征找出k的取值范围是解题的关键． 根据反比例函数的图象求解即可． 【详解】∵函数图象是双曲线，且在第一，三象限 ∴该函数的表达式可能是． 故选：C． 题型03 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 1．如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于A、B两点，若A点的坐标为，则B点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象的对称性，解决这类题目的关键是掌握两点的对称中心为原点． 根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答． 【详解】解： 反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称， 它的另一个交点的坐标是． 故选：C． 2．若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相同，据此求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上的点一定满足其函数解析式， ∴在反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积相同， ∵反比例函数的图象经过点， ∴在该反比例函数图象上的点的横纵坐标的乘积为2， ∴四个选项中只有D选项符合题意， 故选：D． 3．下列命题： ①在函数：中，y随x增大而减小的有3个函数； ②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； ③反比例函数图象是两条无限接近坐标轴的曲线，它只是中心对称图形； ④已知数据的方差为，则数据的方差为． 其中是真命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据一次函数与反比例函数的性质对①进行判断；根据正方形的判定方法对②进行判断；根据反比例函数图象的对称性对③进行判断；根据方差的性质对④进行判断． 【详解】解：①在函数：中，y随x增大而减小的有，共2个，故不正确，是假命题； ②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，正确，是真命题； ③反比例函数图象是两条无限接近坐标轴的曲线，它既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不正确，是假命题； ④已知数据的方差为，则数据的方差为，故不正确，是假命题． 故选：A． 【点睛】此题考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的定义、性质定理及判定定理． 4．正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数图象的性质．由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴A、B两点关于原点对称， ∵A的坐标为， ∴B的坐标为， 故选：C． 题型04 己知双曲线分布的象限，求参数范围 1．如图．点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为B．点为轴上的一点．连接，．若的面积为2，则的值是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、比例系数k的几何意义等知识点，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴作垂线，与原点围成的三角形的面积是定值成为解题的关键． 如图：连接，根据等底同高的三角形面积相等得到的面积为2，再结合三角形的面积是定值以及反比例函数图象的性质即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵的面积为2， ∴的面积为2， ∵轴， ∴，解得， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴，即． 故选D． 2．已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象，根据该反比例函数的图象位于第一、第三象限可得，求解即可解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， ∴． 故选：B． 3．已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求的取值范围； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值，的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键． （1）由反比例函数的性质可得，求解即可； （2）由反比例函数的图象可得当时，y随x的增大而增大，结合即可得解． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴． ∴． （2）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴当时，y随x的增大而增大． ∵， ∴． 4．已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟记反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，求解即可； （2）根据时，随的值增大而减小，得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，解得， ∴的取值范围是； （2）∵反比例函数（为常数），当时，随的值增大而减小， ∴，解得， ∴的取值范围是． 题型05 判断反比例函数的增减性 1．已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，掌握增减性是解题的关键． 根据反比例函数解析式确定图象经过的象限，再有增减性即可求解． 【详解】解：反比例函数（为常数）， ∵， ∴反比例函数图象经过第一、三象限，每个象限中，随的增大而减小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D ． 2．下列函数中，的值随的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的性质．由正比例函数与反比例函数的图像和性质知，，时，随的增大而增大，反之随的增大而减小；中应在每个象限内讨论增减性． 【详解】解：A、中， ， 随的增大而增大，本选项不符合题意； B、中， ，在每个象限内，随的增大而减小，本选项不符合题意； C、， ， 随增大而减小，本选项符合题意； D、， ，在每个象限内，随的增大而增大，本选项不符合题意； 故选：C． 3．下列函数中，当时，随值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了反比例函数的性质，二次函数的性质．根据反比例函数的性质，二次函数的性质，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、当时，随值的增大而减小，故本选项不符合题意； B、当时，随值的增大而增大，故本选项符合题意； C、当时，随值的增大而增大，故本选项不符合题意； D、当时，随值的增大而减小，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．下列函数中，当时，随着的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的增减性，熟练掌握各函数的性质是解题的关键； 根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质进行判断即可 【详解】A、在中，，故随着的增大而减小，故A不符合题意； B、在中，，当时，随着的增大而减小，故B不符合题意； C、在中，抛物线对称轴为轴，开口向上，当时，随着的增大而增大，故C符合题意； D、在中，抛物线对称轴为轴，开口向下，当时，随着的增大而减小，故D不符合题意； 故选：C 题型06 判断反比例函数图象所在象限 1．反比例函数的图象分别位于（    ） A．第一象限，第二象限 B．第一象限，第三象限 C．第二象限，第四象限 D．第三象限，第四象限 【答案】C 【分析】本题考查判断反比例函数图象所在象限，根据，即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴函数图象过二，四象限； 故选C． 2．下列关于反比例函数，说法不正确的是（　　） A．点、均在其图象上 B．双曲线分布在第一、三象限 C．该函数图象上有两点，B ，若，则 D．当时，x的取值范围是 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的性质，将点代入解析式求解即可判断A选项，根据图象在一三象限即可判断B，根据性质在一三象限上随增大而减小即可判断C，根据增减性即可判断D． 【详解】解：由题意可得， 当时，，当时，，故A正确，不符合题意， ∵，∴图像在一三象限，故B正确，不符合题意， ∵没确定，的正负，故无法判断函数值的大小，故C错误，符合题意， ∵当时，即，解得，∴当时，，故D正确，不符合题意， 故选：C． 3．反比例函数的图象位于第 象限． 【答案】一、三 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的性质． 反比例函数的图象：时，位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；时图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 故答案为：一、三． 题型07 已知反比例函数的增减性求参数 1．若反比例函数的图象，在每个象限内，随的增大而减小，则的取值可能为（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线且当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解题的关键． 根据反比例函数的性质可求k的取值范围，再确定的可能取值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而减小, ∴，即，即D选项符合题意． 故选：D． 2．在反比例函数的图象上，当时，y随x的减小而增大，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质．反比例函数，当时，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限内，在每一象限内，y随x的增大而减小，据此即可求解． 【详解】解：∵当时，y随x的减小而增大， ∴， 解得：． 故选：C． 3．若函数的图象在每个象限内的值随值的增大而减小，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数是常数，的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一，三象限，在每一象限内，随的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二，四象限，在每一象限内，随的增大而增大． 根据反比例函数的增减性即可求解． 【详解】解：∵函数的图像在每个象限内，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 4．设反比例函数（m为常数），当时，y随x的减小而增大，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数 的性质和不等式的解法，解题的关键是掌握反比例函数的性质：即时，图像过第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，时，图像过第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可得答案． 【详解】解：对于双曲线（m为常数），当时，y随x的减小而增大， ， ． 故答案为：． 5．为反比例函数的图像上两点，当时，有，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由已知条件可得出反比例函数的图象位于一、三象限，进而可得出，解不等式即可求出． 【详解】解：∵当时，有， ∴反比例函数的图象位于一、三象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型08 比较反比例函数值或自变量的大小 1．在函数的图象上有三点，已知，则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，正确判断反比例函数的图像所在的象限和增减性是解题的关键．首先判断反比例函数的图像所在的象限和增减性，再由增减性比较大小即可． 【详解】已知函数的图象经过二，四象限， 由图象上有三点， 且， 可得点在第二象限， 在第四象限， ， 函数的图象在第二象限内，随的增大而增大， ， ， ， 故选：C． 2．已知点、、都在反比例函数的图象上，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当时，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．据此进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵， ∴． 故选：A． 3．已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限．根据反比例函数的性质，结合即可得出答案． 【详解】解： ， ∴反比例函数图象分布在一三象限． ， ，， ． 故选：A． 4．点，，均在的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得，则该函数在其每个象限内，y随x的增大而减小，然后问题可求解． 【详解】解：由可知：， ∴该函数在其每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点，，均在的图象上， ∴， 故选A． 5．在平面直角坐标系中，若点，，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据得到反比例函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小直接判断即可得到答案，熟练掌握反比例函数的性质是关键． 【详解】解：反比例函数，反比例函数图象分别位于第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， ，， ， 故选：A． 类型03 二次函数的图象与性质 题型01 二次函数的图象与性质 1．二次函数的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据的图象与性质、二次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：在中， ， ∴二次函数的图象开口向下，函数有最大值， ∴当时，有最大值，最大值为， 故选：D． 2．抛物线与相同的性质是（   ） A．开口向上 B．有最高点 C．顶点是原点 D．时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的性质．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以解答本题． 【详解】解：抛物线开口向下，顶点是原点，为最高点，对称轴是y轴，在对称轴左侧，随增大而增大，在对称轴右侧，随增大而减小， 抛物线开口向上，顶点是原点，为最低点，对称轴是y轴，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大， ∴抛物线和的共同性质是：顶点是原点，对称轴是y轴， 故选：C． 3．在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字，0、，这些球除了数字以外完全相同．现随机摸出一个小球，记下数字，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、二次根式的性质等知识点，掌握运用列表法求概率成为解题的关键． 由二次函数不经过第四象限，，或，再列表得到m、n的所有可能的值以及图象不经过第四象限的情况数，然后运用概率公式计算即可． 【详解】解：∵二次函数不经过第四象限， ∴，或顶点纵坐标，即：，或， 列表： nm 0 0 共有9种等可能的结果数，其中符合条件的结果数为5， ∴二次函数不经过第四象限的概率为． 故选：A． 4．二次函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，下列说法正确的是（   ） 0 1 2 4 2 4.5 5 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式性质，首先求出二次函数解析式，然后配方成顶点式，进而求解即可． 【详解】解：设二次函数解析式为 根据题意得， 解得 ∴ ∴ ∴． 故选：C． 5．已知点，，在抛物线（为常数）上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的解析式得到抛物线的对称轴为，再根据抛物线的性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线开口方向向下， ∴离对称轴距离越远，函数值越小， ∵点，，在抛物线（为常数）上， ∴， ∴， 故选:D． 6．在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查在同一个坐标系中判断一次函数与抛物线图象是否正确，先从各选项中一次函数图象得到的符号，进而判定同一坐标系下二次函数图象是否正确即可得到答案，数形结合，熟记一次函数及二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：从一次函数的图象开始： A、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象一致， 故A图象正确，符合题意； B、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故B图象错误，不符合题意； C、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向上；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴右侧，与选项图象不一致， 故C图象错误，不符合题意； D、由图可知，一次函数中，， 对于二次函数，由可知，抛物线开口向下；由可知，抛物线对称轴，对称轴在轴左侧，与选项图象不一致， 故D图象错误，不符合题意； 故选：A． 7．如图，在平面直角坐标系中，点是二次函数的图象的顶点，点，的坐标分别为，，将沿轴向下平移使点到点，再绕点逆时针旋转，若此时点，的对应点，恰好落在抛物线上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与旋转的性质；先根据题意确定抛物线顶点的坐标，过作于，得到，的长，再根据题意，与重合，进而得到和、的长，根据对称性求得，将代入代入抛物线，进而求解． 【详解】过作于，如图 ∵抛物线的解析式：， ∴其顶点是，对称轴 ∵ ∴， 根据题意，与重合， ∵ ∴ ∴，， ∴， ∵，在关于对称， ∴ ∴ 将代入抛物线上 ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 7．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如，点是函数的图象的“等值点”． (1)求函数的等值点坐标； (2)若函数的图象上只有一个等值点，求k的值； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)函数的等值点坐标为， (2)或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数与新定义“等值点”的综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，解题的关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题． （1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可； （2）根据“等值点”的定义建立方程，再根据图象上只有一个等值点求解即可； （3）由函数的等值点坐标为，，再利用翻折的性质分类讨论即可． 【详解】（1）解：在中，令， 解得，， 函数的图象上有2个“等值点”，为，； （2）解：令， 整理得， 函数的图象上只有一个等值点， ， 解得或； （3）解：①当时，由（1）知，，两部分组成的图象上总有有2个“等值点”：，在上，若，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，则上无“等值点“， 由：沿直线翻折后的图象记为，可得的解析式为， 在中，令得：， 整理得：， ， ， 解得， 此时； ②当时，，两部分组成的图象上有3个等值点：，，； ③当时，，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”； ④当时，，两部分组成的图象上只有1个“等值点”：； ⑤当时，，两部分组成的图象上没有“等值点”， 综上所述，当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，或． 故答案为：或． 8．如图，已知抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当时，求y的最小值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为； (2)当时，y的最小值是． 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的顶点式，函数最值问题，熟练掌握二次函数解析式，二次函数的顶点式是解题的关键． （1）将代入即可求得m的值，再将抛物线的一般式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标； （2）二次函数的顶点式得抛物线开口向下，分别计算端点值和对称轴出的值，然后比较即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 当时，， ∵当时，， 当时，， ∵， ∴当时，y的最小值是． 9．抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表． (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点的坐标； (2)设该抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为，求证：是直角三角形． 【答案】(1)抛物线的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为 (2)证明见解析 【分析】本题考查二次函数的性质、两点距离公式、勾股定理逆定理等知识点，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）由表格找出值相等的两个点，再根据对称关系求出对称轴和顶点坐标，进而在观察开口方向； （2）利用两点距离公式求出、、的长度，再根据勾股定理逆定理证明即可． 【详解】（1）解：由表格可知，抛物线经过点，， ∴对称轴为， 根据表格可知，顶点坐标为， ∵顶点纵坐标比两侧数值小， ∴开口向上， ∴抛物线的开口方向向上，对称轴为直线，顶点坐标为； （2）证明：∵抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， 即为直角三角形． 题型02 二次函数的对称 1．已知是抛物线上两点，那么与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质判定函数值的大小，掌握二次函数图象开口，对称轴，增减性是解题的关键． 根据二次函数解析式确定图象开口向上，对称轴直线为，离对称轴直线越远，函数值越大，再确定两点与对称轴的距离，由此即可求解． 【详解】解：抛物线中，， ∴二次函数图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴离对称轴直线越远，函数值越大， ∵， ∴， 故选：C ． 2．约定：当时，代数式的值记为；当时，代数式的值记为．若，且，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的应用，设，根据对称轴公式求出对称轴，然后根据，可知当和当时函数值相等，从而求出对称轴，得出关于m、n的方程，于是得出，再把和分别代入解析式即可得出的值． 【详解】解：设， 由抛物线的对称性及可得， ∴， ∴， 故选：B． 3．某二次函数的部分图象和对称轴如图所示，则该图象与x轴负半轴交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据对称性求得该图象与x轴负半轴交点的坐标，即可求解． 【详解】解：依题意，二次函数图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线 ∴该图象与x轴负半轴交点的坐标为， 故答案为：． 4．抛物线经过点，，则b的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． 根据二次函数与x轴的两个交点是关于对称轴对称的两点结合对称轴公式，进行求解即可． 【详解】抛物线经过点，， ∴， 则． 故答案为：． 题型03 二次函数的图象与系数的关系 1．已知二次函数，其中，则该二次函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图像的判断，根据可得出抛物线开口向下，再根据，可得出对称轴在y轴左侧．再根据可得出抛物线交y轴的正半轴，进而可得出答案． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴对称轴直线， ∴对称轴在y轴左侧． ∵， ∴抛物线交y轴的正半轴， 故选：B． 2．如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若方程（，m为常数）有四个根，分别为，，，，则，其中正确的结论是（   ） A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数的开口向上，与轴的交点位于轴负半轴可得，再根据对称轴可得，由此即可判断①正确；根据当时，，即，再将代入即可判断②错误；先求出二次函数的顶点坐标为，再代入二次函数的解析式即可判断③正确；根据二次函数与一元二次方程的交点、二次函数的对称轴即可判断④正确． 【详解】解：∵二次函数的开口向上，与轴的交点位于轴负半轴， ∴， ∵这个二次函数的对称轴为直线， ∴，即， ∴，则结论①正确； 由函数图象可知，当时，， ∴， ∴，则结论②错误； 对于直线， 当时，， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴这个抛物线的顶点坐标为， 将点代入得：，即， ∵， ∴，则结论③正确； 方程可转化为或， 不妨设方程的两个根为，，方程的两个根为，， 求方程的根可看作为求二次函数与直线的交点， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴二次函数与直线的交点关于直线对称， ∴， 同理可得：， ∴，则结论④正确； 综上，正确的结论是①③④， 故选：C． 3．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则．其中正确的结论有（   ） A．②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．②③④ 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由抛物线的开口方向，与轴的交点位置可得，，再由对称轴为直线可得，可判断①；由抛物线与轴有两个交点，可判断②；当时，，可得，再结合可判断③；当时，有最小值，可判断④；图象经过点，利用二次函数的对称性可得图象也经过点，得到方程的两根为和，可判断⑤，即可得出结论． 【详解】解：由图象得，抛物线开口向上，与轴交于负半轴， ，， 对称轴为直线， ， ， ，故①错误； 由图象得，抛物线与轴有两个交点， ，故②正确； 由图象得，当时，， ， ， 又， ，故③正确； 由图象得，当时，有最小值， （为任意实数）， ，故④正确； 图象经过点，对称轴为直线， 图象也经过点， 抛物线与直线的两个交点为和， 方程的两根为和， ，， ，故⑤错误； 综上所述，正确的结论有②③④． 故选：D． 4．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①②③④⑤⑥若点，，在该函数图像上，则；其中正确的结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系、抛物线与轴的交点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据对称轴为直线及图象开口方向可判断出、、的符号，从而判断①；根据对称轴得到函数图象经过，则可判断②；利用、、的正负性可判断③；从图象与轴的交点在和之间可判断④；根据与的关系可判断⑤；结合图象以及、、到对称轴的距离可判断⑥． 【详解】解：①：∵函数开口方向向上，∴； ∵对称轴在轴右侧，∴、异号， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴，∴， ∴， 故①符合题意； ②：∵图象与轴交于点，对称轴为直线， ∴图象与轴的另一个交点为， ∴当时，， ∴， 故②不符合题意； ③：∵，，， ∴，，， ∴， 故③符合题意； ④：当时，， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，∴， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， 解得， 故④符合题意； ⑤：由④知， ∵， ∴，， 故⑤符合题意； ⑥：抛物线开口向上且对称轴为直线， ∴抛物线上到对称轴的距离越远的点，纵坐标越大， ∴， 故⑥符合题意； ∴正确的有①③④⑤⑥． 故选：D ． 5．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论： ； ； ；若方程有四个根，则这四个根的和为4．其中正确结论的序号为 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数之间的关系，根据开口方向，对称轴和与轴的交点，判断①，对称轴结合特殊点，判断②，最值判断③，图象法确定方程的根的情况，判断④． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； 由图象可知：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴，无法得到，故②错误； ∵当时，函数有最大值为：， ∴当时，， ∴，故③正确； ∵方程有四个根， ∴抛物线，与直线和分别有两个交点，且相对应的两个交点关于对称轴对称， ∴这四个根的和为；故④正确； 故答案为：①③④． 6．如图，二次函数图像的对称轴为直线，与轴交于点，点在该图像上．有下列结论：①；②；③关于的一元二次方程的正实数根在2和3之间；④对于任意实数，恒成立；⑤点，在该图像上，当实数时，．其中，正确的是 ．（填写正确的序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根：利用二次函数图象的对称性确定抛物线与x轴的交点坐标，从而得到一元二次方程的根．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键． 由抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，即可判断①；把和代入抛物解析式可对②选项进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标在与之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可对③进行判断；根据时，，则，来判断④；利用二次函数的增减性对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故①错误； 把代入抛物线得， 而， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标在与之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标在与之间， ∴一元二次方程的正实数根在2和3之间，故③正确； ∵抛物线开口向上， ∴时，， ∴ ∴， ∴，故④正确； ∵点，在抛物线上， ∴当点都在直线的右侧时，，此时； 当点在直线的左侧，点在直线的右侧时，，此时且，即， ∴当或时，，故⑤错误， ∴正确的有②③④， 故答案为：②③④． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 函数 微专题07 函数图象与性质 类型01 一次函数的图象与性质 题型01 判断一次函数的增减性 1．当时，随的增大而减小的函数是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，当时，随的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 3．如图是一次函数的图象，下列说法正确的是（　　） A．y随x增大而增大 B．图象经过第三象限 C．， D．当时， 4．已知和点是直线上的两个点，如果，那么和的大小关系正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 5．对于一次函数，结论如下：①函数的图象不经过第三象限；②函数的图象与轴的交点坐标是：③将函数的图象向下平移个单位长度可以得到的图象：④若两点，在该函数图象上，则．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 根据一次函数增减性求参数 1．已知一次函数（k是常数，且）的图象经过点P，且y随x的增大而增大，则点P的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 2．若正比例函数（a为常数）的y值随x值的增大而增大，则a的值可以是（） A． B． C．2 D．4 3．已知点，在一次函数的图像上，当时，有，则的取值范围是 ． 4．已知一次函数，当时，，则的值为 ． 题型03 根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况 1．若点都在一次函数图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法比较大小 2．如图所示是函数的图象，若，则的取值范围为 ． 3．已知点在直线上，当时，下列结论：①；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确结论的序号是 ． 题型04 比较一次函数值的大小 1．在一次函数的图象上有，两点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 2．已知是的一次函数，函数与自变量的部分对应值如下表所示， 比较大小： ． 3．已知一次函数（k，b是常数）的图象上有两点，若当时，与的大小关系是 ． 4．点、是直线上的两点，则 （填“”或“”或“”） 5．若点，在一次函数（为常数）的图象上，则，的大小关系是 ． 6．若点和在一次函数的图象上，则 （用“”“”和“”连接） 题型05 一次函数的规律探究问题 1．如图，已知直线a：y＝x，直线b：和点P（1，0），过点P作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P2024的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．正方形，正方形，正方形…按如图所示的方式放置．…和点…分别在直线和轴上，则点的坐标是 ． 3．如图，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，按此方法作下去，则点的坐标是 ．    4．如图．在平面直角坐标系中，点，…和，…分别在直线和x轴上，，…都是等腰直角三角形，如果直线经过点且截距为． （1）直线的表达式为 ； （2）的纵坐标是 ． 5．如图，点在直线上，过点作轴交直线于点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角，再过点作轴，分别交直线和于，两点，以点为直角顶点，为直角边在的右侧作等腰直角…，按此规律进行下去，则等腰直角的面积为 ．（用含正整数的代数式表示） 6．如图，点在反比例函数的图象上，点在轴上，且，直线与双曲线交于点，则的坐标是 ． 类型02 反比例函数的图象与性质 题型01 判断(画)反比例函数图象 1．反比例函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（   ） A． B． C． D． 3．有下列四个函数： ①；②；③；④．其中图象经过如图所示阴影部分（包括边界）的函数有（   ） A．①② B．①③④ C．②③ D．②③④ 4．如图1，在中，，，点P为上一点，，过点P作交于点Q．，的周长的周长之比为． (1)分别求，关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象； (3)结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围． 题型02 己知反比例函数的图象，判断其解析式 1．下列各选项的坐标对应的点在反比例函数的图象上的是（　　） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象经过点．，则下列与点A在同一图象的点是（   ） A． B． C． D． 3．如果双曲线经过点，那么此双曲线也一定经过（   ） A． B． C． D． 4．某函数图象如图所示，则该函数的表达式可能是（   ） A． B． C． D． 题型03 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 1．如图，过原点的一条直线与反比例函数的图象分别交于A、B两点，若A点的坐标为，则B点的坐标为（  ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象经过点，则这个函数图象一定经过点（   ） A． B． C． D． 3．下列命题： ①在函数：中，y随x增大而减小的有3个函数； ②对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形； ③反比例函数图象是两条无限接近坐标轴的曲线，它只是中心对称图形； ④已知数据的方差为，则数据的方差为． 其中是真命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型04 己知双曲线分布的象限，求参数范围 1．如图．点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为B．点为轴上的一点．连接，．若的面积为2，则的值是（   ） A．2 B． C．4 D． 2．已知反比例函数的图象位于第一、第三象限，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知反比例函数的图象位于第二、四象限． (1)求的取值范围； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值，的大小． 4．已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 题型05 判断反比例函数的增减性 1．已知点，，在反比例函数（为常数）的图象上，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，的值随的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，当时，随值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，当时，随着的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 题型06 判断反比例函数图象所在象限 1．反比例函数的图象分别位于（    ） A．第一象限，第二象限 B．第一象限，第三象限 C．第二象限，第四象限 D．第三象限，第四象限 2．下列关于反比例函数，说法不正确的是（　　） A．点、均在其图象上 B．双曲线分布在第一、三象限 C．该函数图象上有两点，B ，若，则 D．当时，x的取值范围是 3．反比例函数的图象位于第 象限． 题型07 已知反比例函数的增减性求参数 1．若反比例函数的图象，在每个象限内，随的增大而减小，则的取值可能为（   ） A． B． C． D．0 2．在反比例函数的图象上，当时，y随x的减小而增大，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若函数的图象在每个象限内的值随值的增大而减小，则的取值范围是 ． 4．设反比例函数（m为常数），当时，y随x的减小而增大，则m的取值范围是 ． 5．为反比例函数的图像上两点，当时，有，则的取值范围是 ． 题型08 比较反比例函数值或自变量的大小 1．在函数的图象上有三点，已知，则下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知点、、都在反比例函数的图象上，那么的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．已知点，在反比例函数的图象上，若，则有（   ） A． B． C． D． 4．点，，均在的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 5．在平面直角坐标系中，若点，，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 类型03 二次函数的图象与性质 题型01 二次函数的图象与性质 1．二次函数的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．抛物线与相同的性质是（   ） A．开口向上 B．有最高点 C．顶点是原点 D．时，y随x的增大而增大 3．在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字，0、，这些球除了数字以外完全相同．现随机摸出一个小球，记下数字，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为（   ） A． B． C． D． 4．二次函数自变量x与函数值y的对应关系如下表，下列说法正确的是（   ） 0 1 2 4 2 4.5 5 0 A． B． C． D． 5．已知点，，在抛物线（为常数）上，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．在同一平面直角坐标系中，二次函数和一次函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，点是二次函数的图象的顶点，点，的坐标分别为，，将沿轴向下平移使点到点，再绕点逆时针旋转，若此时点，的对应点，恰好落在抛物线上，则的值为 ． 7．定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如，点是函数的图象的“等值点”． (1)求函数的等值点坐标； (2)若函数的图象上只有一个等值点，求k的值； (3)若函数的图象记为，将其沿直线翻折后的图象记为．当，两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，请直接写出m的取值范围． 8．如图，已知抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当时，求y的最小值． 9．抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表． (1)写出该抛物线的开口方向、对称轴及顶点的坐标； (2)设该抛物线与轴相交于点（点在对称轴的右侧），与轴相交于点，顶点为，求证：是直角三角形． 题型02 二次函数的对称 1．已知是抛物线上两点，那么与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．约定：当时，代数式的值记为；当时，代数式的值记为．若，且，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．某二次函数的部分图象和对称轴如图所示，则该图象与x轴负半轴交点的坐标为 ． 4．抛物线经过点，，则b的值为 ． 题型03 二次函数的图象与系数的关系 1．已知二次函数，其中，则该二次函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．如图，抛物线的顶点在直线上，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若方程（，m为常数）有四个根，分别为，，，，则，其中正确的结论是（   ） A．②③ B．①④ C．①③④ D．①②③ 3．已知二次函数图象的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列结论中：①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，，则．其中正确的结论有（   ） A．②③ B．②③⑤ C．②③④⑤ D．②③④ 4．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①②③④⑤⑥若点，，在该函数图像上，则；其中正确的结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论： ； ； ；若方程有四个根，则这四个根的和为4．其中正确结论的序号为 ． 6．如图，二次函数图像的对称轴为直线，与轴交于点，点在该图像上．有下列结论：①；②；③关于的一元二次方程的正实数根在2和3之间；④对于任意实数，恒成立；⑤点，在该图像上，当实数时，．其中，正确的是 ．（填写正确的序号） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$