第07讲 特殊的平行四边形（9个知识点+13种题型+分层练习）- 2025年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第07讲 特殊的平行四边形（9个知识点+13种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 知识点2．矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 知识点3．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 知识点4．菱形的性质 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （3）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 知识点5．菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 知识点6．菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． 知识点7．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 知识点8．正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 知识点9．正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 题型强化 题型一、矩形性质理解 1．（23-24八年级下·福建泉州·期末）下列命题错误的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直 C．矩形的对边相等 D．矩形的四个角都是直角 【答案】B 【知识点】矩形性质理解 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 根据矩形的性质对各选项分析判断即可． 【详解】A.矩形的对角线互相平分，命题正确，不符合题意； B. 矩形的对角线相等，不一定互相垂直，故本选项命题错误，符合题意； C. 矩形的对边相等，命题正确，不符合题意； D. 矩形的四个角都是直角，命题正确，不符合题意； 故选B． 2．（23-24八年级下·四川自贡·阶段练习）广场上布置矩形花坛，计划用盆花摆成两条对角线，如图形状。具体做法是先摆好一条对角线后，再到花房运盆花摆放第二条对角线。如果第一条对角线用了21盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线；如果第一条对角线用了24盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线． 【答案】 【知识点】矩形性质理解 【分析】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．根据矩形的对角线互相平分且相等即可得到答案． 【详解】解：第一条对角线用了21盆花，还需要运来盆花， 第一条对角线用了21盆花，中间一盆为对角线交点， 故还需要盆； 如果第一条对角线用了24盆花，还需要运来24盆花； 第一条对角线用了24盆花，矩形的对角线互相平分且相等， 故还需要运来24盆花． 故答案为：，． 3．（22-23八年级下·四川凉山·期末）如图，在矩形中，点E、F分别在和上，若．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析． 【知识点】矩形性质理解、证明四边形是平行四边形 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定．根据一组对边平行且相等判断四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形． 题型二、利用矩形的性质求角度 4．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质，利用矩形的对角线相等是解决问题的关键. 连接，依据矩形的性质，即可得到，再根据即可得出，进而得到的度数. 【详解】解：如图, 连接交于点O， ∵矩形中, ， ， ， ∴， ， 故选: D. 5．（22-23八年级下·山西运城·期中）如图，在矩形中，点M在边上，,若，则的度数是 ．      【答案】/16度 【知识点】等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用矩形的性质成为解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后根据角的和差即可解答． 【详解】解： 在中，， ∴， ∵在矩形中，， ∴． 故答案为：． 6．（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）如图，在矩形中，，相交于点，平分，交于点，若，求的度数．    【答案】 【知识点】等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】根据四边形是矩形及平分，可得，从而得出．又由可得，最后得出． 【详解】解：四边形是矩形，平分， ， ． 又， ， ． 故答案为： 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 题型三、根据矩形的性质求线段长 7．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，矩形面积为40，点P在边上，，，垂足分别为．若，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求线段长 【详解】此题考查了矩形的性质、三角形面积公式．令与相交于点，连接，由矩形的性质得出，，结合，计算即可得出答案． 【解答】解：如图，令与相交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵矩形面积为40， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 8．（2022·青海·中考真题）如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】3 【知识点】根据矩形的性质求线段长 【分析】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，首先证明，由此可得出，则可求出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∴, 又 ∴， ∴ ∴ 故答案为：3 9．（23-24八年级下·全国·期末）如图，为矩形的边的中点，于点．若，，求的长． 【答案】． 【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】此题主要考查了矩形的性质，勾股定理．连接，求得的面积为，再利用勾股定理求得的长，再利用三角形的面积公式得出答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形，，， ∴矩形的面积为， ∵为矩形的边的中点， ∴的面积为，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 题型四、根据矩形的性质求面积 10．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图，矩形的长是，宽是，是对称中心，过点任意画一条直线，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据矩形的性质求面积 【分析】此题考查了矩形的性质，根据矩形是中心对称图形进行解答即可. 【详解】解：∵矩形的长是，宽是， ∴矩形的面积为， ∵矩形是中心对称图形，是对称中心，过点任意画一条直线， ∴图中阴影部分的面积是矩形面积的一半，即， 故选：A 11．（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图， 点 E 是矩形内任一点， 若． 则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】24 【知识点】根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算．根据三角形面积公式可知，图中阴影部分面积等于矩形面积的一半；即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设两个阴影部分三角形的底为，高分别为，则， ∴， ∴图中阴影部分的面积为24； 故答案为：24． 12．（23-24八年级下·河北承德·期中）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（阴影部分）”这一推论． 请根据下图完成这个推论的证明过程． 证明：因为 （____________+____________） 由已知条件可得： _____________=______________ _____________=______________ 所以 【答案】，；，；， 【知识点】根据矩形的性质求面积 【分析】本题主要考查了矩形的性质，根据三角形的面积减去两个三角形的面积解答，再根据三角形的面积相等解答． 【详解】解：因为， 由已知条件可得：，，， 所以． 故答案为：，，． 题型五、根据矩形的性质与判定求面积 13．（20-21八年级下·天津和平·期中）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于E、F，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．10 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 作于M，交于N．则有四边形，四边形，四边形都是矩形，根据矩形的性质得到，，，，，从而得出，即可求解． 【详解】解：作于M，交于N．    则有四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 14．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是 ． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，掌握矩形的性质与判定是解题的关键．由矩形的性质找出，结合对边互相平行即可证出四边形和四边形都是矩形，再根据矩形的性质可得出三对三角形的面积相等，由此即可得结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴． 又∵， ∴四边形和四边形都是矩形． ， ，即， 故答案为：． 15．（22-23八年级下·山东聊城·期末）如图，在四边形中，，，，、两点到的距离分别为和，求四边形的面积．    【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形 【分析】过点D作，，过点C作，根据勾股定理得到，，然后由矩形的性质得到，然后利用勾股定理得到，最后利用四边形的面积代入求解即可． 【详解】如图所示，过点D作，，过点C作，    ∵、两点到的距离分别为和， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵，， ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∴ ∴四边形的面积 ． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的判定与性质，掌握勾股定理是解题的关键． 题型六、利用菱形的性质求线段长 16．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图，菱形中，，则菱形的边长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，设交于点，根据菱形的对角线互相垂直平分，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设交于点， ∵菱形，， ∴， ∴， 即：菱形的边长为5． 故选C． 17．（2024·四川·中考真题）如图，在菱形中，，则菱形的周长为 ． 【答案】8 【知识点】利用菱形的性质求线段长 【分析】本题主要考查菱形的性质．根据菱形的性质“菱形的四条边相等”可直接进行求解． 【详解】解：由菱形的四条边相等可得：菱形的周长为， 故答案为：8． 18．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四边形是菱形，对角线，交于点O，E是延长线上一点，且，，，求的长度． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，先根据菱形的性质得到，然后利用勾股定理求出长，然后得到长，再利用勾股定理计算长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 题型七、利用菱形的性质证明 19．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，则下列结论成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用菱形的性质证明 【分析】本题考查菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质：四边相等，对边互相平行；对角相等，邻角互补；对角线互相垂直且平分，每条对角线平分每一组对角．据此解答即可． 【详解】解：：∵四边形是菱形， ∴，，，． 故选：D． 20．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，菱形中，，，向内构造菱形版“赵爽弦图”，得到了两对全等三角形，四边形是矩形，，则矩形的面积为 ．      【答案】 【知识点】利用菱形的性质证明、用勾股定理解三角形 【分析】过点作于，过点作于，连接，由，可得，，根据菱形的性质和矩形的性质可得，，则，，，可得出≌，≌，分别求出菱形，，的面积，即可得矩形的面积． 【详解】解：过点作于，过点作于，连接，    四边形是矩形， ， ， ，， 四边形是菱形，， ，，， ，， ，，， ，，， 在和中， ， ≌， 同理：≌， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，面积的计算，熟练掌握全等三角形的判定定理以及菱形的性质是解答本题的关键． 21．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图，若O是菱形对角线的交点，作交于点E，试判断四边形的形状？请说明理由． 【答案】矩形，理由见解析 【知识点】利用菱形的性质证明、证明四边形是矩形 【分析】根据矩形的判定定理，首先可证四边形是平行四边形，再由菱形的对角线互相垂直平分可得，即可证明平行四边形是矩形． 此题主要考查了菱形的性质和矩形的判定的综合运用． 【详解】解：四边形是矩形． 理由：，， 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， ， 平行四边形是矩形． 题型八、添一个条件使四边形是菱形 22．（23-24八年级下·山东滨州·期末）若四边形中，，，再添加一个下列条件能使其成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查菱形的判定，根据菱形的判定进行逐一判断即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， A、当时，四边形是矩形，故不符合题意； B、当时，四边形是菱形，故符合题意； C、当时，四边形不一定是菱形，故不符合题意； D、当时，四边形是矩形，故不符合题意； 故选：B． 23．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中，E、F、D分别是边上的点，且，在不改变图形的前提下，请你添加一个条件 ，使四边形是菱形，并写出证明过程． 【答案】添加的条件为：（答案不唯一），证明见解析 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题考查了平行四边形和菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．先根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，再根据菱形的判定即可得． 【详解】解∶添加的条件为∶（答案不唯一） 证明∶∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 24．（23-24八年级下·吉林·期中）小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，求证：四边形是菱形．”之后她将自己的证明过程与同学小洁交流． 小惠：证明：，， 垂直平分， ，， 四边形是菱形． 小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明． 你赞同谁的证法？若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 【答案】补充条件：，利用见解析 【知识点】添一个条件使四边形是菱形、证明四边形是菱形 【分析】本题主要考查菱形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进行证明． 【详解】证明：赞成小洁的说法，补充条件：， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形． 题型九、根据菱形的性质与判定求线段长 25．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，菱形中，，过对角线BD上一点P，作，，交各边于点M，N，F，Q．的四个顶点分别在菱形的四条边上，且经过点P，若要求的面积，只需知道线段（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】B 【知识点】根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了菱形的判定及性质，等积变换等；连接、，由平行四边形的性质得，由菱形的判定方法得四边形是菱形，菱形的性质及三角形的面积得，，即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意连接辅助线构建两个等积三角形是解题的关键. 【详解】解：如图，连接、， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ，， ， ， ，， 四边形是平行四边形，，， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故选：B. 26．（23-24八年级下·河南许昌·期中）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为 ． 【答案】10 【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】根据作法判定出四边形是菱形，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．本题考查了菱形的判定与性质，菱形的面积等于对角线乘积的一半的性质，判定出四边形是菱形是解题的关键． 【详解】解：根据作图，， ， ， 四边形是菱形， ，四边形的面积为， ， 解得． 故答案为：10． 27．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图①所示，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，，，将沿着的方向以每秒的速度运动到图②中的位置，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，沿着的方向运动时间为秒， ①当为何值时，是菱形？请说明你的理由； ②能是矩形吗？若能，求出的值及此矩形的面积；若不能，说明理由． 【答案】(1)证明见详解． (2)①当秒时，四边形是菱形； ②能,的值为，及此矩形的面积． 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积、利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据平移和全等三角形的性质可得，，即可得出，再根据全等三角形的性质易得，，即可证明四边形是平行四边形； （2）①当秒时，根据等边三角形的性质和判定，即可得出四边形是菱形； ②根据矩形的性质可得，，在根据含的直角三角形可得，再根据勾股定理可得，，从而得出． 【详解】（1）证明：由题意可得， ∴， 根据平移的性质得到：． 在与中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：①当秒时，四边形是菱形． ∵， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． ②能．∵是矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即当四边形是矩形， ． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定，平移和全等三角形的性质，勾股定理，含的直角三角形，平行四边形，矩形和菱形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型十、根据正方形的性质求线段长 28．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，正方形的面积为50，则的长为（    ） A． B．5 C． D．10 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查了正方形的性质与勾股定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．根据已知条件求出边长，再由勾股定理即可得到答案． 【详解】解：正方形的面积为50， ， ． 故选D． 29．（23-24八年级下·全国·期末）如图，矩形是由六个正方形组成，其中最小的正方形的面积为1，则此矩形的长为 ，宽为 ． 【答案】 13 11 【知识点】根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了矩形的性质和正方形的性质；设右下角的正方形的边长为x，由正方形的性质得，，列出方程，即可求解；能根据矩形的性质和正方形的性质表示出最大正方形的边长是解题的关键． 【详解】解：如图， 最小正方形的面积等于1， 最小正方形的边长为1， 设右下角的正方形的边长为x， ，， 最大正方形的边长可表示为，也可表示为， ， 解得：， ，， 故答案为：13；11． 30．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，将正方形折叠，使点B落在边的中点Q处，点A落在P处，折痕为．已知长为． (1)求线段的长； (2)线段的长． 【答案】(1)16 (2)6 【知识点】正方形折叠问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理： （1）根据正方形的性质可得，据此可解； （2）由折叠的性质得，利用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：正方形中，，， ， ； （2）解： 由（1）知， 点Q为的中点， ， 由折叠的性质得， 设，则， 在中，， ， 解得， 即线段的长为6． 题型十一、正方形折叠问题 31．（23-24八年级下·广东惠州·期中）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，若五边形的面积是正方形面积的2倍，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正方形折叠问题 【分析】本题考查折叠问题，解决本题的关键是掌握对称的性质以及正方形的性质． 连接，直线与交于点P，根据五边形的面积是正方形面积的2倍，设正方形与五边形的面积为，，可得，根据折叠可得正方形的面积为，求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，连接，直线与交于点P， ∵五边形的面积是正方形面积的2倍， 设正方形与五边形的面积为，， ∴， ∴， ∴， 由折叠可知： 正方形的面积为：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 32．（2023·江苏扬州·二模）如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若，则 ． 【答案】/度 【知识点】正方形折叠问题 【分析】本题考查正方形与折叠的性质，由正方形的性质及折叠的性质可得，，，利用角之间的和差关系可得，进而求得，再利用即可求得结果．利用正方形与折叠的性质得到的度数是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 33．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在正方形中，E为边上异于点A，B的一个动点，连接，点B关于的对称点为点F，与交于点M，延长，分别交直线于点G，H． (1)如图1，当点G在边上时，将点A关于对称，其对称点恰好与点F重合，交于点N． ①求证：四边形为矩形； ②连接并延长交于点K，若，，求正方形的面积； (2)如图2，若正方形的边长为9，随着长度的变化，探究点G的位置． 【答案】(1)①见解析；②正方形的面积为； (2)． 【知识点】正方形折叠问题、用勾股定理解三角形 【分析】（1）①利用对称的性质得，，，，求得，再由矩形的判定即可证明； ②由对称的性质可得，于是，再由平行四边形的判定和性质求得，得到，据此计算即可解答； （2）当和重合时，求得；当时，连接，设，，连接，设，则，由折叠的性质可得和，在直角中由勾股定理求得，于是可得，然后在直角和直角中利用勾股定理建立方程求得的表达式即可求解；当时，同理求解即可． 【详解】（1）解：①如图，    由对称的性质可知是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形； ②如图过点作，交正方形的两于点，，    由正方形的性质可知，，， ∴，， 由对称的性质可知，， ∴， ∵和等高， ∴， 由①结论和可得四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵正方形的面积； （2）解：当和重合时， 同理，，， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时， 如图，连接，设，，则，    由对称的性质可知，，， 直角中由勾股定理可得， ∴， 直角中由勾股定理可得， 直角中由勾股定理可得， ∴， 整理得， ∴． 当时， 如图，连接，设，，则， 由对称的性质可知，，， 直角中由勾股定理可得， ∴， 直角中由勾股定理可得， 直角中由勾股定理可得， ∴， 整理得， 综上，． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识；熟练掌握勾股定理是解题关键． 题型十二、正方形的判定定理理解 34．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列命题是假命题的是（   ） A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是正方形 【答案】D 【知识点】正方形的判定定理理解、判断命题真假 【分析】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．根据正方形的各种判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原命题是真命题，故A不符合题意； B．对角线互相垂直的矩形是正方形，原命题是真命题，故B不符合题意； C．对角线相等的菱形是正方形，原命题是真命题，故C不符合题意； D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，故D符合题意． 故选：D． 35．（22-23八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a两组对边分别平行；b对角线互相平分；c对角线互相垂直；d一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式：．你认为能得到正方形的是 ．（填写你认为正确的序号） 【答案】①② 【知识点】正方形的判定定理理解 【分析】本题考查了正方形的判定，根据对角线互相平分，垂直且相等的四边形正方形，判断即可． 【详解】∵两组对边分别平行， ∴四边形是平行四边形； ∵一个角是直角， ∴平行四边形变成矩形； ∴对角线相等且互相平分， ∵对角线互相垂直， ∴对角线互相平分，垂直且相等， 故四边形是正方形， 故①正确； ∵对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形； ∵一个角是直角， ∴平行四边形变成矩形； ∴对角线相等且互相平分， ∵对角线互相垂直， ∴对角线互相平分，垂直且相等， 故四边形是正方形， 故②正确； 组合③只能得到对角线互相平分，垂直，无法得证对角线相等，故错误， 故答案为：①②． 36．（20-21八年级下·全国·课后作业）（1）把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ （2）如何从一块长方形木板中裁出一块最大的正方形木板呢？ 【答案】（1）对折后，三个直角，且一组邻边相等；（2）见解析． 【知识点】正方形的判定定理理解、矩形与折叠问题 【分析】（1）根据折叠定理得：所得的四边形有三个直角，且一组邻边相等，所以可以裁出正方形纸片． （2）一组邻边相等的矩形是正方形，可以在木板的长边上量取短边长，然后过量得的点作长边的垂线或短边的平行线，按线截取即可得到一块最大的正方形木板． 【详解】（1）解：由已知，根据折叠原理，对折后可得： 所得的四边形有三个直角，且一组邻边相等， 所以可以裁出正方形纸片， 故答案为：对折后，三个直角，且一组邻边相等， （2)一组邻边相等的矩形是正方形，可以在木板的长边上量取短边长，然后过量得的点作长边的垂线或短边的平行线，按线截取即可得到一块最大的正方形木板． 【点睛】本题考查了正方形的判定，正方形的面积公式、及长方形周长、面积公式的灵活运用，关键是明确正方形的边长是原长方形的宽． 题型十三、（特殊）平行四边形的动点问题 37．（21-22八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度沿．向点运动；点从点同时出发，以的速度沿边向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．当为何值时，四边形为平行四边形？（ ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】当时，四边形是平行四边形，列方程求解即可． 【详解】由题意可得，，， 当时， 由可得四边形是平行四边形 ∴，解得， 故选：C． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定和性质，表示出对应边的长度是解本题的关键． 38．（22-23八年级下·河南驻马店·期末）如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为 ．    【答案】6或11/11或6 【知识点】（特殊）平行四边形的动点问题 【分析】分在上、在上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：①当在上时， 的面积等于， ， 解得：； ②当在上时， 的面积等于， ， ， 解得：； 综上所述，的值为6或11， 故答案为：6或11． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形的面积等知识，熟练掌握矩形的性质，分情况讨论是解题的关键． 39．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是连接，，，设点，运动的时间为． (1)求为何值时，四边形是矩形； (2)求为何值时，四边形是菱形． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据矩形的性质求线段长、（特殊）平行四边形的动点问题、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形、矩形的判定与性质，解决此题注意结合方程的思想解题． (1)当四边形是矩形时，，据此求得t的值； (2)当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t． 【详解】（1）解：由题意，得，则， 四边形是矩形， ，， 当时，四边形为矩形， ， 解得， 故当时，四边形为矩形． （2）解：由（1）可知，四边形为平行四边形， 当时，四边形为菱形． 在中，， 时，四边形为菱形， 解得， 故当时，四边形为菱形． 分层练习 一、单选题 1．已知在平行四边形中，下列条件：①；②；③；④平分．其中能说明平行四边形是矩形的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【解析】略 2．下列判断正确的是（      ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形 C．两条对角线互相平分的四边形是矩形 D．两条对角线互相垂直的四边形是矩形 【答案】B 【详解】试题分析：A、有一个角为直角的平行四边形为矩形；C、D两条对角线互相平分且相等的四边形为矩形. 考点：特殊平行四边形的判定. 3．在菱形ABCD中AB＝5，AC＝8，BC边上的高为（　　） A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.8 【答案】D 【分析】由菱形的对角线相互垂直平分和勾股定理即可求解另一对角线的长度，再利用菱形面积相等，即可求解BC边上的高． 【详解】解：设菱形的对角线AC，BD的交点为O；BC边上的高为h 菱形ABCD，且 又在中， 故答案是：D 【点睛】本题主要考查菱形的性质、勾股定理和等面积法，属于基础的几何线段求解问题，难度不大．解题的关键是掌握菱形对角线相互垂直平分的性质． 4．若等腰三角形的腰长为8，腰上的高为4，则此三角形的顶角是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】略 5．下列命题中，原命题和逆命题都是真命题的是（  ） A．矩形的对角线相等 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．菱形的四条边相等 D．四个角都相等的四边形是正方形 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据矩形、菱形、正方形的性质和判定判断即可． 【详解】解：A、矩形的对角线相等，是真命题，逆命题是对角线相等的四边形是矩形，是假命题，不符合题意； B、对角线互相平分的四边形是矩形，是假命题，逆命题是矩形的对角线互相平分，是真命题，不符合题意； C、菱形的四条边相等，是真命题，逆命题是四条边相等的四边形是菱形，是真命题，符合题意； D、四个角都相等的四边形是正方形，是假命题，逆命题是正方形的四个角都相等，是真命题，不符合题意； 故选：C． 6．若直角三角形的两条直角边的长分别为 9 cm 和 12 cm，则斜边上的中线长为( ) A．4.5 cm B．6 cm C．7.5 cm D．10 cm 【答案】C 【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解. 【详解】解：∵直角三角形两直角边长为9和12， ∴斜边==15， ∴此直角三角形斜边上的中线的长==7.5． 故选C. 【点睛】此题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上的中线的性质；熟练掌握勾股定理，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解决问题的关键. 7．如图，第1个正方形（设边长为2）的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去，通过观察与研究，写出第2012个正方形的边长a2012为（　　） A．a2012＝4（）2011 B．a2012＝2（）2011 C．a2012＝4（）2012 D．a2012＝2（）2012 【答案】B 【分析】等腰直角三角形和正方形性质分别用a1、表示出a2、a3、a4…，根据规律得到第2012个正方形的边长a2012＝（）2011a1，把a1＝2，代入即可求解 【详解】解：设第1个正方形的边长a1＝2， 根据题意得，第2个正方形的边长为a2＝a1， 第3个正方形的边长为a3＝a2＝（a1）＝（）2a1， 第4个正方形的边长为a4＝a3＝（）2a1＝（）3a1， …， 第2012个正方形的边长a2012＝（）2011a1， ∵a1＝2， ∴a2012＝2（）2011 故选：B 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的直角边与斜边的关系，根据变化规律求出指数与正方形的序数的关系是解题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（1，2），则菱形OABC的面积是（　　） A． B． C．2+1 D．2﹣1 【答案】B 【分析】作CH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OA的长即可解决问题； 【详解】解：作CH⊥x轴于H． ∵四边形OABC是菱形， ∴OA＝OC， ∵C（1，2）， ∴OH＝1，CH＝2， ， ∴菱形OABC的面积 故选B． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 9．如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形EDFB是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=BD，则EF的最小值即为BD的最小值，根据垂线段最短，知：BD的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高． 【详解】解：如图，连接BD． ∵在△ABC中，AB＝12，BC＝5，， ∴AB2+BC2＝AC2，即AC=． 又∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F， ∴四边形EDFB是矩形， ∴EF＝BD． ∵BD的最小值即为Rt△ABC斜边上的高， ∴，即， ∴EF的最小值为， 故选B． 【点睛】此题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质，三角形面积，要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段． 10．如图，将矩形沿折叠后点与重合.若原矩形的长宽之比为,则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据折叠的性质得到ED′＝BE，∠D′EF＝∠BEF，根据平行线的性质得到∠D′EF＝∠EFB，求得BE＝BF，设AD′＝BC′＝3x，AB＝x，根据勾股定理得到BE＝x，于是得到结论． 【详解】如图，将矩形ABCD沿EF折叠后点D与B重合， ∴ED′＝BE，∠D′EF＝∠BEF， ∵AD′∥BC′， ∴∠D′EF＝∠EFB， ∴∠BEF＝∠EFB， ∴BE＝BF， ∵原矩形的长宽之比为3：1， ∴设AD′＝BC′＝3x，AB＝x， ∴AE＝3x−ED′＝3x−BE， ∵AE2＋AB2＝BE2， ∴（3x−BE）2＋x2＝BE2， 解得：BE＝x， ∴BF＝BE＝x，AE＝3x−BE=x ∴＝=， 故选：D． 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 二、填空题 11．菱形周长为40 cm，它的一条对角线长12 cm，则菱形的面积为 cm2 【答案】96 【分析】首先根据菱形周长为40 cm，可求出菱形的边长为10 cm，已知一条对角线长12cm，则可求出另一条对角线长16cm，菱形的面积等于对角线积的一半，即可求出. 【详解】解：∵菱形周长为40 cm， ∴菱形的边长为10 cm， 又∵一条对角线长12cm， 根据勾股定理，可得出另一条对角线长16cm， ∴菱形的面积为cm2 【点睛】此题主要考查菱形对角线和面积的性质，熟练掌握即可解题. 12．菱形是 图形，它的 就是它的对称轴．它有 对称轴，两条对称轴互相垂直． 【答案】 轴对称 对角线所在的直线 两条 【解析】略 13．有一个角是直角的平行四边形叫做 ．矩形的性质定理1：矩形的四个角都是 ．矩形的性质定理2：矩形的对角线 ． 【答案】 矩形 直角 相等 【解析】略 14．如图，设四边形是边长为1的正方形，以正方形的对角线为边作第二个正方形，再以第二个正方形的对角线为边作第三个正方形，如此下去…，记正方形的边长，依上述方法所作的正方形的边长依次为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理； 根据正方形的性质，直接利用勾股定理进行计算，进而得出规律． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ， … ∴， 故答案为：． 15．如图，在矩形纸片中，边，，为边上的动点（点不与点，重合），将纸片沿折叠，当的长最小时，的长为 ． 【答案】 【分析】如图：连接，运用矩形的性质和折叠的性质求出的最小值，再设，则，最后在中运用勾股定理解答即可． 【详解】解：如图：连接，当点在上时，有最小值． ∵四边形是矩形，，， ∴，， ∴． 由折叠性质，得，， ∴的最小值． 设，则． 在中，， 即，解得， ∴的长为． 故填． 【点睛】本题主要考查矩形的性质和折叠的性质，勾股定理，根据矩形的性质和折叠的性质确定的最小值成为解答本题的关键． 16．如图，把一张长方形纸片沿着折叠后，点落在点处，点落在点处，若，则图中= 度．    【答案】110 【分析】先求出∠3=50°，再求出，由翻折得出∠1=∠，最后根据周角定义即可得出结论． 【详解】解：如图，∵∠2=50°， ∴∠3=∠2=50°． ∵∠=∠=90°， ∴． ∵四边形ABDE翻折得到四边形 ∴∠1=∠=． 故答案为：110．    【点睛】本题主要考查翻折变换的性质，解题的关键是掌握翻折变换的对应边、对应角相等的性质及三角形外角定理，对顶角相等等性质． 17．如图，已知正方形的边长为5，点，分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】利用三角形全等及正方形性质证得，再结合点H是的中点，利用直角三角形斜边上的中线性质求得的长度为解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴, , 在和中， , ∴, ∴, 在中，， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴由对顶角性质可得：, ∵在中，点H是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴在中， ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定、勾股定理、正方形以及直角三角形斜边中线，解题关键是熟练掌握相关定理． 18．如图，在矩形中，，在边上存在一点E，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上的F点处，若的面积为30，则的长为 ．    【答案】/2.6/ 【分析】利用的面积为30，可得到，由勾股定理得，由折叠的性质知，，，结合中，由设未知数列方程可求得的值． 【详解】解：由折叠可知，． 由，， 得． 在中，由勾股定理， ，． 设，则，， 在中，由勾股定理，得， 即，解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识．解题的关键是熟记折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 三、解答题 19．证明：菱形的面积等于其对角线乘积的一半． 【答案】见解析 【分析】根据题意作出菱形，根据菱形的性质，对角线互相垂直，即可根据菱形面积等于两个三角形的面积和，即可得证． 【详解】如图，四边形是菱形， ， ， 菱形的面积为， 即菱形的面积等于其对角线乘积的一半． 【点睛】本题考查了菱形的性质，根据对角线互相垂直证明是解题的关键． 20．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，垂足为E，，求的度数． 【答案】＝28°． 【分析】四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得到，又，由等腰三角形性质得到∠OBA＝62°，由得∠AEB＝90°，直角三角形两锐角互余得到的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴，，， ∴． ∴△AOB是等腰三角形， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 21．如图，在四边形中，，是对角线的中点，连接，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，再根据等边对等角即可得出结论． 【详解】证明：∵，是的中点， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握这个性质是解题的关键． 22．如图，中，，为的中点，连接，延长至，作交延长线于，连接，若，，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形的性质，平行线的性质，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，再由平行线的性质得到，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．已知：如图，在四边形中，与不平行，E，F，G，H分别是，，，的中点．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，四边形是怎样的四边形？证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)菱形，证明见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定 （1）利用三角形中位线定理，结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可． （2）根据，证明，结合判定定理证明即可． 【详解】（1）证明：∵E，G分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理，， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）菱形．理由： ∵F，G分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． 24．已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点F在BC的延长线上，且CF=BC，连接DF，点G是DF中点，连接CG. 求证：四边形ECCD是矩形. 【答案】见解析 【分析】首先利用中位线定理证得CG∥BD，CG＝BD，然后根据四边形ABCD是菱形得到AC⊥BD，DE＝BD，从而得到∠DEC＝90°，CG＝DE，即可得到四边形ECGD是矩形． 【详解】证明：∵CF=BC， ∴C点是BF中点， ∵点G是DF中点， ∴CG是△DBF中位线， ∴CG∥BD，CG=BD，                             ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，DE=BD， ∴∠DEC=90°，CG=DE，                            ∴四边形ECGD是矩形. 【点睛】本题考查了矩形的判定、菱形的性质及三角形的中位线定理，解题的关键是牢记矩形的判定方法，难度不大． 25．如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由AB∥CD，AC 为∠DAB 的平分线，证明 再证明四边形 ABCD 是平行四边形，从而可得结论； （2）根据菱形的性质得到∠CAE=30°，∠AOB=90°，AB=2OB，OA=OC，则，再由直角三角形斜边上的中线求出，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵AB∥CD， ∴∠OAB＝∠DCA， ∵AC 为∠DAB 的平分线， ∴∠OAB＝∠DAC， ∴∠DCA＝∠DAC， ∴CD＝AD ∵AB∥CD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∵AD＝AB， ∴是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°， ∴∠CAE=30°，∠AOB=90°，AB=2OB，OA=OC， ∴ ∵AE⊥CE，即∠AEC=90°， ∴AC=2CE，， ∴，， ∴BD=4， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等等，熟知菱形的性质与判定是解题的关键． 26．已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2．我们把四个顶点分别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”． （1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为　　． （2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，求矩形ABCD的宽．（可用备用图） （3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G．将∠AEG绕点A顺时针旋转30°得到∠AE′D′（如图2），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上，求菱形AB′C′D′的边长．                 【答案】（1）；（2）或；（3）． 【详解】试题分析： （1）利用已知得出△AED≌△DGC（AAS），即可得出AE，以及正方形的边长； （2）如图2过点B作BE⊥L1于点E，反向延长BE交L4于点F，则BE=1，BF=3，由四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，∠ABE+∠FBC=90°，根据∠ABE+∠EAB=90°，得到∠FBC=∠EAB，然后分类讨论，求得矩形的宽． （3）首先过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l2于点O，N，∠AEO=30°，则∠ED′N=60°，可求出AE=1，EO，EN，ED′的长，进而由勾股定理可知菱形的边长． 解：（1）∵l1∥l2∥l3∥l4，∠AED=90° ∴∠DGC=90°， ∵四边形ABCD为正方形 ∴∠ADC=90°，AD=CD，∵∠ADE+∠2=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠1=∠ADE， ∵l3∥l4 ∴∠1=∠DCG， ∠ADE=∠DCG， 在△AED与△DGC中， ， ∴△AED≌△GDC（AAS）， ∴AE=GD=1，ED=GC=3， ∴AD=， 故答案为； （2）如图2过点B作BE⊥L1于点E，反向延长BE交L4于点F， 则BE=1，BF=3， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴∠ABE+∠FBC=90°， ∵∠ABE+∠EAB=90°， ∴∠FBC=∠EAB， 当AB＜BC时，AB=BC， ∴AE=BF=， ∴AB=； 如图3当AB＞BC时， 同理可得：BC=， ∴矩形的宽为：，； （3）如图4过点E′作ON垂直于l1分别交l1，l4于点O，N， ∵∠OAE′=30°，则∠E′FN=60° ∵AE′=AE=1， 故E′O=，E′N=，E′D′=， 由勾股定理可知菱形的边长为：． 考点：四边形综合题. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 特殊的平行四边形（9个知识点+13种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．矩形的性质 （1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． （2）矩形的性质 ①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直； ④对角线：矩形的对角线相等； ⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． （3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 知识点2．矩形的判定 （1）矩形的判定： ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”） （2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等． ②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形． 知识点3．矩形的判定与性质 （1）关于矩形，应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性：一个内角是直角的平行四边形，进一步研究其特有的性质：是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等．同时平行四边形的性质矩形也都具有． 在处理许多几何问题中，若能灵活运用矩形的这些性质，则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题． （2）下面的结论对于证题也是有用的：①△OAB、△OBC都是等腰三角形；②∠OAB＝∠OBA，∠OCB＝∠OBC；③点O到三个顶点的距离都相等． 知识点4．菱形的性质 （1）菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． （2）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （3）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 知识点5．菱形的判定 ①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）； ②四条边都相等的四边形是菱形． 几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形； ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）． 几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形 知识点6．菱形的判定与性质 （1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形． （2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．） （3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法． 知识点7．正方形的性质 （1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形． （2）正方形的性质 ①正方形的四条边都相等，四个角都是直角； ②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角； ③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质． ④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴． 知识点8．正方形的判定 正方形的判定方法： ①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； ②先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． ③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定． 知识点9．正方形的判定与性质 （1）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质． （2）正方形的判定 正方形的判定没有固定的方法，只要判定既是矩形又是菱形就可以判定． 题型强化 题型一、矩形性质理解 1．（23-24八年级下·福建泉州·期末）下列命题错误的是（   ） A．矩形的对角线互相平分 B．矩形的对角线互相垂直 C．矩形的对边相等 D．矩形的四个角都是直角 2．（23-24八年级下·四川自贡·阶段练习）广场上布置矩形花坛，计划用盆花摆成两条对角线，如图形状。具体做法是先摆好一条对角线后，再到花房运盆花摆放第二条对角线。如果第一条对角线用了21盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线；如果第一条对角线用了24盆花，还需要运来 盆花摆另一条对角线． 3．（22-23八年级下·四川凉山·期末）如图，在矩形中，点E、F分别在和上，若．求证：四边形是平行四边形． 题型二、利用矩形的性质求角度 4．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图，矩形中，连接，延长至点，使，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·山西运城·期中）如图，在矩形中，点M在边上，,若，则的度数是 ．      6．（22-23八年级下·安徽滁州·阶段练习）如图，在矩形中，，相交于点，平分，交于点，若，求的度数．    题型三、根据矩形的性质求线段长 7．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，矩形面积为40，点P在边上，，，垂足分别为．若，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 8．（2022·青海·中考真题）如图矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点，，，，则图中阴影部分的面积为 ． 9．（23-24八年级下·全国·期末）如图，为矩形的边的中点，于点．若，，求的长． 题型四、根据矩形的性质求面积 10．（23-24八年级上·四川遂宁·期末）如图，矩形的长是，宽是，是对称中心，过点任意画一条直线，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·重庆大足·期末）如图， 点 E 是矩形内任一点， 若． 则图中阴影部分的面积为 ． 12．（23-24八年级下·河北承德·期中）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（阴影部分）”这一推论． 请根据下图完成这个推论的证明过程． 证明：因为 （____________+____________） 由已知条件可得： _____________=______________ _____________=______________ 所以 题型五、根据矩形的性质与判定求面积 13．（20-21八年级下·天津和平·期中）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交，于E、F，连接、．若，，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．10 B．12 C．16 D．18 14．（23-24八年级下·全国·期末）如图，点G在矩形的对角线上，且不与A，C重合，过点G分别作边平行线交两组对边于点E，F和点 M，N，则图中阴影部分，面积之间的关系是 ． 15．（22-23八年级下·山东聊城·期末）如图，在四边形中，，，，、两点到的距离分别为和，求四边形的面积．    题型六、利用菱形的性质求线段长 16．（23-24八年级下·云南昭通·期末）如图，菱形中，，则菱形的边长为（   ） A．4 B．3 C．5 D．6 17．（2024·四川·中考真题）如图，在菱形中，，则菱形的周长为 ． 18．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，四边形是菱形，对角线，交于点O，E是延长线上一点，且，，，求的长度． 题型七、利用菱形的性质证明 19．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在菱形中，对角线、相交于点，则下列结论成立的是（     ） A． B． C． D． 20．（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，菱形中，，，向内构造菱形版“赵爽弦图”，得到了两对全等三角形，四边形是矩形，，则矩形的面积为 ．      21．（22-23八年级下·山东济南·期末）如图，若O是菱形对角线的交点，作交于点E，试判断四边形的形状？请说明理由． 题型八、添一个条件使四边形是菱形 22．（23-24八年级下·山东滨州·期末）若四边形中，，，再添加一个下列条件能使其成为菱形的是（    ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在 中，E、F、D分别是边上的点，且，在不改变图形的前提下，请你添加一个条件 ，使四边形是菱形，并写出证明过程． 24．（23-24八年级下·吉林·期中）小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线，交于点O，，，求证：四边形是菱形．”之后她将自己的证明过程与同学小洁交流． 小惠：证明：，， 垂直平分， ，， 四边形是菱形． 小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明． 你赞同谁的证法？若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明． 题型九、根据菱形的性质与判定求线段长 25．（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，菱形中，，过对角线BD上一点P，作，，交各边于点M，N，F，Q．的四个顶点分别在菱形的四条边上，且经过点P，若要求的面积，只需知道线段（   ） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 26．（23-24八年级下·河南许昌·期中）如图，在的两边上分别截取，使，分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C，连接，若，四边形的面积为，则的长为 ． 27．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图①所示，有一张平行四边形纸片，将纸片沿着对角线剪开，形成两个全等的三角形，，，将沿着的方向以每秒的速度运动到图②中的位置，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，沿着的方向运动时间为秒， ①当为何值时，是菱形？请说明你的理由； ②能是矩形吗？若能，求出的值及此矩形的面积；若不能，说明理由． 题型十、根据正方形的性质求线段长 28．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，正方形的面积为50，则的长为（    ） A． B．5 C． D．10 29．（23-24八年级下·全国·期末）如图，矩形是由六个正方形组成，其中最小的正方形的面积为1，则此矩形的长为 ，宽为 ． 30．（24-25八年级下·全国·阶段练习）如图，将正方形折叠，使点B落在边的中点Q处，点A落在P处，折痕为．已知长为． (1)求线段的长； (2)线段的长． 题型十一、正方形折叠问题 31．（23-24八年级下·广东惠州·期中）将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，若五边形的面积是正方形面积的2倍，则的值是（    ） A． B． C． D． 32．（2023·江苏扬州·二模）如图，将正方形沿着、翻折，点、的对应点分别是点、，若，则 ． 33．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在正方形中，E为边上异于点A，B的一个动点，连接，点B关于的对称点为点F，与交于点M，延长，分别交直线于点G，H． (1)如图1，当点G在边上时，将点A关于对称，其对称点恰好与点F重合，交于点N． ①求证：四边形为矩形； ②连接并延长交于点K，若，，求正方形的面积； (2)如图2，若正方形的边长为9，随着长度的变化，探究点G的位置． 题型十二、正方形的判定定理理解 34．（23-24八年级下·全国·单元测试）下列命题是假命题的是（   ） A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．对角线相等的菱形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是正方形 35．（22-23八年级下·新疆阿克苏·期末）如图，数学课上老师给出了以下四个条件：a两组对边分别平行；b对角线互相平分；c对角线互相垂直；d一个角是直角．有三位同学给出了不同的组合方式：．你认为能得到正方形的是 ．（填写你认为正确的序号） 36．（20-21八年级下·全国·课后作业）（1）把一张长方形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片，为什么？ （2）如何从一块长方形木板中裁出一块最大的正方形木板呢？ 题型十三、（特殊）平行四边形的动点问题 37．（21-22八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以的速度沿．向点运动；点从点同时出发，以的速度沿边向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为．当为何值时，四边形为平行四边形？（ ）    A． B． C． D． 38．（22-23八年级下·河南驻马店·期末）如图在矩形中，，，为的中点，动点从点出发，以每秒的速度沿运动，最终到达点，若点运动的时间为秒，则当的面积为时，值为 ．    39．（23-24八年级下·全国·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点，的速度都是连接，，，设点，运动的时间为． (1)求为何值时，四边形是矩形； (2)求为何值时，四边形是菱形． 分层练习 一、单选题 1．已知在平行四边形中，下列条件：①；②；③；④平分．其中能说明平行四边形是矩形的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．下列判断正确的是（      ） A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形 C．两条对角线互相平分的四边形是矩形 D．两条对角线互相垂直的四边形是矩形 3．在菱形ABCD中AB＝5，AC＝8，BC边上的高为（　　） A．1.2 B．2.4 C．3.6 D．4.8 4．若等腰三角形的腰长为8，腰上的高为4，则此三角形的顶角是（   ） A． B． C．或 D．或 5．下列命题中，原命题和逆命题都是真命题的是（  ） A．矩形的对角线相等 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．菱形的四条边相等 D．四个角都相等的四边形是正方形 6．若直角三角形的两条直角边的长分别为 9 cm 和 12 cm，则斜边上的中线长为( ) A．4.5 cm B．6 cm C．7.5 cm D．10 cm 7．如图，第1个正方形（设边长为2）的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边…依此不断连接下去，通过观察与研究，写出第2012个正方形的边长a2012为（　　） A．a2012＝4（）2011 B．a2012＝2（）2011 C．a2012＝4（）2012 D．a2012＝2（）2012 8．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（1，2），则菱形OABC的面积是（　　） A． B． C．2+1 D．2﹣1 9．如图，在中，，，，为边上一动点，于点，于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．如图，将矩形沿折叠后点与重合.若原矩形的长宽之比为,则的值为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 11．菱形周长为40 cm，它的一条对角线长12 cm，则菱形的面积为 cm2 12．菱形是 图形，它的 就是它的对称轴．它有 对称轴，两条对称轴互相垂直． 13．有一个角是直角的平行四边形叫做 ．矩形的性质定理1：矩形的四个角都是 ．矩形的性质定理2：矩形的对角线 ． 14．如图，设四边形是边长为1的正方形，以正方形的对角线为边作第二个正方形，再以第二个正方形的对角线为边作第三个正方形，如此下去…，记正方形的边长，依上述方法所作的正方形的边长依次为，则 ． 15．如图，在矩形纸片中，边，，为边上的动点（点不与点，重合），将纸片沿折叠，当的长最小时，的长为 ． 16．如图，把一张长方形纸片沿着折叠后，点落在点处，点落在点处，若，则图中= 度．    17．如图，已知正方形的边长为5，点，分别在，上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为 ． 18．如图，在矩形中，，在边上存在一点E，沿直线把折叠，使点D恰好落在边上的F点处，若的面积为30，则的长为 ．    三、解答题 19．证明：菱形的面积等于其对角线乘积的一半． 20．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，，垂足为E，，求的度数． 21．如图，在四边形中，，是对角线的中点，连接，，，求证：． 22．如图，中，，为的中点，连接，延长至，作交延长线于，连接，若，，，求的长． 23．已知：如图，在四边形中，与不平行，E，F，G，H分别是，，，的中点．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当，四边形是怎样的四边形？证明你的结论． 24．已知菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点F在BC的延长线上，且CF=BC，连接DF，点G是DF中点，连接CG. 求证：四边形ECCD是矩形. 25．如图，在四边形中，，对角线交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 26．已知：l1∥l2∥l3∥l4，平行线l1与l2、l2与l3、l3与l4之间的距离分别为d1、d2、d3，且d1=d3=1，d2=2．我们把四个顶点分别在l1、l2、l3、l4这四条平行线上的四边形称为“格线四边形”． （1）如图1，正方形ABCD为“格线四边形”，则正方形ABCD的边长为　　． （2）矩形ABCD为“格线四边形”，其长：宽=2：1，求矩形ABCD的宽．（可用备用图） （3）如图1，EG过正方形ABCD的顶点D且垂直l1于点E，分别交l2，l4于点F，G．将∠AEG绕点A顺时针旋转30°得到∠AE′D′（如图2），点D′在直线l3上，以AD′为边在E′D′左侧作菱形AB′C′D′，使B′，C′分别在直线l2，l4上，求菱形AB′C′D′的边长．                 学科网（北京）股份有限公司 $$