专题02 勾股定理重难点题型专训（15大题型+15道提优训练）-2024-2025学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

专题02 勾股定理重难点题型专训（15大题型+15道提优训练） 题型一 用勾股定理解三角形 题型二 已知两点坐标求两点距离 题型三 勾股树（数）问题 题型四 以直角三角形三边为边长的图形面积问题 题型五 利用勾股定理求长度 题型六 利用勾股定理求面积 题型七 勾股定理与网格问题 题型八 勾股定理与折叠问题 题型九 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型十 利用勾股定理证明线段平方关系 题型十一 勾股定理的证明方法 题型十二 勾股定理与无理数 题型十三 以弦图为背景的计算题 题型十四 勾股定理中的最值问题 题型十五 用勾股定理构造图形解决问题 知识点01 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【经典例题一 用勾股定理解三角形】 【例1】（23-24八年级下·湖南株洲·期中）炭河古城作为我国首个周文化主题公园，备受大家追捧，如今已成为旅游热点．在如图是古城某个绿植拐角的平面图，为了不践踏绿植，需要避开“捷径”走横平竖直的路．已知米，米，请问与捷径相比多走了多少米？（   ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：在中，，，， ， 则少走的长度是． 故选：C． 1．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）已知中，，，且边上的高，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理分别求出和的值，即可求解． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵，， ∴， 故； 如图： 故． 故选：C. 2．（2024·湖南常德·模拟预测）如图，厂房屋顶人字形钢架（等腰三角形）的中柱（为底边中点）的长为，，则它的跨度为 m. 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、含角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点，掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 由等腰三角形的性质得，再由含角的直角三角形的性质得,再由勾股定理求出的长，进而求得的长即可． 【详解】解：∵，D为底边的中点，, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·湖南娄底·阶段练习）如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算即可解答； （）在中，利用勾股定理求出的长，再利用面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理进行计算即可解答； 本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：在中，，， ∴， ∵的面积， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴的长为． 【经典例题二 已知两点坐标求两点距离】 【例2】（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，的顶点分别在第一，二象限内，，则n的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵的顶点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故选C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟知坐标系中两点距离公式是解题的关键． 1．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据两点间距离公式求得相关线段的长，然后再代入判断即可． 【详解】解：∵，点，点，点 ∴, , , ∴A.，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项正确，符合题意；     C. ，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题主要考查了两点间距离公式，运用两点间距离公式求出相关线段的长成为解答本题的关键． 2．（2024·湖南株洲·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A(，1)在射线OM上，点B(，3)在射线ON上，以AB为直角边作Rt△ABA1，以BA1为直角边作第二个Rt△BA1B1，以A1B1为直角边作第三个Rt△A1B1A2，，依此规律，得到Rt△B2017A2018B2018，则点B2018的纵坐标为 ． 【答案】32019 【分析】根据题意，分别找到AB、A1B1、A2B2……及BA1、B1A2、B2A3……线段长度递增规律即可解答. 【详解】解：由已知可知， 点A、A1、A2、A3……A2018各点在正比例数的图象上，点B、B1、B2、B3……B2018各点在正比例函数的图象上， 两个函数相减得到横坐标不变的情况下两个函数图象上点的纵坐标的差为， 由已知，Rt△A1B1A2，……到Rt△B2017A2018B2018都有一个锐角为30°， 当A（B）点横坐标为时，由①AB＝2，则BA1＝，则点A1横坐标为＋＝， B1点纵坐标为9＝32， 当A1（B1）点横坐标为时，由 ①A1B1＝6，则B1A2＝，则点A2横坐标为＋＝， B2点纵坐标为27＝33， 当A2（B2）点横坐标为时，由①A2B2＝18，则B2A3＝， 则点A3横坐标为＋＝，B3点纵坐标为81＝34， 依此类推，点B2018的纵坐标为32019. 故答案为32019. 【点睛】本题是平面直角坐标系规律探究题，考查了含有特殊角的直角三角形各边数量关系，解答时注意数形结合． 3．（23-24八年级下·湖南永州·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离．例如．如图1，，则．             【直接应用】 (1)已知 ，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值； (3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是多少？ 【答案】(1) (2)的最小值为 (3) 【分析】本题三角形综合题，考查了最短路径，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）由两点间的距离公式可求出答案； （2）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出的最小值． （3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）如图，作点B关于x轴对称的点C，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当A、P、C三点共线时，最小，即此时最小，最小值为的长， ∵， ∴， ∴的最小值为； （3）∵把看成点到两点和的距离之和， ∴两点和的距离便是的最小值， ∴最小值为：． 【经典例题三 勾股树（数）问题】 【例3】（23-24八年级下·湖南益阳·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股定理求勾股数是解题的关键． 由题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵为正整数， ∴为偶数， 设其股是，则弦为， 由勾股定理得，， 解得， 弦是， 故选：A． 1．（23-24八年级下·湖南常德·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图， 由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， “生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023， 故选：A 2．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角都是直角三角形．若的边分别是，则最大的正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据正方形面积公式先求出、的值，再根据正方形的性质得到的值，最后利用勾股定理得，即得到正方形的面积，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵的边分别是，所有的三角都是直角三角形， ∴，， ∵所有的四边形都是正方形 ， ∴，， ∴利用勾股定理得，， ∴最大的正方形的面积为， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·全国·期末）能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察下列表格： 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 … … a，b，c (1)试找出它们的共同点，由它们的共同点得出并证明一个结论． (2)写出当时，b，c的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查勾股数，数字规律探究： （1）观察表格中的数据，得到三个数满足勾股定理，最小的数为奇数，另两个数为连续的正整数，且两个数的和等于最小的数的平方，推出设m为大于1的奇数，将 拆分为两个连续的整数之和，即 ，则m，n，就构成一组简单的勾股数． （2）利用（1）中的结论，进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知：共同点：①各组数均满足； ②最小的数是奇数，其余的两个数是连续的正整数； ③最小的数的平方等于另两个连续整数的和， 如 由以上共同点我们可得出这样一个结论：设m为大于1的奇数，将 拆分为两个连续的整数之和，即 ，则m，n，就构成一组简单的勾股数． 证明： （m为大于1的奇数）， ∴m，n，是一组勾股数． （2）由（1）中的结论可知，， 当时，， 解得：， 则． 【经典例题四 以直角三角形三边为边长的图形面积问题】 【例4】（23-24八年级下·湖南益阳·期末）如图，以直角三角形的各边为一边，在直角三角形的外侧作正方形，若正方形A、B的面积分别为9、25，则原直角三角形的面积为（    ）    A．4 B．6 C．12 D．16 【答案】B 【分析】先根据正方形面积公式求出的长，再利用勾股定理求出的长，最后利用三角形面积公式，即可求出原直角三角形的面积． 【详解】解：如图，直角三角形的两条直角边分别为、，斜边为， 正方形A、B的面积分别为9、25， ，， 、是正数， ，， 由勾股定理得：， 原直角三角形的面积为， 故选：B．    【点睛】本题考查了正方形面积公式，勾股定理，直角三角形面积公式解题关键是掌握直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 1．（23-24八年级·湖南株洲·期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝2，分别以三边为直径画半圆，则两个月形图案的面积之和（阴影部分的面积）是（　　） A． B．π C． D．π 【答案】A 【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据勾股定理求出AB，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝2， ∴BC＝AC＝1， 由勾股定理得，AB＝， ∴两个月形图案的面积之和＝×π×（）2+×π×（）2+×1×﹣×π×12＝， 故选A． 【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． 2．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为7，则正方形A、B、C、D的面积之和为 ． 【答案】49 【分析】根据正方形A，B，C，D的面积和等于最大的正方形的面积，求解即可求出答案． 【详解】如图对所给图形进行标注： 因为所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形， 所以正方形A的面积，正方形B的面积，正方形C的面积，正方形D的面积． 因为，， 所以正方形A，B，C，D的面积和． 故答案为：49． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、正方形的性质，面积的计算，掌握勾股定理是解本题的关键． 3．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图所示的一块地（图中阴影部分）∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，AB＝13，BC＝12． （1）求∠ACB的度数； （2）求阴影部分的面积． 【答案】（1）90°（2）24 【分析】（1）由勾股定理得到AC的值，再由勾股定理的逆定理得到∠ACB的度数； （2）用△ACB的面积减去△ADC的面积即可得解． 【详解】解：（1）在Rt△ADC中，由勾股定理得： AC＝， ∵AB＝13，BC＝12，AC＝5， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°； （2）阴影部分的面积． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理与三角形面积计算的综合应用，灵活应用勾股定理及其逆定理是解题关键． 【经典例题五 利用勾股定理求长度】 【例5】（23-24八年级下·湖南张家界·阶段练习）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．若，且，则的长度为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据，，是直角三角形，可以求得的值，再根据勾股定理可以求得的值． 【详解】解：解：∵，，是直角三角形， ∴， ∵是直角三角形，， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理、含角的直角三角形，解答本题的关键是明确题意，求出的值． 1．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD为△ABC的角平分线，则CD的长度为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】过D作DP⊥AP于P，根据角平分线的性质可知∠CAD=∠BAD，利用AAS定理可知△ACD≌△APD.在Rt△ABC中根据勾股定理得出AB的长，设DP=x，则DP=x，BD=3-x，在Rt△DPB中，利用勾股定理即可得出结论. 【详解】解：∵AC＝4，BC＝3，AB＝5， ∴BC2+AC2＝32+42＝52＝AB2， ∴∠C＝90°， 过D作DP⊥AP于P， ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD． 又∵DC⊥AC、DP⊥AB， ∴∠C＝∠APD． 在△ACD与APD中， ∵ ∴△ACD≌APD（AAS）， ∴AP＝AC＝4，CD＝PD， 设DP=x，则CD＝x，BD＝3﹣x， 在Rt△DPB中，∠DPB＝90°， ∴DP2+PB2＝DB2， 即x2+12＝（3﹣x）2， 解得 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键. 2．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图：在Rt△ABC，∠C＝90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为E，若AC＝4，BC＝3，则线段DE的长度为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出AB，求出BE，根据线段垂直平分线的性质求出AD＝BD，根据勾股定理求出BD，再求出答案即可． 【详解】解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5， 连接BD， ∵DE垂直平分AB， ∴BE＝AE＝AB＝，∠DEB＝90°，AD＝BD， 设AD＝BD＝x，则CD＝4﹣x， 在Rt△DCB中，由勾股定理得：CD2+BC2＝BD2， 即（4﹣x）2+32＝x2， 解得：x＝， 即BD＝， 在Rt△DEB中，由勾股定理得：DE＝＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理以及垂直平分线的性质，熟练运用勾股定理以及熟知垂直平分线的性质是解题的关键． 3．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度CE为16.6米 (2)他应该往回收线7米 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米， 答：风筝的高度为16.6米； （2）解：由题意得，， ， （米， （米， 他应该往回收线7米． 【经典例题六 利用勾股定理求面积】 【例6】（23-24八年级下·湖南怀化·期中）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，小聪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理得：， 由题意得：， 故①、②、③、④正确， 故选：D 1．（2024·湖南岳阳·模拟预测）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系．我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．由它可以推导出很多重要的公式．如图，两个直角边分别为，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形，用“算两次”的方法，探究，，之间的数量关系可以验证的是（    ）    A．勾股定理 B．平方差公式 C．完全平方公式 D．比例的性质 【答案】A 【分析】第一次利用梯形的面积公式计算，第二次利用图形的面积和计算，从而得到公式，进而选出答案． 【详解】解：第一次利用梯形的面积公式，图形面积为：， 第二次利用图形的面积和计算为：， ∴， 整理得：， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用及勾股定理，解题的关键是利用图形面积计算． 2．（23-24八年级下·湖南常德·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是 ． 【答案】9 【分析】根据题意可知，直角三角形的面积为，斜边为，再根据三角形面积公式和勾股定理，得到，，最后利用完全平方公式即可得到答案． 【详解】解：大正方形的面积是41，小正方形的面积是1， 直角三角形的面积为，斜边为， 设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a， ，， ， 或（舍）， 故答案为9． 【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式，根据图形求得和的值是解题关键． 3．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形， 那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为“双腰三角形”． (1)如图1，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证是的双腰分割线． (2)如图2，已知中，，是的双腰分割线，且，求的度数． (3)在（2）的条件下，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理； （1）由线段垂直平分线的性质可得，可得，由外角的性质可得，即可求解； （2）由等腰三角形的性质可得，即可求解； （3）过点作于点，由勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：线段的垂直平分线交于点， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， 是的一条双腰分割线； （2）解：是三角形的双腰分割线，且． ， ， ， ； （3）解：过点作于点， ， ， 中，， ∴． 【经典例题七 勾股定理与网格问题】 【例7】（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理在网格中的应用，连接，根据勾股定理算出、、，得到，，再结合勾股定理逆定理判断为直角三角形，最后利用等腰三角形性质，即可解题． 【详解】解：如图，连接， 由题知，，，， ，， ，为直角三角形，即， ． 故选：C． 1．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． 先通过勾股定理和逆定理证明出，再用等面积法求出，即可求出． 【详解】解：根据题意利用勾股定理计算出： ， ， ∴是直角三角形，， ， ， 解得：， ∴， 故选：B． 2．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）磁力棋的棋盘为的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小于． 根据以上规则，回答下列问题： （1）如图，小颖在棋盘A，B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是 ； （2）棋盘最多可摆放 颗互不相吸的磁力珠． 【答案】 20 【分析】此题考查了网格与勾股定理，正确掌握勾股定理的计算是解题的关键： （1）根据勾股定理计算到点A，B，C的距离即可判断； （2）根据题意画出图形即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴不符合要求； ∵， ∴符合要求， 故答案为； （2）如图所示，连接， 可以发现：四边形为边长为的正方形， 以为边长，在四边形基础上继续做正方形，格点处的点即为满足条件的磁力珠， 故答案为20． 3．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）观察正方形方格，每个小正方形的边长均是1． (1)如图1，求阴影正方形的面积和边长； (2)图2是的正方形方格，请在图2中画出长为的线段，并说明理由． 【答案】(1)5； (2)画图见解析；理由见解析 【分析】题目主要考查算术平方根的应用及网格与勾股定理． （1）利用网格与勾股定理求出的平方即正方形的面积，再利用算术平方根即可求出边长的值． （2）利用网格与勾股定理画出的线段即可． 【详解】（1）解：因为， 所以阴影正方形的面积是5； 边长长为． （2）解：如图，线段就是长为的线段． 理由： 【经典例题八 勾股定理与折叠问题】 【例8】（23-24八年级下·湖南怀化·期末）如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解． 连接，，由于，则，在和中由勾股定理求得的值． 【详解】解：设，则：， 连接，，    在中，， 在中，， ∵折叠， ， ， 即， 解得，即， 故选：B． 1．（23-24八年级下·湖南常德·期末）如图，直角三角形纸片中，，．D为斜边的中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与交于点；设的中点为，第2次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第3次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第n次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用、勾股定理、直角三角形的性质等知识点问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质等知识点；对猜想、判断能力也提出了一定的要求．根据题意，分别求出、、的长度，经猜想可得出的表达式，即可求解． 【详解】解：由题意得： ∵直角三角形，， ∴， ∵D为斜边上的中线， ∴， 第1次折叠：， 第2次折叠：， 第3次折叠：， ∴归纳可得：第n次折叠，， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，在直角三角形纸片中，，，，是的中点，是上的一个动点，将三角形纸片沿折叠，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形：当时，当时，由直角三角形的性质结合勾股定理分别求解即可． 【详解】解：如图中，当时， ， ， ∴，，共线， ∵是的中点， ∴， ∵， ， 设，则， 在中，则有， 解得， ； 如图中，当时，， ∴根据折叠可知：， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为或． 故答案为：或． 3．（23-24八年级下·湖南益阳·阶段练习）如图，在长方形纸片中，，，按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，求的长． 【答案】的长为． 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，根据折叠的性质，由长方形纸片中，，再由勾股定理即可求解，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】解：根据折叠可知：， ∵长方形纸片中，，， ∴，， ∴中，根据勾股定理，得， ∴， 解得：， 答：的长为． 【经典例题九 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例9】（2024·湖南张家界·二模）如图，△ABC中，AB⊥BC，AB＝2CB，以C为圆心，CB为半径作弧交AC于点D，以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设AB＝2a，BC＝a，则AC＝a，利用勾股定理求得AE的长，即可得出AE：AB的值． 【详解】∵BC⊥AB， ∴∠ABC＝90°， 设AB＝2a，BC＝a，则AC＝a， ∵CD＝BC＝a， ∴AD＝AC﹣CD＝（﹣1）a， ∵AE＝AD， ∴AE＝（﹣1）a， ∴ ＝． 故选：C． 【点睛】此题考查勾股定理以及黄金分割的运用，正确掌握勾股定理是解题的关键． 1．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，已知中，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为1，之间的距离为2，则=（） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】过点A作AD⊥，过点C作CE⊥，可证，∆DAB≅∆EBC，由勾股定理，可得，，进而，求出AC的值. 【详解】过点A作AD⊥，过点C作CE⊥， ∵∠ADB=∠CEB=90°， ∴∠DAB+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90°， ∴∠DAB=∠CBE， 又∵， ∴∆DAB≅∆EBC（AAS）， ∴AD=BE=2，BD=CE=2+1=3， ∴在Rt∆DAB中，，即AB=， ∴在Rt∆ABC中，， ∴AC=,故选C. 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质定理以及勾股定理，熟悉“一线三垂直”模型，是解题的关键. 2．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，中，，以AC、BC为直径作半圆S1和S2，且，则AB的长为 ． 【答案】4 【分析】由勾股定理得，解得，结合计算解答即可． 【详解】解：由勾股定理得， ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查勾股定理、半圆面积的求法等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 3．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为， 【分析】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点． （1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质、勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. ∵ ∴， 即， 解得：． 【经典例题十 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例10】（23-24八年级下·湖南常德·期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ）    ①        ② ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理． 由和都是等腰直角三角形，可证，进而根据“”可证，故结论①正确；由可得，进而可证结论②正确；由和都是等腰直角三角形可得，从而证得，进而得到，，因此，故结论③正确；在中，，在中，，因此，等量代换即可得到，故结论④正确． 【详解】∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； ∵在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴，故结论④正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：D 1．（2024·湖南益阳·一模）如图，在四边形中，，与相交于H，且．①；②；③；④．其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①无法证明；②条件不足，无法证明；③依据，运用勾股定理即可得到；④依据，且，运用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，即可得到． 【详解】解：在四边形中，与不一定相等， 故①；②都不一定成立， ∵， ∴中，； 中，； 中，； 中，； ∴，故③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等腰三角形，， 是等腰三角形，， ∴ ，故④正确． 综上所述，真命题的个数是2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了命题与定理，解决问题的关键是掌握勾股定理以及等腰三角形的性质． 2．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 3．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 【经典例题十一 勾股定理的证明方法】 【例11】（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理，熟练掌握利用图形面积相等证明勾股定理是解题的关键．利用同一个图形的面积的不同表示方法进行验证即可． 【详解】解：图1：延长，交于点F，如图所示： ， ， ∴， 即，故图1符合题意； 图2：补成一个边长为的大正方形，如图所示： 则大正方形的面积为：， 将大正方形看作边长为c的小正方形和四个直角三角形的面积之和，则大正方形的面积为：， ∴， ∴， ∴，故图2符合题意； 图3：，， ∴， 整理得，故图3满足题意； 图4无法证明直角三角三边关系，故图4不符合题意； 综上分析可知：以用来验证勾股定理的有3个． 故选：C． 1．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，小聪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的证明，直角三角形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型．根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题． 【详解】解：由勾股定理得：， 由题意得：， 故①、②、③、④正确， 故选：D 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确得出是解题的关键． 【详解】解：如图， 在直角中，由勾股定理得， ， ， 将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形， ， ， ， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏常州·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理． (1)把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，可得．请用a，b，c分别写出梯形，四边形，的面积，再根据这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)若图1中，，图3中方格纸中的小正方形的边长为1，请你用两种不同的方式将图1中两个全等的直角三角形放入图3的两个五边形中，并涂上阴影，则图3（1）中空白部分的面积为________，图3（2）中空白部分的面积为________，从而得到． (3)用（2）中4个全等的直角三角形（，）拼成如图4中的形状，则这个图形外围轮廓（实线）的周长为________． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析，25，25 (3)20 【分析】本题考查了勾股定理的证明和应用，掌握三角形和正方形面积计算公式是解决问题的关键． （1）由题意可知，，，，得到，然后代入整理求解即可； （2）根据题意画出图形，然后表示出图（1）中空白面积和图（2）中空白面积，进而求解即可； （3）首先根据勾股定理求出，然后由，得到，然后证明出，证明出，得到，设，则，根据勾股定理求出，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，    ∵，， ∴图3（1）中空白面积； 图3（2）中空白面积． ∴； （3）如图所示，    ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴中，， ∴， 解得， ∴， 同理可得，， ∴这个图形外围轮廓（实线）的周长． 故答案为：20． 【经典例题十二 勾股定理与无理数】 【例12】（24-25八年级下·广东梅州·期中）如题图，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，先用勾股定理求出，再根据数轴上的点与实数的对应关系，即可求出点表示的数，熟练掌握相关知识点是关键． 【详解】解：由图可知两条直角边的长为2和1，根据勾股定理得： ， 点表示的数为， 故选：B． 1．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图在中，，，，在上截取，在上截取，在数轴上，为原点，则点对应的实数是（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出，进而求出的长即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴P点对应的实数是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、实数与数轴等知识点，由勾股定理求出的长是解题的关键． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理可得，即得，据此即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵点表示原点，点表示的数为 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·广东深圳·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是数形结合的产物，用数轴上的点可以直观地表示实数，从而建立起“数”与“形”之间的联系． (1)如图1，点是原点，点对应的实数为，过点作垂直于数轴，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，那么点对应的实数为 ； (2)在（1）的条件下，若将线段向右平移，使得点对应的实数为1，那么此时点对应的实数为 ； (3)如图2，点对应的实数是3，射线垂直数轴于点，请在数轴上作出对应的点．（要求：尺规作图并保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理等知识．熟练掌握实数与数轴，勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理得，，则点对应的实数为； （2）由题意知，此时点对应的实数为； （3）由题意知，，如图，在上取，连接，由，如图，取点，表示的数为，然后以为圆心，为半径画弧，右侧交点即为，点即为所作． 【详解】（1）解：由题意知，， 由勾股定理得，， ∴点对应的实数为， 故答案为：； （2）解：由题意知，此时点对应的实数为； 故答案为：； （3）解：由题意知，， 如图，在上取，连接， ∵， ∴如图，取点，表示的数为，然后以为圆心，为半径画弧，右侧交点即为，点即为所作． 【经典例题十三 以弦图为背景的计算题】 【例13】（24-25八年级下·浙江温州·期中）欧几里得《几何原本》中给出一种证明勾股定理的方法．如图，在中，，四边形、四边形、四边形和四边形都是正方形．若的面积为3，正方形的面积为13，则正方形的面积为（） A．16 B．19 C．25 D．37 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，三角形面积公式，完全平方公式的应用，熟练根据勾股定理中的边长关系进行转换代入是解题的关键． 设，，，根据三角形的面积表示出，表示出正方形的面积，然后根据勾股定理的出，然后表示出正方形的面积，然后将勾股定理中的边长关系与已知条件代入求解即可． 【详解】解：设，，． 的面积为3， ，即， 正方形的面积为13， ， 在中， ， 正方形的面积为． 把与代入可得： ． 所以正方形的面积为25． 故选：C． 1．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P，如图所示，若正方形的面积为28，，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，先证明，则，设，，根据勾股定理建立方程求出；再根据图形面积之间的关系，证明两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，再由中间正方形面积等于大正方形面积减去4个全等的直角三角形的面积列式计算即可． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴， 设， ∵， ∴， 中，由勾股定理得：， ∴， ∴，即，    设交于点M，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∵ ， ∴的值是； 故选：A． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为27，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理．由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知、、分别为、、的中点，可推出阴影部分的四个直角三角形面积相等，每一个都为正方形面积的一半，从而阴影部分总面积为正方形面积的3倍，即可得正方形面积为9，继而得，由勾股定理可求得的长． 【详解】解：由四边形与四边形均为正方形，点是的中点，可知、、分别为、、的中点， 且， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，，显然．（对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半） (1)请用a，b，c分别表示出四边形，梯形的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，在中，，是边上的高，，求的长度； (3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，构造直角三角形是解题的关键． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积进行计算即可； （3）利用勾股定理求出，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 化简得：； （2）解：在中，，， ， 是边上的高， ， ； （3）解：设， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ． 【经典例题十四 勾股定理中的最值问题】 【例14】（2024·山东济南·一模）如图，在等腰中，，．在、上分别截取、，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若点、分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（   ）    A．9.6 B．10 C．12 D．12.8 【答案】A 【分析】本题考查作图—基本作图、等腰三角形的性质等知识．过点作于点，交于点，由作图过程可知，为的平分线，结合可得垂直平分，则．可知当点与点重合，点于点重合时，取得最小值，最小值为线段的长，结合三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点作于点，交于点，    由作图过程可知，为的平分线， ， 垂直平分， ，，． 当点与点重合，点于点重合时，，为最小值． 在中，由勾股定理得，， ， ， ， 的最小值为9.6． 故选：A． 1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，中，，，O为中点，点P在边上，且，点Q为边上一动点，将沿直线翻折，使得点B落在点M，连接，则长的最小值为（    ） A．1.5 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，连接，根据，进行求解即可． 【详解】解：连接，则：， ∵，，O为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴；即：的最小值为； 故选D． 2．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角形的三边关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角形的三边关系是解题的关键．由折叠性质可知，然后根据三角形的三边关系可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠的性质可知， ∵， ∴当、、三点在同一条直线时，取最小值，最小值即为； 故答案为：． 3．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一动点，边与相交，．求证： (1)求证：； (2)若，求的长； (3)在点D的运动过程中，求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)13 (3) 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可证明，进而可证； （2）证明，根据勾股定理，进而求出的值． （3）由勾股定理得，则最小时，最小，当时即可，再根据直角三角形的性质得到，即可求解． 【详解】（1）证明：与都是等腰直角三角形， ，， ， 与都是等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， （负值舍去）； （3）解：如图： ∵是等腰直角三角形，， ∴ 当时，最小，则最小， ∵， ∴ ∵ ∴和均是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质，垂线段最短，等腰三角形的性质，能够灵活运动勾股定理是解本题的关键，综合性较强． 【经典例题十五 用勾股定理构造图形解决问题】 【例15】（23-24八年级下·山东青岛·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设绳索的长是x，则，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】设绳索的长是，则， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即绳索的长是， 故选：B． 1．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点B作，观察图形可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点B作，如图， 观察图形可知：，， 在中，， ∴门口A到藏宝点B的直线距离是， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是结合图形，读懂题意，根据题意找到需要的数量关系，运用勾股定理求线段的长度． 2．（2024·广东深圳·一模）如图， 是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为，面积是25的正方形的四个顶点分别在这四条直线上，那么的值是 ． 【答案】 【分析】过点作构造全等三角形，利用全等三角形的性质得到关于正方形面积的方程，然后解方程求解即可． 【详解】解：过点作交于点，交于点， 在正方形中， 又 ∵正方形的面积为25， 或（舍去） 故答案为： 【点睛】本题主要考查全等三角形及勾股定理和正方形面积的关系，通过辅助线构造全等三角形并利用勾股定理列方程是解决本题的关键． 3．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点，，，之间的位置关系有以下三种情形； ①如果轴，则， ②如果轴，则， ③如果与轴、轴均不平行，如图，过点作与轴的平行线与过点作与轴的平行线相交于点，则点坐标为，，由①得；由②得；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式． 小试牛刀：（1）若点坐标为，点坐标为则　5　； （2）若点坐标为，点坐标为则　　； （3）若点坐标为，点坐标为则　　； 【学以致用】若点坐标为，点坐标为，点P是x轴上的动点，当取得最小值时，请直接写出的最小值为 ； 【挑战自我】已知， 根据数形结合，直接写出的最小值　　；的最大值　　；    【答案】【小试牛刀】（1）5 ；（2）6；（3）5 ；【学以致用】 ；【挑战自我】    ； 【分析】本题考查学生的阅读理解能力，解题的关键是正确理解题意，仿照题意求出答案，本题考查学生综合能力，属于中等题型． 小试牛刀：（1）利用两点间的距离公式进行解答； （2）利用两点间的距离公式进行解答； （3）利用两点间的距离公式进行解答； 学以致用：利用轴对称的性质求得点的坐标以及的最小值； 挑战自我：利用、所表示的几何意义解答． 【详解】解：小试牛刀：（1）． 故答案为：5； （2）． 故答案为：6； （3）． 故答案为：5； 学以致用：如图， 点坐标为， 点关于轴对称的点的坐标是， 此时． 故答案为：． 挑战自我：， 当取最小值时，表示点与点的距离与点与点的距离之和（或表示点与点的距离与点与点的距离之和）， 此时．， 当取最大值时，表示点与点的距离与点与点的距离之差（或表示点与点的距离与点与点的距离之差）， 此时． 故答案为：；． 1．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B的坐标分别为，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 【答案】A 【分析】根据两坐标点之间的距离公式求出，，的长度即可判断． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为，， ∴，，， 则， ∴是等腰三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查两坐标点之间的距离公式：已知两点坐标，，可得，掌握两坐标点之间的距离公式是解决问题的关键． 5．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，是的中线，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，熟练掌握相关定理性质，根据题意，作正确的辅助线，是解答本题的关键． 过点作交的延长线于点，过点作于点，证明，得到，，设，则，利用勾股定理得到，，再根据等量关系，得到，，，最后再利用勾股定理得到答案． 【详解】解：过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示， ， ，， 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， 设，则， 在中， ，，， ，， ，， ， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 故，，， ， 由勾股定理得： ， ． 故选：． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形，，，的面积之和为(　　)    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，从而可解决问题． 【详解】解：∵所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形， ∴正方形A的面积=a2，正方形B的面积=b2， 正方形C的面积=c2，正方形D的面积=d2， 又∵a2+b2=x2，c2+d2=y2， ∴正方形A、B、C、D的面积和=（a2+b2）+（c2+d2）=x2+y2=72=49（cm2）． 故选：D．    【点睛】本题考查了勾股定理，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 4．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，将折叠，使A与的中点D重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合运用以上知识是解题的关键． 设，则由折叠的性质可得，根据中点的定义可得，在中，根据勾股定理可得关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设，由折叠的性质可得， 是的中点， ， 在中，， 解得． 故线段的长为4， ∴． 故选：B． 5．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，整式的混合运算．由阴影部分的面积为，得到，得到，根据三角形的面积公式列方程得到，求得，于是得到． 【详解】解：由题意得， ∵正方形的面积为， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴(负值已舍)， ∴， 故选：C． 6．（23-24八年级下·山东临沂·期中）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是和，则第三个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第三个数，再根据勾股数判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当第三个数是直角边时，第三个数； 当第三个数是斜边时，第三个数； ∵三个数是一组勾股数， ∴当第三个数为时，不合题意，舍去， ∴第三个数是， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·北京海淀·期末）已知在正方形网格中的位置如图所示．设的余角为，则 ．（填“” “”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，余角的性质，取格点，连接，可得为等腰直角三角形，即得，得到，进而可得，据此即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：取格点，连接， 由网格得，，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴的余角为， ∴， 故答案为：． 8．（2020·山东滨州·模拟预测）如图，点是正方形内一点，且点到点、、的距离分别为、、，则正方形的面积为 ． 【答案】/ 【分析】将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于．由旋转的性质可知，，进而根据等腰直角三角形的性质得到，再根据勾股定理得到，再由直角三角形斜边上的中线得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于． 由旋转的性质可知，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ，，共线， ， ， ， ， ， 正方形的面积为． 故答案为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，正确构造旋转图形是解题的关键． 9．（23-24八年级下·福建泉州·期末）把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点，，在同一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于，，的代数恒等式，则这个恒等式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．先证是等腰直角三角形，由面积和差关系可得结论． 【详解】∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）以下有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中，于点，尺，尺．则的长度为 尺． 诗文： 波平如镜一湖面，半尺高处生红莲 亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边 离开原处二尺远，花贴湖面象睡莲 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意、运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，然后由勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， ∴，即，解得：， ∴的长度为尺． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期中）请在如图所示的数轴上标出表示无理数的点．（要画出作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】本题考查了实数与数轴，解题关键是结合勾股定理在确定表示无理数的点．以1为直角边作等腰直角三角形，其斜边的长为，然后以为圆心，为半径在数轴的正半轴上截取，则点为所求． 【详解】解：在数轴上标出表示无理数的点，如下图点所示， 12．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 13．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，将边长为的正方形折叠，使点D落在边的中点E处，点A落在F处，折痕为． (1)求线段长． (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，翻折问题关键是找准对应重合的量，哪些边、角是相等的，本题中翻折是解题的关键． （1）设长度为．由题意得，，在中，，根据勾股定理得：，建立方程求解即可； （2）连接，设的长度为，在中，，根据勾股定理得：，在中，，根据勾股定理得；，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设长度为． 由题意得，， 在中，，根据勾股定理得：， 解得： ∴线段的为； （2）解：连接，设的长度为． 由题意得，， ∴在中，，根据勾股定理得：， 在中，，根据勾股定理得；， 解得： 的长为． 14．（24-25八年级下·河南郑州·期中）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设，，，请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积． 【答案】(1)①见解析；②； (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，能用不同的方法表示出正方形的面积及巧用整体思想是解题的关键． ①用两种不同的方法去求正方形的面积即可． ②利用①中发现的结论即可解决问题． 设，根据勾股定理建立关于m的方程即可解决问题． 【详解】（1）解：①证明：中间小正方形的边长为， 小正方形的面积为 又四个直角三角形的面积为：， 大正方形的面积为： 又大正方形的边长为c， 大正方形的面积还可以表示为， ； ②解：由①可知， ， ， ， ， ， 舍负， 即直角三角形两直角边之和为； （2）解：设， ， 外围轮廓实线的周长为48， ， 则 在中， ， 解得， 即， ． 15．（23-24八年级下·云南昆明·期末）阅读下列材料，完成（1）、（2）小题.在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，如果，是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离，如图1，过点、分别向轴、轴作垂线，和，，垂足分别是，，，，直线交于点，在中，，∴∴,我们称此公式为平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式 （1）直接应用平面内两点间距离公式计算点，的距离为_________ （2）如图2，已知在平面直角坐标系中有两点，，为轴上任意一点，求的最小值 【答案】（1）5；（2） 【分析】（1）利用两点间的距离公式解答； （2）作点关于轴对称的点，连接，交轴于，点即为所求，再利用两点间的距离公式求解即可． 【详解】解：（1） 故答案为5              （2）如图2，作点关于轴对称的点，连接，交轴于，点即为所求． ∵∴                ∴    ∴的最小值为 【点睛】本题考查了一次函数综合题．解答（2）题时，是根据“两点之间，线段最短”来找点P的位置的． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理重难点题型专训（15大题型+15道提优训练） 题型一 用勾股定理解三角形 题型二 已知两点坐标求两点距离 题型三 勾股树（数）问题 题型四 以直角三角形三边为边长的图形面积问题 题型五 利用勾股定理求长度 题型六 利用勾股定理求面积 题型七 勾股定理与网格问题 题型八 勾股定理与折叠问题 题型九 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型十 利用勾股定理证明线段平方关系 题型十一 勾股定理的证明方法 题型十二 勾股定理与无理数 题型十三 以弦图为背景的计算题 题型十四 勾股定理中的最值问题 题型十五 用勾股定理构造图形解决问题 知识点01 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【经典例题一 用勾股定理解三角形】 【例1】（23-24八年级下·湖南株洲·期中）炭河古城作为我国首个周文化主题公园，备受大家追捧，如今已成为旅游热点．在如图是古城某个绿植拐角的平面图，为了不践踏绿植，需要避开“捷径”走横平竖直的路．已知米，米，请问与捷径相比多走了多少米？（   ） A．2米 B．3米 C．4米 D．5米 1．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）已知中，，，且边上的高，则的长为（    ） A． B． C．或 D． 2．（2024·湖南常德·模拟预测）如图，厂房屋顶人字形钢架（等腰三角形）的中柱（为底边中点）的长为，，则它的跨度为 m. 3．（23-24八年级下·湖南娄底·阶段练习）如图，已知中，，，垂足为点，是边上的中线． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 【经典例题二 已知两点坐标求两点距离】 【例2】（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，的顶点分别在第一，二象限内，，则n的值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 1．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖南株洲·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A(，1)在射线OM上，点B(，3)在射线ON上，以AB为直角边作Rt△ABA1，以BA1为直角边作第二个Rt△BA1B1，以A1B1为直角边作第三个Rt△A1B1A2，，依此规律，得到Rt△B2017A2018B2018，则点B2018的纵坐标为 ． 3．（23-24八年级下·湖南永州·期中）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离．例如．如图1，，则．             【直接应用】 (1)已知 ，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值； (3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是多少？ 【经典例题三 勾股树（数）问题】 【例3】（23-24八年级下·湖南益阳·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，，；7，，；这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，；8，，；若此类勾股数的勾为，为正整数），则弦是（结果用含的式子表示）（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·湖南常德·期中）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2022次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．1 2．（24-25八年级下·湖南永州·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角都是直角三角形．若的边分别是，则最大的正方形的面积为 ． 3．（23-24八年级下·全国·期末）能够成为直角三角形三边长的三个正整数，我们称之为一组勾股数，观察下列表格： 3，4，5 5，12，13 7，24，25 9，40，41 … … a，b，c (1)试找出它们的共同点，由它们的共同点得出并证明一个结论． (2)写出当时，b，c的值． 【经典例题四 以直角三角形三边为边长的图形面积问题】 【例4】（23-24八年级下·湖南益阳·期末）如图，以直角三角形的各边为一边，在直角三角形的外侧作正方形，若正方形A、B的面积分别为9、25，则原直角三角形的面积为（    ）    A．4 B．6 C．12 D．16 1．（23-24八年级·湖南株洲·期末）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝2，分别以三边为直径画半圆，则两个月形图案的面积之和（阴影部分的面积）是（　　） A． B．π C． D．π 2．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，该图形是由直角三角形和正方形构成，其中最大正方形的边长为7，则正方形A、B、C、D的面积之和为 ． 3．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图所示的一块地（图中阴影部分）∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝3，AB＝13，BC＝12． （1）求∠ACB的度数； （2）求阴影部分的面积． 【经典例题五 利用勾股定理求长度】 【例5】（23-24八年级下·湖南张家界·阶段练习）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图所示的四边形．若，且，则的长度为（    ） A． B． C．4 D． 1．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD为△ABC的角平分线，则CD的长度为（　　） A．1 B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图：在Rt△ABC，∠C＝90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为E，若AC＝4，BC＝3，则线段DE的长度为 ． 3．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【经典例题六 利用勾股定理求面积】 【例6】（23-24八年级下·湖南怀化·期中）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，小聪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2024·湖南岳阳·模拟预测）数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系．我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．由它可以推导出很多重要的公式．如图，两个直角边分别为，的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形，用“算两次”的方法，探究，，之间的数量关系可以验证的是（    ）    A．勾股定理 B．平方差公式 C．完全平方公式 D．比例的性质 2．（23-24八年级下·湖南常德·期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积是41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是 ． 3．（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）如果一个三角形能被一条线段分割成两个等腰三角形， 那么称这条线段为这个三角形的双腰分割线，称这个三角形为“双腰三角形”． (1)如图1，在中，，线段的垂直平分线交于点，交于点．求证是的双腰分割线． (2)如图2，已知中，，是的双腰分割线，且，求的度数． (3)在（2）的条件下，若，，求的面积． 【经典例题七 勾股定理与网格问题】 【例7】（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25八年级下·湖南怀化·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）磁力棋的棋盘为的正方形网格，每个小正方形网格的边长为1．磁力珠（近似看成点）可放在网格交点处，摆放时要求任意两颗磁力珠不吸到一起．若两颗磁力珠不吸到一起，则它们之间的距离应不小于． 根据以上规则，回答下列问题： （1）如图，小颖在棋盘A，B，C三处放置了互不相吸的三颗磁力珠．若她想从中选择一个位置再放一颗磁力珠，与其他磁力珠互不相吸，则她选择的位置是 ； （2）棋盘最多可摆放 颗互不相吸的磁力珠． 3．（24-25八年级下·湖南株洲·期末）观察正方形方格，每个小正方形的边长均是1． (1)如图1，求阴影正方形的面积和边长； (2)图2是的正方形方格，请在图2中画出长为的线段，并说明理由． 【经典例题八 勾股定理与折叠问题】 【例8】（23-24八年级下·湖南怀化·期末）如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是（     ）    A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·湖南常德·期末）如图，直角三角形纸片中，，．D为斜边的中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与交于点；设的中点为，第2次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第3次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点；设的中点为，第n次将纸片折叠，使点A与点重合，折痕与交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·湖南株洲·期中）如图，在直角三角形纸片中，，，，是的中点，是上的一个动点，将三角形纸片沿折叠，连接，当是直角三角形时，的长为 ． 3．（23-24八年级下·湖南益阳·阶段练习）如图，在长方形纸片中，，，按如图方式折叠，使点与点重合，折痕为，求的长． 【经典例题九 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例9】（2024·湖南张家界·二模）如图，△ABC中，AB⊥BC，AB＝2CB，以C为圆心，CB为半径作弧交AC于点D，以A为圆心，AD长为半径画弧交AB于点E，则的值是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，已知中，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为1，之间的距离为2，则=（） A． B． C． D．5 2．（23-24八年级下·湖南永州·期中）如图，中，，以AC、BC为直径作半圆S1和S2，且，则AB的长为 ． 3．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 【经典例题十 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例10】（23-24八年级下·湖南常德·期末）如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ）    ①        ② ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2024·湖南益阳·一模）如图，在四边形中，，与相交于H，且．①；②；③；④．其中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·湖南怀化·期中）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则 ．    3．（23-24八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【经典例题十一 勾股定理的证明方法】 【例11】（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）到目前为止勾股定理的证明方法已约有500种，这些证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力．如图所示可以用来验证勾股定理的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24八年级下·浙江湖州·期中）意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设左边图中空白部分的面积为，右边图中空白部分的面积为，小聪同学得出了以下四个结论：①；②；③；④．则其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）勾股定理的证明方法多样，如图是“水车翼轮法”证明勾股定理：将正方形沿分割线，分割成四个全等四边形，再将这四个四边形和正方形拼成大正方形．若，则的长为 ． 3．（24-25八年级下·江苏常州·期中）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，图1中的2个全等的直角三角形可以拼成不同的图形，用来证明勾股定理． (1)把两个全等的直角和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，可得．请用a，b，c分别写出梯形，四边形，的面积，再根据这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)若图1中，，图3中方格纸中的小正方形的边长为1，请你用两种不同的方式将图1中两个全等的直角三角形放入图3的两个五边形中，并涂上阴影，则图3（1）中空白部分的面积为________，图3（2）中空白部分的面积为________，从而得到． (3)用（2）中4个全等的直角三角形（，）拼成如图4中的形状，则这个图形外围轮廓（实线）的周长为________． 【经典例题十二 勾股定理与无理数】 【例12】（24-25八年级下·广东梅州·期中）如题图，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图在中，，，，在上截取，在上截取，在数轴上，为原点，则点对应的实数是（    ）      A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在数轴上点表示原点，点表示的数为，，垂足为，且，以点为圆心，长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为 ． 3．（24-25八年级下·广东深圳·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．数轴是数形结合的产物，用数轴上的点可以直观地表示实数，从而建立起“数”与“形”之间的联系． (1)如图1，点是原点，点对应的实数为，过点作垂直于数轴，且，连接，以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，那么点对应的实数为 ； (2)在（1）的条件下，若将线段向右平移，使得点对应的实数为1，那么此时点对应的实数为 ； (3)如图2，点对应的实数是3，射线垂直数轴于点，请在数轴上作出对应的点．（要求：尺规作图并保留作图痕迹） 【经典例题十三 以弦图为背景的计算题】 【例13】（24-25八年级下·浙江温州·期中）欧几里得《几何原本》中给出一种证明勾股定理的方法．如图，在中，，四边形、四边形、四边形和四边形都是正方形．若的面积为3，正方形的面积为13，则正方形的面积为（） A．16 B．19 C．25 D．37 1．（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P，如图所示，若正方形的面积为28，，则的值是（    ）    A． B． C． D． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图所示的图案是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》中“赵爽弦图”经修饰后的图形，四边形与四边形均为正方形，点是的中点，阴影部分的面积为27，则的长为 ． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角和如图2放置，，显然．（对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半） (1)请用a，b，c分别表示出四边形，梯形的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，在中，，是边上的高，，求的长度； (3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 【经典例题十四 勾股定理中的最值问题】 【例14】（2024·山东济南·一模）如图，在等腰中，，．在、上分别截取、，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若点、分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（   ）    A．9.6 B．10 C．12 D．12.8 1．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，中，，，O为中点，点P在边上，且，点Q为边上一动点，将沿直线翻折，使得点B落在点M，连接，则长的最小值为（    ） A．1.5 B．2 C． D． 2．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ． 3．（24-25八年级下·浙江温州·阶段练习）如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一动点，边与相交，．求证： (1)求证：； (2)若，求的长； (3)在点D的运动过程中，求的最小值． 【经典例题十五 用勾股定理构造图形解决问题】 【例15】（23-24八年级下·山东青岛·期中）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（    ） A． B． C．6 D． 1．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发到达藏宝点B，则门口A到藏宝点B的直线距离是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东深圳·一模）如图， 是同一平面内的四条平行直线，且每相邻的两条平行直线间的距离为，面积是25的正方形的四个顶点分别在这四条直线上，那么的值是 ． 3．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）阅读理解：在平面直角坐标系中，任意两点，，，之间的位置关系有以下三种情形； ①如果轴，则， ②如果轴，则， ③如果与轴、轴均不平行，如图，过点作与轴的平行线与过点作与轴的平行线相交于点，则点坐标为，，由①得；由②得；根据勾股定理可得平面直角坐标系中任意两点的距离公式． 小试牛刀：（1）若点坐标为，点坐标为则　5　； （2）若点坐标为，点坐标为则　　； （3）若点坐标为，点坐标为则　　； 【学以致用】若点坐标为，点坐标为，点P是x轴上的动点，当取得最小值时，请直接写出的最小值为 ； 【挑战自我】已知， 根据数形结合，直接写出的最小值　　；的最大值　　；    1．（23-24八年级下·山东济宁·阶段练习）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A，B的坐标分别为，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，是的中线，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形，，，的面积之和为(　　)    A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，将折叠，使A与的中点D重合，折痕为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．连接、、、．若正方形的面积为，阴影部分的面积为．则的长度为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·山东临沂·期中）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是和，则第三个数是 ． 7．（24-25八年级下·北京海淀·期末）已知在正方形网格中的位置如图所示．设的余角为，则 ．（填“” “”或“”） 8．（2020·山东滨州·模拟预测）如图，点是正方形内一点，且点到点、、的距离分别为、、，则正方形的面积为 ． 9．（23-24八年级下·福建泉州·期末）把两个全等的直角三角形拼成如图所示的形状，使点，，在同一条直线上，利用此图的面积表示式可以得到一个关于，，的代数恒等式，则这个恒等式是 ． 10．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）以下有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图，其中，于点，尺，尺．则的长度为 尺． 诗文： 波平如镜一湖面，半尺高处生红莲 亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边 离开原处二尺远，花贴湖面象睡莲 11．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期中）请在如图所示的数轴上标出表示无理数的点．（要画出作图痕迹） 12．（23-24八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，在中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 13．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，将边长为的正方形折叠，使点D落在边的中点E处，点A落在F处，折痕为． (1)求线段长． (2)求线段的长． 14．（24-25八年级下·河南郑州·期中）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．赵爽利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，在验明勾股定理，为中国古代以形证数形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范． (1)如图1，是小琪制作的一个“赵爽弦图”纸板． ①设，，，请你利用图1验证：； ②若大正方形的边长为13，小正方形的边长为7，求直角三角形两直角边之和为多少？ (2)如图2，小昊把四个全等的直角三角板紧密地拼接在一起，已知外围轮廓实线的周长为48，，求这个图案的面积． 15．（23-24八年级下·云南昆明·期末）阅读下列材料，完成（1）、（2）小题.在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，如果，是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离，如图1，过点、分别向轴、轴作垂线，和，，垂足分别是，，，，直线交于点，在中，，∴∴,我们称此公式为平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式 （1）直接应用平面内两点间距离公式计算点，的距离为_________ （2）如图2，已知在平面直角坐标系中有两点，，为轴上任意一点，求的最小值                    学科网（北京）股份有限公司 $$