精品解析：江苏省南通市职业学校2023-2024学年高三上学期校际联考数学试题

南通市2023－2024学年度职业学校 高三年级第一学期校际联考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，若，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合的交集的概念和运算，结合题意，即可求解. 【详解】因为集合，， 又， 所以或，解得. 此时，，符合题意，故. 故选：B. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分必要条件判断即可. 【详解】因为，所以或，故充分性不成立， 当时，成立，故必要性成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3. 下列不等式正确的是（ ） A. 若，则（） B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质，结合题意即可判断求解. 【详解】若，则（）一定成立，故选项A正确； 若，当时，则，故选项B错误； 若，则不一定成立，也可能，故选项C错误； 若，若异号时，则，故选项D错误. 故选：A. 4. 不等式的解集是空集，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的性质即可求解. 【详解】若不等式的解集为空集， 则， 所以. 故选：C 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数括号内的内容等价，可知，解绝对值不等式即可. 【详解】因为函数的定义域为，即， 所以， 所以， 所以函数的定义域为. 故选：B. 6. 设是定义域在上的偶函数，且，若时，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合函数得周期性和奇偶性，即可求解． 【详解】因为， 所以函数是一个周期函数，最小正周期为4， 又当时，， 所以， 因为是定义域在上的偶函数， 所以. 故选：B. 7. 已知，且，则下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合余弦的二倍角公式先求出角的正弦值和余弦值，结合三角函数的诱导公式，即可求解. 【详解】因为，所以， 即， 可化为，或， 又因为，所以，， 故，故选项A正确； ，故选项B错误； ，故选项C错误； ，故选项D错误； 故选：A 8. 如图是函数部分图象，则函数的解析式可为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图象可知，函数的最值和周期即可求解. 【详解】由图象知：， 解得，则，所以，排除B. 由图知，时，函数取最小值， 时，， 所以，排除C. 时，， 所以，取，则， 函数的解析式可为，A正确； ，D错误. 故选：A. 9. 已知数列满足，，则（ ） A. 61 B. 62 C. 63 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】利用数列的递推关系即可求解. 【详解】由，得，则，， ，，. 故选：C. 10. 设第一象限内的点满足若目标函数的最大值是4，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】由线性约束条件求出最优解，代入线性目标函数可得，利用展开整理，由基本不等式即可求最小值. 【详解】由，可得， 根据条件画出可行域如下图： 由图像可知，当直线经过点A时，直线的纵截距最大，此时的最大值为4. 由，得，即. 将代入，，可得， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最小值为4. 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若实数满足，则的值域是________. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据一元二次不等式的解法求解的范围，再由对数函数的单调性确定值域即可. 【详解】已知实数满足， 即，解得， 因为在为增函数， 所以， 即， 所以的值域是， 故答案为：. 12. 已知函数（且）的图像恒过点，且点在直线上，则________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据指数型函数恒过定点问题，令，即可求出点的坐标，代入直线方程即可求解. 【详解】因为（且）， 令，即， 即函数恒过定点， 因为点在直线上， 所以， 即. 故答案为：2. 13. 已知函数，，如果点是角终边上一点，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义及两角和的正弦公式进行求解即可． 【详解】由已知：，则，， ， 故答案为：. 14. 等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使新的数列也是一个等差数列，则该数列的第43项为________. 【答案】##32.5 【解析】 【分析】结合等差数列的定义、性质与通项公式求解. 【详解】等差数列中，设公差为d， ，， 所以，， 解得，. 设新的等差数列为， 则公差为，. 所以, 故. 故答案为：. 15. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性，结合题意，即可求解． 【详解】当时，为单调增函数， 所以当时，函数取得最大值， 当时，， 因为函数是上的增函数， 所以，解得. 即实数的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知关于x的不等式的解集为. （1）求实数m，n值； （2）解关于x的不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值不等式和解集范围即可解得. （2）根据指数函数单调性转化为解一元二次不等式即可解得. 【小问1详解】 由题，不等式， 即， 又不等式解集为， 即，解得. 【小问2详解】 由（1）得原不等式可化为， 又函数为增函数， 则，即， 解得或， 故原不等式的解集为 17. 已知为二次函数且方程的两个根为1和3，是幂函数，且和都经过点. （1）求的值域； （2）求函数的定义域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，可设，，将已知点代入，即可求得函数解析式，结合二次函数配方法，即可求得函数得值域； （2）根据题意，可设，将已知点代入，即可求得函数解析式，结合二次不等式的解法，即可求得函数得定义域. 【小问1详解】 由题意，方程的两个根为1和3， 设，， 将点代入得， ， ， ， 时，函数取得最小值，即， 的值域为. 【小问2详解】 设，是常数， 将点代入得，， ， ， 由，即， ，或， 的定义域为. 18. 已知定义在上的函数对任意，恒有，且当时，，. （1）判断函数在上的单调性并加以证明； （2）解不等式： 【答案】（1）是上的单调减函数；证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用函数单调性的的定义，即可证明； （2）根据题意，先求出函数值为2的自变量x的值，结合函数的定义域，利用函数的单调性，即可列式求解. 【小问1详解】 是上的单调减函数，证明如下： 任取，且，则， ， ， 即， ， 是上的单调减函数. 【小问2详解】 ， ， 即， 由（1）知，是上的单调减函数， 所以，即， 所以， 即原不等式解集为. 19. 已知不等式的解集为. （1）求实数b和c的值； （2）若一元二次不等式的解集为，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理，即可求解； （2）根据题意，结合二次不等式恒成立的问题，即可求解. 【小问1详解】 因为不等式的解集为， 所以是方程的两个根， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）知， 所以不等式为， 即一元二次不等式在上恒成立， 所以，即， 解得， 所以a的取值范围是. 20. 已知函数 （1）求函数的最小值及取到最小值时的集合； （2）在中，为角所对的边，若，，且的面积为，求c的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合两角和的正弦公式，将函数解析式化为正弦型函数，结合正弦函数的图象和性质，即可求得函数的最小值，及对应的取值集合； （2）根据题意，先求出角C，结合正弦定理、三角形面积公式，即可求得a和b的值，代入余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 因为 ， 当时，函数取得最小值，即， 此时，，即， 即的取值集合为. 【小问2详解】 ，， ，或，， 即或， 在中，，， 又，即，由正弦定理得， 因为， 所以，，，， 由余弦定理， . 21. 某企业生产甲，乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．试问一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨时可获得利润最大，最大利润是多少？ 【答案】分别生产甲，乙各3吨，4吨，获利最大为27万元 【解析】 【分析】根据题意，列出线性约束条件及目标函数，通过平移直线，即可找到最优解，继而求解. 【详解】由题意，设生产甲产品吨，乙产品吨，获得利润为， 则目标函数，线性约束条件为， 根据线性约束条件作出可行域如图： 由得，表示直线在轴上截距的3倍. 作直线并平移，则当经过点A时最大， 所以，解得，， . 即分别生产甲，乙各3吨，4吨，获利最大为27万元. 22. 某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，需另增加投入0.25万元，市场对此商品的年需求量为5百台，销售收入（单位：万元）函数为，其中是产品生产的数量（单位：百台）. （1）将利润表示为产量函数； （2）年产量是多少时，企业所得利润最大？最大利润为多少？ 【答案】（1） （2）年产量为475台时，企业所获利润最大为万元 【解析】 【分析】（1）根据利润销售收入成本，代入解析式求解即可. （2）由利润函数是二次函数，可以利用二次函数的性质求出函数取最大值时对应的自变量的值． 【小问1详解】 设利润为y，依题意： . 【小问2详解】 由（1）得，， 其图象以为对称轴， 因为，所以时， . 故：年产量为475台时，企业所获利润最大为万元. 23. 已知数列满足，为其前项的和，且. （1）求的值； （2）求证：； （3）判断数列是否为等差数列，并说明理由. 【答案】（1）1 （2）证明见解析 （3）是，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由已知，令可求解； （2）根据，，赋值作差可证明结论； （3）由（2）知，根据等差数列的定义可判断. 【小问1详解】 当时，，， 因为，所以； 【小问2详解】 当，时，， ，， ，整理可得， ； 【小问3详解】 由（2）则， （常数）， 是以为首项，1为公差的等差数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南通市2023－2024学年度职业学校 高三年级第一学期校际联考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知集合，，若，则实数（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. “”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 下列不等式正确的是（ ） A. 若，则（） B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 不等式的解集是空集，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 设是定义域在上的偶函数，且，若时，，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 已知，且，则下列各式正确的是（ ） A B. C. D. 8. 如图是函数部分图象，则函数的解析式可为（ ） A. B. C. D. 9. 已知数列满足，，则（ ） A. 61 B. 62 C. 63 D. 64 10. 设第一象限内的点满足若目标函数的最大值是4，则的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若实数满足，则的值域是________. 12. 已知函数（且）的图像恒过点，且点在直线上，则________. 13. 已知函数，，如果点是角终边上一点，则的值为________. 14. 等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使新数列也是一个等差数列，则该数列的第43项为________. 15. 已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是________. 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知关于x的不等式的解集为. （1）求实数m，n的值； （2）解关于x的不等式. 17. 已知为二次函数且方程的两个根为1和3，是幂函数，且和都经过点. （1）求的值域； （2）求函数的定义域. 18. 已知定义在上的函数对任意，恒有，且当时，，. （1）判断函数在上的单调性并加以证明； （2）解不等式：. 19. 已知不等式的解集为. （1）求实数b和c的值； （2）若一元二次不等式解集为，求实数a的取值范围. 20. 已知函数 （1）求函数的最小值及取到最小值时的集合； （2）在中，为角所对的边，若，，且的面积为，求c的值. 21. 某企业生产甲，乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨．试问一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各多少吨时可获得利润最大，最大利润是多少？ 22. 某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，需另增加投入0.25万元，市场对此商品的年需求量为5百台，销售收入（单位：万元）函数为，其中是产品生产的数量（单位：百台）. （1）将利润表示为产量的函数； （2）年产量是多少时，企业所得利润最大？最大利润为多少？ 23. 已知数列满足，为其前项的和，且. （1）求的值； （2）求证：； （3）判断数列是否为等差数列，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$