8.2 立体图形的直观图 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

人教2019A版必修 第二册 第八章 立体几何初步 8.2 立体图形的直观图 1．掌握斜二测画法画水平设置的平面图形的直观图． 2．通过观察和类比，利用斜二测画法画出空间几何体的直观图． 教学目标 请你说出下面几何体分别是什么几何体？ 长方体 五棱锥 圆柱 圆锥 圆台 四棱台 这些图形就是空间几何体的直观图 问题引入 把平面图形画在纸上或黑板上，那很简单。要把立体图形画在纸上或黑板上，实际上是把本来不完全在同一个平面内的点的集合，用同一个平面内的点来表示。这时画在纸上或黑板上的图形，已经不是普通地平面图形，而是立体图形的直观图。立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。 思考：如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？ 利用平行投影，人们获得的画直观图的方法是斜二测画法。 要画出空间几何体的直观图, 应先学会水平放置的平面图形的的画法． 例如：用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图． x . . . . . . . . . . y o 解：①以正方形的中心为原点，平行与边的直线为x轴,y轴建立如图所示的坐标系； ②建立∠x’o’y’=45°的坐标系 ③平行于x、y轴的线段在斜二测坐标系中仍平行于x’、y’轴，但横向长度不变，纵向长度减半 . . . . . X’ . . . . . y’ O’ x . . . . . . . . . . y o 斜二测画法 探究新知 观察以下两幅图， ①矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状? ②眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状? 上述现象与我们初中学习过“投影”有关。 一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关，而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关。 投影规律： 1.平行性不变，但形状、长度、夹角会改变； 2.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变； 3.在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投影长不变。 学习新知 观察：三角板在不同光照投影下的投影效果 在一束平行光线照射下形成的投影 平行投影 利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法 PART 平面图形的直观图画法 02 应用新知 练习.如图，用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图 应用新知 例1.用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图 补充新知 画直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题.生活的经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，因此我们一般用椭圆作为圆的直观图.实际画图时常用如图所示的椭圆模板. 　在立体几何中，还常用正等测画法画水平放置的圆。 补充新知 PART 空间几何体的直观图画法 03 学习新知 用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 学习新知 画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与𝒙轴、𝒚轴都垂直的𝒛轴，并且使平行于𝒛轴的线段的平行性和长度都不变。 例2.已知长方体的长、宽、高分别是3cm，2cm，1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图 学习新知 应用新知 例3. 已知圆柱的底面半径为1 𝑐𝑚，侧面母线长3 𝑐𝑚，画出它的直观图. A B o' A B o' B' A' 应用新知 对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线。 画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆。同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性。 应用新知 例4.某简单几何体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合.画出这个组合体的直观图.已知圆柱的底面半径为1 𝑐𝑚，侧面母线长3 𝑐𝑚，画出它的直观图. 分析：画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体 以及它们的组合方式，然后再画直观图本题中没有尺寸要求，画图时只需 选择合适的大小，表达出该几何体的结构特征就可以了。 解：如图，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图. PART 典型例题分析 04 典例精析 题型一：画水平放置的平面图形的直观图 典例精析 题型二：画空间几何体的直观图 例5. 画一个底面边长为2cm，高为3cm的正三棱柱和正三棱锥的直观图。 画轴。 画底面 画侧棱 成图 y x z y' x' O' y' x' O' 典例精析 题型三：直观图的还原与计算 典例精析 题型三：直观图的还原与计算 题型三：直观图的还原与计算 (1)利用平行 ：利用在斜坐标轴上的线段、与斜坐标轴平行的线段、平行线段仍然平行的性质等确定原平面图形的形状; (2)注意长度 ：根据“横不变、纵减半”的计算法则求出相应线段的长度,再计算面积、周长等 直观图的还原技巧 圆的直观图一般不用斜二测画法，因此它们的面积不一定满足此关系. 直观图与原图形面积之间的关系 例１ 用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图 解：（1）在六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点O。画相应的 轴和 轴，两轴相交于点 ，使 （2）以 为中心，在 轴上取 ，在 轴上取 ，以点 为中心，画 平行与 轴，并且等于BC；再以 为中心，画 平行于 轴，并且等于EF。 (3)连接 ，并擦去辅助线 轴和 轴，便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图 。 斜二测画法规则： （1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的 轴和 轴,两轴相交于O,且使 ,它们确定的平面表示水平面； （2）已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 轴或 轴的线段； （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。横同竖半 画直观图时，除多边形外，还会遇到画圆的直观图的问题，生活经验告诉我们，水平放置的圆看起来象椭圆，因此一般用椭圆作为圆的直观图，画图时，常用如图椭圆模板。 常用的一些空间图形的平面画法 例2.已知长方体的长,宽,高分别是3cm,2cm,1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图。 解：画法： （1）画轴。画x轴，y轴，z轴，三轴交于点O， 使 (2)画底面.在x轴正半轴上取线段AB, 使AB=3cm;在y轴上取线段AD,使 AD=1cm.过点B作y轴的平行线过点D 作x轴的平行线,设它们的交点为C, 则平行四边形ABCD就是长方体的底 面ABCD的直观图。 (3)画侧棱.在z轴正半轴上取线段 AA'，使AA'=1.5cm,过B，C，D各 点分别作z轴的平行线,并在这些 平行线上分别截取1.5cm长的线 段BB',CC', DD'. (4)成图. 顺次连接A',B',C', D', 并加以整理（去 掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线)就可得到 长方体的直观图. 例3.已知圆柱的底面半径为1cm.侧面母线长3cm，画出它的直观图。 解：（1）画轴。如图，画x轴，y轴，z轴，使 A B （2）画下底面。以O 为中点，在x轴上取线 段AB，使OA=OB=1cm,利用椭圆模板画 椭圆，使其经过A，B两点。这个椭圆 就是圆柱的下底面。 （3）画上底面。在Oz上截取点 ，使 =3cm，过点 作平行于Ox的轴 。 类似下底面的做法作出圆柱的上底面。 （4）成图。连接 ，整理得到圆柱的直观图。 圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，再借助于圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线。 画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆，同时还经常画出经过球心得截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性。 例4.某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合。画出这个组合体的直观图。 解：画法：如图，先画出圆柱的上下底面， 再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点， 最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母。 C 10 (1)过点C作CE⊥x轴，垂足为点E，如图①所示， 画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°， 如图②所示． (2)如图②所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′ ＝OB，O′E′＝OE；在y′轴上取一点D′，使得 O′D′＝OD；过点E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC. 【解析】 (3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一 些辅助线，如图③所示，四边形O′B′C′D′就 是所求的直观图． 小 结 $$