9.2 正态分布 课件-2023-2024学年高二下学期高教版(2021)中职数学拓展模块一（下册）

第九章 随机变量及其分布 9.2 正态分布 中职高教（2021）数学拓展模块下册（修订版） 01 新课导入 03 课堂小结 02 新课讲解 04 拓展延伸 目录 新课导入 第一部分 PART 01 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 在日常生活和生产实践中,经常还会遇到这样一类随机变量，它们受众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素共同作用，其概率分布往往服从或近似服从正态分布. 新课导入 新课讲解 第二部分 PART 02 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 如图所示为高尔顿钉板实验的示意图，每一圆点表示钉在木板上的一颗钉子，所有相邻钉子之间的距离均相等．在入 口处放入一个直径小于两颗钉子之问距离的小圆球，在小圆球向下降落的过程中，碰到钉子后皆以0.5的概率向左或向右滚下，直到最后落入木板下方的空槽内.试作小球落入空槽内的频率分布直方图. 新课讲解 正态分布 把空槽从左向右分成区间段，根据实验数据可得如图所示的频率分布直方图. 如果把上述小球落入的区间从左往右编号1,2,…,10,那么区间的编号ξ可以看做离散型随机变量. 新课讲解 若将相邻钉子之间的距离逐渐缩小,则上述频率分布直方图中的折线就会逐渐接近下图中的钟形曲线,称为正态曲线.相应 于上述正态曲线，其随机变量ξ的取值范围是一个区间，称这样的随机变量为连续型随机变量. 新课讲解 对于上图所示的正态曲线，可以用左图中阴影部分的面积F(x1<5<x2)表示连续型随机变量ξ取值于区间(x1, x2)的概率，用右图中阴影部分的面积F(x)表示连续型随机变量ξ取值于区间(-∞, x)的概率，容易看出，对于随机变量ξ的每一个值x 都有唯一的 F(x)与之相对应，称F(x)为连续型随机变量ξ的正态分布. 新课讲解 研究表明，正态曲线的方程为 其中σ和μ是两个参数.习惯上,与正态曲线f(x)对应的正态分布记为 N(μ, σ ²).有时，也说随机变量ξ服从参数为σ和μ的正态分布，记作ξ ~ N(μ, σ ²). 在生产实践和科学研究中，经常会遇到类似的随机现象. 如，测量的误差、某地区人群的身高、某月的平均气温等. 新课讲解 图中画出的是μ=0时某些正态曲线. 可以看出，正态曲线具有以下基本性质：  (1)曲线在x轴上方，并且关于直线x=μ对称；  (2)曲线在x=μ时处于最高点，呈现“中间高，两边低”的钟形形状； (3)当μ确定时，曲线的形状依赖于σ的取值. σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 新课讲解 参数μ=0， σ =1 的正态分布称为标准正态分布，记作N(0,1). 当随机变量ξ服从标准正态分布时，将ξ的取值小于x的概率记作Φ(x)，即Φ(x)=P(ξ <x)，其几何意义是图中的阴影部分的面积. 一般地， Φ(x)可通过查标准正态分布表(见附录)得到. 新课讲解 可以证明Φ(x)有如下性质： Φ(-x)=1-Φ(x). 当随机变量ξ服从正态分布N(μ, σ²)时，有以下计算公式. 新课讲解 解 例1 若ξ ~N(0,1)，查表计算：  (1) P(ξ <2.8) ；  (2) P(ξ ≥2)；  (3) P(ξ <-1).  (1) 查表可知，P(ξ <2.8)= Φ(2.8)=0.9974  ； (2) P(ξ ≥2)=1-P(ξ <2)=1-Φ(2)=1-0.9972=0.0228 ； (3) P(ξ <-1)=Φ(-1)=1-Φ(1)=1-0.8413=0.1587.  例题讲解 解 例2 若ξ ~N(0,2²)，查表计算：  (1) P(ξ <3) ；  (2) P(ξ ≥-2).  例题讲解 可以看出，服从正态分布的随机变量ξ几乎总是取之于区间(μ-3σ, μ+3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.0026，也就是说ξ在此区间以外取值是小概率事件，这种情况在一次试验中是几乎不可能发生的，在实际应用中，通常认为服从正态分布N(μ,σ²)的随机变量ξ只取区间(μ-3σ, μ+3σ)内的值，这就是正态分布的3σ原则. 研究表明，服从正态分布N(μ,σ²)的随机变量ξ在区间(μ-σ, μ+σ)， (μ-2σ, μ+2σ)， (μ-3σ, μ+3σ)内取值的概率分别是0.6826，0.9544，0.9974，如图所示. 新课讲解 解 例2 在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从正态分布 N(120, 100).  (1)求考生成绩ξ位于区间(110, 130).内的概率；  (2)若此次考试共有2000名考生，试估计成绩在区间(100,140)内的考生人数. 根据题意， ξ ~N(120,100)，μ=120， σ =10.  (1) P(110< ξ <130) = P(μ-σ < ξ < μ+σ) = 0.6826，所以，考生成绩位于区间(110, 130)内的概率是 0.6826；  (2) P(100< ξ <140) = P(μ-2σ < ξ < μ+2σ) = 0.9544，即考生成绩在区间(100,140)内的概率为 0.954 4.  于是，成绩在区间(100,140)内的考生大约有  2000×0.954 4 =1909(人). 例题讲解 2.某校高三男生共1000人. 他们的身高X (cm)近似服从正态分布 N(176,16), 身高在区间(172,180)内的男生人数大约有多少？  1. 设ξ ~N(1,9)，求P ξ (ξ≥13)和P(ξ <4).  课堂练习 3. 某批灯有10000 个，其寿命服从正态分布N(1000,100²) (单位：小时)，试估计寿命在下列范围内的灯的个数.  (1) (900，1100) ；  (2) (800，1200). 课堂练习 课堂小结 第三部分 PART 03 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 课堂小结 拓展延伸 第四部分 PART 04 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 课后作业 1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 在PPT软件中双击 图标打开配套讲稿 第九章 随机变量及其分布 9.2 正态分布 中职高教（2021）数学拓展模块下册（修订版） 授课 题目 9.2 正态分布 选用教材 高等教育出版社《数学》 （拓展模块一下册） 授课 时长 2 课时 授课类型 新授课 教学提示 本课从高尔顿钉板实验引入，借助频率分布直方图引出了正态曲线和正态分布的概念．正态曲线方程是一个非常难的知识点，课标并没有对此提出要求，教学中可一带而过． 教学目标 了解正态分布的概念与正态曲线；了解利用标准正态分布表计算服从正态分布的随机变量的概率；初步了解用正态分布和正态曲线解决实际问题的方 法．培养和提升学生的数学运算、逻辑推理和数学建模等核心素养．通过学习利用正态分布解决生活中的实际问题，感受数学来源于生活，并服务于生活； 通过学习，逐步提升数学运算、数据分析、逻辑推理和数学建模等核心素养． 教学 重点 正态分布的概念；正态分布的概率计算. 教学 难点 正态分布在实际问题中的简单应用. 教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图 引入 在日常生活和生产实践中，经常还会遇到这样一类随机变量，它们受众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素共同作用，其概率分布往往服从或近似服从正态 分布. 引发思考 了解领会 引出课题 如图所示为高尔顿钉板实验的示意图，每一圆点表示 钉在木板上的一颗钉子，所有相邻钉子之间的距离均相等．在入口处放入一个直径小于两颗 钉子之问距离的小圆球，在小圆球向下降落的过程中，碰到钉子后皆以 0.5 的概率向左或向右滚下，直到最后落入木板下方的空槽内.试作小球 落入空槽内的频率分布直方图. 提出 观察 用经 问题 思考 典实 情境 引发 讨论 验创 导入 思考 交流 设学 习情 境 把空槽从左向右分成区间段，根据实验数据可得如图所示的频率分布直方图. 如果把上述小球落入的区间从左往右编号 1,2,…,10, 那么区间的编号 ξ 可以看做离散型随机变量. 讲解 理解 教学 中， 只要 求学 生记 新知探索 提示 领会 住会用即 可， 说明 要点 对公 式的 推导 证明 可做 简单 若将相邻钉子之间的距离逐渐缩小,则上述频率分布 的解 直方图中的折线就会逐渐接近下图中的钟形曲线,称为正 态曲线.相应 于上述正态曲线，其随机变量 ξ 的取值范围 释说 明， 是一个区间，称这样的随机变量为连续型随机变量. 不进 展示图形 观察特征 行深入研究 对于上图所示的正态曲线，可以用左图中阴影部分的面积 F(x1<5<x2)表示连续型随机变量 ξ 取值于区间(x1, x2) 的概率，用右图中阴影部分的面积 F(x)表示连续型随机变 讲解 理解 量 ξ 取值于区间(-∞, x)的概率，容易看出，对于随机变量 ξ 的每一个值 x 都有唯一的 F(x)与之相对应，称 F(x)为连 续型随机变量 ξ 的正态分布. 研究表明，正态曲线的方程为 提示说明 领会要点 学生了解指导知道即可 其中 σ 和 μ 是两个参数.习惯上,与正态曲线 f(x)对应的 正态分布记为 N(μ, σ ²).有时，也说随机变量 ξ 服从参数为 σ 和 μ 的正态分布，记作 ξ ~ N(μ, σ ²). 在生产实践和科学 研究中，经常会遇到类似的随机现象. 如，测量的误差、 某地区人群的身高、某月的平均气温等. 展示 观察 图形 特征 图中画出的是 μ=0 时某些正态曲线. 可以看出，正态曲线具有以下基本性质： (1)曲线在 x 轴上方，并且关于直线 x=μ 对称； 讲解 领会 (2)曲线在 x=μ 时处于最高点，呈现“中间高，两边低” 分析 要点 的钟形形状； (3)当 μ 确定时，曲线的形状依赖于 σ 的取值. σ 越大， 曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ 越小，曲线越 “瘦高”，表示总体的分布越集中. 参数 μ=0， σ =1 的正态分布称为标准正态分布，记作 N(0,1). 当随机变量 ξ 服从标准正态分布时，将 ξ 的取值小于 x 的概率记作 Φ(x)，即 Φ(x)=P(ξ<x)，其几何意义是图中的阴影部分的面积. 一般地， Φ(x)可通过查标准正态分布表(见附录)得到. 可以证明 Φ(x)有如下性质： Φ(-x)=1-Φ(x). 当随机变量 ξ 服从正态分布 N(μ, σ²)时，有以下计算公 式. P  ≥ a  1  Φ  a    ,      P   b  Φ  b    ，      P a ≤  b  Φ  b     Φ  a    .           展示 观察 图形 特征 此处 要求 较 低， 只作 了解 要求 讲解 领会 分析 要点 例 1 若 ξ ~N(0,1)，查表计算： (1) P(ξ <2.8) ； (2) P(ξ≥2)； (3) P(ξ <-1). 解 (1) 查表可知，P(ξ <2.8)= Φ(2.8)=0.9974 ； (2) P(ξ ≥2)=1-P(ξ <2)=1-Φ(2)=1-0.9972=0.0228 ； (3) P(ξ <-1)=Φ(-1)=1-Φ(1)=1-0.8413=0.1587. 例 2 若 ξ ~N(0,2²)，查表计算： (1) P(ξ <3) ； (2) P(ξ≥-2). 解 (1) P(ξ <3)= Φ  3  1 = Φ(1)=0.8413；  2    (2) P(ξ≥-2) =1- Φ  2  1  =1-Φ(-1.5)=1-[1-Φ(1.5)]  2    = Φ(1.5)=0.9332. 例 1 提问 思考 和例 引导 分析 2 直 接应 用标 准正 态分 典型 布和 例题 讲解强调 解决交流 整体 分布知识 计算 求值 指导分析 主动求解 解决问题 新知探索 研究表明，服从正态分布 N(μ,σ²)的随机变量 ξ 在区间 (μ-σ, μ+σ)， (μ-2σ, μ+2σ)， (μ-3σ, μ+3σ)内取值的概率分别是 0.6826，0.9544，0.9974，如图所示. 介绍 领会 简单了 解， 展示图形 比较观察 拓宽知识面，对知 识形 可以看出，服从正态分布的随机变量 ξ 几乎总是取之于区间(μ-3σ, μ+3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有 0.0026，也就是说 ξ 在此区间以外取值是小概率事件，这 种情况在一次试验中是几乎不可能发生的，在实际应用 成完整认识 中，通常认为服从正态分布 N(μ,σ²)的随机变量 ξ 只取区间 (μ-3σ, μ+3σ)内的值，这就是正态分布的 3σ 原则. 例 3 在某次数学考试中，考生的成绩 ξ 服从正态分布 N(120, 100). (1) 求考生成绩 ξ 位于区间(110, 130).内的概率； (2) 若此次考试共有 2000 名考生，试估计成绩在区间 (100,140)内的考生人数. 解 根据题意，ξ ~N(120,100)，μ=120， σ =10. (1) P(110< ξ <130) = P(μ-σ < ξ < μ+σ) = 0.6826，所以， 考生成绩位于区间(110, 130)内的概率是 0.6826； (2) P(100< ξ <140) = P(μ-2σ < ξ < μ+2σ) = 0.9544，即考 生成绩在区间(100,140)内的概率为 0.9544. 于是，成绩在区间(100,140)内的考生大约有 2000×0.954 4 =1909(人). 引领分析 尝试解决 3σ 原则 及简 单应 用 练习 9.2 1. 设 ξ ~N(1,9)，求 P ξ (ξ≥13)和P(ξ <4). 2. 某校高三男生共 1000 人. 他们的身高 X (cm)近似服从正态分布 N(176,16), 身高在区间(172,180)内的男生人数大约有多少？ 3. 某批灯有 10000 个，其寿命服从正态分布 N(1000,100²) (单位：小时)，试估计寿命在下列范围内的灯的个数. (1) (900，1100) ； (2) (800，1200). 提问 思考 及时 掌握 学生 巩固 巡视 动手 情况 练习 求解 查漏 补缺 指导 交流 归纳总结 引导提问 回忆反思 培养学生总结学习过程能力 布置作业 1. 书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》； 2. 查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾; 3. 拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 说明 记录 继续探究延伸 学习 $$