6.5 三角计算的应用 课件-2023-2024学年高二下学期高教版(2021)中职数学拓展模块一（下册）

第六章 三角计算 6.5 三角计算的应用 中职高教（2021）数学拓展模块下册（修订版） 01 新课导入 03 课堂小结 02 新课讲解 04 拓展延伸 目录 新课导入 第一部分 PART 01 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 三角计算广泛应用于生活、生产实践和科学研究等诸多方面， 能帮助人们解决很多实际问题．本节将介绍三角计算在面积问题交流电的电压问题、测量与计算问题等方面的应用. 新课导入 为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校要在一块半径为10 m，圆心角为 的扇形空地上修建一个矩形花坛．根据设计要求，矩形的一边在扇形的半径上，且矩形内接于扇形，应如何设计，才能使花坛的面积最大？并求出这个最大面积. 新课导入 新课讲解 第二部分 PART 02 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 在日常生活中,人们会遇到一些求最大面积的问题.对于这类问题,可以“角”为自变量建立函数关系式，利用三角函数的最值来解决.  解 设扇形圆心为 O，矩形为 ABCD，如图所示.  连接 OD，记∠COD=θ，则在RtΔCOD中，CD=10sinθ，  OC=10cosθ. 在RtΔAOB中，tan . 由AB=CD可知 . 于是，BC=OC-OB=10cosθ- . 新课讲解 在日常生活中,人们会遇到一些求最大面积的问题.对于这类问题,可以“角”为自变量建立西数关系式，利用三角函数的最值来解决.  因此，矩形花坛ABCD的面积 S=BC·CD 又θ∈ 综上所述，按照∠COD= 设计，可使得花坛的面积最大，最大面积为 m² . 显然，当 时， . 此时， . 化简过程详见教材 新课讲解 在日常生活中,我们的家庭用电都是交流电(如图).   若交流电的电压U(单位：V)与时间t(单位：s)之间的函数关系可用  来表示, 求： (1)开始时的电压；  (2)电压值重复出现一次的时间间隔；  (3)电压的最大值和第一次达到最大值的时刻. 新课讲解 生产实践中有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如简谐振动、交流电、海水潮汐等．在研究相关问题时，可以先建立三角函数模型，然后利用三角函数的性质解决这些问题. 新课讲解 解 (1) 取t=0，得开始时的电压 即该交流电开始时的电压为110 V. (2) 由于电压值重复出现一次的时间间隔即为函数的一个周期,故电压值重复出现一次的时间间隔为 即电压值经过0.02s重复出现. (3) 当sin 当k=0时， 因此，电压第一次达到最大值的时刻为 s. 即，电压的最大值是 ， s时第一次达到最大值. 新课讲解 情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业 如图所示,在河的岸边选定两点A、B,对岸选定点C, 测得∠CAB=45°，∠CBA=75°，AB=120m.试根据测量结果，求河的宽度. 解 = 因此，CD=BCsin75°= 答：河宽约为94.64m. 新课讲解 对于无法直接测量的距离、高度等，存在着许多可供选择的间接测量方案. 例如，可以应用以前学过的全等三角形、相似三角形等 知识，通过测量和计算求得结果. 学习了三角计算后，我们也可以利 用正、余弦定理解决这些问题. 新课讲解 隧道是为了缩短行驶路程而在地下、水下或者山体中铺设铁路或修筑公路的建筑物.现为修建某山体隧道,需获得隧道两端D、E两点之间的距离．为此在山的一侧选取点C，如图所示，并测得CA=500m，CB=800 m， ∠ACB=60°. 又测得AB两点到隊道口的距离AD=180m，BE=240m(A、D、E、B在一条直线上)，试计算隊道DE的长. 新课讲解 解 新课讲解 1. 如图所示，有一长为 10m、倾斜角为 75°的斜坡 AB. 在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面将斜坡的倾斜角变为 30 °.问坡底延长了多少米？ 课堂练习 2.如图所示，要把截面半径为R的圆木锯成横截面为矩形的方木.矩形的 长和宽各为多少时，其面积最大？最大面积是多少？(提示：连接 AC，并设∠CAB=θ.) 课堂练习 课堂小结 第三部分 PART 03 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 课堂小结 拓展延伸 第四部分 PART 04 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 课后作业 1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 在PPT软件中双击 图标打开配套讲稿 第六章 三角计算 6.5 三角计算的应用 中职高教（2021）数学拓展模块下册（修订版） 授课 题目 6.5 三角计算的应用 选用教材 高等教育出版社《数学》 （拓展模块一下册） 授课 时长 2 课时 授课类型 新授课 教学 提示 本课通过几个典型例题，将三角计算知识应用于面积问题、交流电测量问题 以及测量与计算问题，将实际问题数学化，实现数学建模． 教学目标 能够运用三角计算公式、正弦定理、余弦定理解决生产生活中的实际问题；通过本节实例的学习，学会将实际问题转化为数学问题，实现数学建模．通过学 习逐步提升数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理等核心素养． 教学 重点 运用三角计算公式、正弦定理、余弦定理解决生产生活中的实际问题． 教学 难点 数学建模的数学方法． 教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图 引入 三角计算广泛应用于生活、生产实践和科学研究等诸多方面， 能帮助人们解决很多实际问题．本节将介绍三角计算在面积问题交流电的电压问题、测量与计算问题等方面的应用. 提出问题引发思考 思考分析 体会 引出课题 为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校要在一块  半径为 10 m，圆心角为 的扇形空地上修建一个矩形花 3 坛．根据设计要求，矩形的一边在扇形的半径上，且矩形内接于扇形，应如何设计，才能使花坛的面积最大？并求 出这个最大面积. 提出 观察 引出 问题 思考 面积 情境 问题 导入 引发 讨论 思考 交流 在日常生活中,人们会遇到一些求最大面积的问题.对于这类问题,可以“角”为自变量建立函数关系式，利用三角函数的最值来解决. 解 设扇形圆心为 O，矩形为 ABCD，如图所示. 连接 OD，记∠COD=θ，则在 RtΔCOD 中，CD=10sinθ， OC=10cosθ.  ΑΒ 在 RtΔAOB 中，tan = . 由 AB=CD 可知 3 OB OB= 3 AB= 3 CD= 3 10 sin  = 10 3 sin  . 3 3 3 3 提问 思考 问题 引导 分析 1 应 用和 角公 式和 正弦 型函 数的 典型例题 讲解 强调 解决 交流 性质解决 的实 际问 题， 关键 指导 主动 是将 学习 求解 实际 问题 数学 10 3 于是，BC=OC-OB=10cosθ- sin  . 3 因此，因此，矩形花坛 ABCD 的面积  10 3  S=BC·CD= 10 sin   sin   10 sin   3  =100sinθcosθ- 100 3 sin2  3 =50sin2θ- 100 3  1  cos 2  3  2    =50sin2θ+ 50 3 cos 2 1 3 100 3  3 1  50 3 =  sin 2 + cos 2   3  2 2  3 = 100 3 sin 2 cos  + cos 2 sin    50 3 3  6 6  3   = 100 3 sin  2 + cos    50 3 . 3  6  3   显然，当sin  2 + cos   =1 时，Smax= 50 3 .  6  3      此时， 2 + cos = +2k ，得 θ= k+ (k∈Z). 6 2 6 又 θ∈  0,   ，所以 θ=  .  3  6    综上所述，按照∠COD= 设计，可使得花坛的面积 6 最大，最大面积为 50 3 m². 3 提问引导 讲解强调 思考分析 解决交流 化，建立含有以角为自变量的三角函数，然后利用三角函数的性质来解决问题 情境导入 在日常生活中,我们的家庭用电都是交流电(如图). 若交流电的电压 U(单位：V)与时间 t(单位：s)之间的函数关系可用 U=220 3 sin 100t    来表示, 求：  6    (1) 开始时的电压； (2) 电压值重复出现一次的时间间隔； (3) 电压的最大值和第一次达到最大值的时刻. 提出问题 引发思考 观察思考 讨论交流 引出电压计算问题 典型例题 生产实践中有许多周期现象可以用三角函数来模拟，如简谐振动、交流电、海水潮汐等．在研究相关问题时，可以先建立三角函数模型，然后利用三角函数的性质解决这些问题. 提问引导 思考分析 解 (1) 取 t=0，得开始时的电压 U  220 3 sin 100t     220 3  1  110 （3 V）,  6  2   即该交流电开始时的电压为 110 3 V. (2) 由于电压值重复出现一次的时间间隔即为函数的一个周期，故电压值重复出现一次的时间间隔为 即电压值经过 0.02s 重复出现. (3) 当 sin 100t     1 时， 得电压的最大值  6    U max =220 3V ，此时   100t   2k  (k 为非负整数). 6 2   1 100t   ，解得t  （s）. 6 2 300 1 因此，电压第一次达到最大值的时刻为 s . 300 1 即，电压的最大值是220 3V ， s 时第一次达到最 300 大值. 讲解强调 指导学习 提问引导 讲解强调 解决交流 主动求解 思考分析 解决交流 问题 2 是正弦型函数的性质在物理学或电工学中的应 用，可以在讲解之前先复习一下相关知识 情境导入 如图所示，在河的岸边选定两点 A、B，对岸选定点 C，测得∠CAB=45°，∠CBA=75°，AB=120m.试根据测量结果，求河的宽度. 提出问题 引发思考 观察思考 讨论交流 引出测量距离问题 典型例题 解 因为∠CAB=45°，∠CBA=75°，所以 ∠CAB=180°-∠CAB-∠CBA=180°-45°-75°=60°. AB BC 根据正弦定理，可得  , sin ACB sin CAB AB sin CAB 120 sin 45 120 2 因此，BC=  = =40 6 . sin ACB sin 60 3 在△ABC 中，作 CD⊥AB，交 AB 于点 D，则 CD 的长度即为河宽. CD 在 Rt△CDB 中，sin∠CBD= ， BC 所以 CD=BC sin∠CBD= BC sin75°. 提问引导 讲解强调 思考分析 解决交流 解决这类问题是先将已知条件归结到三角形 中， 然后 6 + 2 又 sin75°= . 4 因此，CD=BCsin75° = 40 6  6 + 2 =20  3+3  94.6（4 m）. 4 答：河宽约为 94.64m. 对于无法直接测量的距离、高度等，存在着许多可供选择的间接测量方案. 例如，可以应用以前学过的全等三角形、相似三角形等知识，通过测量和计算求得结果. 学习了三角计算后，我们也可以利用正、余弦定理解决这些 问题. 指导学习 主动求解 根据已知条件解决所求问题 情境导入 隧道是为了缩短行驶路程而在地下、水下或者山体中铺设铁路或修筑公路的建筑物．现为修建某山体隧道，需获得隧道两端 D、E 两点之间的距离．为此在山的一侧选取点 C，如图所示，并测得 CA=500m，CB=800 m， ∠ACB=60°. 又测得 AB 两点到隊道口的距离 AD=180m， BE=240m(A、D、E、B 在一条直线上)，试计算隊道 DE 的长. 提出问题 引发思考 观察思考 讨论交流 引出测量问题 典型例题 解 在△ABC 中，CA=500，CB=800， ∠ACB=60°. 根据余弦定理可得， AB²=AC²+BC²-2·AC·BC cos∠ACB = 500²+800²-2×500×800×cos60° = 490000. 因此，AB=700(m). 于是，DE=AB-AD-EB=700-180-240=280(m). 隧道 DE 的长为 280m. 提问引导 讲解强调 指导 思考分析 解决交流 求解 将已知条件归结到三角形中再求 解 巩固练习 练习 6.5 1. 如图所示， 有一长为 10m、倾斜角为 75°的斜坡 AB. 在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面将斜坡的倾斜角变为 30°.问坡底延长了多少米？ 提问 巡视 指导 思考 动手求解 交流 及时掌握学生情况查漏补缺 2.如图所示，要把截面半径为 R 的圆木锯成横截面为矩形的方木.矩形的 长和宽各为多少时，其面积最大？最大面积是多少？(提示：连接 AC，并设∠CAB=θ.) 归纳总结 引导提问 回忆反思 培养学生总结学习过程能力 布置作业 1. 书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》； 2. 查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾; 3. 拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 说明 记录 继续探究延伸 学习 $$