7.4 等差数列与等比数列的应用 课件-2023-2024学年高二下学期高教版(2021)中职数学拓展模块一（下册）

第七章 数列 7.4 等差数列与 等比数列的应用 中职高教（2021）数学拓展模块下册（修订版） 01 新课导入 03 课堂小结 02 新课讲解 04 拓展延伸 目录 新课导入 第一部分 PART 01 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 等差数列与等比数列的知识在日常生活和工农业生产中有着 广泛的应用，如投资理财、货品堆积统计、企业调查、职场应聘等.我们可以通过建立数学模型，用等差数列和等比数列知识来解决这些实际问题. 新课导入 零存整取是银行定期储蓄的一种基本类型，是储户在进行银行存款时约定存期、每月固定存款、到期一次支取本息的一种储蓄方式.某银行的1年期零存整取储蓄的年利率为1.55%.若每月存入银行1000元,一年后到期一次性支取本息共计多少元？ 新课导入 新课讲解 第二部分 PART 02 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 解 一年期零存整取的年利率为 1.55%,故月利率为1.55%=12.  第1个月存入的 1000元,存期为 12个月，到期后本息为 a1=1000+1000×12×(1.55%÷12)(元)；  第2个月存入的1000 元,存期为 11个月，到期后本息为a2=1000+1000×11×(1.55 %÷12) (元) ； …… 第12个月存入的1000元,存期为1个月，到期后本息为a12=1000+1000×1×(1.55 %÷12) (元) . 容易看出,a1, a2,⋯,a12构成一个等差数列.根据等差数列前 n项和公式  可得，一年后到期一次性支取本息为 Sn= =12100.75(元). 新课讲解 教育储蓄是指个人按国家有关规定在指定银行开户、存入规定数额资金、用于教育目的的专项储蓄，是一种专门为学生支付非义务教育所需教育金的专项储蓄.教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，与普通储蓄相比，教育储蓄具有利率优惠(按零存整取存入但享受整存整取的利率)和利息免税的优点. 如果把“情境与问题(1)”中的零存整取储蓄换成教育储蓄，而一年期整存整取的年利率为1.75%，在其他条件不变的情况下，  则一年到期后一次性支取本息和为  =12113.75(元). 新课讲解 某林场放置的一堆木材，最上层3根，最下层10根，共8层．试问，这堆木材共有多少根？ 新课讲解 解 由图可知,自上而下每层放置木材的根数构成等差数列,记为{an}．因为a1=3，an=10，n=8，所以 因此，这堆木材共有52根. 新课讲解 两位同学分别到甲、乙两家公司应聘，均被录用.甲公司承诺第一年年薪是50000元，以后每年比上一年加薪5000元．乙公司承诺第一年的年薪是50000元，以后每年的年薪比上一年增加10%．假设聘期为五年，试问 (1)应聘到甲公司的同学，其第五年的年薪是多少？五年的总收入是多少？ (2)应聘到乙公司的同学，其第五年的年薪是多少？五年的总收入是多少？ 新课讲解 解 (1)由题意可知，甲公司承诺的年薪构成等差数列{ an }，其中a1=50000，d=5000，n = 5. 于是 a5=a1＋4d=50000＋4×5000=70000 (元) 因此，应聘到甲公司的同学，其第五年的年薪是70000元，五年的总收入是300000元. (2)由题意可知，乙公司承诺的年薪构成等比数列{ an }，其中a1=50000， q=1＋10%=1.1，n=5. 于是 因此，应聘到乙公司的同学，其第五年的年薪是73205元，五年的总收入是305255元. 新课讲解 某地区发展规模化养猪，对连续6年的有关数据统计如图所示. 图(1) 图(2) 试根据上述信息回答：  1. 该地区第2年养猪场的数量及出产猪的总头数分别为多少？  2.该地区第6年的养猪业规模比第1年是扩大了还是缩小了？   3. 该地区养猪业的规模哪一年最大？ 新课讲解 分析  养猪总头数=养猪场平均出产头数×养猪场数量. 由图(1)可看出，从第1年到第6年，该地区养猪场出产猪的平均头数成等差数列上升；由图(2)可看出，养猪场的数量成等差数列下降. 新课讲解 解 数学模型建立如下： 1.由图(1)和图(2)可知,第2年养猪场平均出产头数为120头,第2年养猪场的数量是26个,因此,该年该地区出产猪的总头数 S2=120×26=3120(头). 2.第1年出产猪的总头数S1=100×30=3000(头)，第6年出产猪的总头数 S6=200×10=2000 (头). 因为2000<3000,所以,第6 年该地区养猪业的规模比第1年缩小了.  3. 在图(1)中,设第n年养猪场的平均出产头数为an ,则有 an=100+20×(n-1)=80+20n (n=1,2,3,4,5,6). 在图(2)中,设第n年养猪场数量为bn ,则有 bn=30-4×(n-1)=34-4n (n=1,2,3,4,5,6). 由此可见,第n年出产的猪总头数为 anbn=(80+20n)(34-4n)=2720+360n-80n² =-80(n-2)²+3120 (n=1,2,3,4,5,6). 当n=2时,anbn最大,即第2年养猪规模最大,且最大值为3120头. 新课讲解 1．某种细菌每30分钟分裂一次(一个分裂为两个)，问一个细菌3h后分裂成多少个？ 2．某人通过社交软件分别向5位好友发出加入某环保活动的一级邀请，5位好友中的每人再向各自的5位好友发出加入此环保活动的二级邀请，如此进行下去.试问，经过四级邀请接到邀请的人数是多少(假设邀请和加入的人员不同)？ 课堂练习 课堂小结 第三部分 PART 03 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 课堂小结 拓展延伸 第四部分 PART 04 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 课后作业 1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 在PPT软件中双击 图标打开配套讲稿 第七章 数列 7.4 等差数列与 等比数列的应用 中职高教（2021）数学拓展模块下册（修订版） 授课 题目 7.4 等差数列与等比数列的应 用 选用教材 高等教育出版社《数学》 （拓展模块一下册） 授课 时长 2 课时 授课类型 新授课 教学提示 本课选用经济理财、货品堆积统计、企业调查、职场应聘等丰富的生活实例，让学生置身于生活情境中，体会两种特殊数列在日常生活中的广泛应用，将实际问题数学化，实现数学建模．在体验中用数学眼光观察世界，用数学语言表达世 界． 教学目标 掌握等差数列通项公式与等比数列通项公式实际运用，等差数列前 n 项和公式与等比数列前 n 项和公式实际生活应用；能通过数学建模，解决简单的与等差数列、等比数列有关的实际问题；结合银行理财、木材堆积统计、职场应聘等实际生活情境，培养学生建模思想，培养学生分析问题解决问题的能力，增强数学应用意识；通过学习逐步提升数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理等核 心素养． 教学 重点 等差数列与等比数列的定义、通项公式及前 n 项和公式． 教学 难点 等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式的综合应用． 教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图 引入 等差数列与等比数列的知识在日常生活和工农业生产中有着广泛的应用，如投资理财、货品堆积统计、企业调查、职场应聘等.我们可以通过建立数学模型，用等差数列和等比数列知识来解决这些实际问题. 提出问题引发思考 思考分析 体会 引出课题 零存整取是银行定期储蓄的一种基本类型，是储户在进行银行存款时约定存期、每月固定存款、到期一次支取本息的一种储蓄方式.某银行的 1 年期要存整取储蓄的年利率为 1.55%.若每月存入银行 1000 元,一年后到期一次性 支取本息共计多少元？ 提出 观察 引出 情境导入 问题 引发 思考 讨论 经济 理财问题 思考 交流 解 一年期零存整取的年利率为 1.55%,故月利率为 1.55%=12. 第 1 个月存入的 1000 元，存期为 12 个月，到期后本息为 a1=1000+1000×12×(1.55%÷12)(元)； 第 2 个月存入的 1000 元，存期为 11 个月，到期后本息为 a2=1000+1000×11×(1.55 %÷12) (元) ； …… 第 12 个月存入的 1000 元，存期为 1 个月，到期后本息为 a12=1000+1000×1×(1.55 %÷12) (元) . 容易看出，a1，a2，…，a12 构成一个等差数列.根据等差数列前 n 项和公式可得，一年后到期一次性支取本息为 Sn= =12100.75(元). 提问 思考 借助 引导 分析 等差 数列 前 n 项和 公式 典型 计算 例题 讲解 解决 累计 月积 强调 交流 数， 体会 储蓄 的优 越性 情境导入 某林场放置的一堆木材，最上层 3 根，最下层 10 根， 共 8 层．试问，这堆木材共有多少根？ 提出问题 引发思考 观察思考 讨论交流 引出木材堆积计算问题 典型例题 解 由图可知，自上而下每层放置木材的根数构成等差数列，记为{an}．因为 a1=3，an=10，n=8，所以 因此，这堆木材共有 52 根. 提问引导 讲解强调 思考分析 解决交流 知识用于统计的便 利性 情境导入 两位同学分别到甲、乙两家公司应聘，均被录用.甲公司承诺第一年年薪是 50000 元，以后每年比上一年加薪 5000 元．乙公司承诺第一年的年薪是 50000 元，以后每年的年薪比上一年增加 10%．假设聘期为五年，试问 (1)应聘到甲公司的同学，其第五年的年薪是多少？五年的总收入是多少？ (2)应聘到乙公司的同学，其第五年的年薪是多少？五 年的总收入是多少？ 提出问题 引发思考 观察思考 讨论交流 引出应聘薪金问题 典型例题 解 (1)由题意可知，甲公司承诺的年薪构成等差数列 { an }，其中 a1=50000，d=5000，n = 5. 于是 a5=a1＋4d=50000＋4×5000=70000 (元) 因此，应聘到甲公司的同学，其第五年的年薪是 70000 元，五年的总收入是 300000 元. (2)由题意可知，乙公司承诺的年薪构成等比数列{ an }，其中 a1=50000，q=1＋10%=1.1，n=5. 于是 因此，应聘到乙公司的同学，其第五年的年薪是 73205 元，五年的总收入是 305255 元. 提问引导 讲解强调 思考分析 解决交流 将两个特殊数列的求和公式计算结果进行对 比，助力工薪计算 情境导入 某地区发展规模化养猪，对连续 6 年的有关数据统计如图所示. 试根据信息回答： 1. 该地区第 2 年养猪场的数量及出产猪的总头数分别为多少？ 2. 该地区第 6 年的养猪业规模比第 1 年是扩大了还是缩小了？ 3. 该地区养猪业的规模哪一年最大？ 提出问题 引发思考 观察思考 讨论交流 引出养猪业发展的计算问题 图(1) 图(2) 引导分析 组织讨论 观察特征 交流讨论 用趋势图展示信 息，提升学生数据分析核心素养 典型例题 分析 养猪总头数=养猪场平均出产头数×养猪场数量. 由图(1)可看出，从第 1 年到第 6 年，该地区养猪场出产猪的平均头数成等差数列上升；由图(2)可看出，养猪场的数量成等差数列下降. 解 数学模型建立如下： 1.由图(1)和图(2)可知，第 2 年养猪场平均出产头数为 120 头，第 2 年养猪场的数量是 26 个，因此，该年该地区出产猪的总头数 S2=120×26=3120(头). 2. 第 1 年出产猪的总头数 S1=100×30=3000(头)，第 6 年出产猪的总头数 S6=200×10=2000 (头). 因为 2000<3000, 所以，第 6 年该地区养猪业的规模比第 1 年缩小了. 3. 在图(1)中，设第 n 年养猪场的平均出产头数为 an , 则有 an=100+20×(n-1)=80+20n (n=1,2,3,4,5,6). 在图(2)中，设第 n 年养猪场数量为 bn，则有 bn=30-4×(n-1)=34-4n (n=1,2,3,4,5,6). 由此可见，第 n 年出产的猪总头数为 bn=(80+20n)(34-4n)=2720+360n-80n² =-80(n-2)²+3120 (n=1,2,3,4,5,6). 当 n=2 时，anbn 最大，即第 2 年养猪规模最大，且最大值为 3120 头. 提问引导 讲解强调 指导 思考分析 解决交流 求解 通过图形辅 助，基于函数思 想，将等差数列通项公式进行灵活应用 巩固练习 练习 7.4 1. 某种细菌每 30 分钟分裂一次(一个分裂为两个)，问一个细菌 3h 后分裂成多少个？ 2. 某人通过社交软件分别向 5 位好友发出加入某环保活动的一级邀请，5 位好友中的每人再向各自的 5 位好友发出加入此环保活动的二级邀请，如此进行下去.试问，经过四级邀请接到邀请的人数是多少(假设邀请和加入的人员不同)？ 提问巡视 指导 思考 动手求解 交流 及时掌握学生情况查漏补缺 归纳总结 引导提问 回忆反思 培养学生总结学习过程能力 布置作业 1. 书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》； 2. 查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾; 3. 拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 说明 记录 继续探究延伸 学习 $$