7.3等比数列 课件-2023-2024学年高二下学期高教版(2021)中职数学拓展模块一（下册）

第七章 数列 7.3 等比数列 中职高教（2021）数学拓展模块下册（修订版） 01 新课导入 03 课堂小结 02 新课讲解 04 拓展延伸 目录 新课导入 第一部分 PART 01 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 等比数列是另一种有特殊规律的数列，其通项公式、求和公式 的推导蕴含着与等差数列不同的重要的数学思想方法. 新课导入 新课讲解 第二部分 PART 02 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个趣题：“今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。问：各几何？”试依次把堤、木、枝、巢……的数量计算出来，这组数有什么规律？ 新课讲解 等比数列的概念 不难看出,这组数构成一个数列：9,81,729,8561…,我们也可以将其表示成9,92,93,94,….在这个数列中,从第二项起每项与它前一项的比都是9. 类似的数列还有32,16,8,4,…. 不难看出, 从第二项开始，每一项与它前一项的比都是 新课讲解 一般地,如果一个数列an从第二项起,每一项与它前一项的比都等于同一个非零常数时,就称这个数列为等比数列,这个常数称为等比数列的公比,通常用字母q来表示． 如数列 9,81,729,6561,…为等比数列,其公比q=9；数列32,16，8,4，…是等比数列,公比q= 新课讲解 如果数列an是一个公比为q的等比数列,那么从第二项起,数列的每一项都等于它的前一项与公比的乘积，即 a2=a1q， a3=a2q=(a1q)q=a1q2 ， a4=a3q=(a1q2)q=a1q3 ， …… 因此，首项为a1、公比为q 的等比数列an的通项公式为 an=a1qn-1 (其中a1与q均不为0)． 新课讲解 当一个数列既是等差数列，又是等比数列时，这个数列具有什么特征？ 新课讲解 例1 在等比数列an 中， a1=2，q=4，求an，a5． 解 根据等比数列通项公式an=a1 qn-1可知 an=a1qn-1=2×4n-1=22n-1； 即 an= 22n-1 ． 因此，a5 = 22×5-1 =29=512． 例题讲解 例2 将一张报纸反复对折,若不考虑其它因素,则报纸层数构成等比数列：2,4,8,…． (1) 求这个数列的通项公式； (2) 求第5次对折后报纸的层数； (3) 问第几次对折之后报纸的层数是128？ 解 (1) 设这个数列为an,则a1=2,q=4,故该等比数列的通项公式为 an=a1qn-1=2×2n-1=2n. (2) 根据通项公式可知，a1=25=32，因此第5次对折之后的报纸的层数为32层. (3) 设第n次对折后报纸的层数是128,即an＝128,则由通项公式可知 2n=128， 2n =27， 解得 n=7. 因此，第7次对折后报纸的层数是128. 例题讲解 例3 解 在等比数列{an}中，a4=36，a6=144，求首项a1和公比q． 根据等比数列的通项公式 an=a1qn-1可得 ① ② ②式除以①式，并整理得 解得 q=±2. 当q=2时，a1×23=36，解得 a1= 当q=-2时，a1×(-2)3=36，解得a1= 所以, a1= , q=2或 a1= , q=-2. 例题讲解 分析 例4 已知三个数成等比数列，其和为28，其积为512，求这三个数． 对于构成等差数列的三个数，可以将它们设为 a1，a1q，a1q2，也可以将它们设为 ，其中q为公比.若一直这三数的积，则将它们设为 更有利于计算. 例题讲解 解 例4 已知三个数成等比数列，其和为28，其积为512，求这三个数． 设这三个数分别为 ，则 ① 由②式得a³=8³，解得a=8 . ② 将a=8代入①式，化简得 ③ ③式两边同时乘q，整理得 2q²-5q+2=0， 解得 当q= 2 时，所求的三个数分别为4,8,16； 当q= 时，所求的上数分别为16,8,4. 所以，这三个数为4,8,16或16,8,4. 例题讲解 一般地,当a,G,b成等比数列时,G称为a和b的等比中项. 例如,若3,G,12三个数构成等比数列,则G²=3×12,从而 3与12的等比中项G=±6. 当G是a与b的等差中项时,有 因此G²=ab或 例题讲解 课堂练习 2．在下列等比数列中填上所缺的项． （1） 3，6，12， ，48，…； （2） ，4，-2，1， ； （3）5，5，5， ，5； （4）1，-1，1， ，1． 课堂练习 3．在等比数列{an}中，a1=3，q=-2，求a3、a4． 4．求下列各组数的等比中项： （1）4与25； （2） -3与-27． 5．在等比数列{an}中，a2=8，a3=4，求公比q和首项a1． 6．在等比数列{an}中，a1=1，an=256，q=2，求n． 课堂练习 7．已知三个数成等比数列，它们的和为14，它们的积为64，求这三个数． 8．在等比数列 中，8是第几项？ 9.一辆车现价为10万元，年折旧率为10%(不考虑其他因素) ，问该车第10年后的车价是多少元(保留两位小数)？ 课堂练习 相传古时候有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，并将其献给了国王，国王从此迷上了下棋.作为对这位大臣的奖勋，国王许诺满足大臣一个要求.大臣说:“就在这个棋盘上放上一些麦粒吧，第一格放1粒,第二格放2粒,第三格放4粒，然后依次是8粒,16粒,⋯ ⋯,一直到第六十四格.”“就要这么一点儿麦粒？”国王哈哈大笑，慷慨地答应了.大臣:“就怕您的国库里没有这么多麦粒！”为什么大臣说国库里没有这么麦粒呢？ 新课讲解 等比数列前n项和公式 可以看出，按照大臣的要求，在棋盘上六十四个格中所放的麦 粒数构成等比数列 1,2,4,8,16,32,64,…, .到底棋盘上需要放多少麦粒呢？要回答这一问题，就需要计算出等比数列  1,2,4,8,16,32,64,…, 各项的和. 新课讲解 设{an}是一个公比为q的等比数列，记{an}的前n项和为 Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an . (1) 根据等比数列的定义可知，等比数列的每一项与公比的乘积等于与它相邻的后一项.我们将(1)式的两边同时乘公比q,得到 qSn=a1q+a2q+a3q+…+aqn-1+anq， 即 qSn=a2+a3+a4+…+an+an+1. (2) 比较(1) 、(2)两式可以看出, (1)式的右边从第2项至最后一项与(2)式右边的第1项至倒数第2项分别相同．将(1)式的两边分别减去(2)式的两边就可消去相同的项，得到 (1-q)Sn=a1-an+1 当q≠1时， 新课讲解 由等比数列的通项公式可得an+1=a1q n，将其代入上式即得等比数列前n项和公式 由等比数列的定义得an+1=anq，带入前式得等比数列前n项和公式为 当q=1时，等比数列是一个常数列，其前n项和为 Sn=na1. 新课讲解 现在，我们回到本节“情境与问题”的等比数列{an}中,a1=1,q=2,n=64. 因此，棋盘上六十四个格中所放的麦粒总数为 根据实际测算可知，1kg麦粒约有52000粒.因此，这些麦粒的总质量约为354745078340t，这大约相当于全世界一千年生产的小麦质量的几百倍. 新课讲解 例5 解 在等比差数列{an}中，a1=2，q=3，求该数列前5项的和． 由等比数列的前n项和公式 例题讲解 解 例6 在等比数列{an}中，a1=2， q=3，an=162，求该数列前n项的和． 由等比数列前n项和公式 例题讲解 解 例7 已知等比数列1，2，4，8，…，求该数列第5项至第10项的和． 分析 第5项至第10项的和为a5+a6+a7+a8+a9+a10，可表示为该数列前10项的和减去其前4项的和． 例题讲解 巩固练习 课堂小结 第三部分 PART 03 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 课堂小结 拓展延伸 第四部分 PART 04 your content is entered here, or by copying your text, select paste in this box and choose to retain only text. your content is typed here 课后作业 1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》； 2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾; 3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 在PPT软件中双击 图标打开配套讲稿 第七章 数列 7.3 等比数列 中职高教（2021）数学拓展模块下册（修订版） 授课 题目 7.3 等比数列 选用教材 高等教育出版社《数学》 （拓展模块一下册） 授课 时长 4 课时 授课类型 新授课 教学提示 本课通过我国古代数学著作《孙子算经》趣题引出等比数列的概念，介绍了等比数列的通项公式及其应用．根据具体实例给出等比中项的定义及等比中项公式，引导学生从“棋盘上的麦粒”的故事中抽象出等比数列模型，然后利用“错位相减法”推导出前 n 项和公式．其中等比数列的定义是推导通项公式、前 n 项和公式的基础．在等比数列的教学中，可采用类比的方法，在复习等差数列的有 关知识的同时，对等比数列的相应知识进行类比学习． 教学目标 了解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式；了解等比数列前 n 项和公式的推导过程；掌握等比数列的通项公式及前 n 项和公式；能够通过具体实例，发现并总结等比数列的概念及公比的概念；理解并掌握等比数列前 n 项和公式，并应用公式解决简单的问题；结合中国历史著作《孙子算经》趣题、棋盘麦粒故事等情境与问题，培养学生建模思想，体验历史文化，培养学生观 察、归纳、分析、综合推理的能力，渗透特殊到一般的思想；通过学习，逐步 提升数学运算、逻辑推理、数学抽象和数学建模等核心素养. 教学 重点 等比数列的概念，通项公式的应用，等比数列前 n 项和公式及应用． 教学 难点 等比数列概念的理解，等比数列前 n 项和公式的推导及知识的实际应用． 教学 环节 教学内容 教师 活动 学生 活动 设计 意图 引入 等比数列是另一种有特殊规律的数列，其通项公式、求和公式的推导蕴含着与等差数列不同的重要的数学思想 方法. 介绍 体会 引出学习 情境导入 7.3.1 等比数列的概念 我国古代数学著作《孙子算经》中有这样一个趣题： “今有出门望见九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色。问：各几何？”试依次把堤、木、枝、巢……的数量计算出来，这组数有 什么规律？ 提出问题 引发思考 观察思考 讨论交流 古代趣题提升文化素养 不难看出,这组数构成一个数列：9，81，729，8561…,我们也可以将其表示成 9，92，93，94，….在这个数列中，从第二项起每项与它前一项的比都是 9. 类似的数列还有 32，16，8，4，…. 不难看出, 从第二项开始，每一项与它前一项的比都 1 是 . 2 一般地，如果一个数列an从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个非零常数时，就称这个数列为等比数列，这个常数称为等比数列的公比，通常用字母 q 来表示． 如数列 9，81，729，6561，…为等比数列，其公比 q=9； 讲解 展示图形提示说明 说明 理解 观察特征交流讨论 领会 结合实例学习等比数列的定义，应强调 q 为 1的等比数 新知探索 1 数列 32，16，8，4，…是等比数列，公比 q= . 2 如果数列an是一个公比为 q 的等比数列，那么从第二项起，数列的每一项都等于它的前一项与公比的乘积，即 a2=a1q， a3=a2q=(a1q)q=a1q2 ， a4=a3q=(a1q2)q=a1q3 ， …… 因此，首项为 a1、公比为 q 的等比数列an的通项公式为 a  a qn1 (其中 a1 与 q 均不为 0)． n 1 探究与发现 当一个数列既是等差数列，又是等比数列时，这个数列具有什么特征？ 强调 讲解分析 引发思考 要点 体会学习 分析讨论 列是常数列，但常数列不一定是等比数列 感受典型数列的关系 典型例题 例１在等比数列an 中， a1=2，q=4，求 an，a5．解 根据等比数列通项公式 an=a1 qn-1 可知 an=a1qn-1=2×4n-1=22n-1； 即 an= 22n-1 ． 因此，a5 = 2251 =29=512． 例 2 将一张报纸反复对折,若不考虑其它因素,则报纸层数构成等比数列：2,4,8,…． (1) 求这个数列的通项公式； (2) 求第 5 次对折后报纸的层数； (3) 问第几次对折之后报纸的层数是 128？ 解 (1) 设这个数列为an,则 a1=2,q=4,故该等比数列的通项公式为 an=a1qn-1=2×2n-1=2n. (2) 根据通项公式可知，a1=25=32，因此第 5 次对折之 后的报纸的层数为 32 层. (3) 设第 n 次对折后报纸的层数是 128,即 an＝128,则由通项公式可知 2n=128， 2n =27， 解得 n=7. 因此，第 7 次对折后报纸的层数是 128. 例 3 在等比数列{an}中，a4=36，a6=144，求首项 a1 和公比 q． 解 根据等比数列的通项公式 an=a1qn-1 可得  a q3  36, ①  1 a q5  144. ② 1 提问引导 讲解强调 指导学习 提问引导 讲解强调 思考分析 解决交流 主动求解 思考分析 解决交流 例 1 和例 2 是巩固性练习，目的是使学生会直接利用通项公式进行求解 例 3是理解性练 习， ②式除以①式，并整理得 q2  144  4 36 解得 q=±2. 9 当 q=2 时，a1×23=36，解得 a1= ； 2 9 当 q=-2 时，a1×(-2)3=36，解得 a1=  . 2 9 9 所以, a1= ，q=2 或 a1=  , q=-2. 2 2 例 4 已知三个数成等比数列，其和为 28，其积为 512，求这三个数． 分析 对于构成等差数列的三个数，可以将它们设为 a1， a1q，a1q2，也可以将它们设为 a ,a,aq，其中 q 为公比.若 q a 已知这三数的积，则将它们设为 ,a,aq 更有利于计算. q a 解 设这三个数分别为 ,a,aq，则 q  a  a  aq  28①  q  a   a  aq  512②  q 由②式得 a³=8³，解得 a=8 . 将 a=8 代入①式，化简得 2  2q  5③ q ③式两边同时乘 q，整理得 2q²-5q+2=0， 解得 当 q=2 时，所求的三个数分别为 4，8，16； 1 当 q= 时，所求的上数分别为 16，8，4. 2 所以，这三个数为 4，8，16 或 16，8，4. 提问引导 讲解强调 思考交流 解决问题 结合方程组练习加深对通项公式的理解 例 4主要让学生了解，如果三个数成等比数 列，且已知三个数的乘积，可以设这三个数分别为 a ， q a ， aq 新知探索 一般地，当 a，G，b 成等比数列时，G 称为 a 和 b 的等比中项. 当 G 是 a 与 b 的等比中项 G b ， 时，有a=G 因此 G2=ab 或 G=± ab ． 例如，若 3，G，12 三个数构成等比数列，则 G2=3×12，从而 3 与 12 的等比中项 G＝±6． 讲解说明 领会要点 借助实例进行说明 巩固练习 练习 7.3.1 1. 判断下列说法是否正确列(是打“√”，否打“×”). 2. 在下列等比数列中填上所缺的项． (1) 3，6，12， ，48，…； (2) ，4，-2，1， ； (3)5，5，5， ，5； (4)1，-1，1， ，1． 3. 在等比数列{an}中，a1=3，q=-2，求 a3、a4． 4. 求下列各组数的等比中项： (1) 4 与 25； (2) -3 与-27． 5. 在等比数列{an}中，a2=8，a3=4，求公比 q 和首项 a1． 6. 在等比数列{an}中，a1=1，an=256，q=2，求 n． 7. 已知三个数成等比数列，它们的和为 14，它们的积为 64，求这三个数． 8. 在等比数列 1 , 1 ,1…中，8 是第几项？ 4 2 9. 一辆车现价为 10 万元，年折旧率为 10%(不考虑其他因素) ，问该车第 10 年后的车价是多少元(保留两位小 数)？ 提问 巡视 指导 思考 动手求解 交流 及时掌握学生情况查漏补缺 情境导入 7.3.2 等差数列前 n 项和公式 相传古时候有一位聪明的大臣，他发明了国际象棋，并将其献给了国王，国王从此迷上了下棋.作为对这位大臣的奖勋，国王许诺满足大臣一个要求.大臣说“: 就在这个棋盘上放上一些麦粒吧，第一格放 1 粒,第二格放 2 粒,第三 格放 4 粒，然后依次是 8 粒，，16 粒，…，一直到第六十四格.”“就要这么一点儿麦粒？”国王哈哈大笑，慷慨地答应了.大臣:“就怕您的国库里没有这么多麦粒！”为什么大臣说国库里没有这么麦粒呢？ 引发思考 讨论交流 借助经典数学故事增加知识趣味性 新知探索 可以看出，按照大臣的要求，在棋盘上六十四个格中所放的麦粒数构成等比数列 1，2，4，8，16，32，64，…， 263 .到底棋盘上需要放多少麦粒呢？要回答这一问题，就需要计算出等比数列 1，2，4，8，16，32，64，…，263 各项的和. 设{an}是一个公比为 q 的等比数列，记{an}的前 n 项和为 Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an. (1) 根据等比数列的定义可知，等比数列的每一项与公比的乘积等于与它相邻的后一项.我们将(1)式的两边同时乘公比 q,得到 qSn=a1q+a2q+a3q+…+aqn-1+anq， 即 qSn=a2+a3+a4+…+an+an+1. (2) 比较(1) 、(2)两式可以看出, (1)式的右边从第 2 项至最后一项与(2)式右边的第 1 项至倒数第 2 项分别相同．将(1)式的两边分别减去(2)式的两边就可消去相同的项，得到 (1-q)Sn=a1-an+1 a (1  qn ) 当 q≠1 时， Sn  1 . 1  q 由等比数列的通项公式可得 an+1=a1q n，将其代入上式即得等比数列前 n 项和公式 a (1  qn ) Sn  1 ( q≠1). 1  q 由等比数列的定义得 an+1=anq，带入前式得等比数列前 n 项和公式为 当 q=1 时，等比数列是一个常数列，其前 n 项和为 Sn=na1. 现在，我们回到本节“情境与问题”的等比数列{an}中， a1=1，q=2，n=64. 因此，棋盘上六十四个格中所放的麦粒总数为 1(1  264 ) S64  =264-1=18446744073709551615(粒). 1  2 根据实际测算可知，1kg 麦粒约有 52000 粒.因此，这 些麦粒的总质量约为 354745078340t，这大约相当于全世界一千年生产的小麦质量的几百倍. 讲解 展示图形 提示说明 说明强调 理解 观察特征 交流讨论 领会要点 引导学生从 “棋盘上的麦粒”的故事中抽象出等比数列模型，然后利用 “错位相减 法”推导出前 n 项和公式，观察归纳等比数列的特点，培养和提升归纳分析能力 典型例题 例 5 在等比差数列{an}中，a1=2，q=3，求该数列前 5 项的和． 解 由等比数列的前 n 项和公式 提问引导 讲解强调 思考分析 解决交流 例 5 和例 6 是巩固性练习， 例 6 在等比数列{an}中，a1=2， q=3，an=162，求该数列前 n 项的和． 解 由等比数列前 n 项和公式 例 7 已知等比数列 1，2，4，8，…，求该数列第 5 项至第 10 项的和． 分析 第 5 项至第 10 项的和为 a5+a6+a7+a8+a9+a10，可表示为该数列前 10 项的和减去其前 4 项的和． 解 根据已知条件 a1=1，q 2 2. 因此， =1= a (1  q4 ) 1(1  24 ) S4  1 = =15 ， 1  q 1  2 a (1  q10 ) 1(1  210 ) S10  1 = =1023 . 1  q 1  2 于是，该数列第 5 项至第 10 项的和为 S10-S4=1023-15=1008． 指导 主动求解 使学生掌握公式能直接利用公式求解例 7是理解性练 习，使学生加深对公式的理解 巩固练习 练习 7. 2 1. 在等比数列{an}中，a1 1 q=2，求该数列前 5 项 =2， 的和． 2. 在等比数列{an}中，a1=8， q 1，an 1 求该数列 =2 =4， 前 n 项的和． 3. 求等比数列 3 3，6，12，…前 6 项的和． 2， 4. 求等比数列 3 3，6，12，…第 7 项至第 10 项的 2， 和． 提问 巡视 指导 思考 动手求解 交流 及时掌握学生情况查漏补缺 归纳总结 引导提问 回忆反思 培养学生总结学习过程 能力 布置作业 1. 书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》； 2. 查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾; 3. 拓展作业：阅读教材扩展延伸内容. 说明 记录 继续探究延伸 学习 $$