精品解析：2024年第五届沃米杯山西省中职生对口升学第一次联考数学试卷

第五届“沃米杯”山西省中职生对口升学第一次联考 数学 满分：100分 时间：90分钟 一､选择题（每小题3分，共30分） 1. 设集合，则满足的集合的个数为（ ） A. 16 B. 15 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合并集结果得到集合A与集合B的关系，再由子集的计算方法计算个数即可. 【详解】因为，所以，即集合是集合的一个子集， 集合中有4个元素，故它的子集的个数为. 故选：A. 2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性逐个分析即可. 【详解】选项A，的定义域为，关于原点对称， 令，则，函数不是奇函数，不符合题意； 选项B，的定义域为，关于原点对称， 令，则，函数是偶函数，不是奇函数，不符合题意； 选项C，的定义域为,关于原点对称, 令，则，函数是奇函数， 但该函数在,上是减函数，不符合题意； 选项D，的定义域是，所以函数是奇函数， 且，当时，为增函数，由函数为连续的奇函数， 可得当时，为增函数，所以该函数在上是增函数，符合题意. 故选：D. 3. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把根式化为分数指数幂，然后利用指数幂的运算法则计算. 【详解】由题意可知， 原式. 故选：A. 4. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式求值即可. 【详解】根据诱导公式可得,. 故选：C. 5. 等比数列中，，则公比（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式列方程求解即可. 【详解】已知为等比数列，且， 则，即，解得. 故选：C. 6. 已知向量，则（ ） A. 14 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据内积的坐标运算计算即可. 【详解】因为向量， 根据向量内积的坐标式可得. 故选：B. 7. 已知直线过点，且直线的倾斜角为，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线斜率的定义和两点求斜率列式求解即可. 【详解】因为直线过点，且直线的倾斜角为， 由斜率公式， 可得，解得. 故选：D. 8. 已知抛物线，下列描述正确的是（ ） A. 开口向上，焦点为 B. 开口向上，焦点为 C. 开口向右，焦点为 D. 开口向右，焦点为 【答案】B 【解析】 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】抛物线化为标准方程为， 所以该抛物线焦点在轴上，开口向上，焦点坐标为. 故选：B. 9. 在中，若，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式，诱导公式及特殊角的三角函数值求解. 【详解】 . 故选：A. 10. 已知一个球的直径是6，距球心2处有一截面圆，这个截面圆的半径为（ ） A. 5 B. C. 13 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由球截面的性质即可得解. 【详解】因为球的直径为6，所以球的半径为3，所以截面圆的半径为. 故选：B. 二､填空题（每小题4分，共32分） 11. __________. 【答案】3 【解析】 【分析】利用指数运算法则计算即得. 【详解】. 故答案为：3. 12. 已知函数在定义域上是单调递减函数，若，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性求解不等式即可. 【详解】已知函数在定义域上是单调递减函数， 若， 则，即，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 13. 若直线与直线平行，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两条直线平行的条件列方程求解即可. 【详解】已知直线与直线平行， 则，解得， 代入验算，时，两直线不重合，符合条件. 故答案为：. 14. __________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算性质求解即可. 【详解】. 故答案为：. 15. 在中，已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】已知，即， 由余弦定理得， 在中，，所以. 故答案为：. 16. 顶点在原点，焦点在的抛物线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点坐标确定的值，由抛物线标准方程的形式可得答案. 【详解】由题意可知，顶点在原点，焦点在轴的负半轴上， 所以，所以， 所以抛物线的方程为. 故答案为：. 17. __________. 【答案】 【解析】 【分析】由逻辑运算的性质直接计算. 【详解】由逻辑运算的性质，可得 . 故答案为：. 18. 在二项式的展开式中各项的二项式系数之和为16，则展开式中的常数项为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】先由二项式系数求出n的值，再由通项求解常数项即可. 【详解】由题意可知，即，即二项式为， 则二项展开式的通项为 ， 令，解得， 所以展开式中的常数项为. 故答案为：6. 三､解答题（本大题共6小题，19-23题每题6分，24题8分，共38分） 19. 函数的定义域为，求的取值范围. 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意得出不等式恒成立，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于任意实数，不等式恒成立， 则，即. 因此，使函数的定义域为的实数的取值范围为. 20. 在中，，求边的长及的面积. 【答案】， 【解析】 【分析】先由正弦定理即可求解边c，再由两角和的正弦公式求解，再由三角形面积公式即可求解面积. 【详解】因为在中，， 由正弦定理，得， 即， 因为， 所以 ， 所以. 21. 已知向量，求实数的值. 【答案】 【解析】 【分析】先由向量内积的定义求解，再由向量垂直的表示计算即可. 【详解】因为， 所以. 又因为， 所以， 展开得， 整理得，解得. 22. 过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】. 【解析】 【分析】首先判断点在圆上，再将圆化为标准方程，求出圆心与半径，再根据斜率公式求出，得出切线的斜率，结合点求出直线方程即可. 【详解】将点代入中得，所以点在圆上. 将转化为标准方程为， 即圆心的坐标为，所以斜率， 则切线的斜率为， 因此切线的方程为， 化简得. 23. 袋中装有大小相同，形状一样的球，其中2个是白球，3个是红球，从袋中任意取出3个球，求所摸3个球中至多有一个白球的概率. 【答案】 【解析】 【分析】运用组合数求出5个球中任意取出3个球的基本事件总数和摸3个球中至多有一个白球的事件数，最后运用古典概型概率公式求值即可. 【详解】设“所摸3个球中至多有一个白球”为事件， 从袋中的5个球中任意取出3个球的基本事件总数为， 所摸3个球中至多有一个白球的事件数为， 因此. 24. 已知等差数列的公差不为是的等比中项，且，求等差数列的前项和. 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和等比中项的定义列方程求解即可. 【详解】已知为等差数列，设公差为d，且是的等比中项， 由题意可知，， 即整理得 解得，因此数列的前项和，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五届“沃米杯”山西省中职生对口升学第一次联考 数学 满分：100分 时间：90分钟 一､选择题（每小题3分，共30分） 1. 设集合，则满足的集合的个数为（ ） A. 16 B. 15 C. 8 D. 7 2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算（ ） A. B. C. D. 4. （ ） A. B. C. D. 5. 等比数列中，，则公比（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，则（ ） A. 14 B. C. D. 2 7. 已知直线过点，且直线的倾斜角为，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 8. 已知抛物线，下列描述正确的是（ ） A. 开口向上，焦点为 B. 开口向上，焦点为 C. 开口向右，焦点为 D. 开口向右，焦点为 9. 在中，若，则（ ） A. B. 0 C. D. 1 10. 已知一个球的直径是6，距球心2处有一截面圆，这个截面圆的半径为（ ） A. 5 B. C. 13 D. 二､填空题（每小题4分，共32分） 11. __________. 12. 已知函数在定义域上是单调递减函数，若，则的取值范围为__________. 13. 若直线与直线平行，则实数__________. 14. __________. 15. 在中，已知，则__________. 16. 顶点在原点，焦点在的抛物线方程为__________. 17. __________. 18. 在二项式的展开式中各项的二项式系数之和为16，则展开式中的常数项为__________. 三､解答题（本大题共6小题，19-23题每题6分，24题8分，共38分） 19. 函数的定义域为，求的取值范围. 20. 在中，，求边的长及的面积. 21. 已知向量，求实数的值. 22. 过点作圆的切线，求切线的方程. 23. 袋中装有大小相同，形状一样的球，其中2个是白球，3个是红球，从袋中任意取出3个球，求所摸3个球中至多有一个白球的概率. 24. 已知等差数列的公差不为是的等比中项，且，求等差数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $