专题29.1 投影与视图（2大知识点4大考点11类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（人教版）

专题29.1 投影与视图（2大知识点4大考点11类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】投影 （1）投影：用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影（projection），照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 （2）平行投影：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影（parallel projection）. （3）中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影（center projection）。 （4）正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。 注：物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。 【知识点2】三视图 （1）三视图：是指观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。 将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状， 三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。 （2）特点：一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。 一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。 第一部分【题型目录】 考点与题型目录 【考点一】投影 【题型1】平行投影............................................................2 【题型2】中心投影............................................................3 【题型3】正投影..............................................................4 【题型4】视点、视角和盲区....................................................4 【考点二】简单几何体的三视图 【题型5】判断简单三视图......................................................5 【题型6】画简单三视图........................................................6 【题型7】已知三视图求值......................................................7 【考点三】由三视图判断正方体的数量 【题型8】由三视图求小正方体的个数............................................7 【题型9】由三视图求小正方体最多和最少个数....................................8 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型10】直通中考...........................................................9 【题型11】拓展延伸..........................................................10 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】平行投影 【例1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）在阳光下，测得一根与地面垂直、长为米的竹竿的影长为米．同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上． （1）如图1：小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米，求树的高度． （2）如图2：小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少？ 【变式1】（24-25九年级上·山东东营·期末）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·江苏苏州·开学考试）如图，在斜坡的顶部有一铁塔，是的中点，在阳光的照射下，塔影留在坡面上．已知，，小明和小华的身高都是，同一时刻小明站在处，影长为，小华站在平地上，影长为，则塔高是 米． 【题型2】中心投影 【例2】（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，白鹭洲国家湿地公园广场有一灯柱，M为光源．某兴趣小组为了测量灯柱的高度，在灯柱同侧竖立两根长度均为的标杆和．测得的影长等于，且点N，B，C在同一条直线上． （1）请画出标杆的影子； （2）若，求灯柱的高度． 【变式1】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，点 是一个光源．木杆 两端的坐标分别为、 ．则木杆 在轴上的投影长为（　　）      A．3 B．5 C．6 D．7 【变式2】（2021·辽宁抚顺·一模）一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是 号窗口． 【题型3】正投影 【例3】（2023九年级下·浙江·专题练习）如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行．若正方形的边长为5厘米，，求其投影的面积． 【变式1】（23-24九年级下·内蒙古包头·开学考试）下列投影一定不会改变的形状和大小的是（　　） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．当平行投影面时的正投影 【变式2】（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，将一块含角的三角板的直角顶点C放置于直线n上，点A，点M在直线n上的正投影分别为点D，点N，若，，则在直线n上的正投影的长是 ． 【题型4】视点、视角和盲区 【例4】（18-19九年级·全国·单元测试）如图，点P的对面是一面东西走向的墙，某人在点P观察一辆自西向东行驶的汽车AB，汽车的长为6米，根据图中标示的数据解决下列问题： （1）画出此人在汽车与墙之间形成的盲区，并求出该盲区的面积； （2）当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积是否会发生变化？为什么？ 【变式1】（2019九年级·全国·专题练习）如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两个侧面，则小红应站的区域是（    ） A．A区域 B．B区域 C．C区域 D．三区域都可以 【变式2】（13-14九年级下·山东青岛·课后作业）如图，直角坐标平面内，小明站在点A（﹣10，0）处观察y轴，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则小明在y轴上的盲区（即OE的长度）为 米．    【题型5】判断简单三视图 【例5】（22-23九年级上·山东青岛·期末）如图所示的几何体，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）下面两幅图是由5个小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图，则搭成这个几何体的左视图为（    ） A． B． C． D． 【变式2】在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是（　　） A． B． C． D． 【题型6】画简单三视图 【例6】（23-24九年级上·重庆南岸·阶段练习）如图，该空心圆柱体的俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式1】（2024·安徽合肥·二模）用6个同样的小正方体摆成一个大的几何体，要求它的主视图如图所示，下面摆法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·重庆·期中）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【题型7】已知三视图求值 【例7】（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图所示是某几何体的三视图，已知主视图和左视图都是面积为16的正方形，则俯视图的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求该几何体的侧面积为 ． 【变式2】（23-24九年级上·山东济南·期末）某长方体的主视图和俯视图如图所示，则该长方体的左视图的面积是 ． 【题型8】由三视图求小正方体的个数 【例8】（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）用若干块小正方体搭成一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，若俯视图中的数字和字母表示该位置上小正方体的个数，则 ， ． 【变式1】（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）已知由个单位小立方体组成的简单几何体的主视图（a）和俯视图（b），则的所有可能取值为 ． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，从前面、左面、上面分别观察到由一些相同的小正方形构成的几何体的形状图，那么构成这个几何体的小正方体有 个． 【题型9】由三视图求小正方体最多和最少个数 【例9】（24-25七年级上·山西运城·期中）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面和上面看到的这个几何体的形状图如图所示，则搭成该几何体需用小正方体的个数最多是 ． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）若一个几何体由若干大小相同的小立方体搭成，如图分别是它的左视图与俯视图，该几何体所用小立方体的个数是，则的最大值是 ． 【变式2】（2023·浙江衢州·模拟预测）小明利用棱长为1的一些小立方体，用强力胶粘贴在一起来做内空的长方体积木模型： （1）如图棱长为3的立方体积木模型，至少需要 个小立方体． （2）若做一个长宽高为7，6，5的长方体积木模型，则至少需要 个立方体． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型10】直通中考 【例1】（2024·宁夏·中考真题）用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（　　） A．①号位置 B．②号位置 C．③号位置 D．④号位置 【例2】（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【题型11】拓展延伸 【例1】（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）左图是我国古代南北朝时期独孤信的印章，其俯视图如右图所示，该印章有 条棱，若棱长均为1、则表面积等于 ． 【例2】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）（1）一个由小正方体摆成的几何体，无论从正面，还是从左面都可以看到如图所示的图形，那么，最多可以用 个小正方体，最少可以用 个小正方体． （2）一个正方体截去一角后，剩下的几何体有 条棱， 个面， 个顶点．（说明：截去部分的边长都不超过正方体的边长．） （3）如图1，一个边长为2大正方体上截去一个小正方体后，可得到图2的几何体． ①所得几何体的表面积为 ． ②如果图1中大正方体各棱的长度之和比图2中几何体各棱的长度之和少3，那么，所得几何体的体积是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题29.1 投影与视图（2大知识点4大考点11类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 【知识点1】投影 （1）投影：用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影（projection），照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面。 （2）平行投影：有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯光的一束光中的光线。由平行光线形成的投影是平行投影（parallel projection）. （3）中心投影：由同一点（点光源发出的光线）形成的投影叫做中心投影（center projection）。 （4）正投影：投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影。 注：物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关。 【知识点2】三视图 （1）三视图：是指观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形。 将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用正投影法绘制出来该图形称为视图。一个物体有六个视图：从物体的前面向后面投射所得的视图称主视图——能反映物体的前面形状，从物体的上面向下面投射所得的视图称俯视图——能反映物体的上面形状，从物体的左面向右面投射所得的视图称左视图——能反映物体的左面形状， 三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称。 （2）特点：一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。 一个视图只能反映物体的一个方位的形状，不能完整反映物体的结构形状。三视图是从三个不同方向对同一个物体进行投射的结果，另外还有如剖面图、半剖面图等做为辅助，基本能完整的表达物体的结构。 第一部分【题型目录】 考点与题型目录 【考点一】投影 【题型1】平行投影............................................................2 【题型2】中心投影............................................................5 【题型3】正投影..............................................................8 【题型4】视点、视角和盲区...................................................10 【考点二】简单几何体的三视图 【题型5】判断简单三视图.....................................................13 【题型6】画简单三视图.......................................................15 【题型7】已知三视图求值.....................................................16 【考点三】由三视图判断正方体的数量 【题型8】由三视图求小正方体的个数...........................................18 【题型9】由三视图求小正方体最多和最少个数...................................19 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型10】直通中考..........................................................21 【题型11】拓展延伸..........................................................23 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】平行投影 【例1】（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）在阳光下，测得一根与地面垂直、长为米的竹竿的影长为米．同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上． （1）如图1：小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米，求树的高度． （2）如图2：小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少？ 【答案】（1）（米）；（2）树的高度为为米 【分析】本题主要考查解直角三角形，线段成比例的运用，合作作出辅助线是解题的关键， （1）如图所示，连接并延长交延长线于点，根据与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米，可得，求出的值，同理，，即可求解； （2）如图所示，延长交延长线于点，过点作于点，根据与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米，可得，求出的值，在中，，即可求解． 解：（1）解：根据题意，米，米， 如图所示，连接并延长交延长线于点， ∵与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）， 同理，， ∴（米）； （2）解：如图所示，延长交延长线于点，过点作于点，米，米，， ∴在中，（米），（米）， ∴（米），（米）， ∵与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴树的高度为米． 【变式1】（24-25九年级上·山东东营·期末）下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、B进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对C、D进行判断． 解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以A选项错误； B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误； C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项正确． D、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项错误； 故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·江苏苏州·开学考试）如图，在斜坡的顶部有一铁塔，是的中点，在阳光的照射下，塔影留在坡面上．已知，，小明和小华的身高都是，同一时刻小明站在处，影长为，小华站在平地上，影长为，则塔高是 米． 【答案】 【分析】设塔影留在坡面部分的塔高，塔影留在平地部分的塔高，根据平行线分线段成比例可知，进而解答即可．本题考查了相似三角形的相关应用，利用平底和斜坡上的物高与影长比得到相应的塔高的长度是解题的关键． 解：过点作，交于点， 设塔影留在坡面部分的塔高、塔影留在平地部分的塔高，则铁塔的高为， ∵， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴铁塔的高度为． 故答案为：． 【题型2】中心投影 【例2】（23-24九年级上·河南平顶山·期末）如图，白鹭洲国家湿地公园广场有一灯柱，M为光源．某兴趣小组为了测量灯柱的高度，在灯柱同侧竖立两根长度均为的标杆和．测得的影长等于，且点N，B，C在同一条直线上． （1）请画出标杆的影子； （2）若，求灯柱的高度． 【答案】（1）见分析；（2）灯柱的高度为 【分析】（1）本题考查投影，根据光沿直线传播，连接并延长，交的延长线于点，即可画出标杆的影子． （2）本题考查相似三角形的性质和判定，设灯柱的高度为x m，根据题意证明，得到，再证明，得到，利用等量代换建立等式，即可解题． 解：（1）解：如图所示的影子为； （2）解：由题意可知，，， 即， 设灯柱的高度为x m，根据题意，得由，得， 即， 代入数据，化简得， 由，得，， 即， 代入数据，化简得， ， （m）， 答：灯柱的高度为． 【变式1】（2023九年级·全国·专题练习）如图，在直角坐标系中，点 是一个光源．木杆 两端的坐标分别为、 ．则木杆 在轴上的投影长为（　　）      A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、中心投影；利用中心投影，延长、分别交轴于，作轴于，交于，如图，证明，然后利用相似比可求出的长． 解：延长 分别交x轴于 ，作 轴于，交于，如图    ∵ ． ∴，，， ∵ ， ∴， ∴，即 ∴， 故选：C． 【变式2】（2021·辽宁抚顺·一模）一幢4层楼房只有一个窗户亮着一盏灯，一棵小树和一根电线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的窗口是 号窗口． 【答案】3 【分析】根据给出的两个物高与影长即可确定光源的位置； 解：如图所示：可知亮灯的窗口是3号窗口， 故答案是3． 【点拨】本题主要考查了中心投影，准确分析判断是解题的关键． 【题型3】正投影 【例3】（2023九年级下·浙江·专题练习）如图，正方形纸板在投影面上的正投影为，其中边与投影面平行，与投影面不平行．若正方形的边长为5厘米，，求其投影的面积． 【答案】 【分析】先根据求出投影的各个边长，再求面积 解：过B点作于H，如图， ∵， ∴， ∵正方形纸板在投影面上的正投影为， ∴，， ∴四边形的面积． 【点拨】本题考查等腰直角三角形在投影中的应用，掌握计算方法是关键． 【变式1】（23-24九年级下·内蒙古包头·开学考试）下列投影一定不会改变的形状和大小的是（　　） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．当平行投影面时的正投影 【答案】D 【分析】本题考查了投影，关键是掌握中心投影、平行投影、正投影的区别，根据中心投影、平行投影、正投影的定义即可得出答案． 解：一定不会改变的形状和大小的是：当平行投影面时的正投影， 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，将一块含角的三角板的直角顶点C放置于直线n上，点A，点M在直线n上的正投影分别为点D，点N，若，，则在直线n上的正投影的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正投影，直角三角形的特征，特殊角的三角函数，勾股定理；由之间三角形的特征得，的余弦得，由勾股定理得，求出，由余弦的定义可求，即可求解；理解正投影，将正投影的长转化为的长是解题的关键． 解：由题意得 ， ， ， ， ，， ， ， 解得：， ， 在直线n上的正投影的长是． 【题型4】视点、视角和盲区 【例4】（18-19九年级·全国·单元测试）如图，点P的对面是一面东西走向的墙，某人在点P观察一辆自西向东行驶的汽车AB，汽车的长为6米，根据图中标示的数据解决下列问题： （1）画出此人在汽车与墙之间形成的盲区，并求出该盲区的面积； （2）当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积是否会发生变化？为什么？ 【答案】（1）盲区的面积为75 m2；（2）盲区的面积不变． 【分析】（1）根据已知画出形成的盲区为梯形AEFB，再利用梯形面积求法得出答案即可； （2）根据△PCD与△PMN仍然相似，且它们的高不变，所以相似比不变，汽车长度不变，所以MN的长不变，所以梯形CMND的面积不变，即盲区的面积不变． 解：（1）形成的盲区为梯形AEFB， ∵AB∥EF， ∴△PAB∽△PEF， ∴＝， ∴EF＝9， ∴盲区的面积为（6＋9）×10÷2＝75 m2； （2）当汽车行驶到CD位置时，盲区的面积不会发生变化， ∵△PCD与△PMN仍然相似，且它们的高不变，所以相似比不变，汽车长度不变． 所以MN的长不变，所以梯形CMND的面积不变，即盲区的面积不变． 【点拨】此题主要考查了盲区的确定方法以及梯形面积求法，根据已知得出MN的长不变，进而得出梯形CMND的面积不变是解题关键． 【变式1】（2019九年级·全国·专题练习）如图1为五角大楼的示意图，图2是它的俯视图，小红站在地面上观察这个大楼，若想看到大楼的两个侧面，则小红应站的区域是（    ） A．A区域 B．B区域 C．C区域 D．三区域都可以 【答案】C 【分析】根据视点，视角和盲区的定义，观察图形，选出答案． 解：由图可知，A区域可以看到一个侧面，B区域可以看到三个侧面，C区域可以看到两个侧面.故选C. 【点拨】本题考查的是视点，视角和盲区在实际中的应用，比较基础，难度不大． 【变式2】（13-14九年级下·山东青岛·课后作业）如图，直角坐标平面内，小明站在点A（﹣10，0）处观察y轴，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则小明在y轴上的盲区（即OE的长度）为 米．    【答案】2.5 解：首先作出BM⊥EO，得出△BND∽△BME，即可得出，再利用已知得出BN，BM，DN的长，即可求出EM，进而求出EO即可． 解：过点B作BM⊥EO，交CD于点N， ∵CD∥EO， ∴△BND∽△BME， ∴， ∵点A（﹣10，0）， ∴BM=10米， ∵眼睛距地面1.5米， ∴AB=CN=MO=1.5米， ∵DC=2米， ∴DN=2﹣1.5=0.5米， ∵他的前方5米处有一堵墙DC， ∴BN=5米， ∴， ∴EM=1米， ∴EO=1+1.5=2.5米． 故答案为2.5．    【题型5】判断简单三视图 【例5】（22-23九年级上·山东青岛·期末）如图所示的几何体，它的左视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了简单组合体的三视图．用到的知识点为：主视图指从物体的正面看，左视图是指从物体的左面看，俯视图是指从物体的上面看．根据从左面看到的图形是左视图可得答案． 解：该几何体的左视图为一个长方形，长方形的中间有2条横向的虚线． 故选：D． 【变式1】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）下面两幅图是由5个小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图，则搭成这个几何体的左视图为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了小立方块搭成的几何体的三视图，由主视图和俯视图可判断各个位置立方块的个数，再由左视图的定义即可求解；能由主视图和俯视图可判断各个位置立方块的个数是解题的关键． 解：由主视图和俯视图可得 ， 左视图为， 故选：B． 【变式2】在下列几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了简单几何体的三视图画法．熟练掌握简单几何体的三视图画法是解题的关键． 根据主视图、左视图、俯视图的画法画出相应的图形进行判断即可． 解：选项A：如图，三视图不相同，故不符合题意． 选项B：如图，三视图不相同，故不符合题意． 选项C：如图，球体的三视图都相同，都是圆形，故正确． 选项D：如图，三视图不相同，故不符合题意． 故选C． 【题型6】画简单三视图 【例6】（23-24九年级上·重庆南岸·阶段练习）如图，该空心圆柱体的俯视图是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案． 解：从上边看是三个水平边较短的矩形，中间矩形的左右两边是虚线， 故选：A． 【点拨】本题考查了三视图，俯视图是指从上往下看得到的图形。注意：看的见的线画实线，看不见的线画虚线． 【变式1】（2024·安徽合肥·二模）用6个同样的小正方体摆成一个大的几何体，要求它的主视图如图所示，下面摆法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三视图画法，根据各个几何体三视图的特点进行求解即可，正确画三视图是解题的关键． 解：主视图分别为 故选B． 【变式2】（24-25七年级上·重庆·期中）五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，它的俯视图是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形进行求解即可． 解：从上面看，看到的图形分为上下两层，共三列，从左边起，第一列上下两层各有一个小正方形，第二列和第三列上面一层个右边一个小正方形，即看到的图形如下： ， 故选：C． 【题型7】已知三视图求值 【例7】（23-24九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图所示是某几何体的三视图，已知主视图和左视图都是面积为16的正方形，则俯视图的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三视图．根据三视图，得到俯视图的直径为4，根据圆的面积公式进行进行求解即可． 解：∵主视图和左视图都是面积为16的正方形， ∴主视图的长为4， ∵主俯视图的长对正， ∴俯视图的直径为4， ∴俯视图的面积是； 故选D． 【变式1】（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求该几何体的侧面积为 ． 【答案】540 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，由几何体的三视图可得出原几何体为三棱柱是解题的关键． 由几何体的三视图可得出原几何体为三棱柱，然后根据侧面积公式求解即可． 解：由三视图可知，原几何体为三棱柱， ∴该几何体的侧面积为． 故答案为：540． 【变式2】（23-24九年级上·山东济南·期末）某长方体的主视图和俯视图如图所示，则该长方体的左视图的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查简单几何体的三视图，根据主视图和俯视图求出左视图长为3，宽为1，即可求解． 解：由图可知，该长方体长、宽、高为4、3、1， 故左视图长为3，宽为1， 故面积为 故答案为：3． 【题型8】由三视图求小正方体的个数 【例8】（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）用若干块小正方体搭成一个几何体，其主视图和俯视图如图所示，若俯视图中的数字和字母表示该位置上小正方体的个数，则 ， ． 【答案】 2 3 【分析】本题考查了根据三视图判断几何体的构成及对几何体三种视图的空间想象能力．注意找到该几何体的主视图中每列小正方体最多的个数．俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，结合主视图，分析其中的数字，从而求出a、b的值． 解：由俯视图可知，该组合体有三行三列， 由主视图左边一列可知，左边一列最高可以叠2个正方体，故， 由主视图右边一列可知，右边一列最高可以叠3个正方体，故， 故答案为：2，3． 【变式1】（2024九年级上·浙江宁波·竞赛）已知由个单位小立方体组成的简单几何体的主视图（a）和俯视图（b），则的所有可能取值为 ． 【答案】8，9，10，11 【分析】本题考查了根据简单几何体的三视图判断几何体中小正方体的个数，理解三视图并发挥空间想象能力是解题的关键． 可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，即可数出小立方体的个数． 解：主视图最右边看到有3列，俯视图有两列，则可能有4或5或6个小正方体， 由主视图最左边看到只有一列，俯视图也只有一列，则左边有1个小正方体， 主视图中间有两列，俯视图亦有两列，则中间可能有3或4个小正方体， ∴的值可能为：，，，，，， ∴的所有可能取值为：8，9，10，11， 故答案为：8，9，10，11． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）如图，从前面、左面、上面分别观察到由一些相同的小正方形构成的几何体的形状图，那么构成这个几何体的小正方体有 个． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是数形结合．易得这个几何体共有层，由从上面看到的图形可得第一层正方体的个数，由从前面和左面看到的图形可得第二层正方体的个数，相加即可． 解：由从上面看到的图形易得最底层有个正方体，由从前面看和从左面看易得第二层有个正方体， 则共有（个）正方体， 故答案为：． 【题型9】由三视图求小正方体最多和最少个数 【例9】（24-25七年级上·山西运城·期中）一个几何体由若干个大小相同的小正方体搭成，从左面和上面看到的这个几何体的形状图如图所示，则搭成该几何体需用小正方体的个数最多是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，解答本题的关键是熟练掌握三视图的定义；首先由俯视图可知最底层小正方体的个数，由左视图可知，第二层小正方体的最多个数；然后将第一层、第二层的小正方形的个数相加即可得到答案． 解：由俯视图易得最底层有5个小正方体，由左视图可知第二层最多有2个小正方体，那么搭成这个几何体最多可用的正方体为个． 故答案为∶7． 【变式1】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）若一个几何体由若干大小相同的小立方体搭成，如图分别是它的左视图与俯视图，该几何体所用小立方体的个数是，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查由三视图判断几何体，利用俯视图，写出的值最大时小正方形的个数，可得结论．解题的关键是理解三视图的定义， 解：如图，的最大值为：． ∴m的最大值是． 故答案为：． 【变式2】（2023·浙江衢州·模拟预测）小明利用棱长为1的一些小立方体，用强力胶粘贴在一起来做内空的长方体积木模型： （1）如图棱长为3的立方体积木模型，至少需要 个小立方体． （2）若做一个长宽高为7，6，5的长方体积木模型，则至少需要 个立方体． 【答案】 26 【分析】此题考查了立体图形，空间想象能力是解题的关键． （1）根据正方体找到规律计算求解； （2）根据（1）中的规律进行解答即可． 解：（1）由题意可得，（个）， 故答案为：26 （2）根据题意可得， （个） 故答案为： 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型10】直通中考 【例1】（2024·宁夏·中考真题）用5个大小相同的小正方体搭一个几何体，其主视图、左视图如图2，现将其中4个小正方体按图1方式摆放，则最后一个小正方体应放在（　　） A．①号位置 B．②号位置 C．③号位置 D．④号位置 【答案】B 【分析】本题考查了由三视图判断几何体，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键．根据题意主视图和左视图即可得到结论． 解：据主视图、左视图可知，最后一个小正方体应放在②号位置． 故选：B 【例2】（2024·四川自贡·中考真题）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．          （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度； （3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：          如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上． 如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面． 如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）． 【答案】（1）；（2）旗杆高度为；（3）雕塑高度为． 【分析】本题考查平行投影，相似三角形的应用． （1）根据同一时刻物高与影长对应成比例，进行求解即可； （2）根据镜面反射性质，可求出，得出，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案； （3），由题意得：，，利用相似三角形的性质列出式子，计算即可求解． 解：（1）解：由题意得，由题意得：， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，由题意得，， 根据镜面反射可知：， ，， ， ， ，即， ， 答：旗杆高度为； （3）解：设， 由题意得：，， ∴，， 即，， ∴， 整理得， 解得，经检验符合他 ∴， 答：雕塑高度为． 【题型11】拓展延伸 【例1】（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）左图是我国古代南北朝时期独孤信的印章，其俯视图如右图所示，该印章有 条棱，若棱长均为1、则表面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了组合几何体的三视图，根据俯视图可以得出，从上往下看、从下往上看以及中间一圈对应的棱，已经对应的图形，结合等边三角形的性质即可求解． 解：从上往下看共有条棱，从下往上看也有条棱，中间一圈还有条棱， 故共有：条棱； 从上往下看，几何体有个正方形和个正三角形， 从下往上看，几何体有个正方形和个正三角形， 中间一圈还有个正方形， 故该几何体由个正方形和个正三角形围成， 棱长均为1的正方形的面积为， 如图：是正三角形，，， 则， ∴， 棱长均为1的正三角形的面积为， 故几何体的表面积为． 故答案为：；． 【例2】（23-24七年级上·广东佛山·阶段练习）（1）一个由小正方体摆成的几何体，无论从正面，还是从左面都可以看到如图所示的图形，那么，最多可以用 个小正方体，最少可以用 个小正方体． （2）一个正方体截去一角后，剩下的几何体有 条棱， 个面， 个顶点．（说明：截去部分的边长都不超过正方体的边长．） （3）如图1，一个边长为2大正方体上截去一个小正方体后，可得到图2的几何体． ①所得几何体的表面积为 ． ②如果图1中大正方体各棱的长度之和比图2中几何体各棱的长度之和少3，那么，所得几何体的体积是 ． 【答案】（1）13，5；（2）15，7，10；（3）①24；② 【分析】本题主要考查了三视图、认识几何体等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）观察图形，可知该几何体是三行三列两层，其中中间一列、一行都是一层；要使摆成几何体的小正方体最少，则第一层最少3个小正方体，第二层最少2个；要使摆成几何体的小正方体最多，则第一层最多9个小正方体，第二层最多4个，据此即可获得答案； （2）一个正方体截去一角后，剩下的几何体增加1个面、3条棱和2个顶点，据此即可获得答案； （3）①②结合图形可知，图2中几何体的各棱的长度之和比图1中几何体的各棱的长度之和多出6条小正方体的棱长的和，进而求得被截去的小正方体的棱长，然后利用大正方体的体积减去小正方体的体积，即可获得答案． 解：（1）分别画出最多和最少正方体时从上面看到的形状图，如图所示（其中小正方形中的数字代表该位置上的小正方体的数目）， 由所画的图形可以作出判断， 最多可以用（块），最少可以用（块）． 故答案为：13，5； （2）一个正方体截去一角后，剩下的几何体有15条棱，7个面，10个顶点． 故答案为：15，7，10； （3）①一个边长为2大正方体上截去一个小正方体后，可得到图2的几何体， 所得几何体的表面积与原几何体的表面积相同， 所以，此时所得几何体的表面积为：； ②结合图形可知，图2中几何体的各棱的长度之和比图1中几何体的各棱的长度之和多出6条小正方体的棱长的和， 则被截去的小正方体的棱长为， 所以，所得几何体的体积是． 故答案为：①24；②． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$