精品解析：江西省大余县梅关中学2024-2025学年高二高职高考班上学期期末数学试题

梅关中学2024-2025学年度上学期期末考试 高二高职高考班数学试卷 一、是非填空题，对每小题的命题作出判断，对的填正确，错的填错误 1. 一次函数的图象会经过第一、二、三象限．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据一次函数的图像与性质即可求解. 【详解】由题意得，一次函数，是单调增函数，并且直线从左到右上升，必然经过第一、三象限， 又，说明直线与轴正半轴相交，则经过第二象限， 即一次函数的图象会经过第一、二、三象限． 故答案为：正确. 2. “”是“”成立的充分不必要条件.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】因为，所以“”不是“”成立的充分条件； 而，所以“”是“”成立的必要条件； 所以“”是“”成立的必要不充分条件. 故答案为：错误. 3. 已知向量，则.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】由向量共线的坐标表示判断即可. 【详解】因为向量， ，则. 故答案为：正确. 4. 椭圆的离心率为.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】由椭圆方程可得，从而可得，据此可求解. 【详解】由椭圆知， 所以，离心率. 故答案为：错误 5. 过点的直线的倾斜角为．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】由已知可推出直线的斜率不存在，即可判断对错. 【详解】已知直线过点， 则斜率，斜率不存在，所以直线的倾斜角为． 故答案为：错误. 6. ．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由向量的减法法则可得，． 故答案为：错误. 7. 已知向量，，则（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据垂直向量内积为零即可判断. 【详解】由题，， 则， 故. 故答案为：正确. 8. 直线与互相平行．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】将两直线化为斜截式后，根据直线平行的条件可判断. 【详解】由直线，即，得直线的斜率，纵截距， 由直线，即，得直线的斜率，纵截距. 因为且， 所以两直线平行. 故答案为：正确. 9. 过平面外一点P可作平面的无数条平行线（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据直线与平面平行的概念与性质即可判断. 【详解】因为过平面外一点可以作一个平面与该平面平行， 所作平面中，过此点的所有直线与该平面平行， 所以过平面外一点作平面的平行线有无数条. 故答案为：正确. 10. 圆的半径为2. （ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据圆的标准方程求解判断. 【详解】根据圆的标准方程可知，圆的半径为， 故答案为：错误. 二、单项选择题（每小题5分，共40分） 11. 已知i是虚数单位，则复数的虚部是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的定义即可求解. 【详解】根据复数的定义，复数的实部是，虚部是. 故选：B. 12. 若复数z满足，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念结合复数模的运算即可得解. 【详解】复数z满足，则，， 故选：. 13. 双曲线的焦距为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线方程求其焦距即可. 【详解】由双曲线， 可得，，， 所以双曲线的焦距为. 故选：D. 14. 已知椭圆的焦点在x轴上，离心率为，且椭圆上任意一点到两个焦点的之间的距离为8，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义结合离心率，的关系即可求解. 【详解】由题意得，设椭圆的标准方程为：. 设椭圆上任意点，焦点.则. 解得.因为离心率为，所以. 则.则椭圆的标准方程为：. 故选：C. 15. 双曲线的渐近线方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据双曲线方程确定的值，代入求出方程即可. 【详解】已知双曲线，其中， ，所以渐近线方程为. 故选：C. 16. 已知空间三个平面，，，下列判断正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面、面面间的位置关系的判定，即可求解. 【详解】对于A：若，，则与相交或平行，故A错误； 对于B：若，，则与相交或平行，故B错误； 对于C：若，，则，故C错误； 对于D：若，，则由面面平行的判定定理得，故D正确. 故选：D. 17. 已知，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的定义，即可求解. 【详解】已知，若，则推不出，所以充分性不成立； 若，则，所以必要性成立； 故是的必要不充分条件. 故选：B. 18. 函数与（且）在同一平面直角坐标系中的图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由一次函数和对数函数的图象判断即可. 【详解】由，图象单调递增，故排除B选项， 当时，图象更靠近轴，单调递减， 故排除A、D选项， 当时，图象更靠近轴，单调递增，故C选项正确. 故选：C. 三、填空题（每小题5分，共30分） 19. 已知、，且，（其中i为虚数单位），则________． 【答案】 【解析】 【分析】虚数运算时，实数部分与实数计算，虚数部分与实虚数计算. 【详解】计算得. 故答案为：. 20. 平行直线和之间的距离为________． 【答案】 【解析】 【分析】由平行直线的距离公式直接计算. 【详解】平行直线和之间的距离为， 故答案为：. 21. 已知一个圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱的侧面积公式，体积公式即可求解. 【详解】设圆柱的底面半径为，高为.则由圆柱的体积公式可得， .解得. 所以圆柱的侧面积为：. 故答案为：. 22. 抛物线的焦点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的方程确定的值，即可得到焦点坐标． 【详解】因为，焦点为. 在方程中，， 所以焦点坐标为. 故答案为：. 23. 直线的倾斜角为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先由直线方程确定斜率，再根据斜率的定义即可求出倾斜角. 【详解】由直线，可知斜率， 又由可知，， 且倾斜角的范围为， 所以. 故答案为：. 24. 若向量的夹角为，且，则____________； 【答案】 【解析】 【分析】先由向量模长的坐标表示求出，再由向量的内积公式计算即可. 【详解】因为，所以， 因为向量的夹角为，且， 所以. 故答案为：. 四、解答题：25-28小题每小题8分，29-30小题9分，共50分，解答应定出过程或步骤． 25. 已知复数是关于x的方程的一个根，求． 【答案】. 【解析】 【分析】将复数代入方程方程中求出值，代入模的公式即可得解. 【详解】因为复数是关于x的方程的一个根， 则， 整理得，所以， 所以， 所以. 26. 已知复数． （1）若，求a的值； （2）求的最小值， 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的运算，化简得到，列出方程，即可求解； （2）根据复数模的公式，化简得到，进而求得有最小值. 【小问1详解】 解：由复数， 可得， 所以，解得或． 【小问2详解】 解：由复数， 可得， 所以当时，有最小值，最小值为. 27. 焦点在x轴上的椭圆的离心率为，直线经过椭圆的右焦点， （1）求椭圆的方程； （2）若直线l与直线平行且与该椭圆相切，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线方程求出椭圆右焦点，再由椭圆离心率大小和椭圆之间的关系即可解得. （2）根据两直线平行设出直线方程，将直线与椭圆方程联立，利用二者位置关系列出等式即可解得. 【小问1详解】 由题，直线经过椭圆右焦点， 令，则，解得， 椭圆右焦点坐标为，故， 又知离心率，则， ，， 故椭圆方程为. 【小问2详解】 由题，直线与平行，可设， 又知直线与椭圆相切，则联立， 得，因为直线与椭圆相切， 故， 解得，故所求直线方程为或. 28. 已知圆C经过两点，且圆心C在x轴的上方，半径为 （1）求圆C的标准方程； （2）若为圆C的弦的中点，求PQ所在的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求得圆心坐标即可得圆的标准方程； （2）由题意解得直线的斜率，结合直线的点斜式方程即可求解. 【小问1详解】 由题可设圆的标准方程为， 由点代入，可得 ，解得， 因为圆心C在x轴的上方， 所以舍去，圆的标准方程为； 【小问2详解】 由（1）知，圆心 因为为圆C的弦的中点， 所以圆心C与中点M的连线垂直于弦； 又因为， 所以； 所以直线的方程为，即为所求. 29. 如图，在正三棱柱中，，D为BC的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，找出三角形的中位线，根据线线平行即可证明线面平行， （2）通过面面垂直证明线面垂直进而得到线线垂直，找出二面角的平面角，即可求解. 【小问1详解】 连接交于，连接.则是的中点. 因为D为BC的中点，所以在中，. 又因为平面，平面.所以平面. 【小问2详解】 作，连接. 在正三棱柱中，平面平面. 因为平面平面.又平面. 所以平面.又因为平面，所以. 因为，所以是二面角的平面角. 设，则.因为是正三角形， 所以. 所以在直角三角形中，. 30. 如图，在长方体中， （1）若，求证：； （2）若，，求长方体体积的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据长方体的几何特征，结合三垂线定理证明即可. （2）设，则，根据长方体的体积公式构建二次函数模型，根据二次函数的顶点式求最值即可. 【小问1详解】 已知为长方体， 所以平面，连接，为在平面中的射影， 因为，所以为正方形， 所以，根据三垂线定理可得，. 【小问2详解】 设，则， 所以长方体的体积为， . 其中，所以当时，满足， 长方体体积取最大值为. 所以长方体体积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 梅关中学2024-2025学年度上学期期末考试 高二高职高考班数学试卷 一、是非填空题，对每小题的命题作出判断，对的填正确，错的填错误 1. 一次函数的图象会经过第一、二、三象限．（ ） 2. “”是“”成立的充分不必要条件.（ ） 3. 已知向量，则.（ ） 4. 椭圆的离心率为.（ ） 5. 过点的直线的倾斜角为．（ ） 6. ．（ ） 7. 已知向量，，则（ ） 8. 直线与互相平行．（ ） 9. 过平面外一点P可作平面的无数条平行线（ ） 10. 圆的半径为2. （ ） 二、单项选择题（每小题5分，共40分） 11. 已知i是虚数单位，则复数的虚部是（    ） A. B. C. D. 12. 若复数z满足，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 7 13. 双曲线的焦距为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 2 14. 已知椭圆的焦点在x轴上，离心率为，且椭圆上任意一点到两个焦点的之间的距离为8，则该椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 15. 双曲线的渐近线方程为（ ）． A. B. C. D. 16. 已知空间三个平面，，，下列判断正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 17. 已知，则是的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 18. 函数与（且）在同一平面直角坐标系中的图像是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题5分，共30分） 19. 已知、，且，（其中i为虚数单位），则________． 20. 平行直线和之间的距离为________． 21. 已知一个圆柱的底面半径为1，体积为，则该圆柱的侧面积为________． 22. 抛物线的焦点坐标是________． 23. 直线的倾斜角为_________. 24. 若向量的夹角为，且，则____________； 四、解答题：25-28小题每小题8分，29-30小题9分，共50分，解答应定出过程或步骤． 25. 已知复数是关于x的方程的一个根，求． 26. 已知复数． （1）若，求a的值； （2）求的最小值， 27. 焦点在x轴上的椭圆的离心率为，直线经过椭圆的右焦点， （1）求椭圆的方程； （2）若直线l与直线平行且与该椭圆相切，求直线l的方程． 28. 已知圆C经过两点，且圆心C在x轴的上方，半径为 （1）求圆C的标准方程； （2）若为圆C的弦的中点，求PQ所在的直线方程． 29. 如图，在正三棱柱中，，D为BC的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正切值． 30. 如图，在长方体中， （1）若，求证：； （2）若，，求长方体体积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $