专题04 二次根式运算的五大题型（45题）-2024-2025学年八年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）

专题04 二次根式运算的五大题型 【题型一 二次根式的乘除运算】 1．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）计算． 2．（24-25八年级上·上海普陀·期中）计算：． 3．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）计算： (1) (2) 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算题 (1)； (2) 5．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 7．（24-25八年级上·陕西商洛·期中）计算：． 8．（23-24八年级下·云南玉溪·期末）计算： 9．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）计算： 10．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）计算： 【题型二 二次根式的加减运算】 1．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）计算 (1) (2) 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）计算：． 3．（24-25八年级上·北京通州·期末）计算：． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）计算与化简： (1)； (2)． 5．（24-25八年级上·四川成都·期中）计算下列各题 (1) (2) 6．（2025·甘肃·模拟预测）计算：． 7．（24-25八年级上·河南开封·期末）计算： (1)； (2)． 8．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）计算： (1)； (2) 9．（24-25八年级上·北京石景山·期末）计算：． 10．（24-25八年级上·江西南昌·期末）计算： (1) (2) 【题型三 二次根式的混合运算】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算： 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）计算：． 4．（24-25八年级上·山西晋中·期末）计算： (1)； (2)． 5．（22-23八年级上·宁夏银川·期末）计算： (1)； (2)． 6．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）计算： (1)； (2)． 7．（24-25八年级上·重庆南岸·期末）计算： (1)； (2)． 8．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）计算： 9．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）计算： (1)； (2)． 10．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【题型四 二次根式的化简求值】 1．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 2．（24-25八年级上·北京通州·期末）化简求值：，其中． 3．（24-25八年级上·湖南常德·期末）先化简，再求值：，其中． 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 5．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，． (1)化简M； (2)当，时，求M的值． 6．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）化简求值． (1)若为的小数部分，求的值． (2)已知，，求． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）先化简，再求值：，其中． 8．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 9．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 10．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）先化简，再求值：，其中 【题型五 二次根式的分母有理化】 1．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：；． 解答下列问题： (1)根据以上概念直接在横线上写出的一个有理化因式 ； (2)若，求的值； (3)请在以下问题①和②任选一个题作答： ①设实数，满足，求的值． ②化简：． 2．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）观察下列运算过程： ； 请运用上面的运算方法计算： (1)已知，，求的值； (2)求的值． 3．（24-25八年级上·四川达州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则______； (2)化简：______； (3)计算：． 4．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）阅读下列材料： 【材料一：分母有理化】①； ②； ； 【材料二：分子有理化】 ． 请结合上述材料，解答下列问题： (1)化简：__________，____________． (2)比较和的大小，并说明理由； (3)计算：． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______； (2)化简：； (3)若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 二次根式运算的五大题型 【题型一 二次根式的乘除运算】 1．（24-25八年级上·甘肃白银·期中）计算． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 化简二次根式，按二次根式乘、除法运算法则计算即可； 【详解】解：原式， ． 2．（24-25八年级上·上海普陀·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的乘除混合运算，直接利用二次根式的乘法，除法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 3．（23-24八年级下·江苏徐州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式利用乘方的意义，绝对值的代数意义，负整数指数幂，以及二次根式性质计算即可求出值； （2）原式利用二次根式乘法法则，以及平方差公式计算即可求出值． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了乘方，绝对值，负整数指数幂，二次根式的化简及乘法，平方差公式等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4．（23-24八年级下·全国·单元测试）计算题 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的运算： （1）利用平方差公式进行计算即可； （2）先化简，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 5．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，实数的运算，化简绝对值： （1）根据二次根式的乘除法计算法则把原式变形为，据此计算求解即可； （2）先计算立方根和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)63 【分析】本题考查二次根式的乘法运算： （1）根据乘法法则进行计算即可； （2）利用乘法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 7．（24-25八年级上·陕西商洛·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法混合计算，先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案． 【详解】解： ． 8．（23-24八年级下·云南玉溪·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先计算零指数幂、绝对值、负整数指数幂、二次根式的除法，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 9．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．先把每一个二次根式化成最简二次根式，计算二次根式的乘除法，再算减法即可． 【详解】解：原式 ． 10．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案． 【详解】解： 原式 【题型二 二次根式的加减运算】 1．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算及立方根，熟练掌握二次根式的加减运算及立方根是解题的关键． （1）化为最简二次根式即可进行求解． （2）根据二次根式的加减运算及立方根和绝对值可进行求解． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 2．（24-25九年级上·吉林长春·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算．先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得． 【详解】解： ． 3．（24-25八年级上·北京通州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减法，先将各二次根式化为最二次根式后再合并即可得出答案． 【详解】解： 4．（2025八年级下·全国·专题练习）计算与化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，利用二次根式性质化简，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式，结合二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（24-25八年级上·四川成都·期中）计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的加减计算即可； （2）先计算绝对值、零指数幂、二次根式、乘方，再计算加减即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．（2025·甘肃·模拟预测）计算：． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 7．（24-25八年级上·河南开封·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数混合运算，涉及零指数幂、取绝对值、负整数指数幂运算、二次根式性质、二次根式加减运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键； （1）根据二次根式的加减计算即可； （2）先由零指数幂、取绝对值、负整数指数幂运算、二次根式性质化简，再有二次根式加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 8．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，正确化简各项是解答本题的关键． （1）根据立方根的意义，绝对值以及乘方的意义化简各项后再进行加减运算即可； （2）先化简二次根式和计算乘法，再算减法即可求解； 【详解】（1）解： （2） 9．（24-25八年级上·北京石景山·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据二次根式的性质、立方根的定义进行化简，再合并即可，掌握二次根式的性质、立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 10．（24-25八年级上·江西南昌·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查二次根式的化简，加减乘除混合运算，掌握二次根式的化简，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）化简二次根式，根据加减法即可求解． （2）化简二次根式及零次幂和绝对值，根据二次根式的加减法即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型三 二次根式的混合运算】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先算分子和乘法，再算除法． 【详解】解： ． 2．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）运用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）运用乘法公式，二次根式的混合法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解此题的关键．结合二次根式的混合运算法则，先根据乘法运算律进行计算，再进行乘法运算，然后进行加减计算即可得解． 【详解】解： ． 4．（24-25八年级上·山西晋中·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解答的关键． （1）先根据二次根式的性质化简各数，再加减运算即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式去括号，再加减运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（22-23八年级上·宁夏银川·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的混合运算： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）先进行乘除运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 6．（23-24八年级上·宁夏银川·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)2 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的除法运算，掌握二次根式的性质以及二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质，求一个数的立方根和平方根，进而根据实数的性质进行计算即可； （2）根据二次根式的乘除法运算进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 7．（24-25八年级上·重庆南岸·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算和二次根式的加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据平方差公式进行计算即可； （2）原式先化简二次根式，再合并即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（23-24八年级上·广东梅州·阶段练习）计算： 【答案】8 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据完全平方公式，平方差公式，零指数幂，以及化简绝对值，进行计算即可求解． 【详解】解： ． 9．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的混合计算： （1）先计算乘方，算术平方根和立方根，再计算加减法即可得到答案； （2）根据乘法公式先去括号，然后计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先化简括号内的二次根式，再合并同类二次根式，最后计算除法即可． 【详解】（1）解： （2） 【题型四 二次根式的化简求值】 1．（24-25九年级上·湖南·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算， 先根据整式的乘除法混合运算法则计算，再代入求值即可． 【详解】解：原式 ． ，， 原式． 2．（24-25八年级上·北京通州·期末）化简求值：，其中． 【答案】，． 【分析】此题考查了分式的化简求值，分母有理化，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将代入计算即可熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 3．（24-25八年级上·湖南常德·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则．先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据，根据二次根式混合运算法则进行计算． 【详解】解： ， 当时，原式． 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，根据平方差公式、完全平方公式、合并同类项把原式化简，把、的值代入计算得到答案． 【详解】解：原式 ， 当，时，原式． 5．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，． (1)化简M； (2)当，时，求M的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、二次根式的混合运算，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）由数轴可得，，从而得出，，再根据二次根式的性质化简即可； （2）将，代入（1）中化简的式子计算即可得解． 【详解】（1）解：由数轴可得：，， ∴，， ∴ ； （2）解：当，时, ． 6．（24-25八年级上·重庆长寿·期中）化简求值． (1)若为的小数部分，求的值． (2)已知，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化，无理数的估算，完全平方公式的变形求值： （1）先把有理化，再估算出有理化的结果即可得到答案； （2）先分母有理化求出x、y的值，进而求出和的值，再根据完全平方公式的变形代值计算即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴． 7．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的分式通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 8．（24-25九年级上·四川遂宁·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，二次根式的运算等知识点，先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 9．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，利用分式的性质和运算法则先对分式进行化简，再把的值代入计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 10．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值；先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，然后代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 ． 【题型五 二次根式的分母有理化】 1．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）阅读材料： 材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子，分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：；． 解答下列问题： (1)根据以上概念直接在横线上写出的一个有理化因式 ； (2)若，求的值； (3)请在以下问题①和②任选一个题作答： ①设实数，满足，求的值． ②化简：． 【答案】(1) (2) (3)选①，；选②， 【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式，解答本题的关键是明确分母有理化的方法，可以找出相应的有理化因式． （1）根据题目中的材料，可以求出的有理化因式； （2）先求出，，得到，再代入求解即可； （3）选①，将原子化成和，两式相加，进一步计算即可求解； 选②，先将分子分母分别用结合律重新整理后，再有理化，接受运用乘法计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的有理化因式为， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ； （3）解：选①， ∵， ∴， 同理， 两式得， ∴； 选②，∵ ． 2．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）观察下列运算过程： ； 请运用上面的运算方法计算： (1)已知，，求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了计算规律探究、分母有理化、平方差公式，发现计算规律并正确运用是解题关键． （1）根据分母有理化得出，，进而得到，，再代入代数式进行计算即可求解； （2）根据运算方法可得到，然后按照规律计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， ，， ； （2） ． 3．（24-25八年级上·四川达州·期末）定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)已知：，则______； (2)化简：______； (3)计算：． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，应用“对偶式”进行分母有理化． （1）根据阅读材料的方法进行求解即可； （2）分母有理化即可得答案； （3）将每个加数分母有理化，再相加即可． 【详解】（1）解：因为， 所以． 故答案为：2； （2）解：原式， 故答案为：； （3）原式 ， ． 4．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）阅读下列材料： 【材料一：分母有理化】①； ②； ； 【材料二：分子有理化】 ． 请结合上述材料，解答下列问题： (1)化简：__________，____________． (2)比较和的大小，并说明理由； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化． （1）利用分母有理化计算即可得解； （2）先求出，，再比较即可得解； （3）根据分母有理化计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，． （2）解： 同理 因为 所以． （3）解： ． 5．（24-25八年级上·山东青岛·期末）在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)______； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)10 (3)6 【分析】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后平方得到，再把原式变形为，接着利用整体代入的方法计算得到原式，然后再运用同样方法计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$