湖南省跨地区普通高等学校2023-2024学年高三下学期对口升学第二次联考数学试题

湖南省2024年跨地区普通高等学校对口招生第二次联考 数学 本试题卷包括选择题､填空题和解答题三部分，共4页.时量120分钟.满分120分. 一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2.“”是“”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知圆，截直线所得线段长为，则实数的值为（ ） A.2 B. C. D.4 4.已知偶函数在区间上是增函数，且，则在区间上的最小值为（ ） A.3 B.2 C. D. 5.已知圆锥的高为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6.已知向量，则（ ） A.3 B.2 C. D. 7.已知不等式的解集为，则函数在区间上的最大值与最小值的差为（ ） A.18 B. C. D. 8.一份调查问卷中，40名参与者的年龄如下：23岁的15人，25岁的20人，31岁的5人，这份调查的平均年龄是（ ） A.23岁 B.24岁 C.25岁 D.26岁 9.已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10.已知圆，则下列说法正确的是（ ） A.点在圆外 B.圆的半径为4 C.直线过点 D.直线截圆所得弦长为3 二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11.已知，则__________. 12.设函数若，则实数__________. 13.在一次运动会上，来自甲､乙､丙3所学校的5名运动员站在一排照相，其中甲校有2名运动员，乙校有2名运动员，丙校有1名运动员，则仅有乙校的运动员相邻的站法总数为__________. 14.在等差数列中，若，则数列的前10项和__________. 15.已知过点，且与圆相切的两条切线的夹角为，则__________. 三､解答题（本大题共7小题，其中第21，22小题为选做题.共60分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 16.（本小题满分10分） 已知函数. （i）若是上的奇函数，求实数的值； （2）若点是函数图像上的一点，求不等式的解集. 17.（本小题满分10分） 在等比数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 18.（本小题满分10分） 盒子中有4个大小相同的球，其中2个白球，1个红球，1个绿球.从盒子中随机无放回地取球，每次取1个，直到取出绿球为止.设在此过程中取到白球的个数为. （1）求的分布列； （2）求以及的数学期望. 19.（本小题满分10分） 已知双曲线的离心率为2，且双曲线过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）斜率为的直线交双曲线于两点，且与轴交于点，若为的中点，求直线的方程. 20.（本小题满分10分） 如图所示，直四棱柱的底面为梯形，. （1）证明：平面； （2）若直四棱柱的体积为36，求二面角的正切值. 选做题：请考生在第21，22题中选择一题作答.如果两题都做，则按所做的第21题计分.作答时，请写清题号. 21.（本小题满分10分） 在中，内角所对的边分别是，分别以为边长的三个正三角形的面积依次为，且. （1）求； （2）若，求. 22.（本小题满分10分） 已知甲种食材的价格为60元/件，其中维生素的含量为500单位/件，维生素的含量为200单位/件；乙种食材的价格为70元/件，其中维生素的含量为200单位/件，维生素的含量为500单位/件；丙种食材的价格为50元/件，其中维生素的含量为300单位/件，维生素的含量为300单位/件.某人拟购买这三种食材共7件，要求其中维生素的总含量与维生素的总含量均不少于2300单位.这三种食材各购买多少件，才能使支付的总金额最少？ 2024年湖南省跨地区普通高等学校对口招生二轮联考 数学试卷参考答案 一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.B 2.C 3.D 4.A 5.C 6.B 7.A 8.C 9.D 10.C 二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 12. 13.24 14.75 15. 三､解答题（本大题共7小题，其中第21，22小题为选做题.共60分） 16.（本小题满分10分） 解：（1）因为是在R上的奇函数， 所以， 故. （2）由点是函数图像上一点得， 所以. 由得， 所以即，. 故不等式的解集为. 17.（本小题满分10分） 解：（1）设等比数列的公比为q，则 解得 由得数列的通项公式. （2）因为，所以， 因为， 所以数列其首项为2，公差为1的等差数列. 故. 18.（本小题满分10分） 解：（1）的取值为0，1，2，则 =0时，一个白球也取不出，则取出顺序有红绿和绿两种，所以. 时，取出1个白球，则取出顺序有白绿，白红绿，红白绿三种， 所以； 时，. 故的分布列为 0 1 2 P （2）. 的数字期望E（）=. 19.（本小题满分10分） 解：（1）设双曲线C的焦距为2c，则 ，，即. 所以双曲线C的方程可化为. 将点代入得，. 故双曲线C为标准方程为. （2）设. 由于Q为PM的中点，所以. 设直线的方程为. 由得， ， 由根与系数的关系可得，. 因为，所以，， ， 解得，. 故直线的方程为或. 20.（本小题满分10分） 解：（1）证明：因为平面平面， 所以平面. 又因为平面平面 所以平面. 因为平面， 所以平面平面 因为平面， 所以平面. （2）过点作于，连接. 在中，， ， 所以. 因为四棱柱的体积为36， 所以. 因为平面平面， 所以. 又因为平面 所以平面. 因为平面.所以. 由此可知，为二面角的平面角. 故为所求. 21.（本小题满分10分） 解：（1）因为边长为a的正三角形的面积为， 所以X-Y+Z=. 由余弦定理得cosB， 所以cosB=. 又因为sinB=，所以cosB=， 所以ac=. 故sinB=. （2）由正弦定理得： 所以 故 22.（本小题满分10分） 设甲､乙两种食材分别购买件，则丙种食材购买件.令购买三种食材支付的总金额为元，于是有 即 且. 可行域如下： 由得 当，，即分别购买甲､乙､丙三种食材2，2，3件时，支付的总金额最少，且最少为（元） 学科网（北京）股份有限公司 $$