17.4全等三角形的判定讲义 2024 -2025学年 沪教版(五四制)七年级数学下册【进阶优等生系列】

【沪教版2024】 【沪教版2024】【进阶优等生系列】 【2024-2025春季培优课】七年级第二学期 17.4三角形全等的判定 目录 1、 【进门测试】共6题； 2、 【知识精讲】共4个知识点； 3、 【典例解析】共10例题； 4、 【拓展进阶】共11题； 5、 【温故知新】共15题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．如图，已知：AB＝BC，∠BAD＝∠BCD，试说明BD平分∠ABC的理由． 【分析】由等腰三角形的判定与性质证出DA＝DC，证明△BAD≌△BCD（SSS），由全等三角形的性质得出∠ABD＝∠CBD，则可得出结论． 【解答】解：∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠BCA， ∵∠BAD＝∠BCD， ∴∠DAC＝∠DCA， ∴DA＝DC， 又∵BD＝BD， ∴△BAD≌△BCD（SSS）， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴BD平分∠ABC． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，证明△BAD≌△BCD是解题的关键． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且BD＝AD＝CD，过B作BE⊥CD，分别交AC于点E、交CD于点F． （1）求证：∠A＝∠EBC； （2）如果AC＝2BC，请猜想BE和CD的数量关系，并证明你的猜想． 【分析】（1）证得∠EBC＝∠ACD，∠A＝∠ACD，则结论可得出； （2）过点D作DG⊥AC于点G，根据ASA证明△DCG≌△EBC，可得出结论． 【解答】（1）证明：∵BE⊥CD， ∴∠BFC＝90°， ∴∠EBC+∠BCF＝180°﹣∠BFC＝90°， ∵∠ACB＝∠BCF+∠ACD＝90°， ∴∠EBC＝∠ACD， ∵AD＝CD， ∴∠A＝∠ACD， ∴∠A＝∠EBC； （2）解：CD＝BE． 过点D作DG⊥AC于点G， ∵DA＝DC，DG⊥AC， ∴AC＝2CG， ∵AC＝2BC， ∴CG＝BC， ∵∠DGC＝90°，∠ECB＝90°， ∴∠DGC＝∠ECB， 在△DGC和△ECB中， ， ∴△DCG≌△EBC（ASA）， ∴CD＝BE． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，关键是掌握全等三角形的判定定理． 3．如图，已知A、B、C在同一条直线上，且∠A＝∠C＝56°，AB＝CE，AD＝BC，那么∠BDE的角度是 　62　°． 【分析】先根据SAS证明△ADB≌△CBE，所以∠1＝∠4，∠2＝∠6，DB＝BE，又根据平角定义、三角形内角和、等边对等角等知识点即可解答． 【解答】解：在△ADB和△CBE中， ， ∴△ADB≌△CBE（SAS）， ∴∠1＝∠4，∠2＝∠6，DB＝BE， ∵∠1+∠2+∠A＝180°，∠2+∠3+∠4＝180°，∠A＝56°， ∴∠3＝∠A＝56°， 在△DBE中，∵DB＝BE， ∴∠BDE＝∠5＝（180°﹣∠3）÷2＝62°， 故答案为：62． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边对等角，解题关键是熟练掌握以上性质． 4．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD为△ABC的高，点E在边AC上，BE与AD交于点F，且DF＝DC．说明BE⊥AC的理由． 解：∵AD为△ABC的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90° （ 　三角形高的定义　）． ∵∠ABD+∠BAD+∠ADB＝　180　°，∠ABC＝45°， ∴∠BAD＝∠ABD＝45°． ∴BD＝AD （ 　等角对等边　）． 在△BDF与△ADC中， ， ∴△BDF≌△ADC（ 　SAS　）（完成以下说理过程）． 【分析】利用SAS证明△BDF≌△ADC，根据全等三角形的性质求出∠C+∠FBD＝90°，进而得到∠BEC＝90°，据此即可得解． 【解答】解：∵AD为△ABC的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90° （三角形高的定义）， ∵∠ABD+∠BAD+∠ADB＝180°，∠ABC＝45°， ∴∠BAD＝∠ABD＝45°， ∴BD＝AD （等角对等边）， 在△BDF与△ADC中， ， ∴△BDF≌△ADC（SAS）， ∴∠BFD＝∠C， ∵∠FBD+∠BFD＝90°， ∴∠C+∠FBD＝90°， ∴∠BEC＝90°， ∴BE⊥AC． 故答案为：三角形高的定义；180；等角对等边；SAS． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 5．如图，△ABC中，AB＝AC，且D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点，BE＝CF，∠DEF＝∠B，点G是DF的中点，猜想EG和DF的位置关系，并说明理由． 【分析】由“AAS”可证△BDE≌△CEF，可得ED＝EF，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】解：EG垂直平分DF，理由如下： ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵∠DEC＝∠B+∠BDE＝∠DEF+∠FEC， ∴∠BDE＝∠CEF， 在△BDE和△CEF中， ， ∴△BDE≌△CEF（AAS）， ∴ED＝EF， 又∵点G是DF的中点， ∴EG垂直平分DF． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 6．已知：如图，点E在直线AC上，ED⊥CD于D，EB⊥CB于B，且AC平分∠DCB．求证：AD＝AB． 【分析】首先根据角平分线性质得出DE＝BE，∠EDC＝∠EBC＝90°，∠DCE＝∠BCE，再根据SAS证明△AED≌△AEB，即可解答． 【解答】证明：∵ED⊥CD，EB⊥CB，AC平分∠DCB， ∴DE＝BE，∠EDC＝∠EBC＝90°，∠DCE＝∠BCE， ∵∠AED＝∠DCE+∠EDC，∠AEB＝∠BCE+∠EBC， ∴∠AED＝∠BEA， 在△AED和△AEB中， ， ∴△AED≌△AEB（SAS）， ∴AD＝AB． 【点评】本题考查角平分线性质、三角形外角性质、全等三角形的判定和性质，解题关键是熟练掌握角平分线的性质． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 全等三角形的判定 三角形全等判定方法1： 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法2： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法3： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法4： 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 符号：在与中， 【典例解析】 30min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一．全等三角形的判定 1．如图，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝42°，则∠AEB＝　132°　． 【分析】先证明△BDC≌△AEC，进而得到角的关系，再由∠EBD的度数进行转化，最后利用三角形的内角和即可得到答案． 【解答】解：∵∠ACB＝∠ECD＝90°， ∴∠BCD＝∠ACE， 在△BDC和△AEC中， ， ∴△BDC≌△AEC（SAS）， ∴∠DBC＝∠EAC， ∵∠EBD＝∠DBC+∠EBC＝42°， ∴∠EAC+∠EBC＝42°， ∴∠ABE+∠EAB＝90°﹣42°＝48°， ∴∠AEB＝180°﹣（∠ABE+∠EAB）＝180°﹣48°＝132°． 【点评】考查了全等三角形的判定和性质，关键是充分利用角的和差的转化关系进行求解． 2．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，点D是BC边上的中点，AB＝BC． （1）说明△ABE≌△BDE的理由； （2）若∠ABC＝2∠C，求∠BAC的度数． 【分析】（1）证出BD＝AB，根据SAS可证明△ABE≌△BDE； （2）由等腰三角形的性质证出∠EDB＝90°，根据全等三角形的性质可得出结论． 【解答】解：（1）∵D为BC的中点， ∴BD＝BC， ∵AB＝BC， ∴BD＝AB， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠DBE， 在△ABE和△DBE中， ， ∴△ABE≌△DBE（SAS）； （2）∵BE平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠EBC， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠C＝∠EBC， ∴BE＝EC， ∵D为BC的中点， ∴ED⊥BC， ∴∠EDB＝90°， ∵△ABE≌△DBE， ∴∠BAE＝∠BDE＝90°， 即∠BAC＝90°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ABE≌△DBE是解题的关键． 3．如图，已知AE∥DF，OE＝OF，∠B＝∠C，求证：AB＝CD． 【分析】首先根据全等三角形的判定定理ASA推知△AOE≌△DOF，则OB＝OC；然后再根据全等三角形的判定定理ASA证得△AOB≌△DOC，则AB＝CD． 【解答】证明：如图，∵AE∥DF， ∴∠AEO＝∠DFO． 在△AOE与△DOF中， ． ∴△AOE≌△DOF（ASA）． ∴OD＝OA． 在△AOB与△DOC中， ． ∴△AOB≌△DOC（AAS）． ∴AB＝CD． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角（对顶角），必要时添加适当辅助线构造三角形． 4．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（　　） A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n＝b+c D．无法确定 【分析】在BA的延长线上取点E，使AE＝AC，连接EP，证明△ACP和△AEP全等，推出PE＝PC，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m+n＞b+c． 【解答】解：在BA的延长线上取点E，使AE＝AC，连接EP， ∵AD是∠BAC的外角平分线， ∴∠CAD＝∠EAD， 在△ACP和△AEP中，， ∴△ACP≌△AEP（SAS）， ∴PE＝PC， 在△PBE中，PB+PE＞AB+AE， ∵PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b， ∴m+n＞b+c． 故选：A． 【点评】本题主要考查三角形全等的证明，全等三角形的性质，三角形的三边关系，作辅助线构造以m、n、b、c的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点． 5．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，则BE＝　0.8cm　． 【分析】求出∠E＝∠ADC＝∠BCA＝90°，求出∠BCE＝∠CAD，根据AAS证△ACD≌△CBE，推出CE＝AD＝2.5cm，BE＝CD，即可得出答案． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠E＝∠ADC＝∠BCA＝90°， ∴∠BCE+∠ACD＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD， 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（AAS）， ∴CE＝AD＝2.5cm，BE＝CD， ∵DE＝1.7cm， ∴BE＝CD＝2.5cm﹣1.7cm＝0.8cm， 故答案为：0.8cm． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．全等三角形的对应边相等，对应角相等． 6．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O． （1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠1＝42°，求∠BDE的度数． 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可判断△AEC≌△BED； （2）由（1）可知：EC＝ED，∠C＝∠BDE，根据等腰三角形的性质即可知∠C的度数，从而可求出∠BDE的度数； 【解答】解：（1）证明：∵AE和BD相交于点O， ∴∠AOD＝∠BOE． 在△AOD和△BOE中， ∠A＝∠B，∴∠BEO＝∠2． 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BEO， ∴∠AEC＝∠BED． 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（ASA）． （2）∵△AEC≌△BED， ∴EC＝ED，∠C＝∠BDE． 在△EDC中， ∵EC＝ED，∠1＝42°， ∴∠C＝∠EDC＝69°， ∴∠BDE＝∠C＝69°． 【点评】本题考查全等三角形，解题的关键是熟练运用全等三角形的性质与判定，本题属于中等题型． 7．如图，已知点B、F、C、E在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，BF＝EC，试说明AC与DF平行的理由． 解：因为AB∥DE（已知）， 所以∠B＝∠E（　两直线平行，内错角相等　）． 因为 BF＝EC（已知）， 所以BF+FC＝EC+CF（　等式性质　）， 即 BC＝EF． 在△ABC和△DEF中， 所以△ABC≌△DEF． （　SAS　） 所以∠　ACB　＝∠　DFE　（　全等三角形的对应角相等　）， 所以AC∥DF　内错角相等，两直线平行　． 【分析】先求出BC＝EF，再根据“边角边”证明△ABC与△DEF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACB＝∠EFD，然后根据内错角相等，两直线平行即可得证． 【解答】解：因为AB∥DE（已知）， 所以∠B＝∠E（ 两直线平行，内错角相等）． 因为 BF＝EC（已知）， 所以BF+FC＝EC+CF（等式性质）， 即 BC＝EF． 在△ABC和△DEF中， 所以△ABC≌△DEF． （ SAS） 所以∠ACB＝∠DFE（ 全等三角形的对应角相等）， 所以AC∥DF（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等，等式性质，SAS，∠ACB＝∠DFE（全等三角形的对应角相等），内错角相等，两直线平行． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，求出BC＝EF，得到三角形全等是解题的关键． 8．（1）观察理解：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，由此可得：∠AEC＝∠CDB＝90°，所以∠CAE+∠ACE＝90°，又因为∠ACB＝90°，所以∠BCD+∠ACE＝90°，所以∠CAE＝∠BCD，又因为AC＝BC，所以△AEC≌△CDB（　AAS　）；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝　50　； （3）类比探究：如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积． （4）拓展提升：如图4，等边△EBC中，EC＝BC＝3cm，点O在BC上，且OC＝2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．设点P运动的时间为t秒． ①当t＝　1　秒时，OF∥ED； ②当t＝　2　秒时，OF⊥BC； ③当t＝　4　秒时，点F恰好落在射线EB上． 【分析】（1）根据AAS证明△AEC≌△CDB； （2）利用（1）中的结论，△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD，利用面积差求S的值； （3）如图3，过B′作B′E⊥AC于E，证明△AEB′≌△BCA，得AC＝B′E＝4，根据面积公式可得结论； （4）由题意得：EP＝t，则PC＝3﹣t， ①如图4，根据OP∥AE，得，代入可得t的值； ②如图5，证明∠COP＝30°，则OC＝2PC，列方程：2＝2（3﹣t），则t＝2； ③如图6，证明△PCO≌△OBF，则PC＝OB＝1＝t﹣3，可得t＝4． 【解答】解：（1）在△AEC和△CDB中， ∵， ∴△AEC≌△CDB（AAS）， 故答案为：AAS； （2）∵AE＝AB，∠EAB＝90°，BC＝CD，∠BCD＝90°， 由（1）得：△EFA≌△AGB，△BGC≌△CHD， ∴AG＝EF＝6，AF＝BG＝3，CG＝DH＝4，CH＝BG＝3， ∴S＝S梯形EFHD﹣2S△AEF﹣2S△CHD＝（4+6）×16﹣2×﹣2×＝80﹣18﹣12＝50， 故答案为：50； （3）如图3，过B′作B′E⊥AC于E， 由旋转得：AB＝AB′， ∵∠BAB′＝90°， ∴△AEB′≌△BCA， ∴AC＝B′E＝4， ∴S△AB′C＝AC•B′E＝＝8； （4）由题意得：EP＝t，则PC＝3﹣t， ①如图4，∵OF∥ED， ∴∠POF+∠OPC＝180°， ∵∠POF＝120°， ∴∠OPC＝60°， ∵△BEC是等边三角形， ∴∠E＝60°， ∴∠E＝∠OPC， ∴OP∥AE， ∴， ∴， 2＝3﹣t， t＝1， 即当t＝1秒时，OF∥ED； ②如图5，∵OF⊥BC， ∴∠FOC＝90°， ∵∠FOP＝120°， ∴∠COP＝30°， ∴OC＝2PC， 2＝2（3﹣t），t＝2， 即当t＝2秒时，OF⊥BC； ③如图6，∵∠FOP＝120°， ∴∠FOB+∠COP＝60°， ∵∠BCE＝60°， ∴∠COP+∠OPC＝60°， ∴∠FOB＝∠OPC， ∵OF＝OP，∠OBF＝∠OCP＝120°， ∴△PCO≌△OBF， ∴PC＝OB＝1＝t﹣3， t＝4， 即当t＝4秒时，点F恰好落在射线EB上． 故答案为：①1；②2；③4． 【点评】本题考查了三角形全等的性质和判定、等边三角形的性质、动点运动问题，明确动点运动的路程，并运用了类比的思想，与方程相结合，解决问题． 二．全等三角形的应用 9．如图，这是小丽制作的一个风筝，她根据AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，不用测量就知BC＝CD，请你用所学知识说明理由． 【分析】连接BD，构造等腰△ABD和△BCD，利用等腰三角形的性质进行推知． 【解答】解：如图，连接BD， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB． ∵∠ABC＝∠ADC， ∴∠CBD＝∠CDB． ∴BC＝CD． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，解题时，通过作辅助线构造等腰三角形，利用“等角对等边”的性质推知结论． 10．如图，有两根钢条AB、CD，在中点O处以小转轴连在一起做成工具（卡钳），可测量工件内槽的宽．如果测量AC＝2cm，那么工件内槽的宽BD＝　2　cm． 【分析】利用SAS可判定△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质可得BD＝AC＝2厘米． 【解答】解：∵有两根钢条AB、CD，在中点O处以小转轴连在一起做成工具， ∴OA＝OB，OD＝OC， 在△AOC和△BOD中，， ∴△AOC≌△BOD（SAS）． ∴BD＝AC＝2厘米， 故答案为：2． 【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 【拓展进阶】 30min. 【高中相关联知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班、培优班和精英班必选。】 题型1：平行线+线段中点构造全等 1．如图，已知点A，B为直线MN外两点，且在MN异侧，连接AB，分别过点A作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D，点F是线段BD上一点，连接CF交AB于点E． （1）下列条件： ①点F是DB的中点； ②点E是AB的中点； ③点E是CF的中点． 请从中选择一个能证明AC＝BF的条件，并写出证明过程； （2）若AC＝BF，且AC＝5，BD＝13，CE＝6，求CD的长． 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理，由选择已知条件，证明△ACE≌△BFE即可； （2）由（1）可知△ACE≌△BFE，求出DF和CF，再利用勾股定理进行解答即可． 【解析】解：（1）选择②③， 选②时：∵BD⊥MN，AC⊥MN， ∴BD∥AC， ∴∠ACE＝∠BFE，∠B＝∠A， ∵E是AB中点， ∴AE＝BE， 在△ACE和△BFE中， ， ∴△ACE≌△BFE（AAS）， ∴AC＝BE； 选③时：∵BD⊥MN，AC⊥MN， ∴BD∥AC， ∴∠ACE＝∠BFE，∠B＝∠A， ∵点E是CF中点， ∴CE＝EF， 在△ACE和△BFE中， ， ∴△ACE≌△BFE（AAS）， ∴AC＝BF； （2）∵△ACE≌△BFE，AC＝5，BD＝13，CE＝6， ∴BF＝AC＝5，EF＝CE＝6， ∴DF＝BD﹣BF＝8，CF＝CE+EF＝12， ∵∠BDC＝90°， ∴． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理和平行线的判定和性质，解题根据是熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理和平行线的判定和性质． 2．【发现】如图①，点O为线段AB，CD的中点，连接AC，BD，我们易得△AOC≌△BOD，进而可以得到AC＝BD，且AC∥BD． 【应用】如图②，在Rt△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，点D为线段AC上一点，以AD为斜边作等腰直角△AED（点A，E，D按顺时针顺序排列），即AE＝DE，∠AED＝90°，取CD的中点F，连接BF，EF，BE． （1）求∠EDF的度数． （2）求证：∠EBF＝45°． 【拓展】 （3）若将（2）中的点D改为直线AC上一点，其他条件不变，设直线BE与直线AC相交于点G，当AB＝CB＝6，BF＝2时，请直接写出FG的长． 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠ADE＝45°，则可得出答案； （2）延长EF至M，使FM＝EF，连接CM，证明△ABE≌△CBM（SAS），由全等三角形的性质得出BE＝BM，∠ABE＝∠CBM，由等腰三角形的性质可得出结论； （3）当点G在线段AC上时，如图②，在BM上截取BH＝BG，连接FH，CH，由（2）可知∠EBF＝∠FBH＝45°，证明△GBF≌△HBF（SAS），得出GF＝FH，BG＝BH，证明△ABG≌△CBH（SAS），由全等三角形的性质得出∠BAG＝∠BCH＝45°，AG＝CH，证出CF2+AG2＝FG2，设FG＝x，则AG＝8﹣x，由勾股定理可得出答案；当点G在CA的延长线上时，同理可得出答案． 【解析】（1）解：∵AE＝DE，∠AED＝90°， ∴∠ADE＝45°， ∴∠EDF＝180°﹣∠ADE＝135°； （2）证明：延长EF至M，使FM＝EF，连接CM， 由【发现】可知ED＝CM，EN∥CM， ∵AE＝DE，∠AED＝90°， ∴∠EAD＝45°，CM＝AE， ∵AB＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠BAC＝45°， ∴∠BAE＝90°， ∴BA∥DE， ∴BA∥CM， ∴∠BCM＝∠ABC＝90°， ∵AB＝BC， ∴△ABE≌△CBM（SAS）， ∴BE＝BM，∠ABE＝∠CBM， ∴∠EBM＝∠ABC＝90°， 即△BEM是等腰直角三角形， ∵F为EM的中点， ∴∠EBF＝∠EBM＝45°； （3）解：当点G在线段AC上时，如图②，在BM上截取BH＝BG，连接FH，CH， 由（2）可知∠EBF＝∠FBH＝45°， 又∵BF＝BF， ∴△GBF≌△HBF（SAS）， ∴GF＝FH，BG＝BH， ∵AB＝BC，∠ABG＝∠CBH， ∴△ABG≌△CBH（SAS）， ∴∠BAG＝∠BCH＝45°，AG＝CH， ∴∠FCH＝45°+45°＝90°， ∴CF2+CH2＝FH2， ∵AB＝BC＝6， ∴AC＝AB＝12， 由（2）知△BEF为等腰直角三角形， ∵BF＝2， ∴BE＝BF＝4， ∴AE＝＝2， ∴AD＝AE＝4， ∴CD＝AC﹣AD＝8， ∵F为CD的中点， ∴CF＝4， 设FG＝x，则AG＝8﹣x， ∴（8﹣x）2+42＝x2， ∴x＝5， ∴FG＝5； 如图③，当点G在CA的延长线上时，CD＝AC+AD＝12+4＝16， ∴CF＝8，AF＝4， 由（2）可知∠EBF＝45°， 同理可知FG2＝AG2+CF2， 设AG＝x， ∴（12+x﹣8）2＝x2+82， ∴x＝6， ∴AG＝6， ∴FG＝6+4＝10． 综上所述，FG的长为5或10． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 3．【思维启迪】 （1）如图1，点P是线段AB，CD的中点，则AC与BD的数量关系为 　AC＝BD　，位置关系为 　AC∥BD　； 【思维探索】 （2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使CE＝CD，连接AE，若BD⊥AE，请用等式表示AB，BD，AE之间的数量关系，并说明理由； ★小明思考良久后，根据CE＝CD这一条件，给出了如图4的辅助线：延长AC到T，使得CT＝AC，连接DT，BT．请你根据小明给出的辅助线，继续猜想AB，BD，AE之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，点E在线段BD上（点E不与点B，点D重合），连接CE，过点A作AF⊥CE，连接FD．若AF＝8，CF＝3，请求出FD的长． 【分析】（1）证△PAC≌△PBD（SAS），得AC＝BD，∠A＝∠B，即可得出AC∥BD； （2）过点D作DF∥AE，使DF＝AE，连接CF、BF，证△AEC≌△FDC（SAS），得∠ACE＝∠FCD，AC＝CF，再证AB＝BF，进而证BD⊥DF，然后由勾股定理即可得出结论； ★延长AC到T，使得CT＝AC，连接DT，BT，同法可证AE＝DT，AE∥DT，再证BD⊥DT，进而由勾股定理得BT2＝DT2+BD2＝AE2+BD2，然后证BT＝BA，即可得出结论； （3）延长FD到T，使得DT＝DF，连接BT，延长CE交BT于点J，证△ADF≌△BDT（SAS），得AF＝BT＝8，∠FAD＝∠TBD，再证△AFC≌△CJB（AAS），得CF＝BJ＝3，AF＝CJ＝8，然后证△FJT是等腰直角三角形，得FT＝FJ＝5，即可得出结论． 【解析】解：（1）∵点P是线段AB、CD的中点， ∴PA＝PB，PC＝PD， 在△PAC和△PBD中， ， ∴△PAC≌△PBD（SAS）， ∴AC＝BD，∠A＝∠B， ∴AC∥BD． 故答案为：AC＝BD，AC∥BD； （2）AB，BD，AE之间的数量关系：AB2＝AE2+BD2，理由如下： 如图2，过点D作DF∥AE，并使DF＝AE，连接CF、BF， 则∠AEC＝∠FDC， 在△AEC和△FDC中， ， ∴△AEC≌△FDC（SAS）， ∴∠ACE＝∠FCD，AC＝CF， ∴点A、C、F三点共线， ∵∠ACB＝90°，AC＝CF， ∴AB＝BF， ∵BD⊥AE，DF∥AE， ∴BD⊥DF， ∴BF2＝DF2+BD2， ∴AB2＝AE2+BD2； ★根据小明给出的辅助线，AB，BD，AE之间的数量关系：AB2＝AE2+BD2，理由如下： 如图4，延长AC到T，使得CT＝AC，连接DT，BT， 同理可证AE＝DT，AE∥DT， ∵BD⊥AE， ∴BD⊥DT， ∴∠TDB＝90°， ∴BT2＝DT2+BD2＝AE2+BD2， ∵CB⊥AC，AC＝CT， ∴BT＝BA， ∴AB2＝AE2+BD2； （3）如图3，延长FD到T，使得DT＝DF，连接BT，延长CE交BT于点J， ∵点D为AB中点， ∴AD＝BD， 在△ADF和△BDT中， ， ∴△ADF≌△BDT（SAS）， ∴AF＝BT＝8，∠FAD＝∠TBD， ∴AF∥BT， ∵AF⊥CJ， ∴CJ⊥BT， ∴∠AFC＝∠CJB＝∠ACB＝90°， ∵∠ACF+∠BCJ＝90°，∠BCJ+∠CBJ＝90°， ∴∠ACF＝∠CBJ， 在△AFC和△CJB中， ， ∴△AFC≌△CJB（AAS）， ∴CF＝BJ＝3，AF＝CJ＝8， ∴JT＝BT﹣BJ＝8﹣3＝5，FJ＝CJ﹣CF＝8﹣3＝5， ∴FJ＝JT， ∵∠FJT＝90°， ∴△FJT是等腰直角三角形， ∴FT＝FJ＝5， ∴DF＝FT＝． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 4．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，在平面内取一点D连接AD、BD，点O为线段AD的中点，连接CO并延长到点F，使OF＝CO．以BD为直角边，顺时针方向作等腰Rt△DEB，DB＝EB，∠DBE＝90°，连DE，CE，BF． （1）如图1，当D在BC边上时，请直接写出CE与BF的位置和数量关系 　CE＝BF，CE⊥BF　； （2）如图2，当D在△ABC的内部时，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 【分析】（1）连接DF，可以根据SAS证明△AOC≌△DOF从而得到FD＝AC＝BC，又因为BD＝BE，∠FDB＝∠CBE，根据ASA可以证明△BCE≌△DFB．得证CE＝BF，CE⊥BF． （2）延长FD交BC于M，可以证明∠FMB＝∠ACB＝90°，得到∠BDM+∠DBM＝∠DBM+∠EBN＝90°，所以BDM＝∠EBN，易证FD＝AC＝BC，BD＝BE，根据ASA可证△BDF≌△BEC，得证BF＝CE，BF⊥CE． 【解析】解：（1）如图，连接DF， ∵点O为线段AD的中点， ∴OA＝OD， ∵OC＝OF，∠AOC＝∠DOF， ∴△AOC≌△DOF（SAS）． ∴∠ACO＝DFO，AC＝DF， ∴AC∥DF． ∴∠ACD＝∠FDB＝90°， ∵∠DBE＝90°， ∴∠DBE＝∠FDB， ∵AC＝BC， ∴BC＝DF， ∵DB＝DE， ∴△BCE≌△DFB（SAS）． ∴CE＝FB，∠BCE＝∠DFB． ∵∠DFB+∠FBC＝90°． ∴∠BCE+∠FBC＝90°， ∴BF⊥CE． （2）如图，延长FD交BC于M， ∵AC∥DF，AC＝DF， ∴∠ACB＝∠FMB＝90°， ∴∠FDB＝∠FMB+∠DBM＝90°+∠DBM，∵∠DBE＝90°， ∴∠FDB＝∠CBE， ∵AC＝BC， ∴DF＝BC， ∵DB＝BE， ∵△FDB≌△CBE． ∴BF＝CE，∠DFB＝∠BCE， ∵∠BFM+∠FBC＝90°， ∴∠BCE+∠FBC＝90°， ∴CE⊥BF． 【点评】本题是三角形集合变换题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，垂直的判定和性质，平行线的性质及判定，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解本题的关键． 5．在△ABC中，BC＝8，两条高AD，BE交于点H，F是CH的中点，连接AF并延长交边BC于点G． （1）如图1，若△ABC是等边三角形， ①求证：AH＝2DH； ②求CG的长； （2）如图2，若AH＝DH，CG＝BD，求△ABC的面积． 【分析】（1）①利用等边三角形的性质可得AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠BAC＝60°，再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠ABE＝∠EBC＝∠BAH＝30°，从而可得AH＝BH，然后在Rt△BHD中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BH＝2DH，从而利用等量代换即可解答； ②过点H作HM∥DC，交AG于点M，利用平行线的性质可得∠HMF＝∠CGF，∠MHF＝∠GCF，再根据线段中点的定义可得HF＝FC，从而可得△CGF≌△HMF，进而可得HM＝CG，然后证明A字模型相似三角形△AHM∽△ADG，从而利用相似三角形的性质可得＝＝，进而可得＝，最后根据等腰三角形的三线合一性质可得DC＝BC＝4，从而进行计算即可解答； （2）过点H作HN∥DC，交AG于点N，利用平行线的性质可得∠HNF＝∠CGF，∠NHF＝∠GCF，再根据线段中点的定义可得HF＝FC，从而可得△CGF≌△HNF，进而可得HN＝CG，然后利用平行线分线段成比例的推论可得AN＝NG，从而可得HN是△ADG的中位线，进而可得HN＝DG，再根据等量代换可得CG＝DG，最后求出DC＝6，BD＝2，再证明△BDH∽△ADC，从而利用相似三角形的性质可求出AD的长，进而利用三角形的面积公式，进行计算即可解答． 【解析】（1）①证明：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠BAC＝60°， ∵BE⊥AC，AD⊥BC， ∴∠ABE＝∠EBC＝∠ABC＝30°，∠BAH＝∠BAC＝30°， ∴∠ABE＝∠BAH＝30°， ∴AH＝BH， 在Rt△BHD中，∠HBD＝30°， ∴BH＝2DH， ∴AH＝2DH； ②解：过点H作HM∥DC，交AG于点M， ∴∠HMF＝∠CGF，∠MHF＝∠GCF， ∵F是CH的中点， ∴HF＝FC， ∴△CGF≌△HMF（AAS）， ∴HM＝CG， ∵AH＝2DH， ∴＝， ∵HM∥DC， ∴∠AHM＝∠ADG，∠AMH＝∠AGD， ∴△AHM∽△ADG， ∴＝＝， ∴＝， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴DC＝BC＝4， ∴CG＝DC＝， ∴CG的长为； （2）解：过点H作HN∥DC，交AG于点N， ∴∠HNF＝∠CGF，∠NHF＝∠GCF， ∵F是CH的中点， ∴HF＝FC， ∴△CGF≌△HNF（AAS）， ∴HN＝CG， ∵AH＝DH，HN∥DC， ∴AN＝NG， ∴HN是△ADG的中位线， ∴HN＝DG， ∴CG＝DG， ∵BD＝CG，BC＝8， ∴2DG＝8， ∴DG＝4， ∴BD＝CG＝2， ∴DC＝DG+CG＝6， ∵AD⊥BC，BE⊥AC， ∴∠ADB＝∠ADC＝∠AEH＝90°， ∴∠BHD+∠HBD＝90°，∠AHE+∠HAE＝90°， ∵∠BHD＝∠AHE， ∴∠HBD＝∠HAE， ∴△BDH∽△ADC， ∴＝， ∴＝， 解得：AD＝2或AD＝﹣2（舍去）， ∴△ABC的面积＝BC•AD＝×8×2＝8， ∴△ABC的面积为8． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 题型2：等腰三角形中的半角模型 6．综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在△ABC中，点D在AC边上，AE⊥BD于F交BC于E，∠ABD＝2∠CAE．求证AB＝BD． 独立思考：（1）请解答王师提出的问题． 实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，作EG⊥AC于点G，若AE＝BD，探究线段AD与CE之间的数量关系，并证明．” 问题解析：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当点G与点D重合时，连接CF，若给出DE的值，则可求出CF的值．该小组提出下面的问题，请你解答．” 如图3，在（2）的条件下，当点D与点G重合时，连接CF，若DE＝，求CF的长”． 【分析】（1）根据直角三角形性质和已知条件∠ABD＝2∠CAE，可推出∠ADB＝∠BAD，再由等腰三角形的判定即可证得结论； （2）过点B作BH⊥AC于H，先证明△AEG≌△BDH（AAS），设∠CAE＝β，则∠ABD＝2β，利用三角形内角和定理和等腰三角形性质可推出∠C＝45°，再运用解直角三角形即可求得答案； （3）如图3，过点B作BH⊥AC于H，过点F作FK⊥AC于K，应用勾股定理可得AE＝5，利用面积法可得DF＝2，再证明△DFK∽△DAF，可求得FK＝，DK＝，再利用勾股定理即可求得答案． 【解析】（1）证明：如图1， ∵AE⊥BD， ∴∠AFB＝∠AFD＝90°， ∴∠ABD+∠BAF＝90°，∠CAE+∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝2∠CAE， ∴∠BAF＝90°﹣2∠CAE，∠ADB＝90°﹣∠CAE， ∵∠BAD＝∠BAF+∠CAE， ∴∠BAD＝90°﹣∠CAE， ∴∠ADB＝∠BAD， ∴AB＝BD． （2）解：AD＝CE，理由如下： 过点B作BH⊥AC于H，如图2， 则∠BHA＝∠BHD＝90°， 由（1）得：AB＝BD， ∴AD＝2DH，∠ABD＝2∠DBH， ∵∠ABD＝2∠CAE， ∴∠CAE＝∠DBH， ∵EG⊥AC， ∴∠AGE＝∠CGE＝90°， ∴∠AGE＝∠BHD， ∵AE＝BD， ∴△AEG≌△BDH（AAS）， ∴EG＝DH， ∴AD＝2EG， 设∠CAE＝β，则∠ABD＝2β， ∵AB＝BD， ∴∠BAD＝∠BDA＝＝， ∵AE＝BD，AB＝BD， ∴AE＝AB， ∴∠ABE＝∠AEB＝， ∵∠BAE＝90°﹣∠ABD＝90°﹣2β， ∴∠AEB＝＝45°+β， ∵∠AEB＝∠C+∠CAE， ∴45°+β＝∠C+β， ∴∠C＝45°， ∵∠CGE＝90°， ∴＝sinC＝sin45°＝， ∴EG＝CE， ∴AD＝2×CE＝CE． （3）解：如图3，过点B作BH⊥AC于H，过点F作FK⊥AC于K， 由（2）知：AD＝2EG， ∵点D与点G重合，EG⊥AC， ∴AD＝2DE＝2CD，∠ADE＝90°， ∵DE＝， ∴CD＝，AD＝2， ∴AE＝＝＝5， ∵AE⊥BD， ∴AE•DF＝AD•DE，即5DF＝2×， ∴DF＝2， ∴AF＝＝＝4， ∵FK⊥AC， ∴∠DKF＝90°＝∠AFD， ∵∠FDK＝∠ADF， ∴△DFK∽△DAF， ∴＝＝，即＝＝， ∴FK＝，DK＝， ∴CK＝CD+DK＝+＝， 在Rt△CFK中，CF＝＝＝． 【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 7．如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN． （1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由． （2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长． 【分析】（1）延长AC至E，使得CE＝BM并连接DE，构造全等三角形，找到MD＝DE，∠BDM＝∠CDE，BM＝CE，再进一步证明△DMN≌△DEN，进而得到MN＝BM+NC； （2）利用（1）中结论，将△AMN的周长转化为AB、AC的和来解答． 【解析】解：（1）MN＝BM+NC．理由如下： 延长AC至E，使得CE＝BM，连接DE，如图所示： ∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形， ∴BD＝CD，∠DBC＝∠DCB，∠MBC＝∠ACB＝60°， 又∵BD＝DC，且∠BDC＝120°， ∴∠DBC＝∠DCB＝30°， ∴∠ABC+∠DBC＝∠ACB+∠DCB＝60°+30°＝90°， ∴∠MBD＝∠ECD＝90°， 在△MBD与△ECD中， ， ∴△MBD≌△ECD（SAS）， ∴MD＝DE，∠BDM＝∠CDE，BM＝CE， 又∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°， ∴∠BDM+∠NDC＝∠BDC﹣∠MDN＝60°， ∴∠CDE+∠NDC＝60°，即∠NDE＝60°， ∴∠MDN＝∠NDE＝60°， 在△DMN与△DEN中， ， ∴△DMN≌△DEN（SAS）， ∴MN＝EN， 又∵NE＝NC+CE，BM＝CE， ∴MN＝BM+NC； （2）∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝2， 利用（1）中的结论得出：BM＝CE，MN＝EN， △AMN的周长＝AM+MN+AN ＝AM+NE+AN＝AM+AN+NC+CE＝AM+AN+NC+BM ＝（AM+BM）+（NC+AN） ＝AB+AC＝2+2＝4． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质及等腰三角形的性质；此题从不同角度考查了作相等线段构造全等三角形的能力，要充分利用等边三角形及等腰三角形的性质，转换各相等线段解答． 8．如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），作∠EDF＝60°，使角的两边分别交边AB，AC于点E，F，且BD＝CF． （1）如图①，若DE⊥BC，则∠DFC＝　90　度； （2）如图②，D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），求证：BE＝CD； （3）如图③，若D是边BC的中点，且AB＝2，则四边形AEDF的周长为 　4　． 【分析】（1）由等边三角形性质知∠B＝∠C＝60°，根据DE⊥BC，∠EDF＝60°知∠BED＝∠CDF＝30°，据此可得答案． （2）由∠EDF+∠CDF＝∠B+∠BED，且∠EDF＝∠B＝60°知∠CDF＝∠BED，据此证△BDE≌△CFD可得答案． （3）先得出BD＝CD＝CF＝AF＝1，再由（2）知△BDE≌△CFD，据此得BE＝CD＝1，DE＝DF，结合∠B＝60°知△BDE是等边三角形，得出DE＝DF＝1，再进一步求解可得答案． 【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵DE⊥BC，即∠BDE＝90°，∠EDF＝60°， ∴∠BED＝∠CDF＝30°， ∴∠DFC＝90°， 故答案为：90； （2）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵∠EDF+∠CDF＝∠B+∠BED，且∠EDF＝60°， ∴∠CDF＝∠BED， 在△BDE和△CFD中， ， ∴△BDE≌△CFD（AAS）， ∴BE＝CD； （3）∵△ABC是等边三角形，AB＝2， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝2， ∵D为BC中点，且BD＝CF， ∴BD＝CD＝CF＝AF＝1， 由（2）知△BDE≌△CFD， ∴BE＝CD＝1，DE＝DF， ∵∠B＝60°， ∴△BDE是等边三角形， ∴DE＝DF＝1， 则四边形AEDF的周长为AE+DE+DF+AF＝4， 故答案为：4． 【点评】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质及四边形的周长公式等知识点． 题型3：对角互补且一组临边相等的半角模型 9．已知，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD． （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当∠B＝∠ADC＝90°时． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明△ABE≌　△ADG　；再证明了△AEF≌　△AEG　，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系为 　EF＝BE+FD　． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当∠B+∠ADC＝180°时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF、BE、FD之间的数量关系为 　EF＝BE﹣FD　．（不用证明） 【分析】（1）延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．证明△ABE≌△ADG（SAS），得出AE＝AG，∠1＝∠2，证明△AEF≌△AGF（SAS），得出EF＝EG，进而可得结论； （2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM．证明△ABM≌△ADF（SAS）．可得AF＝AM，∠2＝∠3．然后证明△AME≌△AFE（SAS）．可得EF＝ME．进而可以得到结论； （3）在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．证明△ABG≌△ADF（SAS）．可得∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．然后可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF． 【解析】（1）证明：如图1中，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG． ∵∠ADG＝∠ABC＝∠ADF＝90°，AB＝AD， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠1＝∠2， ∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF＝∠BAD， ∴∠GAF＝∠EAF， ∵AF＝AF， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝EG， ∵FG＝FD+DG， ∴EF＝DF+BE， 故答案为：△ADG，△AEG，EF＝BE+FD； （2）解：上述结论依然成立． 证明：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM． ∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°， ∴∠1＝∠D， 在△ABM与△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）． ∴AF＝AM，∠2＝∠3． ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠2+∠4＝∠3+∠4＝∠MAE， ∴∠MAE＝∠FAE， 在△AME与△AFE中， ， ∴△AME≌△AFE（SAS）． ∴EF＝ME． ∴EF＝ME＝BE+BM＝BE+DF； （3）解：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF， 在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF， ∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD， ∴∠GAE＝∠EAF． ∵AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴EG＝EF， ∵EG＝BE﹣BG， ∴EF＝BE﹣FD． 故答案为：EF＝BE﹣FD． 【点评】本题属于三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用旋转变换的思想添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的，属于中考压轴题． 10．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是　EF＝BE+FD　；（不需要证明） （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【分析】（1）延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，再证明△GAE≌△FAE，根据全等三角形的性质得出EF＝EG，结合图形计算，证明结论； （2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，仿照（1）的证明方法解答； （3）在EB上截取BH＝DF，连接AH，仿照（1）的证明方法解答． 【解析】解：（1）EF＝BE+FD， 理由如下：如图1，延长CB至G，使BG＝DF，连接AG， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF， ∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF， 在△GAE和△FAE中， ， ∴△GAE≌△FAE（SAS）， ∴EF＝EG， ∵EG＝BG+BE＝BE+DF， ∴EF＝BE+FD， 故答案为：EF＝BE+FD； （2）（1）中的结论仍然成立， 理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM， ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°， ∴∠1＝∠D， 在△ABM和△ADF中， ， ∴△ABM≌△ADF（SAS）， ∴AM＝AF，∠3＝∠2， ∵∠EAF＝∠BAD， ∴∠3+∠4＝∠EAF， ∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF， 在△MAE和△FAE中， ， ∴△MAE≌△FAE（SAS）， ∴EF＝EM， ∵EM＝BM+BE＝BE+DF， ∴EF＝BE+FD； （3）（1）中的结论不成立，EF＝BE﹣FD， 理由如下：如图3，在EB上截取BH＝DF，连接AH， 同（2）中证法可得，△ABH≌△ADF， ∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF， ∴∠HAE＝∠FAE， 在△HAE和△FAE中， ， ∴△HAE≌△FAE（SAS）， ∴EF＝EH， ∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF， ∴EF＝BE﹣FD． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理、灵活运用类比思想是解题的关键． 11．（1）问题背景． 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD＝2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　EF＝BE+DF　． （2）猜想论证． 如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E在线段BC上、F在线段CD延长线上．若∠BAD＝2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明． （3）拓展应用． 如图3，在四边形ABCD中，∠BDC＝45°，连接BC、AD，AB：AC：BC＝3：4：5，AD＝4，且∠ABD+∠CBD＝180°．则△ACD的面积为　　． 【分析】（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG（SAS），可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF（SAS），可得EF＝FG，即可解题； （2）在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．根据（1）的证法，我们可得出DF＝BG，GE＝EF，那么EF＝GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF． （3）如图3中，如图3中，过点D作DH⊥AB交AB的延长线于H，DK⊥AC交AC的延长线于K，DJ⊥BC于J．证明四边形AHDK是正方形即可解决问题． 【解析】解：延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG， ∵∠B+∠ADF＝180°，∠ADF+∠ADG＝180°， ∴∠ADG＝∠B， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠BAD＝2∠EAF， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； 故答案为：EF＝BE+DF． （2）结论EF＝BE+FD不成立，结论：EF＝BE﹣FD． 理由如下：证明：如图2中，在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG． ∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠ADF． ∵在△ABG与△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）． ∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF． ∴∠BAD＝∠BAG+∠GAD＝∠DAF+∠GAD＝∠GAF． ∵∠BAD＝2∠EAF， ∴∠GAF＝2∠EAF， ∴∠GAE＝∠EAF． ∵AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF（SAS）． ∴EG＝EF ∵EG＝BE﹣BG ∴EF＝BE﹣FD． （3）如图3中，如图3中，过点D作DH⊥AB交AB的延长线于H，DK⊥AC交AC的延长线于K，DJ⊥BC于J． ∵AB：AC：BC＝3：4：5， ∴可以假设AB＝3k，AC＝4k，BC＝5k， ∴AB2+AC2＝BC2， ∴∠BAC＝90°， ∵∠H＝∠K＝90°， ∴四边形AHDK是矩形， ∴∠HDK＝90°， ∵∠BDC＝45°， ∴∠BDH+∠CDK＝45°， ∵∠ABD+∠CBD＝180°，∠ABD+∠DBH＝180°， ∴∠DBH＝∠DBC， ∵∠H＝∠DJB＝90°，DB＝DB， ∴△BDH≌△BDJ（AAS）， ∴DH＝DJ，∠BDH＝∠BDJ，BH＝BJ， ∵∠BDJ+∠CDJ＝45°，∠BHH+∠CDK＝∠BDJ+∠CDK＝45°， ∴∠CDJ＝∠CDK， ∵∠K＝∠DJC＝90°，CD＝CD， ∴△CDK≌△CDJ（AAS）， ∴DJ＝DK，CJ＝CK， ∴DH＝DK， ∴四边形AHDK是正方形， ∴BH+CK＝BJ+CJ＝5k， ∴AH+AK＝12k， ∴AK＝KD＝6k， ∵AD＝4， ∴AK＝DK＝2＝6k， ∴k＝， ∴AC＝， ∴S△ACD＝•AC•DK＝•×2＝． 故答案为． 【点评】本题考查了四边形综合题，三角形全等的判定和性质；本题中通过全等三角形来实现线段的转换是解题的关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联全等三角形 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 1．如图，已知E、F是BD上的两点，BE＝DF，AE＝CF，AE∥CF，请填写AD∥BC的理由． 解：因为AE∥CF（已知）， 所以∠AED＝　 　（两直线平行，内错角相等）． 因为BE＝DF（已知）， 所以BE+EF＝DF+EF（　 　）， 即BF＝DE． 在△ADE与△CBF中 ， 所以△ADE≌△CBF（　 　）． 得∠ADE＝∠CBF（　 　）． 所以AD∥BC（　 　）． 【答案】∠CFB；等式的性质；AE＝CF，DE＝BF；SAS；全等三角形的对应角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线的性质得出∠AED＝∠CFB，根据线段间的和差关系求出BF＝DE，利用SAS证明△ADE≌△CBF，得出∠ADE＝∠CBF，根据平行线的判定定理判断出AD∥BC即可得出结论． 【详解】证明：因为AE∥CF（已知）， 所以∠AED＝∠CFB（两直线平行，内错角相等）， 因为BE＝DF（已知）， 所以BE+EF＝DF+EF（等式的性质）， 即BF＝DE． 在△ADE与△CBF中， ， 所以△ADE≌△CBF（SAS）， 得∠ADE＝∠CBF（全等三角形的对应角相等）， 所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：∠CFB；等式的性质；AE＝CF，DE＝BF；SAS；全等三角形的对应角相等；内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．求证： (1)AP＝AQ； (2)AP⊥AQ． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由于BD⊥AC，CE⊥AB，可得∠ABD＝∠ACE，又有对应边的关系，进而得出△ABP≌△QCA，即可得出结论． （2）在（1）的基础上，证明∠PAQ＝90°即可． 【详解】（1）证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB（已知）， ∴∠BEC＝∠BDC＝90°， ∴∠ABD+∠BAC＝90°，∠ACE+∠BAC＝90°（直角三角形两个锐角互余）， ∴∠ABD＝∠ACE（等角的余角相等）， 在△ABP和△QCA中， ， ∴△ABP≌△QCA（SAS）， ∴AP＝AQ（全等三角形对应边相等）． （2）由（1）可得∠CAQ＝∠P（全等三角形对应角相等）， ∵BD⊥AC（已知）， ∵∠P+∠CAP＝90°（直角三角形两锐角互余）， ∴∠CAQ+∠CAP＝90°（等量代换），即∠QAP＝90°， ∴AP⊥AQ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握并运用． 3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．则线段AB，BE，CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】AB+BE＝CD；理由见解析． 【分析】先根据平行线的性质得到∠ABD＝∠EDC，然后证明△ABD≌△EDC得到AB＝DE，BD＝CD，由此即可得到AB+BE＝CD． 【详解】解：AB+BE＝CD， 理由如下： ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠EDC， 在△ABD和△EDC中， ， ∴△ABD≌△EDC（AAS）， ∴AB＝DE，BD＝CD， ∵DE+BE＝BD， ∴AB+BE＝CD． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 4．已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE． 【答案】见解析 【分析】根据直角三角形全等的判定方法，ASA即可判定三角形全等． 【详解】证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE（已知） ∴∠ACE＝∠B＝∠D＝90°（垂直的意义） ∵∠BCA+∠DCE+∠ACE＝180°（平角的意义） ∠ACE＝90°（已证） ∴∠BCA+∠DCE＝90°（等式性质） ∵∠BCA+∠A+∠B＝180°（三角形内角和等于180°） ∠B＝90°（已证） ∴∠BCA+∠A＝90°（等式性质） ∴∠DCE＝∠A （同角的余角相等） 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（ASA） ∴BC＝DE（全等三角形对应边相等） 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键． 5．如图，在△ABC和△中，已知∠A＝∠，∠B＝∠，AB＝，试把下面运用“叠合法”说明△ABC和△全等的过程补充完整： 说理过程：把△ABC放到△上，使点A与点重合，因为 　 　，所以可以使 　 　， 并使点C和在AB（）同一侧，这时点A与重合，点B与重合， 由于 　 　，因此，　 　； 由于 　 　，因此，　 　； 于是点C（射线AC与BC的交点）与点（射线与的交点）重合．这样 　 　． 【答案】AB＝；AB与重合；∠A＝；射线AC与射线叠合；∠B＝∠；射线BC与射线叠合；△ABC与△重合，即△ABC与△全等 【分析】将运用“叠合法”说明△ABC和全等的过程补充完整，即可得出结论． 【详解】解：说理过程：把△ABC放到上，使点A与点重合， 因为，所以可以使AB与重合， 并使点C和在AB（）同一侧，这时点A与重合，点B与重合， 由于∠A＝∠，因此，射线AC与射线叠合， 由于∠B＝∠，因此，射线BC与射线叠合， 于是点C（射线AC与BC的交点）与点（射线与的交点）重合， 这样△ABC与重合，即△ABC与全等． 故答案为：AB＝；AB与重合；∠A＝∠；射线AC与射线叠合；∠B＝∠；射线BC与射线叠合；△ABC与重合，即△ABC与全等． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，解题的关键是将运用“叠合法”说明△ABC和全等的过程补充完整．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握全等三角形的判定方法是关键． 6．公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中ABCD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M是BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上．（提示：可通过证明∠EMF＝180°） 【答案】说明见解析 【分析】先根据SAS判定△BEM≌△CFM，从而得出∠BME＝∠CMF，通过角之间的转换可得到E，M，F在一条直线上． 【详解】证明：连接ME，MF． ∵ABCD，（已知） ∴∠B＝∠C（两线平行内错角相等）, 是BC的中点， ∴BM=CM， ∵在△BEM和△CFM中， ∴△BEM≌△CFM（SAS）， ∴∠BME＝∠CMF， ∴∠EMF＝∠BME+∠BMF＝∠CMF+∠BMF＝∠BMC＝180°， ∴E，M，F在一条直线上． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、平行线的性质、中点的定义，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键，注意共线的证明方法． 7．如图，两车从路段，的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达，两地，两车行进的路线平行．那么，两地到路段的距离相等吗？为什么？ 【答案】，两地到路段的距离相等，理由见解析 【分析】要判断，两地到路段的距离是否相等，可以由条件证明，再根据全等三角形的性质就可以的得出结论． 【详解】解：，两地到路段的距离相等．理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵两车从路段，的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达，两地， ∴ 在和中， ， ∴， ∴． ∴，两地到路段的距离相等． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，点到直线的距离的理解，平行线的性质．解答时弄清判断三角形全等的条件是关键． 8．已知：如图，A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，求证： (1)BC＝EF； (2)BC∥EF． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． （2）根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可． 【详解】（1）证明：（1）， ， ， ， 在与 中 ， ， ． （2）（2）， ， ． 【点睛】考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，证明三角形全等是解决问题的关键． 9．如图，是等边三角形，P是AB上一点，Q是BC延长线上一点，．连接PQ交AC于D点，过P作，交AC于E点． (1)说明的理由． (2)过点P作于F，说明的理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质，可得∠AEP=∠ACB，∠EPD=∠Q，根据全等三角形的判定与性质，可得答案； （2）根据等腰三角形的性质，可得EF与AE的关系，根据线段中点的性质，可得DE=CE，EF与AE的关系，根据线段的和差，可得答案． (1) ∵PE∥BC， ∴∠AEP=∠ACB，∠EPD=∠Q． ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A=∠ACB=60°． ∴∠A=∠AEP． ∴AP=PE． 又∵AP=CQ， ∴PE=CQ． 在△EDP和△CDQ中 ， ∴△EDP≌△CDQ（AAS）， ∴DE=DC； (2) ∵AP=PE，PF⊥AC， ∴EF=AE． ∵DE=DC，且DE+DC=CE， ∴DE=CE． ∴DF=EF+DE =AE+CE =（AE+CE） =AC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，线段中点的性质． 10．阅读： 如图，已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′．那么△ABC≌△A′B′C′． 说明过程如下： 把△ABC放到△A′B′C′上，使∠A的顶点与∠A′的顶点重合；由于∠A＝∠A′，因此可以使射线AB、AC分别落在射线A′B′、A′C′上．因为AB＝A′B′，AC＝A′C′，所以点B、C分别与点B′、C′重合，这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′． 于是，得全等三角形判定方法1：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等（简记为SAS）． 请完成下面问题的填空： 如图，已知在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，AB＝A′B′，∠B＝∠B′． 那么△ABC≌△A′B′C′． 说明过程如下： 把△ABC放到△A′B′C′上，因为AB＝A′B′，可以使　 　与　 　重合，并使点C与C′在AB（A′B′）的同一侧，这时点A与点A′重合，点　 　与点　 　重合．由于∠A＝∠A′，因此射线　 　与射线　 　叠合；由于 ∠B＝∠B′，因此射线　 　与射线　 　叠合．于是点C（射线AC与BC的交点）与点C′（射线A′C′与B′C′的交点）重合．这样　 　与　 　重合，即△ABC≌△A′B′C′． 于是，得全等三角形判定方法2：在两个三角形中，　 　． 【答案】AB；A′B′；C；C′；AC；A′C′；BC；B′C′；△ABC；△A′B′C′；如果两角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为ASA） 【分析】根据题目提供的信息，结合图形找准对应边与对应角，然后填空即可． 【详解】解：把△ABC放到△A′B′C′上， 因为AB＝A′B′， 可以使AB与A′B′重合，并使点C与C′在AB（A′B′）的同一侧，这时点A与点A′重合， 点B与点B′重合． 由于∠A＝∠A′，因此射线AC与射线A′C′叠合； 由于∠B＝∠B′，因此射线BC与射线B′C′叠合． 于是点C（射线AC与BC的交点）与点C′（射线A′C′与B′C′的交点）重合． 这样△ABC与△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′． 于是，得全等三角形判定方法2：在两个三角形中，如果两角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为ASA）． 故答案为：AB；A′B′；C；C′；AC；A′C′；BC；B′C′；△ABC；△A′B′C′；如果两角和它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等（简记为ASA）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，读懂题目信息，理清证明方法是解题的关键． 11．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD＝ED，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B和∠C的大小关系如何？为什么？ 解：因为∠FDC＝∠B＋∠DFB　　， 即∠FDE＋∠EDC＝∠B＋∠DFB． 又因为∠FDE＝∠B（已知）， 所以∠　＝∠　　． 在△DFB和△EDC中，　　 所以△DFB≌△EDC　． 因此∠B＝∠C． 【答案】（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），DFB，EDC，，（SAS） 【分析】根据三角形外角性质，等量代换原理，两边及夹角对应相等的两个三角形全等的条件，全等原理，填写理由 【详解】解：因为∠FDC＝∠B+∠DFB（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， 即∠FDE+∠EDC＝∠B+∠DFB． 又因为∠FDE＝∠B（已知）， 所以∠DFB＝∠EDC． 在△DFB和△EDC中， ， 所以△DFB≌△EDC（SAS）． 因此∠B＝∠C． 故答案是：（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），DFB，EDC，，（SAS）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与全等三角形的性质，熟练掌握判定定理与性质定理，三角形外角性质定理，理清证明思路是写出理由与步骤的关键． 12．画△ABC，使AB＝4cm，∠B＝40°，∠C＝60°． 【答案】见解析 【分析】先作∠ABC=40°，再在射线BA是截取BA=4cm，然后以A为项点，AB为边在∠ABC内部作∠BAC=80°， AC与BC相交于C即可得△ABC． 【详解】解：如图，△ABC即为所求作． ∵∠ABC=40°，∠BAC=80°， ∴∠ACB=180°-40°-80°=60°， 又∴AB=4cm， ∴△ABC即为所求作． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握基本作图一作一角等于已知角，作一线段等于已知线段，属于基础题型． 13．如图，已知AB＝AC，BD＝CD，过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E、DF⊥AC交AC的延长线于点F，垂足分别为点E、F． (1)求证：∠DBE＝∠DCF． (2)求证：BE＝CF． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接AD，证△ABD≌△ACD（SSS），得∠ABD＝∠ACD，即可得出结论； （2）证△BDE≌△CDF（AAS），即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接AD，如图： 在△ABD和△ACD中， ， ∴△ABD≌△ACD（SSS）， ∴∠ABD＝∠ACD， ∴∠DBE＝∠DCF． （2）∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E＝∠F＝90°， 由（1）得：∠DBE＝∠DCF， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴BE＝CF． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 14．已知：等边△ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），将直线DE绕点E顺时针旋转60°，得到直线EF交直线AC于点F． (1)如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时，说明BD+CF＝3的理由． (2)如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，请判断线段BD，CF之间的数量关系并说明理由． (3)当点D在线段AB延长线上时，线段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，并直接写出线段BD，CF之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)BD＝CF﹣3，理由见解析 (3)若E在线段BC上，BD+CF＝3；若E在BC延长线上，CF﹣BD＝3 【分析】（1）根据AAS证△DBE≌△ECF，得BD+CF＝CE+BE＝BC＝3即可； （2）根据AAS证△DBE≌△ECF，得BD＝CE＝BE﹣BC＝CF﹣BC，即可得出BD＝CF﹣3；（3）分点E在线段BC上和在BC延长线上两种情况讨论即可． 【详解】解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∵∠DEC＝∠DEF+∠FEC＝∠B+∠BDE且∠DEF﹣60°＝∠B， ∴∠BDE＝∠FEC， 又∵BD＝CE， ∴△DBE≌△ECF（AAS）， ∴CF＝BE， ∴BD+CF＝CE+BE＝BC＝3； （2）如下图，设G点在FE的延长线，AF与DE交点为H， ∴∠DEG＝∠F+∠FHE＝60°，∠BCA＝∠FHE+∠BED＝60°， ∴∠F＝∠BED， 又∵∠B＝∠FCE＝60°，CE＝BD， ∴△DBE≌△ECF（AAS）， ∴CF＝BE， ∴BD＝CE＝BE﹣BC＝CF﹣BC， 即BD＝CF﹣3； （3）①若E在线段BC上，设DE延长线交AC于点I， ∵∠ABC＝∠BDE+∠BED＝60°，∠IEF＝∠IEC+∠CEF＝60°，∠BED＝∠IEC， ∴∠BDE＝∠CEF， 又∵∠DBE＝∠ECF＝120°，CE＝BD， ∴△DBE≌△ECF（AAS）， ∴CF＝BE， ∴BD+CF＝CE+BE＝BC＝3； ②若E在BC延长线上， ∵∠ABC＝∠BDE+∠BED＝60°，∠FED＝∠FEC+∠BED＝60°， ∴∠BDE＝∠FEC， 又∵∠DBE＝∠FCE＝120°，BD＝CE， ∴△DBE≌△ECF（AAS）， ∴CF＝BE， ∴CF﹣BD＝BE﹣CE＝BC＝3； 综上，若E在线段BC上，BD+CF＝3；若E在BC延长线上，CF﹣BD＝3． 【点睛】本题主要考查几何变换综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 15．如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，E是边AB上的一点，AE＝AC，F是边AC上的一点，联结DE、CE、FE，当EC平分∠DEF时，猜测EF、BC的位置关系，并说明理由． 解：EF、BC的位置关系是　 　． 说理如下： 因为AD是∠BAC的角平分线（已知） 所以∠1＝∠2 在△AED和△ACD中，　 　 所以△AED≌△ACD（SAS）． 得　 　（全等三角形的对应边相等）． （完成以下说理过程） 【答案】EF∥BC；；DE＝DC；说理过程见解析． 【分析】由AD是∠BAC的角平分线，可得∠1=∠2，利用SAS可证出△AED≌△ACD，从而得出DE=DC，所以∠3=∠4．结合EC平分∠DEF，可得出∠3=∠5．利用等量代换得∠4=∠5，即可得出EF∥BC． 【详解】解：EF、BC的位置关系是EF∥BC． 理由如下： 如图， ∵AD是∠BAC的角平分线（已知） ∴∠1＝∠2． 在△AED和△ACD中， ∴△AED≌△ACD（SAS）． ∴DE＝DC （全等三角形的对应边相等）， ∴∠3＝∠4． ∵EC平分∠DEF（已知）， ∴∠3＝∠5． ∴∠4＝∠5． 所以EF∥BC（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：EF∥BC；；DE＝DC；说理过程见解析． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，解题的关键是得出△AED≌△ACD ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$【沪教版2024】 【沪教版2024】【进阶优等生系列】 【2024-2025春季培优课】七年级第二学期 17.4三角形全等的判定 目录 1、 【进门测试】共6题； 2、 【知识精讲】共4个知识点； 3、 【典例解析】共10例题； 4、 【拓展进阶】共11题； 5、 【温故知新】共15题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．如图，已知：AB＝BC，∠BAD＝∠BCD，试说明BD平分∠ABC的理由． 2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且BD＝AD＝CD，过B作BE⊥CD，分别交AC于点E、交CD于点F． （1）求证：∠A＝∠EBC； （2）如果AC＝2BC，请猜想BE和CD的数量关系，并证明你的猜想． 3．如图，已知A、B、C在同一条直线上，且∠A＝∠C＝56°，AB＝CE，AD＝BC，那么∠BDE的角度是 　　°． 4．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝45°，AD为△ABC的高，点E在边AC上，BE与AD交于点F，且DF＝DC．说明BE⊥AC的理由． 解：∵AD为△ABC的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90° （ 　 　）． ∵∠ABD+∠BAD+∠ADB＝　 　°，∠ABC＝45°， ∴∠BAD＝∠ABD＝45°． ∴BD＝AD （ 　　）． 在△BDF与△ADC中， ， ∴△BDF≌△ADC（　 　　）（完成以下说理过程）． 5．如图，△ABC中，AB＝AC，且D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点，BE＝CF，∠DEF＝∠B，点G是DF的中点，猜想EG和DF的位置关系，并说明理由． 6．已知：如图，点E在直线AC上，ED⊥CD于D，EB⊥CB于B，且AC平分∠DCB．求证：AD＝AB． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角； 2. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.画三角形 （1）两角及其夹边；（2）两边及夹角；（3）三边；（4）两角及一角对边. 4.全等三角形的判定 三角形全等判定方法1： 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法2： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法3： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法4： 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 符号：在与中， 【典例解析】 30min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一．全等三角形的判定 1．如图，AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠ECD＝90°，且∠EBD＝42°，则∠AEB＝　． 2．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，点D是BC边上的中点，AB＝BC． （1）说明△ABE≌△BDE的理由； （2）若∠ABC＝2∠C，求∠BAC的度数． 3．如图，已知AE∥DF，OE＝OF，∠B＝∠C，求证：AB＝CD． 4．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB＝m，PC＝n，AB＝c，AC＝b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（　　） A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n＝b+c D．无法确定 5．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，则BE＝　 　． 6．如图，∠A＝∠B，AE＝BE，点D在AC边上，∠1＝∠2，AE和BD相交于点O． （1）求证：△AEC≌△BED； （2）若∠1＝42°，求∠BDE的度数． 7．如图，已知点B、F、C、E在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，BF＝EC，试说明AC与DF平行的理由． 解：因为AB∥DE（已知）， 所以∠B＝∠E（　　 　　）． 因为 BF＝EC（已知）， 所以BF+FC＝EC+CF（　　 　　），即 BC＝EF． 在△ABC和△DEF中， 所以△ABC≌△DEF． （　　 　） 所以∠　　 　＝∠　　 　（　　　 　　　），所以AC∥DF　　　 　　　． 8．（1）观察理解：如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l过点C，点A，B在直线l同侧，BD⊥l，AE⊥l，垂足分别为D，E，由此可得：∠AEC＝∠CDB＝90°，所以∠CAE+∠ACE＝90°，又因为∠ACB＝90°，所以∠BCD+∠ACE＝90°，所以∠CAE＝∠BCD，又因为AC＝BC，所以△AEC≌△CDB（　 　）；（请填写全等判定的方法） （2）理解应用：如图2，AE⊥AB，且AE＝AB，BC⊥CD，且BC＝CD，利用（1）中的结论，请按照图中所标注的数据计算图中实线所围成的图形的面积S＝　　； （3）类比探究：如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′，连接B′C，求△AB′C的面积． （4）拓展提升：如图4，等边△EBC中，EC＝BC＝3cm，点O在BC上，且OC＝2cm，动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF．设点P运动的时间为t秒． ①当t＝　　秒时，OF∥ED； ②当t＝　　秒时，OF⊥BC； ③当t＝　　秒时，点F恰好落在射线EB上． 二．全等三角形的应用 9．如图，这是小丽制作的一个风筝，她根据AB＝AD，∠ABC＝∠ADC，不用测量就知BC＝CD，请你用所学知识说明理由． 10．如图，有两根钢条AB、CD，在中点O处以小转轴连在一起做成工具（卡钳），可测量工件内槽的宽．如果测量AC＝2cm，那么工件内槽的宽BD＝　　cm． 【拓展进阶】 30min. 【高中相关联知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班、培优班和精英班必选。】 题型4：平行线+线段中点构造全等 1．如图，已知点A，B为直线MN外两点，且在MN异侧，连接AB，分别过点A作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D，点F是线段BD上一点，连接CF交AB于点E． （1）下列条件： ①点F是DB的中点； ②点E是AB的中点； ③点E是CF的中点． 请从中选择一个能证明AC＝BF的条件，并写出证明过程； （2）若AC＝BF，且AC＝5，BD＝13，CE＝6，求CD的长． 2．【发现】如图①，点O为线段AB，CD的中点，连接AC，BD，我们易得△AOC≌△BOD，进而可以得到AC＝BD，且AC∥BD． 【应用】如图②，在Rt△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，点D为线段AC上一点，以AD为斜边作等腰直角△AED（点A，E，D按顺时针顺序排列），即AE＝DE，∠AED＝90°，取CD的中点F，连接BF，EF，BE． （1）求∠EDF的度数． （2）求证：∠EBF＝45°． 【拓展】 （3）若将（2）中的点D改为直线AC上一点，其他条件不变，设直线BE与直线AC相交于点G，当AB＝CB＝6，BF＝2时，请直接写出FG的长． 3．【思维启迪】 （1）如图1，点P是线段AB，CD的中点，则AC与BD的数量关系为 　 　，位置关系为 　 　； 【思维探索】 （2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使CE＝CD，连接AE，若BD⊥AE，请用等式表示AB，BD，AE之间的数量关系，并说明理由； ★小明思考良久后，根据CE＝CD这一条件，给出了如图4的辅助线：延长AC到T，使得CT＝AC，连接DT，BT．请你根据小明给出的辅助线，继续猜想AB，BD，AE之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB中点，点E在线段BD上（点E不与点B，点D重合），连接CE，过点A作AF⊥CE，连接FD．若AF＝8，CF＝3，请求出FD的长． 4．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，在平面内取一点D连接AD、BD，点O为线段AD的中点，连接CO并延长到点F，使OF＝CO．以BD为直角边，顺时针方向作等腰Rt△DEB，DB＝EB，∠DBE＝90°，连DE，CE，BF． （1）如图1，当D在BC边上时，请直接写出CE与BF的位置和数量关系 　 　； （2）如图2，当D在△ABC的内部时，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； 5．在△ABC中，BC＝8，两条高AD，BE交于点H，F是CH的中点，连接AF并延长交边BC于点G． （1）如图1，若△ABC是等边三角形， ①求证：AH＝2DH； ②求CG的长； （2）如图2，若AH＝DH，CG＝BD，求△ABC的面积． 题型5：等腰三角形中的半角模型 6．综合与实践 问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在△ABC中，点D在AC边上，AE⊥BD于F交BC于E，∠ABD＝2∠CAE．求证AB＝BD． 独立思考：（1）请解答王师提出的问题． 实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，作EG⊥AC于点G，若AE＝BD，探究线段AD与CE之间的数量关系，并证明．” 问题解析：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当点G与点D重合时，连接CF，若给出DE的值，则可求出CF的值．该小组提出下面的问题，请你解答．” 如图3，在（2）的条件下，当点D与点G重合时，连接CF，若DE＝，求CF的长”． 7．如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN． （1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由． （2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长． 8．如图，△ABC是等边三角形，D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），作∠EDF＝60°，使角的两边分别交边AB，AC于点E，F，且BD＝CF． （1）如图①，若DE⊥BC，则∠DFC＝　 　度； （2）如图②，D是边BC上一点（点D不与点B，C重合），求证：BE＝CD； （3）如图③，若D是边BC的中点，且AB＝2，则四边形AEDF的周长为 　 　． 题型6：对角互补且一组临边相等的半角模型 9．已知，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD． （1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当∠B＝∠ADC＝90°时． 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明△ABE≌　 　；再证明了△AEF≌　 　，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系为 　 　． （2）请你借鉴小王的方法探究图2，当∠B+∠ADC＝180°时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． （3）如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF、BE、FD之间的数量关系为 　 　．（不用证明） 10．（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是　 　；（不需要证明） （2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． （3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 11．（1）问题背景． 如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是线段BC、线段CD上的点．若∠BAD＝2∠EAF，试探究线段BE、EF、FD之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG．再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　 　． （2）猜想论证． 如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E在线段BC上、F在线段CD延长线上．若∠BAD＝2∠EAF，上述结论是否依然成立？若成立说明理由；若不成立，试写出相应的结论并给出你的证明． （3）拓展应用． 如图3，在四边形ABCD中，∠BDC＝45°，连接BC、AD，AB：AC：BC＝3：4：5，AD＝4，且∠ABD+∠CBD＝180°．则△ACD的面积为　 　． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 1．如图，已知E、F是BD上的两点，BE＝DF，AE＝CF，AE∥CF，请填写AD∥BC的理由． 解：因为AE∥CF（已知）， 所以∠AED＝　 　（两直线平行，内错角相等）． 因为BE＝DF（已知）， 所以BE+EF＝DF+EF（　 　），即BF＝DE． 在△ADE与△CBF中， 所以△ADE≌△CBF（　 　）． 得∠ADE＝∠CBF（　 　）．所以AD∥BC（　 　）． 2．如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．求证： (1)AP＝AQ；(2)AP⊥AQ． 3．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠1＝∠2，AD＝EC．则线段AB，BE，CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由． 4．已知：如图，AB⊥BD，ED⊥BD，C是BD上的一点，AC⊥CE，AB＝CD，求证：BC＝DE． 5．如图，在△ABC和△中，已知∠A＝∠，∠B＝∠，AB＝，试把下面运用“叠合法”说明△ABC和△全等的过程补充完整： 说理过程：把△ABC放到△上，使点A与点重合，因为 　 　，所以可以使 　 　， 并使点C和在AB（）同一侧，这时点A与重合，点B与重合， 由于 　 　，因此，　 　； 由于 　 　，因此，　 　； 于是点C（射线AC与BC的交点）与点（射线与的交点）重合．这样 　 　． 6．公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中ABCD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M是BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上．（提示：可通过证明∠EMF＝180°） 7．如图，两车从路段，的两端同时出发，以相同的速度行驶，相同时间后分别到达，两地，两车行进的路线平行．那么，两地到路段的距离相等吗？为什么？ 8．已知：如图，A、F、C、D在同一直线上，AB∥DE，AB＝DE，AF＝CD，求证： (1)BC＝EF； (2)BC∥EF． 9．如图，是等边三角形，P是AB上一点，Q是BC延长线上一点，．连接PQ交AC于D点，过P作，交AC于E点． (1)说明的理由． (2)过点P作于F，说明的理由． 10．阅读： 如图，已知在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，∠A＝∠A′，AC＝A′C′．那么△ABC≌△A′B′C′． 说明过程如下： 把△ABC放到△A′B′C′上，使∠A的顶点与∠A′的顶点重合；由于∠A＝∠A′，因此可以使射线AB、AC分别落在射线A′B′、A′C′上．因为AB＝A′B′，AC＝A′C′，所以点B、C分别与点B′、C′重合，这样△ABC和△A′B′C′重合，即△ABC≌△A′B′C′． 于是，得全等三角形判定方法1：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等（简记为SAS）． 请完成下面问题的填空： 如图，已知在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，AB＝A′B′，∠B＝∠B′． 那么△ABC≌△A′B′C′． 说明过程如下： 把△ABC放到△A′B′C′上，因为AB＝A′B′，可以使　 　与　 　重合，并使点C与C′在AB（A′B′）的同一侧，这时点A与点A′重合，点　 　与点　 　重合．由于∠A＝∠A′，因此射线　 　与射线　 　叠合；由于 ∠B＝∠B′，因此射线　 　与射线　 　叠合．于是点C（射线AC与BC的交点）与点C′（射线A′C′与B′C′的交点）重合．这样　 　与　 　重合，即△ABC≌△A′B′C′． 于是，得全等三角形判定方法2：在两个三角形中，　 　． 11．如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且FD＝ED，BF＝CD，∠FDE＝∠B，那么∠B和∠C的大小关系如何？为什么？ 解：因为∠FDC＝∠B＋∠DFB　　， 即∠FDE＋∠EDC＝∠B＋∠DFB． 又因为∠FDE＝∠B（已知）， 所以∠　＝∠　　． 在△DFB和△EDC中，　　 所以△DFB≌△EDC　． 因此∠B＝∠C． 12．画△ABC，使AB＝4cm，∠B＝40°，∠C＝60°． 13．如图，已知AB＝AC，BD＝CD，过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E、DF⊥AC交AC的延长线于点F，垂足分别为点E、F． (1)求证：∠DBE＝∠DCF．(2)求证：BE＝CF． 14．已知：等边△ABC边长为3，点D、点E分别在射线AB、射线BC上，且BD＝CE＝a（0＜a＜3），将直线DE绕点E顺时针旋转60°，得到直线EF交直线AC于点F． (1)如图1，当点D在线段AB上，点E在线段BC上时，说明BD+CF＝3的理由． (2)如图2，当点D在线段AB上，点E在线段BC的延长线上时，请判断线段BD，CF之间的数量关系并说明理由． (3)当点D在线段AB延长线上时，线段BD，CF之间的数量关系又如何？请在备用图中画图探究，并直接写出线段BD，CF之间的数量关系． 15．如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，E是边AB上的一点，AE＝AC，F是边AC上的一点，联结DE、CE、FE，当EC平分∠DEF时，猜测EF、BC的位置关系，并说明理由． 解：EF、BC的位置关系是　 　． 说理如下： 因为AD是∠BAC的角平分线（已知） 所以∠1＝∠2 在△AED和△ACD中，　 　 所以△AED≌△ACD（SAS）． 得　 　（全等三角形的对应边相等）． （完成以下说理过程） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$