17.3全等三角形及其性质讲义 2024 -2025学年 沪教版(五四制)七年级数学下册【进阶优等生系列】

【沪教版2024】 【沪教版2024】【进阶优等生系列】 【2024-2025春季培优课】七年级第二学期 17.3全等三角形及其性质 目录 1、 【进门测试】共8题； 2、 【知识精讲】共3个知识点； 3、 【典例解析】共5例题； 4、 【拓展进阶】共14题； 5、 【温故知新】共13题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180° 2．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为18，若AB＝5，AC＝6，则EF＝　　． 3．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　） A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD 4．如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．AC∥DF D．AB＝DE 5．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝　　． 6．填空完成下列说理： 如图，AC与BD交于点O，联结AB、DC、BC，已知∠A＝∠D，AO＝DO． 说明：∠ABC＝∠DCB． 在△AOB与△DOC中， ∠A＝∠D（已知） AO＝DO（已知） ∠AOB＝∠DOC（ 　 　） ∴△AOB≌△DOC（ 　　） ∴∠ABO＝∠DCO（ 　　 　　） OB＝OC（ 　　 　　） ∴∠OBC＝∠OCB（ 　　 　　） ∴∠OBC+∠ABO＝∠OCB+∠DCO（ 　　 　　） 即∠ABC＝∠DCB． 7．如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（　　） A．AB＝BF B．AE＝ED C．AD＝DC D．∠ABE＝∠DFE 8．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第　　块． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角； 2. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.画三角形 （1）两角及其夹边；（2）两边及夹角；（3）三边；（4）两角及一角对边. 【典例解析】 30min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一．全等图形 1．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝　 　． 二．全等三角形的性质 2．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　） A．72° B．60° C．50° D．58° 3．如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4 三．全等三角形的判定 4．如图，已知∠C＝∠D，AC＝AD，增加下列条件： ①AB＝AE；②BC＝ED；③∠1＝∠2；④∠B＝∠E． 其中能使△ABC≌△AED的条件有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．已知△ABC中，AB＝BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出 　　个． 【拓展进阶】 30min. 【高中相关联知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班、培优班和精英班必选。】 题型1：一线三等角构造全等模型 1．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N． （1）若MN在△ABC外（如图1），求证：MN＝AM+BN； （2）若MN与线段AB相交（如图2），且AM＝2.6，BN＝1.1，则MN＝　 　． 2．（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出； （2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由． 3．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE．连接EA，且EA⊥AB． （1）若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，则∠ABC＝　 　°； （2）过D点作DG⊥AE，垂足为G． ①填空：△DEG≌△　 　； ②求证：AE＝AF+BC； （3）如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，并简要说明理由． 4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E． （1）当直线MN绕着点C旋转到如图1所示的位置时， 求证：①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕着点C旋转到如图2所示的位置时， ①找出图中一对全等三角形； ②DE、AD、BE之间有怎样的数量关系，并加以证明． 题型2：手拉手模型—旋转型全等 5．【初步感知】： 如图①，△ABC和△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．小组同学发现： （1）△ACD与△BCE全等，依据是 　 　（填写全等三角形判定定理）； （2）线段BE＝AD，依据是 　 　； 【拓展探究】： 如图②，△ABC和△CDE都是等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM． （3）线段BE与AD之间是否仍存在（2）中的结论？若存在，请说明理由； （4）∠AMB＝　 　（用含α的式子表示），并说明理由． 6．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC与△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，连接AD，BE；求证：△ACD≌△BCE； 【尝试应用】（2）如图2，在△ABC与△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AD，BE，A、D、E三点在一条直线上，BC与DE交于点F； ①求∠BEA的大小； ②若DF＝3EF且BE＝2，求△BCE的面积； 【拓展提高】（3）如图3，在△ABC与△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，点G为DE的中点，AE交BC于点H，连接GH，若GH⊥AB，且S△ABH为18，求CH的长． 7．在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF，连接BE，CF． 【发现问题】如图①，若∠BAC＝30°，延长BE交CF于点D，则BE与CF的数量关系是 　 　，∠BDC的度数为 　 　． 【类比探究】如图②，若∠BAC＝120°，延长BE，FC相交于点D，请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由． 【拓展延伸】如图③，若∠BAC＝90°，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M，请猜想BF，CF，AM之间的数量关系，并说明理由． 8．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°． ①则△ABD与△ACE全等吗？请说明理由； ②求∠BCE的度数； （2）如图2，如果∠BAC＝60°，当点D在线段BC上移动，则∠BCE的度数是 　 　°； （3）如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝60°，D点为△ABC中BC边上的一个动点（D与B、C均不重合），当点D运动到什么位置时，△DCE的周长最小？ 9．感知：如图①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD＝CE，不需证明． 探究：如图②，将△AED绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°），连结BD和CE，此时BD＝CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由． 应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连结CE． ①∠ACE的度数为 　 　度； ②线段BC、CD、CE之间的数量关系是 　 　； ③若AB＝AC＝，CD＝1，则线段DE的长为 　 　． 题型3：倍长中线模型 10．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，以BC为斜边作Rt△EBC，∠BEC＝90°，再将BE绕点B逆时针旋转90°得到BF，连接EF分别交BC，AB于点G，点D． （1）如图1，△BEC在BC右侧，∠EBC＝30°，AC＝2，求△BFG的面积； （2）如图2，△BEC在BC右侧，点D是AB的中点，求证：DE＝CE+DF； （3）如图3，△BEC在BC左侧，FE的延长线过AB的中点D，当点E在BD的中垂线上时，CE交AB于点H，直接写出的值． 11．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM． 【探究发现】：（1）图1中AC与BM的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　； 【初步应用】：（2）如图2，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若3x＜6，则x＜2．） 【探究提升】：（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由． 12．数学课上，老师提出一个问题：如图1，已知等腰直角△ABC，AB＝AC，等腰直角△CDE，DC＝DE，连结BE，F为BE中点，连结AF，DF，请探究线段AF，DF之间的关系． 小明通过思考，将此探究题分解成如下问题，逐步探究并应用．请帮助他完成： （1）如图1，延长AF至A'，使得AF＝A′F，连结A′E，则线段AB与线段A′E的数量关系为 　 　，位置关系为 　 　； （2）如图2，延长ED交BA延长线于点G，连结AD，A′D．小明的思路是先证明△ACD≌△A′ED，进而得出AD与A′D的关系，再继续探究．请判断线段AF，DF之间的关系，并根据小明的思路，写出完整的证明过程． （3）方法运用：如图3，等边△ABC与等边△DEC，点D，E在△ABC外部．AB＝4，，连结BD，点F为BD中点，连结AF，BE，若AF＝3，请直接写出BE的值． 13．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　 　． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是　 　． A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF． 14．如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上的一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结BE，AE． （1）①填空：线段BD与AE的数量关系是 　 　，位置关系是 　 　； ②证明上述结论成立． （2）如图2，F是AD的中点，连结CF交BE于H，若BC＝4，时，求CF的长． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD相交于点O，如果已知∠ABC＝∠ACB，那么还不能判定△ABE≌△ACD，补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　） A．AD＝AE B．BE＝CD C．OB＝OC D．∠BDC＝∠CEB 2．已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，∠1＝∠2．图中全等的三角形共有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 3．在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是边BC的中线，那么AD的取值范围是（　　） A．0＜AD＜12 B．2＜AD＜12 C．0＜AD＜6 D．1＜AD＜6 4．如图，，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知点B、D、C、F在同一条直线上，ABEF，AB＝EF，ACDE，如果BF＝6，DC＝3，那么BD的长等于（） A．1 B． C．2 D．3 6．考查下列命题 （1）全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等； （2）两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等； （3）两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等； （4）两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等． 其中正确命题的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 7．已知在△ABC和△A1B1C1中，AB＝A1B1，BC＝B1C1，要使△ABC≌△A1B1C1，还需添加一个条件，那么这个条件可以是 _____． 8．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，∠A＝∠D，BF＝10，BC＝6，则EC＝_____． 9．如图，已知CA＝CD，CB＝CE，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEC，这个条件可以是__________________（只需填写一个）． 10．在与中，，那么______． 11．如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，AD=3cm，BE=1cm，那么DE=___cm． 三、解答题 12．如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？ 13．已知：如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD，线段AC交线段OB于点M，线段BD交线段OC于点N． (1)请说明△AOC≌△BOD的理由； (2)请说明OM＝ON的理由． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$【沪教版2024】 【沪教版2024】【进阶优等生系列】 【2024-2025春季培优课】七年级第二学期 17.3全等三角形及其性质 目录 1、 【进门测试】共8题； 2、 【知识精讲】共3个知识点； 3、 【典例解析】共5例题； 4、 【拓展进阶】共14题； 5、 【温故知新】共13题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1．如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（　　） A．α＝β B．α＝2β C．α+β＝90° D．α+2β＝180° 【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可． 【解答】解：∵△AOB≌△ADC， ∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD， ∴∠BAC＝∠OAD＝α， 在△ABC中，∠ABC＝（180°﹣α）， ∵BC∥OA， ∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°， ∴β+（180°﹣α）＝90°， 整理得，α＝2β． 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 2．△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为18，若AB＝5，AC＝6，则EF＝　7　． 【分析】求出BC长，根据全等三角形的性质得出EF＝BC，即可得出答案． 【解答】解： ∵△ABC的周长为18，AB＝5，AC＝6， ∴BC＝18﹣5﹣6＝7， ∵△ABC≌△DEF， ∴EF＝BC＝7， 故答案为：7． 【点评】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． 3．如图，已知∠ABC＝∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（　　） A．∠A＝∠D B．AB＝DC C．∠ACB＝∠DBC D．AC＝BD 【分析】根据题目所给条件∠ABC＝∠DCB，再加上公共边BC＝BC，然后再结合判定定理分别进行分析即可． 【解答】解：A、添加∠A＝∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B、添加AB＝DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C、添加∠ACB＝∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； D、添加AC＝BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 4．如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B、F、C、E在同一条直线上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是（　　） A．AC＝DF B．∠A＝∠D C．AC∥DF D．AB＝DE 【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：A、SSA无法判断三角形全等． B、根据AAS即可证明三角形全等． C、根据ASA即可证明三角形全等． D、根据SAS即可证明三角形全等． 故选：A． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 5．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3＝　55°　． 【分析】求出∠BAD＝∠EAC，证△BAD≌△CAE，推出∠2＝∠ABD＝30°，根据三角形的外角性质求出即可． 【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， ∴∠1＝∠EAC， 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠2＝∠ABD＝30°， ∵∠1＝25°， ∴∠3＝∠1+∠ABD＝25°+30°＝55°， 故答案为：55°． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是推出△BAD≌△CAE． 6．填空完成下列说理： 如图，AC与BD交于点O，联结AB、DC、BC，已知∠A＝∠D，AO＝DO． 说明：∠ABC＝∠DCB． 在△AOB与△DOC中， ∠A＝∠D（已知） AO＝DO（已知） ∠AOB＝∠DOC（ 　对顶角相等　） ∴△AOB≌△DOC（ 　ASA　） ∴∠ABO＝∠DCO（ 　全等三角形的对应角相等　） OB＝OC（ 　全等三角形的对应边相等　） ∴∠OBC＝∠OCB（ 　等边对等角　） ∴∠OBC+∠ABO＝∠OCB+∠DCO（ 　等式性质　） 即∠ABC＝∠DCB． 【分析】根据对顶角相等得到∠AOB＝∠DOC，再证明△AOB≌△DOC，所以OB＝OC，根据等边对等角证明∠OBC＝∠OCB，最后根据等式性质即可解答． 【解答】解：在△AOB与△DOC中， ∠A＝∠D（已知）， AO＝DO（已知）， ∠AOB＝∠DOC（对顶角相等）， ∴△AOB≌△DOC（ASA）， ∴∠ABO＝∠DCO（全等三角形的对应角相等）， OB＝OC（全等三角形的对应边相等）， ∴∠OBC＝∠OCB（等边对等角）， ∴∠OBC+∠ABO＝∠OCB+∠DCO（等式性质）， 即∠ABC＝∠DCB． 【点评】本题主要考查对顶角相等，全等三角形的判定和性质，解题关键是对相应的知识的掌握与应用． 7．如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（　　） A．AB＝BF B．AE＝ED C．AD＝DC D．∠ABE＝∠DFE 【分析】从已知条件思考，利用角平分线的性质，结合平行线的性质，可得很多结论，然后与选项进行逐个比对，答案可得． 【解答】解：∵∠BAD+∠ABD＝90°，∠ABD+∠C＝90°， ∴∠BAD＝∠C（同角的余角相等）． 又∵EF∥AC， ∴∠BFE＝∠C， ∴∠BAD＝∠BFE． 又∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠FBE， ∴∠BEF＝∠AEB， 在△ABE与△FBE中， ∵， ∴△ABE≌△FBE（AAS）， ∴AB＝BF． 故选：A． 【点评】此题考查角平分线的定义，平行线的性质，同角的余角相等，三角形全等的判定等知识点． 8．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第　2　块． 【分析】本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证． 【解答】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查三角形全等的判定，看这4块玻璃中哪个包含的条件符合某个判定．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角； 2. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.画三角形 （1）两角及其夹边；（2）两边及夹角；（3）三边；（4）两角及一角对边. 【典例解析】 30min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 一．全等图形 1．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝　135°　． 【分析】首先利用SAS定理判定△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质可得∠3＝∠ACB，再由∠ACB+∠1＝∠1+∠3＝90°，可得∠1+∠2+∠3＝90°． 【解答】解：∵在△ABC和△DBE中， ∴△ABC≌△DBE（SAS）， ∴∠3＝∠ACB， ∵∠ACB+∠1＝90°， ∴∠1+∠3＝90°， ∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°， 故答案为：135°． 【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形对应角相等． 二．全等三角形的性质 2．已知图中的两个三角形全等，则∠1等于（　　） A．72° B．60° C．50° D．58° 【分析】根据三角形内角和定理求得∠2＝58°；然后由全等三角形的性质得到∠1＝∠2＝58°． 【解答】解：如图，由三角形内角和定理得到：∠2＝180°﹣50°﹣72°＝58°． ∵图中的两个三角形全等， ∴∠1＝∠2＝58°． 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是找准对应角． 3．如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（　　） A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：4 【分析】利用三角形的三角的比，求出三角的度数，再进一步根据各角之间的关系求出∠BCM、∠BCN的度数可求出结果． 【解答】解：在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10 设∠A＝3x°，则∠ABC＝5x°，∠ACB＝10x° 3x+5x+10x＝180 解得x＝10 则∠A＝30°，∠ABC＝50°，∠ACB＝100° ∴∠BCN＝180°﹣100°＝80° 又△MNC≌△ABC ∴∠ACB＝∠MCN＝100° ∴∠BCM＝∠NCM﹣∠BCN＝100°﹣80°＝20° ∴∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4 故选：D． 【点评】本题考查了全等三角形的性质；利用三角形的三角的比，求得三个角的大小是很重要的方法，要注意掌握． 三．全等三角形的判定 4．如图，已知∠C＝∠D，AC＝AD，增加下列条件： ①AB＝AE；②BC＝ED；③∠1＝∠2；④∠B＝∠E． 其中能使△ABC≌△AED的条件有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答． 【解答】解：①∵∠C＝∠D，AC＝AD，AB＝AE， ∴△ABC和△AED不一定全等， 故①不符合题意； ②∵∠C＝∠D，AC＝AD，BC＝DE， ∴△ABC≌△AED（SAS）， 故②符合题意； ③∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠EAB＝∠2+∠EAB， ∴∠CAB＝∠DAE， ∵∠C＝∠D，AC＝AD， ∴△ABC≌△AED（ASA）， 故③符合题意； ④∵∠B＝∠E，∠C＝∠D，AC＝AD， ∴△ABC≌△AED（AAS）， 故④符合题意； 所以，增加上列条件，其中能使△ABC≌△AED的条件有3个， 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 5．已知△ABC中，AB＝BC≠AC，作与△ABC只有一条公共边，且与△ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出 　7　个． 【分析】只要满足三边对应相等就能保证作出的三角形与原三角形全等，以腰为公共边时有6个，以底为公共边时有一个，答案可得． 【解答】解：以AB为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一个， 所以一共能作出7个． 故答案为：7． 【点评】本题考查了全等三角形的作法；做三角形时要根据全等的判断方法的要求，正确对每种情况进行讨论是解决本题的关键． 【拓展进阶】 30min. 【高中相关联知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班、培优班和精英班必选。】 题型1：一线三等角构造全等模型 1．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N． （1）若MN在△ABC外（如图1），求证：MN＝AM+BN； （2）若MN与线段AB相交（如图2），且AM＝2.6，BN＝1.1，则MN＝　1.5　． 【分析】（1）利用互余关系证∠MAC＝∠NCB，再证△AMC≌△CNB（AAS），得到AM＝CN，MC＝BN，即可得出结论； （2）类似于（1）可证△ACM≌△CBN（AAS），得AM＝CN＝2.6，CM＝BN＝1.1，即可得出结论． 【解析】（1）证明：∵AM⊥MN，BN⊥MN， ∴∠AMC＝∠CNB＝90°． ∵∠ACB＝90°，∠AMC＝90°， ∴∠MAC+∠ACM＝90°，∠NCB+∠ACM＝90°， ∴∠MAC＝∠NCB． 在△AMC和△CNB中， ， ∴△AMC≌△CNB（AAS）， ∴AM＝CN，MC＝NB． ∵MN＝NC+CM， ∴MN＝AM+BN． （2）解：∵AM⊥MN于M，BN⊥MN， ∴∠AMC＝∠CNB＝90°， ∴∠MAC+∠ACM＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACM+∠NCB＝90°， ∴∠MAC＝∠NCB， 在△ACM和△CBN中， ， ∴△ACM≌△CBN（AAS）， ∴AM＝CN＝2.6，CM＝BN＝1.1， ∴MN＝CN﹣CM＝2.6﹣1.1＝1.5， 故答案为：1.5． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出； （2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由； （3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由． 【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ABD＝∠CAE，进而证明△ADB≌△CEA，根据全等三角形的性质得到BD＝AE，AD＝CE，结合图形计算，得到答案； （2）根据补角的概念、三角形内角和定理得到∠ABD＝∠CAE，证明△ADB≌△CEA，根据全等三角形的性质得到BD＝AE，AD＝CE，结合图形计算，得到答案； （3）证明△FBD≌△FAE，得到FD＝FE，∠BFD＝∠AFE，进而得出∠DFE＝60°，根据等边三角形的判定定理证明结论． 【解析】解：（1）DE＝BD+CE， 理由如下：∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵BD⊥m，CE⊥m， ∴∠ADB＝∠CEA＝90°， ∴∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE； （2）结论DE＝BD+CE成立， 理由如下：∵∠BAD+∠CAE＝180°﹣∠BAC，∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠ADB，∠ADB＝∠BAC， ∴∠ABD＝∠CAE， 在△BAD和△ACE中， ， ∴△BAD≌△ACE（AAS）， ∴BD＝AE，AD＝CE， ∴DE＝DA+AE＝BD+CE； （3）△DFE为等边三角形， 理由如下：由（2）得，△BAD≌△ACE， ∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE， ∴∠ABD+∠FBA＝∠CAE+FAC，即∠FBD＝∠FAE， 在△FBD和△FAE中， ， ∴△FBD≌△FAE（SAS）， ∴FD＝FE，∠BFD＝∠AFE， ∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠DFA+∠BFD＝60°， ∴△DFE为等边三角形． 【点评】本题考查的是等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 3．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是线段CA延长线上一点，且AD＝AB．点F是线段AB上一点，连接DF，以DF为斜边作等腰Rt△DFE．连接EA，且EA⊥AB． （1）若∠AEF＝20°，∠ADE＝50°，则∠ABC＝　60　°； （2）过D点作DG⊥AE，垂足为G． ①填空：△DEG≌△　EFA　； ②求证：AE＝AF+BC； （3）如图2，若点F是线段BA延长线上一点，其他条件不变，请写出线段AE，AF，BC之间的数量关系，并简要说明理由． 【分析】（1）先由∠AEF＝20°、∠DEF＝90°得到∠DEA＝70°，然后由∠ADE＝50°得到∠DAE＝60°，再结合∠EAB＝90°得到∠BAC＝30°，最后由∠ACB＝90°得到∠ABC＝60°； （2）①先由DG⊥AE得到∠DEG+∠EDG＝90°，然后由∠DEF＝90°得到∠DEG+∠AEF＝90°，从而得到∠EDG＝∠FEA，再结合DE＝EF、∠DGE＝∠EAF＝90°得证△DEG≌△EFA； ②先由∠GDA+∠GAD＝90°和∠GAD+∠BAC＝90°得到∠GDA＝∠BAC，再结合AD＝AB、∠DGA＝∠C＝90°得证△GDA≌△CAB，进而得到BC＝AC，最后由△DEG≌△EFA得到EC＝AF，最后得证AE＝AF+BC； （3）过点D作DG⊥AE，交AE的延长线于点G，则∠DGE＝90°，先由AE⊥AB，得到∠EAF＝∠DGE＝90°，然后由△DEF是以DF为斜边的等腰直角三角形得到∠DEF＝90°，DE＝EF，从而得证△GDE≌△AEF，因此有GE＝AF，再由∠DGE＝∠EAF＝90°得到∠GDA＝∠CAB，然后证明△GDA≌△CAB，最后得到BC＝EG+AE＝AF+AE． 【解析】（1）解：∵∠AEF＝20°，∠DEF＝90°， ∴∠DEA＝70°， ∵∠ADE＝50°， ∴∠DAE＝60°， ∵∠EAB＝90°， ∴∠BAC＝30°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝60°， 故答案为，60． （2）①解：∵DG⊥AE， ∴∠DEG+∠EDG＝90°， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEG+∠AEF＝90°， ∴∠EDG＝∠FEA， 在△DEG和△EFA中， ， ∴△DEG≌△EFA（AAS）， 故答案为：EFA． ②证明：∵∠GDA+∠GAD＝90°，∠GAD+∠BAC＝90°， ∴∠GDA＝∠BAC， ∵AD＝AB，∠DGA＝∠C＝90°， ∴△GDA≌△CAB（AAS）， ∴BC＝AG， ∵△DEG≌△EFA， ∴EC＝AF， ∴AE＝AG+GE＝AF+BC． （3）解：BC＝AE+AF，理由如下， 如图2，过点D作DG⊥AE，交AE的延长线于点G，则∠DGE＝90°， ∵AE⊥AB， ∴∠EAF＝∠DGE＝90°， ∵△DEF是以DF为斜边的等腰直角三角形， ∴∠DEF＝90°，DE＝EF， ∴∠GDE+∠GED＝∠GED+∠AEF＝90°， ∴∠GDE＝∠AEF， ∴△GDE≌△AEF（AAS）， ∴GE＝AF， ∵∠DGE＝∠EAF＝90°， ∴DG∥AB， ∴∠GDA＝∠CAB， 在△GDA和△CAB中， ， ∴△GDA≌△CAB（AAS）， ∴BC＝AG， ∴BC＝EG+AE＝AF+AE． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握一线三等角模型证明三角形全等． 4．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E． （1）当直线MN绕着点C旋转到如图1所示的位置时， 求证：①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕着点C旋转到如图2所示的位置时， ①找出图中一对全等三角形； ②DE、AD、BE之间有怎样的数量关系，并加以证明． 【分析】（1）根据余角和补角的性质易证得∠DAC＝∠ECB，已知∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝CB，根据全等三角形的判定AAS即可证明△ADC≌△CEB，根据各边的相等关系即可得DE＝AD+BE． （2）同理可证得△ADC≌△CEB，再根据各边的相等关系可得DE＝AD﹣BE． 【解析】（1）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠DAC+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝180°﹣90°＝90°， ∴∠DAC＝∠ECB； 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）①，（7分） ∴DC＝EB，AD＝CE， ∴DE＝AD+BE．（9分） （2）解：同理可得△ADC≌△CEB①；（11分） ∴AD＝CE，CD＝BE， ∴DE＝AD﹣BE②．（14分） 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到补角和余角的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 题型2：手拉手模型—旋转型全等 5．【初步感知】： 如图①，△ABC和△CDE都是等边三角形，连接AD、BE．小组同学发现： （1）△ACD与△BCE全等，依据是 　SAS　（填写全等三角形判定定理）； （2）线段BE＝AD，依据是 　全等三角形的对应边相等　； 【拓展探究】： 如图②，△ABC和△CDE都是等腰三角形，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE相交于点M，连接CM． （3）线段BE与AD之间是否仍存在（2）中的结论？若存在，请说明理由； （4）∠AMB＝　α　（用含α的式子表示），并说明理由． 【分析】（1）由等边三角形的性质得AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°，再证明∠ACD＝∠BCE，然后由SAS证明△ACD≌△BCE即可； （2）由全等三角形的性质即可得出结论； （3）先证明∠ACD＝∠BCE，再证明△CBE≌△CAD（SAS），然后由全等三角形的性质即可得出结论； （4）由全等三角形的性质得∠CAD＝∠CBE，再由三角形内角和定理得∠BAC+∠ABC＝180°﹣α，则∠BAM+∠ABM＝180°﹣α，然后由三角形内角和定理即可得出结论． 【解析】解：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∵∠BCE＝∠ACB﹣∠ECA，∠ACD＝∠DCE﹣∠ECA， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， 故答案为：SAS； （2）由（1）可知，△ACD≌△BCE， ∴BE＝AD（全等三角形的对应边相等）， 故答案为：全等三角形的对应边相等； （3）存在（2）的结论BE＝AD，理由如下： ∵∠ACB＝∠DCE＝α，∠ACD＝α+∠BCD，∠BCE＝α+∠BCD ∴∠ACD＝∠BCE， 在△CBE和△CAD中， ， ∴△CBE≌△CAD（SAS）， ∴BE＝AD； （4）∠AMB＝α，理由如下： ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE， ∵∠BAC+∠ABC＝180°﹣α， ∴∠BAM+∠ABM＝180°﹣α， ∴∠AMB＝180°﹣（180°﹣α）＝α， 故答案为：α． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 6．【基础巩固】（1）如图1，在△ABC与△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，连接AD，BE；求证：△ACD≌△BCE； 【尝试应用】（2）如图2，在△ABC与△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AD，BE，A、D、E三点在一条直线上，BC与DE交于点F； ①求∠BEA的大小； ②若DF＝3EF且BE＝2，求△BCE的面积； 【拓展提高】（3）如图3，在△ABC与△CDE中，AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，点G为DE的中点，AE交BC于点H，连接GH，若GH⊥AB，且S△ABH为18，求CH的长． 【分析】（1）利用SAS证明△ACD≌△BCE； （2）①由△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，可得∠CDE＝∠CED＝45°，进而得出∠ADC＝180°﹣45°＝135°，即可求得答案； ②过点D作DG⊥AC于G，DJ⊥BC于J，过点E作EH⊥BC于H，可证得△CDG≌△CEH（AAS），设CJ＝DG＝EH＝x，可得DJ＝CG＝CH＝3x，FH＝x，FJ＝x，CF＝x，再利用勾股定理建立方程求得EH＝，BC＝2，再运用S△BCE＝BC•EH即可求得答案； （3）连接BE，CG，先证得△BEG≌△HCG（SAS），得出BE＝CH，∠GBE＝∠GHC，进而可得BE∥AC，推出S△CBE＝S△ABE，即S△BEH+S△CEH＝S△BEH+S△ABH，得出S△CEH＝S△ABH＝18，即可求得答案． 【解析】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE， 即∠ACD+∠BCD＝∠BCD+∠BCE， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）解：①∵AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴△ABC和△DEC均为等腰直角三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝45°， ∴∠ADC＝180°﹣45°＝135°， 同（1）可得△ACD≌△BCE， ∴∠ADC＝∠BEC＝135°， ∴∠BEA＝∠BEC﹣∠CED＝135°﹣45°＝90°； ②如图，过点D作DG⊥AC于G，DJ⊥BC于J，过点E作EH⊥BC于H， 则∠CGD＝∠CJD＝∠DJF＝∠EHF＝90°，四边形CJDG是矩形， ∴DJ＝CG，CJ＝DG， ∵∠DCG+∠BCD＝∠ECH+∠BCD＝90°， ∴∠DCG＝∠ECH， 在△CDG和△CEH中， ， ∴△CDG≌△CEH（AAS）， ∴DG＝EH，CG＝CH， ∴CJ＝DG＝EH， 设CJ＝DG＝EH＝x， ∵EH∥DJ， ∴△EFH∽△DFJ， ∴＝＝， ∵DF＝3EF， ∴＝＝， ∴DJ＝CG＝CH＝3x，FJ＝3FH， ∴FH+FJ＝CH﹣CJ＝3x﹣x＝2x， ∴FH＝x，FJ＝x， ∴CF＝CJ+FJ＝x+x＝x， ∵EH∥AC， ∴△EFH∽△AFC， ∴＝， ∴AC＝＝＝5x＝BC， 在Rt△CDG中，CD＝＝＝x， ∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形， ∴AB＝AC＝5x，DE＝CD＝2x， ∵△ACD≌△BCE， ∴AD＝BE， ∵BE＝2， ∴AD＝2， ∴AE＝AD+DE＝2+2x， 在Rt△ABE中，AE2+BE2＝AB2， （2+2x）2+22＝（5x）2， 解得：x1＝，x2＝﹣（舍去）， ∴EH＝，BC＝2， ∴S△BCE＝BC•EH＝×2×＝2； （3）如图，连接BE，CG， ∵AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴△ABC和△DEC均为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝45°， ∵点G为DE的中点， ∴∠CGE＝90°，CG＝EG＝DG， ∵GH⊥AB， ∴∠BGH＝90°， ∴△BGH是等腰直角三角形， ∴BG＝HG，∠BHG＝∠ABC＝45°， ∵∠BGE+∠EGH＝∠HGC+∠EGH， ∴∠BGE＝∠HGC， 在△BEG和△HCG中， ， ∴△BEG≌△HCG（SAS）， ∴BE＝CH，∠GBE＝∠GHC， ∵∠GHC＝180°﹣∠BHG＝135°， ∴∠GBE＝135°， ∴∠CBE＝∠GBE﹣∠ABC＝135°﹣45°＝90°， ∴BE∥AC， ∴S△CBE＝S△ABE， 即S△BEH+S△CEH＝S△BEH+S△ABH， ∴S△CEH＝S△ABH， ∵S△ABH＝18， ∴S△CEH＝18， ∴CH•BE＝18， ∵BE＝CH， ∴CH2＝36， ∴CH＝6． 【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形性质，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，属于中考压轴题，综合性强，难度大，对学生要求很高；解题关键是熟练掌握等腰直角三角形性质等相关知识，合理添加辅助线构造全等三角形． 7．在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF，连接BE，CF． 【发现问题】如图①，若∠BAC＝30°，延长BE交CF于点D，则BE与CF的数量关系是 　BE＝CF　，∠BDC的度数为 　30°　． 【类比探究】如图②，若∠BAC＝120°，延长BE，FC相交于点D，请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数，并说明理由． 【拓展延伸】如图③，若∠BAC＝90°，且点B，E，F在同一条直线上，过点A作AM⊥BF，垂足为点M，请猜想BF，CF，AM之间的数量关系，并说明理由． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF即可得出结论； （2）根据等腰三角形的性质，利用SAS证明△ABE≌△ACF即可得出结论； （3）利用SAS证明△ABE≌和△ACF，可得BE＝CF，再由等腰直角三角形的性质可得AM＝EM＝FM，即EF＝2AM，根据BF＝BE+EF，等量代换可得BF＝CF+2AM． 【解析】解：（1）BE＝CF，∠BDC＝30°， 理由如下：如图1所示，设AC与BD交于点O， ∵∠BAC＝∠EAF＝30°， ∴∠BAC+∠CAE＝∠EAF+∠CAE， 即∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF， ∵∠AOE＝∠ABE+∠BAC，∠AOE＝∠ACF+∠BDC， ∴∠BDC＝∠BAC＝30°． 故答案为：BE＝CF，30°； （2）BE＝CF，∠BDC＝60°， 理由如下：如图2， ∵∠BAC＝∠EAF＝120°， ∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC， 即∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴BE＝CF，∠AEB＝∠AFC， ∵∠EAF＝120°，AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE＝30°， ∴∠BDC＝∠BEF﹣∠EFD＝∠AEB+30°﹣（∠AFC﹣30°）＝60°； （3）【拓展延伸】BF＝CF+2AM， 理由如下：如图3， ∵∠BAC＝∠EAF＝90°， ∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC， 即∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌和△ACF（SAS）， ∴BE＝CF， ∵AE＝AF，∠EAF＝90°，AM⊥EF， ∴AM＝EM＝FM，即EF＝2AM， ∵BF＝BE+EF， ∴BF＝CF+2AM． 【点评】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形和等腰直角三角形的性质，三角形的面积等知识，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 8．在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，连接CE． （1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝90°． ①则△ABD与△ACE全等吗？请说明理由； ②求∠BCE的度数； （2）如图2，如果∠BAC＝60°，当点D在线段BC上移动，则∠BCE的度数是 　120　°； （3）如图2，当点D在线段BC上，如果∠BAC＝60°，D点为△ABC中BC边上的一个动点（D与B、C均不重合），当点D运动到什么位置时，△DCE的周长最小？ 【分析】（1）根据∠BAC＝∠ADE＝90°，易得∠BAD＝∠CAE，再证△BAD≌△CAE； （2）证明△BAD≌△CAE（SAS），推出∠ACE＝∠B＝45°，再由∠BCE＝∠ACB+∠ACE得出结论； （3）由△BAD≌△CAE可得出BD＝CE，推出CD+EC＝CD+BD＝BC，由△ECD的周长＝DE+CD+CE＝DE+BC，BC为定值，推出DE最小时，△DCE得到周长最小，由垂线段最短即可解决问题． 【解析】（1）①证明：∵∠BAC＝∠ADE＝90°， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ②解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∵△BAD≌△CAE， ∴∠ACE＝∠B＝45°， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°； ∴∠BCE的度数为90°； （2）解：∵AB＝AC，AD＝AE，∠ADE＝∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ACB＝60°， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ACE＝∠B＝60°， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝120°， 故答案为：120； （3）由（2）可知：△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE， ∴CD+CE＝CD+BD＝BC， ∵△ECD的周长＝DE+CD+CE＝DE+BC， ∵BC为定值， ∴当DE的值最小时，△DCE得到周长最小， ∵AD＝AE，∠ADE＝∠BAC＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴DE＝AD ∴AD⊥BC时，AD的值最小，此时BD＝CD， ∴当点D运动到BC的中点时，△DCE是周长最小． 【点评】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 9．感知：如图①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD＝CE，不需证明． 探究：如图②，将△AED绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°），连结BD和CE，此时BD＝CE是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由． 应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连结CE． ①∠ACE的度数为 　45　度； ②线段BC、CD、CE之间的数量关系是 　CE＝BC+CD　； ③若AB＝AC＝，CD＝1，则线段DE的长为 　　． 【分析】探究：利用SAS证明△ABD≌△CAE（SAS），得BD＝CE； 应用：①同理证明△ACE≌△ABD，得∠ACE＝∠B＝45°； ②由全等三角形的性质得BD＝CE即可； ③首先证明∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，再利用勾股定理即可得出答案． 【解析】解：探究：成立，证明如下： ∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE， ∵将△AED绕点A逆时针旋转α（0＜α＜90°），连结BD和CE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE； 应用：①∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形， ∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE， 在△ACE与△ABD中， ， ∴△ACE≌△ABD（SAS）， ∴∠ACE＝∠B＝45°， 故答案为：45； ②∵△ACE≌△ABD， ∴BD＝CE， ∴BC+CD＝CE， 故答案为：BC+CD＝CE； ③∵△ACE≌△ABD， ∴∠ACE＝∠ABD＝45°， 又∵∠ACB＝45°， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°， 在Rt△BAC中， ∵AB＝AC＝， ∴BC＝＝2， 又∵CD＝1，CE＝BC+CD＝3， 在Rt△CDE中，DE＝＝， 故答案为：． 【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，证明△ACE≌△ABD是解题的关键． 题型3：倍长中线模型 10．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，以BC为斜边作Rt△EBC，∠BEC＝90°，再将BE绕点B逆时针旋转90°得到BF，连接EF分别交BC，AB于点G，点D． （1）如图1，△BEC在BC右侧，∠EBC＝30°，AC＝2，求△BFG的面积； （2）如图2，△BEC在BC右侧，点D是AB的中点，求证：DE＝CE+DF； （3）如图3，△BEC在BC左侧，FE的延长线过AB的中点D，当点E在BD的中垂线上时，CE交AB于点H，直接写出的值． 【分析】（1）根据题意求出CE、BE的长度，证明△BEF是等腰直角三角形，求出△EBF的面积，证明△CEG∽△BFG，从而有，根据比例即可求出△BFG的面积； （2）在DE上截取DM＝DF，连接AM，CM，先证明△ADM≌△BDF，再证明△CAM≌△CBE，通过证明△MCE是等腰直角三角形，得到ME＝CE，从而证明题目结论； （3）在DE上截取DM＝DF，连接AM，CM，先证明△CEN是等腰直角三角形，再证明Rt△ACN≌Rt△BCE，从而有△ADN≌△BDF，得到DN＝DF，设BE＝BF＝DE＝a，根据题意用含a的式子表示CE，证明△DHE∽△DBF，得到CH，过点B作BP⊥EF，垂足为点P，证明△BFP是等腰直角三角形，表示BP，利用三角形的面积公式表示两个三角形的面积从而解决面积之比． 【解析】（1）解：∵AC＝BC， ∴BC＝2， ∵∠BEC＝90°，∠EBC＝30°， ∴CE＝BC＝1， ∴BE＝＝， ∵BE绕点B逆时针旋转90°得到BF， ∴△BEF是等腰直角三角形，∠EBF＝90°，BE＝BF＝， ∴， ∵∠BEC＝∠EBF＝90°， ∴CE∥BF， ∴△CEG∽△BFG， ∴，即， ∴， ∴＝； （2）证明：在DE上截取DM＝DF，连接AM，CM， ∵AB，EF交于点D， ∴∠ADM＝∠BDF， ∵DM＝DF，AD＝BD， ∴△ADM≌△BDF（SAS）， ∴AM＝BF＝BE，∠MAD＝∠FBD， ∵∠CAM+∠MAD＝45°，∠CBE+∠FBD＝45°， ∴∠CAM＝∠CBE， ∵AC＝BC，AM＝BE， ∴△CAM≌△CBE（SAS）， ∴CM＝CE，∠ACM＝∠BCE， ∵∠ACM+∠BCM＝90°， ∴∠MCE＝∠BCE+∠BCM＝90°， ∴△MCE是等腰直角三角形， ∴ME＝CE， ∴DE＝DM+ME＝DF+CE； （3）解：作∠ECN＝90°，交FD延长线于点N， ∵BE绕点B逆时针旋转90°得到BF， ∴△BEF是等腰直角三角形， ∴BE＝BF，∠BEF＝∠BFE＝45°， ∵∠BEC＝90°， ∴∠CEN＝45°， ∵∠ECN＝90°， ∴△CEN是等腰直角三角形， ∴CN＝CE，∠CEN＝∠CNE＝45°， ∵∠ECN＝∠ACB＝90°， ∴∠ACN＝∠BCE， ∵AC＝BC，CN＝CE， ∴Rt△ACN≌Rt△BCE（HL）， ∴AN＝BE＝BF，∠CNA＝∠CEB＝90°， ∵∠CNE＝45°， ∴∠AND＝∠BFD＝45°， ∵AD＝BD，∠ADN＝∠BDF， ∴△ADN≌△BDF（AAS）， ∴DN＝DF， ∵点E在BD的中垂线上， ∴BE＝DE， 设BE＝BF＝DE＝a， ∵△BEF是等腰直角三角形， ∴EF＝a， ∴DF＝DE+EF＝， ∴NF＝2DF＝， ∴NE＝NF﹣EF＝， ∵△CEN是等腰直角三角形， ∴CE＝＝， ∵∠BEC＝∠EBF＝90°， ∴HE∥BF， ∴△DHE∽△DBF， ∴，即， 得HE＝， ∴CH＝CE﹣HE＝2a， 过点B作BP⊥EF，垂足为点P， ∵∠BFE＝45°， ∴△BFP是等腰直角三角形， ∴BP＝， 得S△BCH＝＝＝a2， S△BDF＝＝＝， ∴＝＝． 【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定等知识，本题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质，利用全等和相似表示各边的长度，从而解决面积的比值． 11．为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM． 【探究发现】：（1）图1中AC与BM的数量关系是 　AC＝BM　，位置关系是 　AC∥BM　； 【初步应用】：（2）如图2，在△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．（提示：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变．例如：若3x＜6，则x＜2．） 【探究提升】：（3）如图3，AD是△ABC的中线，过点A分别向外作AE⊥AB、AF⊥AC，使得AE＝AB，AF＝AC，延长DA交EF于点P，判断线段EF与AD的数量关系和位置关系，请说明理由． 【分析】（1）证△ADC≌△MDB（SAS），得AC＝BM，∠CAD＝∠M，再由平行线的判定即可得出AC∥BM， （2）延长AD到M，使DM＝AD，连接BM，由（1）可知，△MDB≌△ADC（SAS），得BM＝AC＝8，再由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM，由（1）可知，△BDM≌△CDA（SAS），得BM＝AC，再证△ABM≌△EAF（SAS），得AM＝EF，∠BAM＝∠E，则EF＝2AD，然后由三角形的外角性质证出∠APE＝∠BAE＝90°，即可得出结论． 【解析】解：（1）∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， 在△ADC和△MDB中， ， ∴△ADC≌△MDB（SAS）， ∴AC＝BM，∠CAD＝∠M， ∴AC∥BM， 故答案为：AC＝BM，AC∥BM； （2）如图2，延长AD到M，使DM＝AD，连接BM， 由（1）可知，△MDB≌△ADC（SAS）， ∴BM＝AC＝8， 在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM， ∴12﹣8＜AM＜12+8， 即4＜2AD＜20， ∴2＜AD＜10， 即BC边上的中线AD的取值范围为2＜AD＜10； （3）EF＝2AD，EF⊥AD，理由如下： 如图3，延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM， 由（1）可知，△BDM≌△CDA（SAS）， ∴BM＝AC， ∵AC＝AF， ∴BM＝AF， 由（2）可知，AC∥BM， ∴∠BAC+∠ABM＝180°， ∵AE⊥AB、AF⊥AC， ∴∠BAE＝∠FAC＝90°， ∴∠BAC+∠EAF＝180°， ∴∠ABM＝∠EAF， 在△ABM和△EAF中， ， ∴△ABM≌△EAF（SAS）， ∴AM＝EF，∠BAM＝∠E， ∵AD＝DM， ∴AM＝2AD， ∴EF＝2AD， ∵∠EAM＝∠BAM+∠BAE＝∠E+∠APE， ∴∠APE＝∠BAE＝90°， ∴EF⊥AD． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 12．数学课上，老师提出一个问题：如图1，已知等腰直角△ABC，AB＝AC，等腰直角△CDE，DC＝DE，连结BE，F为BE中点，连结AF，DF，请探究线段AF，DF之间的关系． 小明通过思考，将此探究题分解成如下问题，逐步探究并应用．请帮助他完成： （1）如图1，延长AF至A'，使得AF＝A′F，连结A′E，则线段AB与线段A′E的数量关系为 　AB＝A'E　，位置关系为 　AB∥A'E　； （2）如图2，延长ED交BA延长线于点G，连结AD，A′D．小明的思路是先证明△ACD≌△A′ED，进而得出AD与A′D的关系，再继续探究．请判断线段AF，DF之间的关系，并根据小明的思路，写出完整的证明过程． （3）方法运用：如图3，等边△ABC与等边△DEC，点D，E在△ABC外部．AB＝4，，连结BD，点F为BD中点，连结AF，BE，若AF＝3，请直接写出BE的值． 【分析】（1）证△ABF≌△A'EF（SAS），得AB＝A'E，∠ABF＝∠A'EF，再由平行线的判定得AB∥A；E即可； （2）证△ACD≌△A′ED（SAS），得AD＝A'D，∠ADC＝∠A'DE，再证∠ADA'＝90°，然后由等腰直角三角形的性质即可得出结论； （3）过点C作CP⊥CB交BA的延长线于点P，连接PD，由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理得PB＝2BC＝8，PC＝4，PA＝PB＝4，再证AF是△BDP的中位线，得PD＝2AF＝6，进而由勾股定理的逆定理证△CDP是直角三角形，且∠CDP＝90°，然后证△BCE≌△BCD（SAS），得BE＝BD，∠CBE＝∠CBD，延长BC交DE于点G，则BG⊥DE，DG＝EG＝，进而由勾股定理得CG＝3，BD＝2，即可得出结论． 【解析】解：（1）∵F为BE中点， ∴BF＝EF， 在△ABF和△A'EF中， ， ∴△ABF≌△A'EF（SAS）， ∴AB＝A'E，∠ABF＝∠A'EF， ∴AB∥A'E， 故答案为：AB＝A'E，AB∥A'E； （2）AF＝DF，AF⊥DF，证明如下： 由（1）可知，AB＝A'E，AB∥A'E， ∴∠AGD+∠A'ED＝180°， ∵AB＝AC， ∴AC＝A'E， 由题意可知，∠∠BAC＝∠CDE＝90°， ∴∠CAG＝∠CDG＝90°， ∴∠AGD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°， ∴∠ACD＝∠A'ED， 在△ACD和△A′ED中， ， ∴△ACD≌△A′ED（SAS）， ∴AD＝A'D，∠ADC＝∠A'DE， ∴∠ADC+∠A'DC＝∠A'DE+∠A'DC＝∠CDE＝90°， 即∠ADA'＝90°， ∵AF＝A′F， ∴DF＝AA'＝AF，DF⊥AA'， 即AF＝DF，AF⊥DF； （3）如图3，过点C作CP⊥CB交BA的延长线于点P，连接PD， ∵△ABC和△DEC是等边三角形， ∴BC＝AB＝4，∠ABC＝∠DCE＝60°，CD＝DE＝CE＝2， 在Rt△PBC中，∠PBC＝60°， ∴∠BPC＝90°﹣60°＝30°， ∴PB＝2BC＝2×4＝8， ∴PC＝＝＝4，PA＝PB＝4， ∵点F为BD中点， ∴AF是△BDP的中位线， ∴PD＝2AF＝2×3＝6， ∵CD2+PD2＝（2）+62＝48，PC2＝（4）2＝48， ∴CD2+PD2＝PC2， ∴△CDP是直角三角形，且∠CDP＝90°， ∵PC＝2CD， ∴∠CPD＝30°， ∴∠PCD＝90°﹣30°＝60°， ∴∠BCD＝∠BCP+∠PCD＝90°+60°＝150°， ∴∠BCE＝360°﹣∠BCD﹣∠DCE＝360°﹣150°﹣60°＝150°， ∴∠BCE＝∠BCD， 在△BCE和△BCD中， ， ∴△BCE≌△BCD（SAS）， ∴BE＝BD，∠CBE＝∠CBD， 即BC平分∠DBE， 延长BC交DE于点G， 则BG⊥DE，DG＝EG＝DE＝， ∴CG＝＝＝3， ∴BG＝BC+CG＝4+3＝7， 在Rt△BDG中，由勾股定理得：BD＝＝＝2， ∴BE＝BD＝2， 即BE的值为2． 【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质、三角形中位线定理、含30°角的直角三角形的性质、平行线的判定与性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 13．【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是　B　． A．SSS B．SAS C．AAS D．HL （2）求得AD的取值范围是　C　． A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF． 【分析】（1）根据AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可； （2）根据全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三边关系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可； （3）延长AD到M，使AD＝DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM＝AC，∠CAD＝∠M，根据AE＝EF，推出∠CAD＝∠AFE＝∠BFD，求出∠BFD＝∠M，根据等腰三角形的性质求出即可． 【解析】（1）解：∵在△ADC和△EDB中 ， ∴△ADC≌△EDB（SAS）， 故选B； （2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB， ∴BE＝AC＝6，AE＝2AD， ∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6， ∴1＜AD＜7， 故选C． （3）证明： 延长AD到M，使AD＝DM，连接BM， ∵AD是△ABC中线， ∴CD＝BD， ∵在△ADC和△MDB中 ∴△ADC≌△MDB， ∴BM＝AC，∠CAD＝∠M， ∵AE＝EF， ∴∠CAD＝∠AFE， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠BFD＝∠CAD＝∠M， ∴BF＝BM＝AC， 即AC＝BF． 【点评】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． 14．如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AB边上的一点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连结BE，AE． （1）①填空：线段BD与AE的数量关系是 　BD＝AE　，位置关系是 　BD⊥AE　； ②证明上述结论成立． （2）如图2，F是AD的中点，连结CF交BE于H，若BC＝4，时，求CF的长． 【分析】（1）根据旋转的性质证△ACE≌△BCD，得出BD＝AE，∠CAE＝∠CBD，再结合等腰直角三角形的性质推出∠EAB＝∠CAE+∠CAB＝90°即可解答； （2）延长CF到T，使得FT＝CF，连接DT并延长，与BC交于M．证△AFC≌△DFT，得出AC＝DT，∠CAF＝∠FDT，再结合平行线的判定与性质，等腰三角形的性质及勾股定理推出AC＝BC＝DT＝4，CM＝3，TM＝5，最后利用勾股定理求出CT即可． 【解析】解：（1）①BD＝AE，BD⊥AE； ②由题意可知：CD＝CE，∠DCE＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACE＝∠ECD﹣∠ACD＝90°﹣∠ACD， ∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣∠ACD， ∴∠ACE＝∠BCD， 在△ACE与△BCD中， ， ∴△ACE≌△BCD（SAS）： ∴BD＝AE，∠CAE＝∠CBD， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAE＝∠CBD＝∠CAB＝45°， ∴∠EAB＝∠CAE+∠CAB＝90°， ∴BD⊥AE， 故①的答案为：BD＝AE，BD⊥AE； （2）如图，延长CF到T，使得FT＝CF，连接DT并延长，与BC交于M． 在△AFC和△DFT中， ， ∴△AFC≌△DFT（SAS）， ∴AC＝DT，∠CAF＝∠FDT， ∴AC∥DT， ∴∠TMC+∠ACB＝180°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠TMC＝90° ∵∠ABC＝45°，BD＝ ∴BM＝DM＝1， ∵AC＝BC，AC＝DT，BC＝4， ∴AC＝BC＝DT＝4，CM＝3，TM＝5， 在Rt△CMT中，根据勾股定理： CT＝＝＝， ∴CF＝CT＝． 【点评】本题主要考查旋转的性质，涉及全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，勾股定理，要求熟练掌握全等三角形的判定与性质，（2）中利用倍长中线法是解题的关键． 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 1．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD相交于点O，如果已知∠ABC＝∠ACB，那么还不能判定△ABE≌△ACD，补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE≌△ACD的是（　　） A．AD＝AE B．BE＝CD C．OB＝OC D．∠BDC＝∠CEB 【答案】B 【分析】根据题目中的条件和各个选项中的条件，利用全等三角形的判定方法，可以得到哪个选项中的条件，不能判定△ABE≌△ACD，从而可以解答本题． 【详解】解：∵∠ABC=∠ACB， ∴AB=AC， ∵∠BAE=∠CAD， ∴补充条件AD=AE时，△ABE≌△ACD（SAS），故选项A不符合题意； 补充条件BE=CD，无法判断△ABE≌△ACD，故选项B符合题意； 补充条件OB=OC时，则∠OBC=∠OCB，故∠ABE=∠ACD，则△ABE≌△ACD（ASA），故选项C不符合题意； 补充条件∠BDC=∠CEB时，则∠AEB=∠ADC，则△ABE≌△ACD（AAS），故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定的知识，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答． 2．已知：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O点，∠1＝∠2．图中全等的三角形共有（    ） A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 【答案】A 【分析】三角形全等的判定定理有：SSS，SAS，ASA，AAS．做题时要从已知入手由易到难，不重不漏． 【详解】解：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠ADO＝∠AEO＝90°； ∵∠1＝∠2，AO＝AO， ∴△ADO≌△AEO（AAS）． ∴AD＝AE， ∵∠DAC＝∠EAB，∠ADO＝∠AEO， ∴△ADC≌△AEB（ASA）． ∴AB＝AC， ∵∠1＝∠2，AO＝AO， ∴△AOB≌△AOC（SAS）． ∴∠B＝∠C， ∵AD＝AE，AB＝AC， ∴DB＝EC； ∵∠BOD＝∠COE， ∴△BOD≌△COE（AAS）． 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 3．在△ABC中，AB＝7，AC＝5，AD是边BC的中线，那么AD的取值范围是（　　） A．0＜AD＜12 B．2＜AD＜12 C．0＜AD＜6 D．1＜AD＜6 【答案】D 【分析】延长AD至E，使DE＝AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE＝AB，再根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解． 【详解】解：延长AD至E，使DE＝AD，连接CE． ∵AD是边BC的中线， ∴BD＝CD， 在△ABD和△ECD中 ， ∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE＝AB＝7． 在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC， 即：2＜2AD＜12， 1＜AD＜6． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系．注意：出现中点的辅助线一般应延长中线所在的直线构造全等三角形，这是一种非常重要的方法，要注意掌握． 4．如图，，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定定理即可一判定． 【详解】解：，， 当时，根据ASA可判定，故该选项不符合题意； 当时，根据SAS可判定，故该选项不符合题意； 当时，不能判定，故该选项符合题意； 当时，可得，根据AAS可判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握和运用全等三角形的判定定理是解决本题的关键． 5．如图，已知点B、D、C、F在同一条直线上，ABEF，AB＝EF，ACDE，如果BF＝6，DC＝3，那么BD的长等于（） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】由ABEF得∠B＝∠F，由ACDE得∠ACB＝∠EDF，从而证明△ABC≌△EFD得BC＝FD，即可求得BD的长． 【详解】解：∵ABEF， ∴∠B＝∠F， ∵ACDE， ∴∠ACB＝∠EDF， 在△ABC和△EFD中， ， ∴△ABC≌△EFD（AAS）， ∴BC＝FD， ∴BC﹣DC＝FD﹣DC， ∴BD＝FC， ∴BD＝（BF﹣DC）＝（6﹣3）＝． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形全的的判定及性质，熟练掌握三角形全的的判定方法是解题的关键． 6．考查下列命题 （1）全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等； （2）两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等； （3）两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等； （4）两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等． 其中正确命题的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法，此题应采用排除法，对选项逐个进行分析从而确定正确答案． 【详解】解：（1）全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等，故选项正确； （2）两边和其中一边上的中线对应相等易证两个三角形全等，两边和第三边上的中线对应相等，可以先证明两边的夹角相等，再证明两个三角形全等，故选项正确； （3）两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等，可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等，故选项正确； （4）两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等时，如图BC＝BC′，CD＝C′D′，△ABC与△ABC′不全等，故选项错误． 正确的有3个， 故选：B． ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法，要根据选项提供的已知条件逐个分析，看是否符合全等三角形的判定方法，注意SSA是不能判定两三角形全等的． 7．已知在△ABC和△A1B1C1中，AB＝A1B1，BC＝B1C1，要使△ABC≌△A1B1C1，还需添加一个条件，那么这个条件可以是 _____． 【答案】AC＝A1C1或∠B＝∠B1 【分析】根据全等三角形的判定（有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等SAS）可得当∠B＝∠B1时，可得△ABC≌△A1B1C1．根据全等三角形的判定（三边对应相等的两个三角形全等SSS）可得当AC＝A1C1时，可得△ABC≌△A1B1C1． 【详解】解：添加AC＝A1C1；∠B＝∠B1后可分别根据SSS、SAS判定ABC≌△A1B1C1， 故答案为：AC＝A1C1或∠B＝∠B1． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，熟记全等三角形的判定方法的特点是解答本题的关键. 8．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB∥DE，AB＝DE，∠A＝∠D，BF＝10，BC＝6，则EC＝_____． 【答案】2 【分析】根据平行线的性质得出∠B＝∠DEF，即可利用ASA证明△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质得出BC＝EF＝6，即可根据线段的和差得解． 【详解】解：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴BC＝EF， ∵BF＝10，BC＝6， ∴EF＝6，CF＝BF﹣BC＝4， ∴EC＝EF﹣CF＝2， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用ASA证明△ABC≌△DEF是解题的关键． 9．如图，已知CA＝CD，CB＝CE，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEC，这个条件可以是__________________（只需填写一个）． 【答案】AB＝DE或∠ACB＝∠DCE（只需填写一个）． 【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，SSS）即可得出答案． 【详解】解：添加AB＝DE，利用SSS可得△ABC≌△DEC； 添加∠ACB＝∠DCE，利用SAS可得△ABC≌△DEC； 故答案为：AB＝DE或∠ACB＝∠DCE． 【点睛】本题考查了全等三角形判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS． 10．在与中，，那么______． 【答案】 【分析】先画好图形，再利用证明再利用全等三角形的性质可得答案. 【详解】解：如图： 在与中， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形全等的判定及应用，掌握全等三角形的判定定理和根据已知画出图形是解答本题的关键． 11．如图，已知∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，AD=3cm，BE=1cm，那么DE=___cm． 【答案】2 【分析】∠ACB=90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，可得∠CAD=∠BCE，再利用AAS证得△CDA≌△BEC，从而得到CD=BE，CE=AD，再由DE=CE-CD，得DE=AD-BE，即可求解． 【详解】解：∵∠ACB=90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D， ∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠CAD=90°， ∴∠CAD=∠BCE， 在△CDA与△BEC中， ， ∴△CDA≌△BEC（AAS）， ∴CD=BE，CE=AD， ∵DE=CE-CD， ∴DE=AD-BE， ∵AD=3cm，BE=1cm， ∴DE=3-1=2（cm）， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，利用AAS证出△CDA≌△BEC是解题的关键． 12．如图，已知BE与CD相交于点O，且BO＝CO，∠ADC＝∠AEB，那么△BDO与△CEO全等吗？为什么？ 【答案】△BDO≌△CEO（AAS）；原因见解析 【分析】根据AAS证明△BDO与△CEO全等即可． 【详解】解：△BDO与△CEO全等； ∵∠BDO＝180°﹣∠ADC，∠CEO＝180°﹣∠AEB， 又∵∠ADC＝∠AEB， ∴∠BDO＝∠CEO， ∵在△BDO与△CEO中，， ∴△BDO≌△CEO（AAS）． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 13．已知：如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD，线段AC交线段OB于点M，线段BD交线段OC于点N． (1)请说明△AOC≌△BOD的理由； (2)请说明OM＝ON的理由． 【答案】(1)理由见解析； (2)理由见解析 【分析】（1）根据已知条件得到∠AOC＝∠BOD，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质即可得到结论． (1) ∵∠AOB＝∠BOC＝∠COD， ∴∠AOC＝∠BOD， 在△AOC与△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD； (2) ∵△AOC≌△BOD， ∴∠A＝∠B， 在△AOM与△BON中， ， ∴△AOM≌△BON， ∴OM＝ON． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$