7.3 定义、命题、定理 课件 2024—2025学年人教版七年级数学下册

第七章 相交线与平行线 7.3 定义、命题、定理 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 定义 7. 课堂小结 8. 当堂小练 CONTENTS 3. 新课导入 5. 知识点2 命题 10. 拓展与延伸 2. 知识回顾 6. 知识点3 定理与证明 9. 对接中考 1.理解定义、命题、定理及证明的概念，会区分命题的题设和结论. 2.会判断真假命题，知道证明的意义及必要性，了解反例的作用. 3.知道证明的意义和必要性，通过实例感悟推理过程的逻辑性，会进行简单的证明，能正确表述证明过程. 学习目标 知识回顾 平行线的 判定 平行于同一条直线的两条直线平行 基本事实Ⅱ：同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 平行线的 性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 平行线 互逆 新课导入 在古希腊，有一位著名的哲学家叫柏拉图.有一天，他的学生问他：“老师，什么是美？” 柏拉图没有直接回答，而是带着学生们来到了一片开满鲜花的草地.他指着那些花朵说：“你们看，这些花朵形态各异，颜色缤纷，但它们都有一种共同的特质，能让我们内心产生愉悦和赞赏之情，这就是美.” 然后，他又带学生们到了一座宏伟的神殿前，说：“这座神殿，它的建筑结构严谨对称，比例恰到好处，也能让我们感受到一种震撼人心的美.” 新课导入 从柏拉图对美的探寻中，我们可以发现，他在试图找到一种能够概括所有被我们称为 “美” 的事物的共同特征，这其实就类似于我们数学里非常重要的一个概念 —— 定义. 新课讲解 知识点1 定义 类似之前学过的： 1. 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴. 2. 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫作方程的解： 3. 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线. 4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离. 定义的常用叙述方式：“……叫作……” 新课讲解 对于一个数学对象的本质特征的描述叫作这个数学对象的定义. 归纳 同一平面内没有公共点的两条直线叫作平行线. 含有未知数的等式叫作方程. 两点之间线段的长度叫作两点之间的距离. 你还能举出哪些有关定义的例子？ 一个数学对象的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们理解它，并做出准确的判断. 新课讲解 例 1. 请你说出垂直的定义，并用符号语言表示. 解：一般地，当两条直线AB，CD相交所成的四个角中，有一个角是直角时，我们说AB与CD互相垂直. 符号语言： 如图，∵∠AOD=90°， ∴AB⊥CD. 新课讲解 知识点2 命题 我们日常讲话中，有些话是对某件事情作出判断的，有些话只是对事物进行描述的，如：   (1)中华人民共和国的首都是北京. ( )   (2)我们班的同学多么聪明! ( )   (3)浪费是可耻的. ( )   (4)春天到了，花儿开了. ( )   判断 描述 判断 描述 新课讲解 我们再来看一些可以判断正确与否的陈述语句，例如： (1)等式两边加同一个数，结果仍相等； (2)对顶角相等； (3)如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； (4)两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补； (5)如果一个数能被2整除，那么它也能被4整除. 新课讲解 像上面这样，可以判断为正确（或真）或错误（或假）的陈述语句，叫作命题. 被判断为正确（或真）的命题叫作真命题，被判断为错误（或假）的命题叫作假命题. 1.只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题. 2.如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题. 3.命题必须具有“判断”作用，要对事情作出肯定或否定的判断，故命题不能是祈使句或疑问句. 4.命题必须是一个完整的句子，不能是一个词语. 注意 归纳 新课讲解 例 3. 判断下列四个语句中，哪个是命题， 哪个不是命题？并说明理由. (1) 对顶角相等吗？ (2) 画一条线段AB=2 cm； (3) 两条直线平行，同位角相等； (4) 相等的两个角，一定是对顶角. 解：(3)(4)是命题，(1)(2)不是命题.理由如下： (1)是问句，故不是命题； (2)是做一件事情，也不是命题. 新课讲解 例 4. 判断下列语句是不是命题. (1)画线段AB=2cm； (2)你喜欢画画吗? (3)分数一定是有理数； (4)同角的补角相等； (5)两个锐角互余. 不是. 不是. 是. 是. 是. 一个词语、疑问句、感叹句、祈使句以及表示画图的语句都不是命题. 注意 新课讲解 练一练 1. 判断下列四个语句是否为命题？ (1)两直线相交有几个交点？ (2)直角都相等； (3)同角或等角的补角相等； (4)如果 a+b=0，那么 a=0，b=0. 是问句，没有作出判断 虽然说法错误，但是也作出了判断 新课讲解 练一练 2. 下列语句中，不是命题的是( ) A. 两点之间，线段最短. B. 内错角都相等. C. 连接A，B两点. D. 平行于同一直线的两直线平行. C 新课讲解 都是“如果……那么……”的形式. 观察下列命题，你能发现这些命题有什么共同的结构特征吗？ 1.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； 2.如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等； 3.如果两个角是对顶角，那么这两个角相等. 新课讲解 命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式. “如果”后接的部分是题设，即已知事项. “那么”后接的部分是结论，即由已知事项推出的事项. 如：如果两条直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行. 题设 结论 命题由题设和结论两部分组成. 已知事项 由已知事项推出的事项 新课讲解 有些命题的题设和结论不明显，要经过分析才能找出题设和结论，从而将它们写成“如果……那么……”的形式. 例如：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 题设 结论 改写： 如果______________________________，那么________________. 两条平行直线被第三条直线所截 同旁内角互补. 例如：对顶角相等. 改写： 如果__________________，那么________________. 两个角是对顶角 这两个角相等 命题的题设和结论不明显，怎么办？ 在改写成“如果……那么……”的形式时，需对命题的语序进行调整或增减词语，使句子完整通顺，但不改变原意. 注意 新课讲解 5. 把下列命题改写成“如果……那么……”的形式. 如果一个三角形的一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形. 如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等. 如果一个角是锐角，那么这个角小于它的余角. (1)有一个角是直角的三角形是直角三角形； (2)同角的余角相等； (3)锐角小于它的余角. (4)互为相反数的两个数相加得 0 ； 如果两个数互为相反数，那么这两个数相加得 0. 如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补. 如果两个角互为对顶角，那么这两个角相等. (5)同旁内角互补； (6)对顶角相等． 例 新课讲解 命题1：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 观察下列命题，它们都是正确的吗？ 命题2：如果两个角互补，那么它们是邻补角. 命题1是一个正确的命题. 命题2是一个错误的命题. 新课讲解 真、假命题： 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫作真命题； 假命题：命题中题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫作假命题. 如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等. 如果两个数绝对值相等，那么它们互为相反数. 判断一个命题是错误的，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了. 注意 新课讲解 例 6. 判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？ （1）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条； （2）如果两个角互补，那么它们是邻补角； （3）如果 | a | = | b |，那么 a = b ； （4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行； （5）两点确定一条直线． 真命题 假命题 假命题 真命题 真命题 新课讲解 例 7. 指出下列命题的题设和结论，并判断是真命题还是假命题. (1)互为补角的两个角相等； (2)若a=b，则a＋c=b＋c； (3)如果两个长方形的周长相等，那么这两个长方形的面积相等. 方法点拨：紧扣真命题和假命题的意义进行判断. 解：(1)题设：两个角互为补角；结论：这两个角相等. 假命题. (2)题设：a=b；结论：a＋c=b＋c. 真命题. (3)题设：两个长方形的周长相等；结论：这两个长方形的面积相等. 假命题. 新课讲解 例 7. 判断下列语句是不是命题，如果是，改写成“如果……那么……”的形式，写出它的题设和结论，并判断它是真命题还是假命题；如果不是，请说明理由. ①内错角相等； ②美丽的中国； ③延长线段AB到点C，使BC=AB； 解：①是命题，如果两个角是内错角，那么这两个角相等. 其中“两个角是内错角”是题设，“这两个角相等”是结论. 这个命题是假命题， 如图，∠1与∠2是内错角，但∠1≠∠2. ②③不是命题，因为它们都不是判断一件事情的语句. 新课讲解 例 7. 判断下列语句是不是命题，如果是，改写成“如果……那么……”的形式，写出它的题设和结论，并判断它是真命题还是假命题；如果不是，请说明理由. ④整数一定是有理数； ⑤若a，b满足a2=b2，则a=b. 解：④是命题，如果一个数是整数，那么这个数一定是有理数. 其中“一个数是整数”是题设，“这个数一定是有理数”是结论. 这个命题是真命题. ⑤是命题，如果a,b满足a2=b2,那么a=b. 其中“a，b满足a2=b2”是题设，“a=b”是结论. 这个命题是假命题， 如a=2，b=-2，满足a2=b2，但不满足a=b. 新课讲解 练一练 (1)同旁内角互补；( ) (4)两点可以确定一条直线；( ) (7)互为邻补角的两个角的平分线互相垂直.( ) (2)一个角的补角大于这个角；( ) 1. 判断下列命题的真假.真的用“√”表示，假的用“×”表示. (5)两点之间线段最短；( ) (3)相等的两个角是对顶角；( ) (6)同角的余角相等；( ) 新课讲解 练一练 2. 判断下列语句是不是命题，如果是，请写出它的题设和结论，并判断它是真命题还是假命题；如果不是，请说明理由. ①内错角相等； ②美丽的中国； ③已知 a2 =4，求 a 的值； ④小数一定是有理数； ⑤画线段 AB. “两个角是内错角”是题设，“这两个角相等”是结论.这个命题是假命题. “一个数是小数”是题设，“这个数是有理数”是结论.这个命题是假命题. 新课讲解 知识点3 定理与证明 补角的性质定理：同角或等角的补角相等. 两直线平行的判定定理：同位角相等，两直线平行. 对顶角的性质定理：对顶角相等. 1. 定理：经过推理证实得到的真命题叫做定理. 定理也可以作为继续推理的依据. 拓展：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理. 如直线公理：两点确定一条直线. 新课讲解 2. 证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 注意：1.证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”.这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等. 2.定理一定是真命题，但真命题不一定是定理. 新课讲解 例 8. 证明命题：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条. 题设 结论 如图，已知直线 b∥c， a⊥b .求证：a⊥c. 证明： ∵ a⊥b (已知)， ∴ ∠1=90° (垂直的定义). ∵ b∥c (已知)， ∴ ∠1=∠2 (两直线平行，同位角相等). ∴ ∠2=∠1=90° (等量代换). ∴ a⊥c (垂直的定义). a b c 1 2 证明中的每一步推理都要有根据，这些根据可以是已知条件，也可以是定义、基本事实、定理等. 新课讲解 例 9. 填写下列证明过程中的推理依据. 如图，已知AC，BD 相交于点O，DF 平分∠ CDO 与AC 相交于点F，BE平分∠ ABO 与AC 相交于点E，∠ A=∠ C. 求证：∠ 1= ∠ 2. 证明：∵∠ A= ∠ C( )， ∴ AB ∥ CD( ). ∴∠ ABO= ∠ CDO( ). ∵ DF 平分∠ CDO，BE 平分∠ ABO( )， ∴∠ 1= ∠ CDO，∠ 2= ∠ ABO( ). ∴∠ 1= ∠ 2( ). 已知 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 已知 角平分线的定义 等量代换 新课讲解 练一练 1. 如图，已知 AD//BC，∠A =∠C. 求证：AB//CD. 证明：∵ AD//BC (已知) ， ∴ ∠A =∠ABF (两直线平行，内错角相等). ∵ ∠A=∠C (已知)， ∴ ∠ABF=∠C (等量代换)， ∴ AB//CD (同位角相等，两直线平行). 还有其他解法吗？ 方法二：证明：∵ AD//BC (已知)， ∴ ∠A+∠ABC =180° (两直线平行，同旁内角互补). ∵ ∠A =∠C (已知)， ∴ ∠C+∠ABC = 180°(等量代换)， ∴ AB//CD (同旁内角互补，两直线平行). 新课讲解 练一练 证明：∵AB∥CD(已知)， ∴∠BPQ＝∠CQP(两直线平行,内错角相等)． 又∵PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP(已知)， ∴∠GPQ＝∠BPQ，∠HQP＝∠CQP(角平分线的定义)， ∴∠GPQ＝∠HQP(等量代换)， ∴PG∥HQ(内错角相等，两直线平行)． 2. 如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被直线MN所截，交点分别为P，Q，PG平分∠BPQ，QH平分∠CQP.求证PG∥HQ. A B C D M N P Q H G 新课讲解 证明的一般步骤： (1)分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号； (2)根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； (3)经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程. 归纳 新课讲解 如何判定一个命题是假命题呢？ 只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论即可. 例如，判定命题“相等的角是对顶角”是假命题 ，可以举出如下反例： 如图，OC 是∠AOB 的角平分线， ∠1=∠2，但它们不是对顶角. 1 2 A O C B 新课讲解 练一练 判断命题“如果 n1，那么 n210 ”是假命题，只需举出一个反例. 反例中的 n 可以为( ) A. 2 B. C. 0 D. A (2)2130 课堂小结 定义 对新的数学对象进行清晰、明确的描述 表达形式 如果……那么…… 命题 组成 题设：已知事项 结论：由已知事项推出的事项 分类 真命题 假命题 课堂小结 定理 经过推理证实得到的真命题叫作定理. 定理也可以作为继续推理的依据. 定理与证明 证明 在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明. 定理一定是真命题，但真命题不一定是定理 证明步骤 (1)分清命题的题设和结论，如果与图形有关，应先根据题意，画出图形，并在图形上标出有关字母与符号； (2)根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证； (3)经过分析，找出由已知推出结论的途径，有条理地写出证明过程. 当堂小练 (2) 两条直线相交，有且只有一个交点；（ ） (5) 取线段AB的中点C； （ ） (1) 长度相等的两条线段是相等的线段吗?( ) (6) 画两条相等的线段.（ ） 1. 判断下列语句是不是命题？是用“√”，不是用“×”表示. (3) 不相等的两个角不是对顶角；（ ） (4) 相等的两个角是对顶角；（ ） × √ × × √ √ 当堂小练 (1) 同旁内角互补；（ ） (4) 两点可以确定一条直线；（ ） (7) 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直.（ ） (2) 一个角的补角大于这个角；（ ） 2. 判断下列命题的真假.真的用“√”，假的用“×”表示. (5) 两点之间线段最短；（ ） (3) 相等的两个角是对顶角；（ ） × √ (6) 同角的余角相等；（ ） × √ √ √ × 当堂小练 3. 下列命题： ① 两个锐角之和一定是钝角； ② 内错角相等； ③ 若 x=y，则 x2=y2； ④ 若 x2=y2，则 x =y； ⑤ 两点之间，线段最短. 其中，真命题有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 20°40°60° 两直线不平行时不成立 x2，y2时，不成立 B 当堂小练 4. 下列命题： ①同旁内角互补； ②垂线段最短； ③同一平面内，不重合的两条直线相交，则它们只有一个交点； ④若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等. 其中是真命题的是________（填序号） ②③ 当堂小练 5. “同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行”是________，其中题设是_______________________________________，结论是_ ________________. 真命题 这两条直线互相平行 同一平面内，有两条直线垂直于同一条直线 6. 命题“锐角的补角是钝角”的题设为___________________，结论为_______． 7. 把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果……那么……”的形式是___________________________________________________ ______________． 一个角是锐角的补角 这个角是钝角 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么 这两条直线平行 当堂小练 A B C D 8. 要判断命题“有两个角是直角的圆内接四边形是矩形”是假命题，下列图形可作为反例的是 ( ) D 当堂小练 9. 完成下面的证明. 如图，已知∠1=∠2，∠B=∠C，求证AB∥CD. 证明：∵∠1=∠2(已知)，且∠1=∠4(　　　　　　)，  ∴∠2= (等式的基本事实), ∴ (　　　　　　　　　　　　)，  ∴∠C=∠3(　　　　　　　　　　　　).  又∵∠B=∠C(已知)， ∴∠3=∠B(等式的基本事实)， ∴AB∥CD(　　　　　　　　　　　　).  对顶角相等 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 内错角相等，两直线平行 ∠4 CE∥BF 当堂小练 10. 如图，已知：点A，B，C 在同一条直线上. (1)请从三个论断① AD∥BE ，②∠1= ∠2，③∠A= ∠E 中，选两个作为条件，另一个作为结论构成一个真命题： 条件： 结论： (答案不唯一) ①AD∥BE；②∠1＝∠2 ③∠A＝∠E. (2)证明你所构建的是真命题. 证明：∵AD∥BE，∴∠A＝∠EBC. ∵∠1＝∠2，∴DE∥BC， ∴∠E＝∠EBC.∴∠A＝∠E. 当堂小练 11. 如图，直线 BC，DE 交于点 O，给出下列三个论断：①∠B =∠E；② AB//DE；③ BC//EF.请以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，写出正确的命题并进行证明. 解：以②③为条件，①为结论. 命题：如果 AB//DE，BC//EF，那么∠B =∠E. 证明：∵AB//DE， ∴∠B =∠COD. ∵ BC//EF， ∴ ∠E =∠COD， ∴ ∠B =∠E. 当堂小练 12. 如图，已知∠A=∠C，AD⊥BE，BC⊥BE，点D在线段EC上. 求证：AB∥CD. 证明：∵AD⊥BE，BC⊥BE(已知), ∴AD∥BC(在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行)， ∴∠ADE=∠C(两直线平行，同位角相等). 又∵∠A=∠C(已知)， ∴∠ADE=∠A(等式的基本事实)， ∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行). 当堂小练 13. 已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4. 求证：EG∥FH. 证明：∵∠1=∠2(已知)， ∠AEF=∠1 (对顶角相等)， ∴∠AEF=∠2 (等量代换). ∴AB∥CD (同位角相等，两直线平行). ∴∠BEF=∠CFE (两直线平行，内错角相等). ∵∠3=∠4(已知)，∴∠BEF－∠4=∠CFE－∠3. 即∠GEF=∠HFE (等式的性质). ∴EG∥FH (内错角相等，两直线平行). 1 2 4 A D C B F H E G 3 对接中考 1. 下列语句是命题的个数为（ ） ①画∠AOB 的平分线；②直角都相等；③同旁内角互补吗？④若 | a | = 3，则 a = 3. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 对接中考 2. 下列四个选项中不是命题的是( ) A. 对顶角相等 B. 过直线外一点作直线的平行线 C. 三角形任意两边之和大于第三边 D. 如果a=b，a=c，那么b=c B 拓展与延伸 1. 分别把下列命题写成“如果……那么……”的形式，指出其题设和结论，并判断其真假. (1)等角的余角相等； (2)负数之和仍为负数. 解：(1)如果两个角是等角的余角，那么这两个角相等. 题设：两个角是等角的余角. 结论：这两个角相等. 真命题. (2)如果几个负数相加，那么它们的和为负数. 题设：几个负数相加. 结论：它们的和为负数. 真命题. 拓展与延伸 2. 如图，给出下列论断：（1）AB∥DC，（2）AD∥BC，（3）∠A+∠B = 180°，（4）∠B + ∠C = 180°，以其中一个作为题设，另一个作为结论，写出一个真命题. 想一想，若连接 BD，你能试着写出一个真命题并写出其推理过程吗？ 解：题设：AB∥DC， 结论：∠ABC+∠C=180°. 真命题：若 AB∥DC，则∠ABC+∠C=180°. 如图，连接 BD. 真命题：若∠ABD=∠CDB，则 AB∥DC. 证明：∵∠ABD=∠CDB， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）. $$